V Введение
-* Общая характеристика работы
Актуальность темы. Изучение краевых задач для параболических уравнений является одной из классических проблем теории диференциаль-ных уравнений с частными производными и вызывает постоянный интерес математиков.
В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Такие задачи получили название обратных задач. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности: сейсмологии, разведке полезных ископаемых, биологии, медицине, контроле качества промышленных изделий и т.д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.
Вопросы разрешимости тех или иных обратных задач для параболических уравнений изучались во многих работах — отметим здесь, прежде всего, работы А. И. Прилепко [47-51], Ю. Е. Аниконова [1-6, 59-63], Ю. Я. Белова [12-17, 64-67], Н. И. Иванчова (Украина) [22-25, 69], Б. А. Бубнова [18], Е. Г. Саватеева [55-57], Н. Я. Безнощенко [8-11], В. В. Соловьева [58], А. И. Кожанова [30-33, 70-72]и других.
Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов разрешимости нелинейных обратных задач для параболических уравнений второго порядка в случаях, когда неизвестен один из коэффициентов при старших производных.
Методы исследования. Разрешимость обратных задач с дополнительным переопределением решения на временных слоях устанавливается с помощью сведения их к нелокальным краевым задачам для нелинейных "нагруженных" уравнений составного типа. Разрешимость обратных задач с интегральным переопределением устанавливается с помощью сведения их к локальным краевым задачам для нелинейных "нагруженных" уравнений параболического типа.
При решении краевых задач для "нагруженных" уравнений используются методы срезывающих функций и продолжения по параметру, а также принцип максимума для параболических уравнений.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные ре. зультаты:
1. Исследована разрешимость нелинейных обратных задач с финальным или интегральным переопределением для параболических уравнений с неизвестным коэффициентом при одной из старших производных в случаях, когда соответствующая прямая задача является первой или второй начально-краевой задачей для параболического уравнения. Доказаны теоремы существования и единственности.
2. Исследована разрешимость нелинейных обратных задач с дополнительным переопределения решения на временных слоях для параболических уравнений с двумя неизвестными коэффициентами в случае, когда соответствующая прямая задача является первой начально-краевой задачей для параболического уравнения. Доказаны теоремы существования.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты дополняют многочисленные исследования по нелинейным обратным задачам, указывают новые подходы в их решении и могут найти применение в дальнейшем изучении обратных задач для параболических уравнений второго и более высоких порядков.
Значение работы также определяется прикладной значимостью исследуемых задач для решения различных проблем современного естествознания.
Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались:
— на семинаре "Неклассические уравнения математической физики" под руководством д.ф.-м.н., профессора А. И. Кожанова (г. Новосибирск, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2002-2005 гг.);
— на семинаре "Избранные вопросы математического анализа" под руководством д.ф.-м.н., профессора Г. В. Демиденко (г. Новосибирск, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2002-2005 гг.);
— на семинаре "Численные методы" под руководством д.ф.-м.н., профессора А. Ф. Воеводина (г. Новосибирск, Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 2004-2005 гг.);
— на Дальневосточной математической школе-семинаре им. Е. В. Золо-това (г. Владивосток, 2003 г.);
— на IV Международной конференции по математическому моделированию (г. Якутск, 2004 г.);
— на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством д.ф.-м.н., профессора А. В. Доманского (г. Южно-Сахалинск,
СахГУ, 2002-2005 гг.);
— на научно-методическом совете ЮСИЭПиИ (г. Южно-Сахалинск, 2005 г.);
— на Международном семинаре по неклассическим уравнениям математической физики, посвященном 60-летию со дня рождения профессора В. Н. Врагова (г. Новосибирск, 2005 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [34-39].
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка литературы. Каждая глава разбита на два параграфа. Список литературы содержит 76 наименований. Объем диссертации составляет 136 страниц.
Содержание работы
В главе 1 исследуется разрешимость нелинейных обратных задач для уравнения параболического типа
q(x)a(x, t)ut - ихх + с(х, t)u = f(x, t), (0.1)
рассматриваемого в прямоугольнике
D = {(х, t): 0 < х < 1, 0 < t < Г}.
Коэффициенты а(х, t) и с(х, t) положительны в D и обладают достаточной гладкостью: в §1 a(x,t),c(x,t) G C3(D), в §2 a(x,t),c(x,t) G Cl(D).
В § 1 изучается
Обратная задача. Найти функции u(x,t) и q(x), связанные в D уравнением (0.1), при выполнении граничных условий
«(0, *) = й)М» «(1,0 = A*i(*)» 0 < t < Т, (0.2)
и(х, 0) = щ(х), 0 < х < 1, (0.3)
0<ж<1. (0.4)
Условие (0.4) — условие финального переопределения, необходимое для нахождения вместе с решением и неизвестного коэффициента q(x).
Решение задачи ищется в виде
и(х, t) = v(x, t) + vo(x, t),
где функция vo(x,t) удовлетворяет в области D уравнению
а(х, 0)v0t - vOxx + с(х, 0)v0 = f(x, t)
и граничным условиям (0.2), (0.3).
Относительно функций f(x,t), ^(t), fJ>i(t), щ(х) делаются предположен ния, позволяющие по принципу максимума для параболических уравнений получить почти всюду в D оценку
VQtt(x, t)
0 <
и соответствующие оценки для vot(x,t) и г>о(ж,?).
Далее коэффициент q(x) выражается из уравнения (0.1) с помощью условий (0.3) и (0.4):
ср(х)
и
h(x)
Обозначим
Sv(x) =
где сг(^) = сг(?; р) при р = a max г^(ж, Т), 0 < а; < 1, а
IPIJ срезывающих функций
; р) — семейство
= <
?, если р, если -р, если
^ р,
р, -р.
В уравнении (0.1) заменяется коэффициент q{x) на ^(ж) и предварительно решается нелокальная краевая задача — относительно неизвестной функции v(x,t), которая в D удовлетворяет нагруженному уравнению составного типа
(Sv(x)a(x, t)ut - ихх + с(х, t)u)'t = (f(x,t))'t (0.5)
при выполнении граничных условий (0.2) и (0.4), а также нелокального условия
vt(x,0) = В теореме 1.1.1 указываются условия разрешимости задачи (0.5), (0.2), (0.4), (0.6), в частности, в D должно выполняться неравенство
c(x,t) + Sv(x)at(x,t) ^ со > 0.
Для решения задачи (0.5), (0.2), (0.4), (0.6) по принципу максимума получена оценка И^Ц^д) < N. Обозначим 7о = тах|7(ж)|.
[ОД]
Основными результатами § 1 главы 1 являются теоремы существования и единственности решения обратной задачи (0.1)—(0.4).
Теорема 1.1.2. Пусть выполняются все условия теоремы 1.1.1, а также условия
Т
— nrnx\ct(x,t)\ ^ 7о < 1,
О) D
N =--------max \^vQt{x,т) ~ И»
1-7о [0Д]
max \<р\ ^ [а — 7о(1 + &)]тах (йоТ + (р{х))-
[0lj [0,lJ
Тогда обратная задача (0.1)—(0.4) имеет решение {u(x,t),q(x)} такое, 4mou(x,t),ut(x,t) eW2A(D)f\Loo{D), q(x) 6^(0,1).
Теорема 1.1.3. Пусть коэффициент уравнения (0.1) a(x,t) зависит только от переменной t: a(x, t) = a(t). Предположим такэ/се, что в области D справедливы неравенства:
at > 0, аи < 0, ct^ 0, си ^ 0, сш > 0 и при х G [0,1] справедливы неравенства:
1 - 272(я) > 27о > 0, с(х, Т) - с(х, 2 2
Если выполнено неравенство
то существует единственное решение и{х, t) обратной задачи (0.1)—(0.4), удовлетворяющее неравенству 0 < 6* ^ щ(х,Т) ^ 5** и такое, что функции u{x,t),ut(x,t) e W21>2(D) nL^D).
В теореме 1.1.3 постоянные ао, ho, hi являются гранями функций a(x,t) и h(x) в D:
0 < ао < a(x,t), 0 < ho < h(x) < hi,
8
положительная постоянная К зависит только от входных данных задачи, чисел ко, 5*, 5** и явно выписана.
В § 2 главы 1 изучается
Обратная задача. Найти функции u(x,t) и q(x), связанные в D уравнением (0.1), при выполнении граничных условий (0.2), (0.3) и
т
a(t)u(x,t)dt = ui(x), 0<ж<1. (0.7)
о
Условие (0.7) — условие интегрального переопределения. Решение задачи (0.1)—(0.3), (0.7) ищется в виде
и(х, t) = v(x, t) + vq(x, t),
где функция vo(x,t) удовлетворяет в области D уравнению
- vOxx + cv0 = f(x, t)
и граничным условиям (0.2), (0.3). Числа а и cf положительны.
Относительно функций f(x,i), ?o(i), ^i(t), щ(х) делаются предположения, позволяющие по принципу максимума для параболических уравнений получить почти всюду в D оценку
0 < So ^ vot(x,t) ^ moo,
и соответствующую оценку для vq(x, t).
Умножим уравнение (0.1) на a{t), проинтегрируем получившееся равенство по t в пределах от 0 до Т и используем условие (0.7). Тогда получим
т к\(х) — J a(t)c(x, t)v(x, t) dt
=
a(t)a(x, t)vt(x, t) dt о
Функции к\{х) и ко{х) зависят от входных данных задачи (0.1)—(0.3), (0.7) и функции vo(x,i), явно выписываются и оцениваются:
0 < к{ ^ кг(х) < к{*, 0 < &5 < ко(х) < AJ*. Определим срезывающие функции:
= °"К; р) при р - ?K, ° < ? < !;
o-i(0 = 0-^; р) при р = 7^, 0 < 7 < 1-
9
Обозначим для функции р = р(х, t), (х, t) ? D,
т
= (Jo( ot(t)a{x, t)pt(x, t)dt\,
о т
= стА- I a(t)c(x,t)p(x,t)dt\, о У
В уравнении (0.1) заменяется коэффициент q{x) на Qv(x) и предварительно решается краевая задача — относительно неизвестной функции v(x,t), которая в D удовлетворяет нагруженному уравнению параболического типа
Qv(x)a(x, t)ut — ихх + с(х, t)u = f(x, t) (0.8)
при выполнении граничных условий (0.2) и (0.3).
В теореме 1.2.1 указываются условия разрешимости задачи (0.8), (0.2), (0.3).
Основными результатами § 2 главы 1 являются теоремы существования и единственности решения обратной задачи (0.1)—(0.3), (0.7).
Теорема 1.2.2.Предположим, что выполнены условия теоремы 1.2.1 и условия согласования
т т
= I a{t)fiQ(t) dt, щ(1) = f a(t)m(t) dt, о о
а производная Ct(x,t) ^ 0, если (x,t) G D. Пусть также справедливы неравенства:
Т
К*(а(Т)а(х,Т)+ [\[a(t)a(x,t)]t\dt
о
о т
]k\
[
ot(t)c{x,t)dt^]-k\.
о
Тогда существует решение {и{х, t),q(x)} обратной задачи (0.1)—(0.3), (0.7) такое, что u{x,t) G Wl'l(D) П L^D), q{x) G L^O, 1).
В теореме 1.2.2 положительная постоянная К зависит от входных данных рассматриваемой задачи, чисел oo, m, &q, к™, к{, к\* и явно выписывается.
10
Единственность решения задачи (0.1)—(0.3), (0.7) рассматривается среди функций, удовлетворяющих неравенствам
т 0 < Щ ^ I a{x,t)a{t)ut(x,t)dt,
0<К*^ qu(x) < К**. (0.9)
Во вспомогательной лемме 1.2.1 требуется: зависимость коэффициента a(x,t) только от переменной t и справедливость в D неравенств at < 0, (ac)t < 0.
Теорема 1.2.3. Пусть выполняются условия леммы 1.2.1. Предположим также, что в области D справедливо неравенство (aa)t ^ 0. Если выполнено неравенство
~ ]{ca + K%aa)t\fdt
^1Т^--------< 1,
то существует единственное решение u(x,t) E W2' (D) П L^D) обратной задачи (0.1)-(0.3), (0.7), удовлетворяющее неравенствам (0.9) и такое, что qu{x) Е Axj(0, 1).
В теореме 1.2.3 положительная постоянная К зависит от входных данных рассматриваемой задачи, чисел К* и К** и явно выписывается.
В главе 2 исследуется разрешимость нелинейных обратных задач для уравнения параболического типа
а(х, t)ut — q(x)uxx + c(x, t)u = f(x, t), (0.10)
рассматриваемого в прямоугольнике D. Коэффициенты а(х, t) и с(х, t) положительны в D и обладают достаточной гладкостью: в § 1 а(х, t), c(x, t) 6 C3(D), в §2 a{x,t),c{x,t) G Cl{D).
В § 1 изучается
Обратная задача. Найти функции u(x,t) и q(x), связанные в D уравнением (0.10), при выполнении граничных условий (0.3), (0.4) и
«х(0,0 = а*о(*), «х(1,0 = /ii(*), 0Условие (0.4) — условие финального переопределения. Решение задачи (0.10), (0.3), (0.4), (0.11) ищется в виде
и(х, t) = v(x, t) + vq(x, t),
11
где функция vo(x,t) удовлетворяет в области D уравнению
а(х, 0)v0t - qvOxx + с(х, 0)v0 = f(x, t)
и граничным условиям (0.11), (0.3). Число q> 0.
Во вспомогательной лемме 2.1.1 доказан аналог принципа максимума во второй краевой задаче для параболического уравнения в одномерном (по х) случае.
Относительно функций f(x,t), vo(t), H\(t), щ(х) делаются предположения, позволяющие с помощью аналога принципа максимума получить почти всюду в D оценку \vott(x,t)\ < do и соответствующие оценки для vot(x,t) и vo(x,t).
Далее коэффициент q{x) выражается из уравнения (0.10) с помощью условий (0.3) и (0.4):
, . кт{х) + a(x,T)vt(x,T)
и 9{х) =----------
Функции ко(х) и кт(х) зависят от входных данных задачи (0.10), (0.3), (0.4), (0.11) и функции vo(x,t), явно выписываются: например, ко(х) = qu'^x), и получена оценка: 0 < Щ ^ &г(#) ^ к™. Определим срезывающую функцию
при р = сек?, 0 < а < 1, и обозначим для функции р = р(#, t), (x,t) G D,
a(a(x,T)pt(x,T)) + кт(х)
В уравнении (0.10) заменяется коэффициент q{x) на Qv(x) и предварительно решается нелокальная краевая задача — относительно неизвестной функции v(x,t), которая в D удовлетворяет нагруженному уравнению составного типа
(а(х, t)ut - Qv(x)uxx + с(х, t)u)'t - (/(ж, t))'t (0.12)
при выполнении граничных условий (0.11) и (0.4), а также нелокального условия
vt(x,0) = 7(x)vt(x,T) + ?(x), (0.13)
где
п(т rP\ii4(тЛ 1 ^ii4(nr\
-for (я) - к0(х)
а{х, 0)и'1(х)' ^v ' a(x,0)
12
В теореме 2.1.1 указываются условия разрешимости задачи (0.12), (0.11), (0.4), (0.13). Для решения этой задачи указаны условия, выполнение которых влечет по принципу максимума оценку
<
где 7о = тах|7(ж)|.
Основными результатами § 1 главы 2 являются теоремы существования и единственности решения обратной задачи (0.10), (0.3), (0.4), (0.11).
Теорема 2.1.2. Пусть выполняются все условия теоремы 2.1.1 и справедливы неравенства:
с(х, t) + at(x, t) ^ со > 0, если {х, t) G D, u'q(x) Ф 0, если х Е [0,1].
Пусть также выполняются предположение (0.14) и неравенства:
Т
— max\ct(x,t)\ < 7о < 1,
Со D
То + Я тах /< •;
mm а(х,Т) [од] а(х, 0) max а(гс,Т)
Тогда обратная задача (0.10), (0.3), (0.4), (0.11) имеет решение {и(х, t),q(x)} такое, что u(x,t),Ut(x,t) G И^'1^) П L^D), q{x) € ^(0,1).
Единственность решения задачи (0.10), (0.3), (0.4), (0.11) рассматривается среди функций, удовлетворяющих неравенству 0 < q* ^ gu(#) ^ q**.
Условия вспомогательной леммы 2.1.3 достаточны для справедливости априорной оценки
Т 1
//¦¦
ulxxt dxdt < Q*,
о о
где постоянная Q* зависит от входных данных рассматриваемой задачи, чисел q* и q** и явно выписывается. Среди условий леммы 2.1.3 выделим то, что коэффициенты уравнения (0.10) a(x,t) и c(x,t) зависят только от переменной t.
Теорема 2.1.3. Пусть выполняются все условия леммы 2.1.3, а функция щ(х) такова, что 0 < и* ^ ^"(а:)! при х G [0,1].
Предполоэ/сим также, что при t ? [0, Т] справедливы неравенства:
3q + att ^ 0, сш ^ 0,
13 а при х ? [0,1] справедливы неравенства:
1 - 2j2(x) ^ 27о > О, с(Т) + at(T) - 72(*)[с(0) + at(0)} - 2q
Если дополнительно выполнено неравенство
1 а\Т)
2 (u*)2q*mma(t) [о,Т] v J
Q* < то,
mo существует единственное решение и(х, t) обратной задачи (0.10), (0.3), (0.4), (0.11), удовлетворяющее неравенству 0 < q* ^ qu ^ g** u такое, что функции u(x,t) и щ(х,{) принадлежат пространству W^iD) П L^D).
В § 2 главы 2 изучается
Обратная задача. Найти функции u(x,t) и д(#), связанные в D уравнением (0.10), при выполнении граничных условий (0.2), (0.3), (0.7).
Как и ранее в главе 1, условие (0.7) — условие интегрального переопределения.
Решение задачи (0.10), (0.2), (0.3), (0.7) ищется в виде
и(х, t) = v(x, t) + щ{х, t),
где функция vo(x,t) удовлетворяет в области D уравнению
+ cvo = f(x, t)
и граничным условиям (0.2), (0.3). Числа a, q u с положительны.
Относительно функций f(x,t), ?o(t), ?i(t), щ(х) делаются предположения, позволяющие по принципу максимума для параболических уравнений получить почти всюду в D оценку |г>ог(#,?)| ^ 8о и соответствующую оценку для vo(x,t).
Умножим уравнение (0.10) на о;(?), проинтегрируем получившееся равенство по t в пределах от 0 до Т и используем условие (0.7). Тогда получим
т
k(x) + J a(i)[a(x, i)vt + c(x, t)v] dt
q{x) =-----------------
Функция к(х) зависит от входных данных задачи (0.10), (0.3), (0.4), (0.7) и функции vo(x,t), явно выписывается и оценивается:
0 < к* ^ \к(х)\ ^ к*\
14
Определим срезывающую функцию
*(0 = *К;р) при P = ?k\ о
и обозначим для функции р = р(х, t), (х, i) G D,
( Т \
к(х) + а ( / a(t) [а(х, t)pt + с(х, t)p] dt J
В уравнении (0.10) заменяется коэффициент q{x) на Qv{x) и предварительно решается краевая задача — относительно неизвестной функции v{x,t), которая в D удовлетворяет нагруженному уравнению параболического типа
а(х, t)ut - Qv(x)uxx + с(х, t)u = f(x, t) (0.12)
при выполнении граничных условий (0.2) и (0.3).
В теореме 2.2.1 указываются условия разрешимости задачи (0.12), (0.2), (0.3).
Основными результатами § 2 главы 2 являются теоремы существования и единственности решения обратной задачи (0.10), (0.2), (0.3), (0.7).
Теорема 2.2.2. Предполоэюим, что выполнены условия теоремы 2.2.1 и условия согласования
т т
ui(O) = I a{t)vo(t) dt, tii(l) = f a(t)in(t) dt, о о
а производная Ct(x,t) ^ 0, если (x,t) G D. Пусть для некоторого числа 7 G (0,1) справедливо равенство
Т т
max / \a(t)c(x,t)\dt +So max / \a(t)a(x,t)\dt
[0,1] J ' W Л [0,1] j ' W V
о о
T
= 7 mm [oi]
Ja(t)f(x,t)
Наконец, предполоэюим, что выполняется неравенство
т Х*тах (\а(х,Т)а(Т)\ + \ \a(t)c(x,t) - (a(x,t)a{t))t\dt
IVilJ \ J /
~ 7) min
T
j a(t)f(x,t) о
dt
15
Тогда существует решение {u(x,t),q(x)} обратной задачи (0.10), (0.2), (0.3), (0.7) такое, что u(x,t) G W}\D) П Loo(D), q(x) G 1^(0,1).
В теореме 2.2.2 положительная постоянная К* зависит от входных данных рассматриваемой задачи, чисел 5о, а, с, к*, к**, ?, и*, и** (0 < и* < lwi(a;)l 5: и**) и явно выписывается.
В примере 2.2.1 приведена задача типа (0.10), (0.2), (0.3), (0.7), для входных данных которой все условия теоремы 2.2.2 выполняются.
Единственность решения задачи (0.10), (0.2), (0.3), (0.7) рассматривается среди функций, удовлетворяющих неравенству 0 < q* ^ qu{%) ^ Я**-
Во вспомогательной лемме 2.2.1 требуется выполнение в области D неравенств: c — \at> 0, ct < 0. Тогда справедлива априорная оценка
Т 1
u2xxdxdt< Q\ о о
где постоянная Q* зависит от входных данных рассматриваемой задачи, чисел q* и q** и явно выписывается.
Теорема 2.2.3. Пусть выполняются условия леммы 2.2.1, а(Т) = 0, а такоюе справедливо неравенство
Т *™ f[ac-(aa)t]2dt
4(q*u*y Ъ c-\at
Тогда существует единственное решение {u(x,t),q(x)} обратной задачи (0.10), (0.2), (0.3), (0.7) такое, что u(x,t) G W%'l{D) П L^D), q(x) G
,**
В главе 3 исследуется разрешимость нелинейных обратных задач для уравнений параболического типа
а(х, t)ut — q(x)uxx + с(х, t)u — qo(x)fo(x, t) + f(x, t) (0.13)
и
q(x)a(x, t)ut - uxx + qo(x)c(x, t)u = f(x, t), (0.14)
рассматриваемых в прямоугольнике D. Коэффициенты a(x,t) и c(x,t) положительны в D и принадлежат классу С1 (Л).
В § 1 изучается
Обратная задача. Найти функции u(x,t), q{x) и qo(x), связанные в прямоугольнике D уравнением (0.13) при выполнении граничных условий (0.2), (0.3) и
u(x,t{) = щ(х), и(х,Т) = и2{х), 0 < х < 1. (0.15)
16
Число t\ e (0, Т). Условия (0.15) — условия переопределения. Решение задачи (0.13), (0.2), (0.3), (0.15) ищется в виде
и(х, t) = v(x, t) + vq(x, t),
где функция vo(x,t) удовлетворяет в области D уравнению (q > 0, qo — числа)
а(х, 0)v0t - qvoxx + c(x, 0)v0 = qofo(x, t) + f(x, t)
и граничным условиям (0.2), (0.3).
Относительно функций fo(x, t), f(x, t), ?o(i), ?\{t), щ(х) делаются предположения, позволяющие по принципу максимума для параболических уравнений получить почти всюду в D оценку — So < vott(x,t) ^ So и соответствующие оценки для VQt(x,t) и vo{x,t):
\vot(x,t)\ < iVi, \vo(x,t)\ ^No.
Для произвольных функций fi(x,t) и f2(x,t) обозначим G(fi, /2) = fi(x,T)f2(x, h) -
Определим коэффициенты q(x) и qo(x) из уравнения (0.13) с помощью условий (0.15), полагая сначала t = t\, затем t = T:
р(х) - ^iM да(х) -
q[X) - А(х) ' qo[ ] ~
А(х) ' qo[ ] ~ А(х) '
где
А (х) = G(fo,uxx),
Aq(x) = G{fo, avt) + G{f0, avot + cu- /), Aqo(x) = G(avt, uxx) + G(avQt + cu — f, uxx).
Выписаны оценки
0 < к* ^ \G(f0, avot + си - /)| ^ к**, \G(avOt + си- /,ихх)\ ^ к.
При t = 0 из уравнения (0.13) с помощью условия (0.3) получается нелокальное условие для производных
vt(x, 0) = 7i(a?Ms, *i) + I2{x)vt(x, T) + ?(x), (0.16)
где функции 7i(ж)> 72(#)> ?(x) зависят от входных данных задачи (0.13), (0.2), (0.3), (0.15) и функции vo(x,t) (только ?(x)) и явно выписываются.
17
Определим срезывающие функции:
сг(?) = <т(?; р) при р = ак*, 0 < а < 1;
0о(О = о"К; Р) при р = К >0. Обозначим для функции р = p(x,t), (x,t) G D,
cu -
uxx)) + Gjavot + cu - /,
В уравнении (0.13) коэффициенты q(x) и ^о(^) заменяются соответственно на Qv(x) и Qov(x) и предварительно решается нелокальная краевая задача — относительно неизвестной функции v(x,t), которая в D удовлетворяет нагруженному уравнению составного типа
(а(х, t)ut - Qv(x)uxx + с(х, t)u)[ = (QOv(x)fo(x, t) + f(x, t))[ (0.17) при выполнении граничных условий (0.2), (0.16) и
(0.15')
В теореме 3.1.1 указываются условия разрешимости задачи (0.17), (0.2), (0.16), (O.157). Для решения этой задачи далее указаны условия, выполнение которых влечет по принципу максимума оценку
< 1—^11^11^(0,1), (0.18)
где 7о = max |-yi (я)| + max
[O,1J |O,1J
Основным результатом § 1 главы 3 является теорема существования решения обратной задачи (0.13), (0.2), (0.3), (0.15).
Теорема 3.1.2. Пусть выполняются все условия теоремы 3.1.1, неравенство
c(x,t) + at(x,t) ^ Co > 0, если (x,t) G D.
Пусть тако/се выполняются: неравенство
Т
Со D
оценка (0.18) и неравенства
J—^ngxa(maxK| +
CQU

Получить работу