4 Введение.
Значительное влияние на развитие теоретических исследований по изгибу пластин за пределом упругости оказали работы Ильюшина А.А. [35,36] и Соколовского В.В. [95], а на изучение несущей способности пластин - труды Гвоздева А.А.[19]
Теория упруго-пластического равновесия пластин и оболочек с использованием методов теории пластичности наиболее широко изложена Ильюшиным А.А. [35] . Он предлагает три основные постановки задач о равновесии пластин при изгибе: 1) с помощью дифференциального уравнения четвертого порядка относительно перемещения. Для решения задачи предлагается метод упругих решений; 2) с помощью вариационного уравнения равновесия; 3) используя три дифференциальных уравнения относительно изгибающих и крутящего моментов. Для всех случаев гипотезы Кирхгофа - Лява остаются в силе, материал в пластической зоне считается несжимаемым (ц = 0,5). Ильюшиным А.А. также поставлена задача определения несущей способности пластин. Для этого применяются конечное соотношение между моментами, основное дифференциальное уравнение равновесия пластины и условие совместности деформаций, выраженное через комбинации моментов.
Соколовского В.В. [95] предлагает решение осесим-метричных задач упруго-пластического изгиба пластин на основе деформационной теории пластичности Генки. Постановка задачи упрощается требованием непрерывности лишь обобщенной деформации при переходе от упругой зоны к пластической. Используя постулаты Кирхгофа - Лява, ус-
5
ловие текучести Мизеса и допущение о несжимаемости материала. Для решения вводятся тригонометрические переменные. Изложенная теория обобщается на пластины из материала с линейным или степенным упрочнением.
Гвоздев А.А. [19] впервые предложил метод предельного равновесия для определения несущей способности пластин. Предельным состоянием пластины считается превращение ее в кинематически изменяемую систему с линиями, представляющие цилиндрические шарниры текучести. Уравнение равновесия записывается как работа внешних и внутреннихсил системы на возможных ее перемещениях. Разрушающая нагрузка является минимальной нагрузкой, соответствующей одной из схем излома пластины. Углы выражаются через линейные размеры пластинки.
Упруго-пластическим состоянием прямоугольных и квадратных металлических пластин при изгибе занимались В.В. Васильев [17], М.И. Ерхов [31], А.А. Ильюшин [36], СИ. Матошко [62], Х.М. Муштари, Р.Т. Суркин [74], А.И. Стрельбицкая, В.А. Колгадин [97,98], М.И. Эстрин [114], Н. Craemer [119], J.S. Као, Т. Mura, S.T. Lee [124], А. Langenbach [126], Н.Е. Shull, L.W. Ни [129] и др.
Решение упруго-пластических задач проводится методом упругих решений и вариационными методами, а определение несущей способности пластин - в основном методом предельного равновесия.
Принимаются обычные положения технической теории изгиба пластин. Диаграмма напряжений - деформаций материала имеет ясно выраженную площадку текучести либо обладает упрочнением. Материал пластинки в одних случаях считается сжимаемым (ц = 0,3)/ а в других - несжимаемым
6
(|д = 0,5). Условие пластичности принимается по энергетической теории (Мизеса) или теории наибольших касательных напряжений (Треска - Сен-Венана). Решение дифференциальных уравнений проводится одним из численных методов.
Васильев В.В. [17] рассматривает упруго-пластическое состояние изогнутой прямоугольной пластинки на основе деформационной теории пластичности и предположения о несжимаемости материала. Для решения задачи применяется метод упругих решений и метод конечных разностей. Исследована защемленная по контуру пластинка с отношением сторон 1,5:1 при равномерно распределенной нагрузке.
Ильюшин А.А. [36] на основании предложенной им теории дает приближенное решение для изгиба квадратной шарнирно опертой пластинки под действием равномерно распределенной нагрузки. Материал пластинки обладает линейным упрочнением. Построена поверхность распределения потенциальной энергии, позволяющая определить, какие области пластинки и в какой последовательности выходят за предел упругости. Получена зависимость нагрузки от интенсивности деформаций. Определена несущая способность рассматриваемой пластинки для материала без упрочнения, когда предельное состояние системы характеризуется распространением текучести по всему объему материала.
В статьях Ерхова М.И. [31] в развитие теории А.А. Ильюшина выводится приближенная зависимость между усилиями и деформациями срединной поверхности идеально пластических оболочек и пластин, от которой он перехо-
7
дит к соотношениям между силами и моментами в предель-
ном состоянии. Используется приближенное условие пластичности одной из половин сечения.
Матошко СИ. [62] исследует упруго-пластическое состояние прямоугольных пластин при изгибе, применяя вариационный метод. Им рассмотрены жесткие пластины при равномерно распределенной и сосредоточенной нагрузках с учетом и без учета сжимаемости материала.
Муштари Х.М., Суркин Р.Г. [74] исследуют изгиб опертой квадратной пластинки при нелинейной зависимости # между напряжением и деформацией. Нелинейность материала учитывается системой коэффициентов, зависящих от модуля упругости и коэффициента поперечной деформации. Получены формулы для прогиба и напряжения в центре пластинки, причем малыми величинами при решении пренебрегают.
А.И. Стрельбицкой, В.А. Колгадиным [97,08] предлагается решение задачи изгиба прямоугольных пластин за пределом упругости с использованием метода упругих решений в сочетании с методом конечных разностей. Матери-^ ал пластины имеет горизонтальную площадку текучести и соответствует условию пластичности по Мизесу. Рассмотрено напряженное и деформированное состояния шарнирно опертых и жестко закрепленных пластин при равномерно распределенной нагрузке и при действии сосредоточенных сил. Для заданной величины нагрузки показано развитие зон текучести на поверхности и по толщине пластины и определены эпюры прогибов и изгибающих моментов в ее сечениях.
В работе Эстрина М.И. [114] исследуется изгиб жест-ко-пластических плит, материал которых подчиняется ус-
8
ловию пластичности Треска - Сен-Венана. Это условие позволяет привести задачу к уравнениям гиперболического типа, методы решения которых известны. Решение некоторых задач получается в замкнутом виде.
Craemer H. [119] изучает работу квадратной пластинки, свободно опертой на балки и нагруженной равномерно распределенной нагрузкой. Автор считает, что схема предельного состояния системы зависит от наличия или отсутствия пластичности в опорных балках. Если опорные балки будут упругими, то текучесть пластинки происходит по ее диагонали, а если пластичными, то текучесть пойдет по осям пластинки, параллельным ее сторонам.
Као J.S., Мига Т., Lee S.T. [124] рассмотрели предельное равновесие ортотропных пластинок на основе критерия течения. Получены числовые результаты по определению несущей способности квадратной свободно опертой пластинки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой. В случае изотропной пластины найденное авторами решение совпадает с уже известным.
Langenbach A. [126] занимался теорией изгиба упруго-пластических пластин при действии поперечной нагрузки с учетом растяжения срединной поверхности. Материал пластинки предполагается несжимаемым и обладает нелинейным упрочнением. Ввиду сложности решения нелинейного дифференциального уравнения четвертого порядка, которое может быть реализовано лишь в простых случаях, автор сводит решение к краевой задаче, приведенной к проблеме минимума и решенной путем вариационного исчисления. Решение дано в общем виде.
9
Shull H.E., Hu L.W. [12 9] исследовали несущую
способность прямоугольных свободно опертых пластинок при равномерно распределенной нагрузке. Они показали возможность применения условия текучести Треска для решения задач, в которых отсутствует радиальная симметрия. Материал пластин принимается идеально упруго-пластическим. Главные напряжения в плоскости и их разность авторы выражают через безразмерные обобщенные напряжения и представляют их в виде безразмерных изгибающих и крутящего моментов. Ими определены верхняя и нижняя границы несущей способности пластинок. В первом случае вводится предпосылка о равенство изгибающих моментов в направлении осей х и у, используется уравнение равновесия пластинки, где изгибающие моменты заменены некоторой алгебраической функцией. Верхняя граница находится по методу Ph.G. Hodge [122] на основании рассмотрения поля перемещений, которое должно отвечать кинематически возможной схеме разрушения, и закона пластического течения. Числовые величины предельных нагрузок получены для прямоугольных пластин с соотношением сторон в пределах 1—0,15. Отмечается, однако, что для данных пластин эти результаты не могут считаться удовлетворительными.
Вопросами изгиба прямоугольных и квадратных пластин из разносопротивляющихся материалов занимались Трещев А.А., Божанов П.В. [10,105,106,107]. В этих работах только в пластической зоне материал считается разносо-противляющимся.
Несущая способность прямоугольных пластин исследована в ряде работ методом предельного равновесия, пред-
10
ложенным Гвоздевым А.А. [19], а затем развитым Дубин-
ским A.M. [30], Ржаницыным А.Р. [92], Халасом О. [109], Sawczuk A. [128],Sobotka Zd. [130] и другими исследователями применительно к железобетонным плитам.
Дубинский A.M. [30] рассматривает несущую способность плит с разным очертанием контура при действии сосредоточенной силы или равномерно распределенной нагрузки. Приведены критерии для установления схемы излома плиты. Линии излома принимаются прямолинейными. Прямоугольные плиты рассматриваются также при действии трапецеидальной нагрузки.
Работы Ржаницына А.Р. [92,93] посвящены предельному состоянию пластин разной формы при действии сосредоточенного груза и определению его разрушающей величины. В основу положен метод предельного равновесия. Ржаницын А.Р. устанавливает несущую способность прямоугольных шарнирно опертых по контуру пластинок при сосредоточенной нагрузке в любом месте. Углы пластинки не могут приподниматься. Исследовано несколько случаев приложения силы, связанных с разными формами разрушения. Основные из них - приложение силы в центральной части пластинки, вблизи длинной ее стороны и вблизи вершины угла.
Халас О. [109] предлагает метод для исследования предельного равновесия железобетонных плит, когда влияние текучести арматуры не рассматривается. Исчерпанием несущей способности плиты считается наличие больших, непрерывно нарастающих деформаций при постоянной величине нагрузки. Указывается, что учет текучести арматуры
11
может оказать значительное влияние на несущую способность плиты.
В работе Sawczuk A. [128] на основании трудов 01szak W. и других авторов обсуждаются основные положения теории несущей способности пластин и методы решения задач согласно этой теории. Разработаны таблицы и графики для определения разрушающих моментов прямоугольных пластин с разными граничными условиями при нагрузках, применяемых на практике. Даны также коэффициенты орто-тропии и слоистости для ортотропных пластин. Рассмотрены примеры расчета.
Sobotka Zd. [130] исследовал несущую способность ортотропных прямоугольных жестко закрепленных пластинок при действии равномерно распределенной и сосредоточенной нагрузок. Материал пластинок принимается жестко-пластическим. Задавая кинематически возможные схемы разрушения в виде системы пластических шарнирных линий, автор получает верхнюю границу предельной нагрузки для прямоугольной защемленной пластинки при нескольких вариантах нагружения.
Экспериментальные исследования изгиба прямоугольных пластин за пределом упругости проводили Ковалев К. В. [44], Прейсс А.К. [87], Haythornthwaite R.M. [120], Kurata M., Hatano Sh., Okamura H. [125], Tetzlaff W. [134] и др.
В работе Ковалева К.В. [44] расчет пластинки ведется при помощи моделей экспериментальным методом, применяющимся в строительной механике для расчета статически неопределимых систем. Этот метод расчета сводится к моделированию поверхностей влияния исследуемого усилия
12
или изгибающего момента, по которым затем рассчитывается пластинка на любую.
В статье Прейсс А.К. [87] дана оценка влияния коэффициента Пуассона при экспериментальном исследовании изгиба пластин в развитие теоретической работы, проведенной ранее Б.Б. Лампси.
В работе Haythornthwaite R.M., Воусе W.E. [120] экспериментально и теоретически исследована несущая способность прямоугольной пластины, две параллельные стороны которой защемлены, а две другие свободны. Пластинка находится под действием сосредоточенной нагрузки. Исследование проводится на основе теоремы о верхней границе предельной нагрузки для поля скоростей, включающего местную осесимметричную деформацию вблизи приложения нагрузки и общий изгиб всей системы. Сделан вывод, что локальными деформациями вблизи сосредоточенной нагрузки пластины пренебрегать нельзя. Указано, что определение предельного состояния пластинок с сосредоточенными силами по методу линейных шарниров может дать завышенные значения нагрузки.
Kurata M., Hatano Sh., Okamura H. [125] приводят результаты экспериментального определения поверхностей влияния моментов для прямоугольной пластинки, три края которой заделаны, а четвертый свободен. Пластинка нагружалась с помощью рычага, а деформации ее измерялись проволочными датчиками сопротивления. Поверхности влияния определялись для моментов в середине заделанных краев пластинки и в угловой точке, прилегающей к свободному краю. Экспериментальные данные для квадратной пластинки с равномерно распределенной нагрузкой были
13
сопоставлены с теоретическими, причем расхождение составило 3—5%.
Tetzlaff W. [134] описывает результаты экспериментального исследования прямоугольной плиты размерами 27 0x120x10 мм выполненной из плексигласа. Плита свободно оперта по коротким сторонам и нагружена сосредоточенной силой посредине. Получены траектории главных напряжений, а также эпюры изгибающих моментов в продольном и поперечном направлениях. Кроме того, была исследована модель железобетонной плиты толщиной 2 см.
Значительное применение при экспериментальном изучении упруго-пластических задач получил метод фотоупругих покрытий, разработанный Александровым А.Я., Ахмет-зяновым М.Х. и др. Этот метод заключается в нанесении на поверхность элемента тонкого слоя из оптически активного материала, который деформируется вместе с нагружаемым элементом. Деформации замеряются поляризаци-онно-оптическим методом при помощи установки для работы в отраженном свете.
Также много экспериментальных работ по определению напряжений и деформаций изгибаемых пластин проведено методом муаров.
С учетом приведенного выше обзора можно сказать, что исследование ортотропных пластин за пределом упругости мало изучено и необходимо дальнейшее теоретическое и экспериментальное изучение работы пластин с учетом пластических свойств материалов, из которых они изготовлены, при различных граничных условиях и для различных случаев нагрузки. Таким образом, целью данной работы является: построить модель ортотропной пластины;
14
сформулировать условие пластичности для ортотропных
пластин; решить задачи упруго пластического изгиба ортотропных пластин с получением значений предельных нагрузок и рассмотреть развитие пластических зон по поверхности и по толщине пластины с ростом нагрузки. Задачи исследования:
1. Получить основные уравнения, используя физическое моделирование ортотропной пластинки;
2. Принять условие пластичности ортотропной пластинки, анализируя собственные упругие и пластические состояния изотропной среды;
3. Ввести аффинные преобразования для выделения универсальных характеристик ортотропной среды;
4. Получить модель ортотропной пластинки в аффинных пространствах;
5. Использовать метод конечных разностей совместно с методом упругих решений для решения полученных уравнений;
6. Продемонстрировать возможность использования полученных уравнений для решения задач упруго пластического изгиба ортотропных пластин;
7. Исследовать влияние коэффициентов ортотропии на напряженно деформированное состояние пластинки.
Новыми научными результатами, которые выносятся на защиту, являются:
- Математическая модель ортотропной пластинки;
- Условие пластичности ортотропной пластинки;
- Модель ортотропной пластинки в аффинных пространствах;
15
- Применение метода конечных разностей совместно
с методом упругих решений для принятой модели ортотропной пластинки;
- Результаты расчетов пластин за пределом упругости, количественные и качественные составляющие этих расчетов.
Диссертационная работа состоит из введения, шести разделов, заключения, списка литературы и одного приложения. Работа содержит 127 страниц машинописного текста, включая 16 рисунков, и список литературы из 135 наименований.
16
1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ОРТОТРОП-НЫХ СРЕД. МОДЕЛЬ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ.
1.1. Напряженное состояние сплошного тела.
Рассматривая ортотропные среды, отнесем их к прямоугольной декартвой системе координат xyz .
В соответствии с классической теорией напряжения на всевозможных площадках, проведенных через выбранную точку, определяются симметричным тензором напряжения, который можно задать в виде матрицы
о\
(1.1)
Проекции напряжений Хп, Yn, Zn на любой площадке с нормалью п выражаются через компоненты тензора напряжений:
Хп = ох cos(n, х) + Gxy cos(n, у) + ох, cos(n, z),
Yn = аху cos(n,x) + oy cos(n,y) + Q>y: cos(n,z), (1.2)
Zn = Составляющие напряжений в сплошном теле, на которое действуют только поверхностные усилия, удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия
дх
ху
дх
ду
до,
ду dz
dz до.
¦ + ¦
= 0,
(1.3)
дх
+
—— + —^ ду dz
17
Деформированное состояние в окрестности точки определяется тензором деформации, который в декартовой системе координат запишем с помощью его компонент в виде матрицы
(1.4)
xz
Компоненты тензора деформации в случае малых деформаций связаны с компонентами их, иу, uz вектора перемещения следующими формулами:
ди
ди,
х дх
ди
х, 2е =-----т-----
v ду дх
, lev=^r
дип
ду dz + ¦ Uz
(1.5)
dz dz дх Формулы и уравнения (1.1) - (1.5) можно найти в курсах теории упругости и монографиях [6,7,33,46,59,89,90,102] .
1.2. Закон Гука.
Предположим, что через точку прямолинейно-анизотропного тела проходят три взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии, т.е. через точку проходят три ортогональных главных направления, параллельные для различных точек. Принимая эти направления за направления осей х, у, z, связь между напряжениями и
деформациями запишем в форме |
