Введение
Объект исследования — решение обратных кинематических задач сейсмики для случаев известных и неизвестных источников сейсмических волн, на предмет определения скоростного строения среды.
Актуальность темы
Задачи определения скоростного строения среды по кинематическим данным имеют широкую область приложения в науках о Земле: начиная от применения томографических методой в инженерной сейсморазведке до построения глобальных томографических моделей земной коры и мантии по тслесейсмическим данным. Несмотря на бурное развитие этой области, произошедшее за последние несколько десятилетий, вопросы об оценке надежности получаемых решений и об уменьшении объемов вычислений при обращении данных остаются острыми и но сей день. Особенно актуальными эти вопросы являются в задачах локальной сейсмо-томографии, связанной с одновременным определением скоростной структуры и параметров источников сейсмических волн. Неизвестные положения гипоцентров землетрясений ведут к большей неопределенности в скоростных моделях по сравнению с задачами, где источники известны, а обращение больших объемов данных требует применения мощных вычислительных систем (затрат оперативной памяти и процессорного времени). Оценка точности параметров получаемых скоростных моделей традиционно сопряжена с многократной инверсией данных или зачастую с непомерно дорогими процедурами полного обращения возникающей при этом матрицы, поэтому остается слабым местом большинства подходов.
В работе предлагается один из возможных способов инверсии больших объемов данных, основанный на применении регуляризующих итерационных процедур решения больших систем линейных уравнений с несимметричными матрицами. Точность скоростных моделей оценивается с помощью матриц ковариации и разрешающей способности, определяемых попутно с обращением данных, без привлечения дополнительных вычислительных ресурсов.
Цель исследований — разработка нового томографического алгоритма определения скоростного строения среды по кинематическим данным, не зависящего от используемых скоростных моделей, а также повышение достоверности решений путем увеличения детальности за счет обращения больших объемов данных с помощью итерационных алгоритмов решения систем линейных уравнений, и мак-
сималыю полного использования дополнительной априорной информации о стартовой модели среды и входных данных.
Научная задача исследований — определение скоростного строения среды но временам прихода волн для случаев известных и неизвестных источников. Поставленная задача предполагает выполнение следующих этапов:
1. Изучить область определения оператора линейной сейсмической томографии и выяснить возможность его матричного представления.
2. Разработать и программно реализовать универсальный метод определения скоростного строения среды и параметров источников по кинематическим данным, основанный на применении итерационных алгоритмов обращения систем линейных уравнений.
3. Адаптировать итерационную методику оценки точности скоростных моделей LSQRA к разработанному методу сейсмической томографии без трассировки лучей.
4. Произнести обращение реальных данных, зарегистрированных как от известных, так и от неизвестных источников сейсмических волн с последующей оценкой точности полученных решений.
Фактический материал и методы исследования
Определение скоростного строения среды и параметров источников, а также оценка точности полученных решений основывались на теории обратных задач и применении регрессионного анализа. На каждом этане разработки метода производилось тестирование его численной реализации. Точность получаемых решений оценивалась с применением синтетических моделей. Кроме того, для верификации разработанного алгоритма использовались данные физического моделирования, позволившие дать дополнительную оценку качества получаемых решений.
С помощью разработанного метода была проведена обработка
- данных, полученых в результате физического моделирования;
- синтетических данных, позволивших оценить разрешающую способность данных, зарегистрированных па редкой сети;
- времен вступлений Р- и S-волн, зарегистрированных временной сетью цифровых станций Актагаского полигона от афтершоков Чуйского землетрясения;
Основной метод исследования — математическое моделирование. Исследование включало н себя: построение разностных схем решения систем дифференциальных уравнений, решение плохо обусловленных систем линейных уравнений с
разреженными несимметричными матрицами с помощью LSQR-алгоритма, определение параметров гипоцентров землетрясений методом Гейгера, применение пакета программ VELEST для определения одномерной оптимальной скоростной модели, нелинейная минимизация методом наименьших квадратов с изменяющимися весами, решение прямой кинематической задачи конечно-разностным способом, вычисление сингулярного разложения матриц и расчет матриц ковариацин, проектирование баз данных сейсмологической информации и разработку пользовательского интерфейса к ним.
Защищаемые научные результаты
1. Доказана ограниченность и компактность линейного томографического оператора в двухмерном случае, в предположении о регулярности поля лучей.
2. Разработан и программно реализован способ определения скоростного строения среды и параметров источников, основанный на решениях как систем линейных уравнения итерационным методом, так и дифференциальных уравнений для прямого и сопряженного томографических оператором конечными разностями, позволяющий производить инверсию кинематических данных без применения громоздких процедур полного обращения матриц, не требующий трассировки лучей.
3. Адаптирована к разработанному алгоритму и программно реализована итерационная методика оценки точности скоростных моделей LSQRA (Zhang, McMcchan, 1995), основанная на вычислении матриц ковариации и разрешающей способности.
4. Алгоритм опробован на данных от афтершоков Чуйского землетрясения: выделены аномалии скорости продольных (до 0.15-0.25 км/с) и поперечных (до 0.1 км/с) волн, со средним горизонтальным размером около 30 км при разрешающей способности обусловленной неравномерной плотностью расположения станций не более 0.16.
Новизна работы. Личный вклад
1. Предложен оригинальный алгоритм обращения времен вступления волн и получению оценок точности рассчитываемых скоростных моделей:
- с использованием интегрального представления линейного томографического оператора в непрерывной постановке, показана его ограниченность и компактность, и как следствие, возможность его конечномерной аппроксимации;
- в результате применения конечно-разностного метода решения уравнения эйконала, удалось избежать трассировки лучей при решении обратной кинематической задачи в линеаризованном виде и тем самым обеспечить надежность работы алгоритма в сложных трехмерных средах;
- используя тот факт, что на каждой итерации по методу LSQR достаточно знания действия прямого и сопряженного операторов на конкретный вектор, развит подход, не требующий знания матричного представления томографического оператора;
- с использованием представления граничных узлов сетки в качестве вторичных источников сейсмических волн для конечно-разностного метода решения уравнения эйконала разработан блочный способ решения прямой кинематической задачи;
- на основе метода разделения задачи на дискретную и непрерывную части метод сейсмической томографии без трассировки лучей адаптирован к задаче определения скоростного строения с неизвестными источниками;
- на основе решения на каждом шаге линеаризованной обратной кинематической задачи и введения процедуры взвешивания данных по определенному критерию реализован нелинейный итерационный метод наименьших квадратов с изменяющимися весами;
- с применением гауссовского сглаживания разработатапы регуляризую-щис процедуры, максимально использующие априорную информацию;
- с использованием модификации метода LSQR реализован алгоритм расчета матриц ковариации и разрешающей способности.
2. Разработанный подход реализован в виде комплекса прикладных программ и библиотек.
3. С применением разработанного программного обеспечения получены трехмерные скоростные модели Р- и S-волн эпицентралыюй зоны Чуйского землетрясения, а также впервые проведена оценка разрешающей способности данных, зарегистрированных на редкой сети.
Теоретическая и практическая значимость результатов
Предложенный томографический алгоритм является инструментом, позволяющим определять глубинное строение но кинематическим данным в сложных трехмерных средах применительно к широкому диапазону задач геофизики: от построения инженерных сейсмических разрезов до получения трехмерных скоростных моделей по сейсмологическим данным. Применение итерационного метода LSQR
позволяет производить обработку больших объемов данных без значительных затрат оперативной памяти и ресурсов процессора. Адаптированная итерационная методика вычисления матриц ковариацин и разрешающей способности делает возможной оценку точности трехмерных скоростных моделей для задач сейсмической томографии с большим количеством наблюдений и неизвестных параметров.
Разработанное программное обеспечение представляет из себя набор классов объектно-ориентированного языка программирования C++, реализующих основные понятия томографического подхода: распределение скорости в среде, поля времен, годографы, системы наблюдений, процедуры сглаживания модели и взвешивания данных, процедуры инверсии, и может быть собрано практически на любой платформе как в виде динамических библиотек, так и в виде исполняемых программ, предоставляя конечному пользователю широкий набор инструментов.
Найденные трехмерные скоростные модели и параметры очагов землетрясений являются первым шагом к построению детальной скоростной модели очаговой зоны Чуйского землетрясения, которая могла бы пролить свет на развитие сейсмичности в афтершоковой зоне, а проведенный анализ разрешающей способности данных, зарегистрированных на редкой сети временных станций Акташского полигона АСФ ГС СО РАН, определяет доверительные интервалы для получаемых скоростных моделей и параметров гипоцентров землетрясений.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались на различных российских и международных конференциях, наиболее значимыми из которых являются: Генеральная ассамблея IUGG (Саппоро, Япония, 2003 г.), Международная конференция "Проблемы сейсмологии 111-ого тысячелетня" (Новосибирск, 2003 г.), Международная конференция "Математические методы в геофизике" (Новосибирск, 2003 г.), Международная научная конференция, посвященная 90-летию академика H.H. Пузырена (Новосибирск, 2004 г.), а также на геофизическом семинаре ИГФ ОИГГМ СО РАН, 29 сентября 2004 г.
Объем и структура работы
Данная диссертационная работа состоит из трех глав, заключения и приложения.
В первой главе проводится анализ работ, посвященных задачам одновременного определения скоростной структуры и параметров гипоцентров землетрясений — задачам локальной сейсмической томографии. Материал излагается в виде последовательности основных этапов, выполняемых при решении задачи, с подведением кратких итогов в конце.
Глава 2 посвящена задаче определения скоростного строения среды по кинематическим данным для случаев известных и неизвестных источников сейсмических волн. В первой части рассматривается задача сейсмической томографии в линеаризованном виде. Описываются свойства линейного томографического оператора
для случая двух пространственных переменных; показывается возможность его конечномерной аппроксимации. Однако основное внимание в данной главе уделено изложению конечно-разностного метода сейсмической томографии без трассировки лучей, основанного па применении итерационного метода LSQR: описывается способ вычисления прямого и сопряженного томографических операторов, а затем способ получения их конечномерной аппроксимации. Приводится адаптированный к разработанному методу способ оценки точности скоростных моделей, основанный mi итерационном методе расчета матриц разрешающей способности и конари-ации [81]. Во второй части главы изложенный подход к определению скоростного строения среды обобщается на случай неизвестных источников: рассматривается задача одновременного определения скоростного строения среды и координат гипоцентров землетрясений. Следуя [63], эта задача называется смешанной, и решается путем разделения системы линейных уравнений на дискретную и непрерывную части.
Основными целями третьей главы являются: тестирование разработанного комплекса программ на данных физического моделирования; опробывание метода па синтетических моделях, реальных данных. Первая часть главы посвящена обращению данных физического моделирования [18], позволивших дать дополни-телную оценку качества работы метода. Во второй части главы основное внимание уделено обращению времен пробега от афтершоков Чуйского землетрясения, зарегистрированных временной сетью станций Алтайского полигона АСФ ГС СО РАН. Проведенные численные эксперименты с использванием синтетических моделей, позволили определить границы применимости алгоритма для обращения данных, зарегистрированных на сети полигона [14]. В конце главы приводятся трехмерные скоростные модели Р- и S-волн и параметры гипоцентров землетрясений для эпицентральной зоны, а также оценки их точности.
В заключении перечислены основные преимущества, выгодные отличия разработанного подхода при решении задач определения скоростного строения среды по кинематическим данным по сравнению с известными методиками. Указаны рекомендации по практическому применению и приведены основные направления развития метода.
В приложение вынесены: краткое описание сингулярного разложения матриц; последовательность шагов метода LSQR; описание итерационного метода Гейгера.
Автор выражает глубокую благодарность и особую признательность своим учителям: доктору геолого-мипералогических паук B.C. Селезневу и кандидату физико-математических наук В.А. Чеверде. Автор благодарен доктору физико-математических наук, академику РАН СВ. Гольдину за постоянное внимание, цепные сонеты и замечания, а также кандидату геолого-минералогических паук В.М. Соловьеву, доктору технических наук А.Ф. Еманову и доктору геолого-миисралогических наук В.Д. Суворову за многочисленные конструктивные замс-
9
чания и помощь в работе над диссертацией.
Автор выражает признательность А.Г. Филиной и М.С. Резепиной за моральную поддержку, а также В.И. Самойловой за неоценимую помощь в работе над рукописью.
10
Глава 1
Локальная сейсмическая томография
В первой главе проводится анализ работ, посвященных задачам одновременного определения скоростной структуры и параметров гипоцентров землетрясений -задачам локальной сейсмической томографии. Материал излагается в виде последовательности основных этапов, выполняемых при решении задачи, с подведением кратких итогов в конце.
1.1 Обзор исследований в области обратных кинематических задач сейсмики
Первые работы об определении глубинного строения по данным пробега волн от землетрясений были связаны с использованием аналитических методов. В классических работах Герглотца, Вихерта и Шлихтера [49], [78] и [G8] с помощью обратного преобразования Абеля определялось вертикально-неоднородное скоростное строение Земли. Однако в реальных задачах определения скоростной структуры используемые системы наблюдения и сложные скоростные модели Земли зачастую не позволяют использовать аналитические решения, в отличие от медицинской томографии, где геометрия источник-приемник имеет много степеней симметрии и вмещающие скоростные модели, как правило, однородны, что делает возможным применение аналитических методов, таких как преобразование Радона [34], [25]. Задачи сейсмической томографии характеризуются неединственностью, связанной с неполнотой данных. Теоретические вопросы, связанные с единственностью и устойчивостью решения задач в континуальной постановке, когда источники и приемники расположены на противоположных сторонах некоторого прямоугольника, заполненного средой с неизвестной скоростью распространения подробно исследованы в серии публикаций СВ. Гольдина [8], [9], [10].
Начиная с 1967 года, Бейкус и Гильберт опубликовали серию статей, посвя-
11
щепную решению линейных обратных задач. Они показали, что обратные задачи геофизики неоднозначны, и предложили практический метод их решения [37], а также подробно исследовали проблему компромисса между разрешающей способностью и надежностью оценки параметров модели [38], [39]. Первые результаты полученные с помощью сейсмической томографии в ее современном виде, были опубликованы Акн н Ли в 1976 году [36]. Они построили скоростные модели по данным, зарегистрированным от близких землетрясений. А затем Дзевонски, который построил глобальные модели мантии Земли по телесейсмическим данным [44]. Численное решение томографических задач связано с обращением больших систем линейных уравнений, поэтому результаты в этой области связаны с появлением высокопроизводительной вычислительной техники.
В отечественной научной литературе термин "сейсмическая томография" появился сравнительно недавно, хотя значительная часть результатов в области обратных кинематических задач получена в 60 - 70-х гг. советскими учеными. Основополагающими отечественными работами можно назвать статьи A.C. Алексеева, М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова и др. [2], [3], посвященные решению обратной кинсманической задачи в линеаризованной постановке. Ограниченность информации о годографе и связанная с этим неоднозначность решения привели к тому, что на смену методам Герглотца-Вихерта пришел метод перебора [35], [23], [5], [6]. Как альтернативу методу перебора, Т.Б. Яновская впервые предложила использовать метод Монте-Карло для решения многомерных обратных задач сейсмики [79].
Говоря о методах интерпретации кинематических данных при построении скоростных моделей литосферы, нельзя не упомянуть методы разработанные H.H. Пузырсвым, СВ. Крыловым и их сотрудниками [28], [24], основанные на использовании рефрагированных волн для последовательного уточнения скоростного строения среды путем последовательного увеличения базы зондирования.
1.2 Определение глубинного строения по данным от близких землетрясений
Решая задачу об определении глубинного строения земной коры по данным близких землетрясений мы попадаем в заколдованный круг: с одной стороны, для того чтобы определить скоростное строение некоторой области, нам необходимы достаточно точные координаты гипоцентров землетрясений; с другой стороны, для точного определения гипоцентров землетрясений, нам необходимо хорошо знать скоростное глубинное строение Земли в данной области. Здравый смысл подсказывает, что нам следует 'Зафиксировать" источники сейсмических волн или скоростную модель. Однако на практике, зафиксировать, например, источники (используя промышленные взрывы для определения скоростной структуры) не удается, в
12
связи с тем, что их слишком мало и к тому же сеть взрывов как правило, не покрывает исследуемую область. При этом у нас может не быть априорной информации о скоростной модели среды.
Тем не менее, времена пробега волн от значительного числа землетрясений содержат достаточно информации как для определения трехмерного скоростного строения Земли, так и для определения параметров гипоцентров. Эта задача является нелинейной, и обычно решается итерационным методом Ньютона с линеаризацией на каждом шаге. Впервые, решение линейной задачи было предложено Павлисом и Буксром в 1980 году, в работе [63], где задачи подобного типа были названы смешанными, т.к. они состоят из двух типов неизвестных параметров:
• параметры гипоцентров - дискретная часть модели;
• распределение скоростей - непрерывная часть модели.
Дискретная часть модели характеризуется конечным числом неизвестных параметров. В нашем случае, у каждого гипоцентра их четыре: (xo,Uoizo, to); это пространственные координаты и время в очаге. Непрерывная часть модели содержит бесконечное число неизвестных параметров, поэтому задача об их нахождении по конечному числу наблюдений недоопределена в принципе. Павлис и Букер впервые показали, что для смешанной линейной обратной задачи, когда число неизвестных дискретных параметров модели р меньше числа наблюдений d, можно подобрать такое преобразование исходной системы линейных уравнений, что по крайней мере d — р полученных уравнений не будут зависеть от дискретных параметров и могут быть использованы для определения скоростной модели среды. Иначе говоря, мы моэ/сем рассматривать задачи об определении гипоцентров и скоростной модели среды независимо друг от друга. Таким образом, существующие подходы к решению смешанной задачи можно классифицировать но методам определения скоростной структуры и координат гипоцентров, а также по способам оценки разрешающей способности и погрешности решений.
Все существующие па данный момент методы определения скоростной структуры но данным от близких землетрясений, имеют несколько обязательных этапов, которые необходимо выполнить для получения решения:
• Отбор и предварительная обработка входных данных
• Построение начальной референтной скоростной модели
• Параметризация модели
• Решение прямой кинематической задачи
• Разделение системы на дискретную и непрерывную части
13
• Обращение систем линейных уравнений
• Оценка разрешающей способности метода и ошибок в решении Рассмотрим каждый из этих этапов более подробно.
1.2.1 Отбор и предварительная обработка входных данных
Для построения достоверной скоростной модели необходимо использовать только качественные данные. Иными словами, из каталога должны выбираться землетрясения, удовлетворяющие следующим условиям:
• Глубина очага землетрясения не должна превышать hmax
• Невязки времен пробега не должны превышать атах
• Число зарегистрированных на одной станции вступлений должно быть больше Nmin
• Эпицентр землетрясения должен находиться в пределах сети станций. Т.е. если соединить эпицентр с каждой станцией сети отрезком, максимальный угол фдар среди всех углов между соседними отрезками не должен превышать фтах (Рис 1.1)
• Ближайшая к эпицентру станция должна быть на расстоянии, не большем чем Атах
• Магиитуда землетрясения должна быть больше Л/тг„
• Ошибка определения горизонтальных координат эпицентра землетрясения не должна превышать аг
• Ошибка определения глубины очага землетрясения не должна превышать ст/,
Заданные в этих условиях величины являются управляющими параметрами, от правильного выбора которых зависит качество решения.
Помимо землетрясений, использование промышленных взрывов, с известными координатами и временами в очагах позволяет откалибровать скоростную модель.
Большинство моделей, расчитапных по временам пробега от близких землетрясений, используют времена, зарегистрированные на плотных сетях сейсмологических станций, со средними удалениями Д = 50 — 100 км. При этом наблюдения ведутся в сейсмоактивных зонах, что позволяет получать значительное число наблюдений (порядка 5000-50000 времен пробега) при относительно небольшом количестве станций (порядка 50). Для получения устойчивого гипоцентрального решения, необходимо чтобы землетрясение находилось в пределах сети станций, т.е. чтобы угол фдар не превышал 180° [58], или даже 135° [62].
14
\ \
H A- -¦>¦
/ \
а) б)
Рис. 1.1: Определение максимальнго угла фдар- Эпицентр расположен внутри сети станций а). Эпицентр расположен за пределами сети б).
1.2.2 Построение начальной референтной скоростной модели
Известно, что в задачах томографии качество решения имеет сильную зависимость от качества выбранного начального приближения. Иными словами, неудачный выбор референтной скоростной модели может привести итерационный градиентный процесс нелинейной минимизации к попаданию в один из локальных минимумов. Особенно остро эта проблема стоит в задачах локальной сейсмото-мографии, где неизвестные скоростные параметры имеют сильную корреляцию с временами в очагах и глубинами гипоцентров.
За неимением другой априорной информации (профили ГСЗ; данные, полученные от промышленных взрывов), простейшим случаем будет выбор одномерной начальной скоростной модели, которая в дальнейшем будет уточнена до трехмерной. Впервые, понятие минимальной одномерной скоростной модели было введено швейцарцем Эди Кисслиигом [52]. Им же был разработай пакет программ VELEST, позволяющий определять одномерную скоростную модель, минимизирующую сумму квадратов невязок времен пробега.
Однако, несмотря на простоту самой идеи, а также простоту ее программной реализации (прямая кинематическая задача для одномерной модели реализуется тривиально), нет никакой гарантии, что дальнейшие уточнения минимальной модели приведут итерационный процесс в глобальный минимум.
1.2.3 Параметризация модели
Следуя за работой Аки и Ли [36], разбиение области на равные блоки с постоянной скоростью является наиболее популярным способом параметризации распределения скорости в среде, что связано с простотой реализации [51], [58], [67]. Недостатком этого способа является ухудшение устойчивости решения при доста-
15
точно детальном разбиении среды в силу неравномерного распределения лучей в среде. Этот недостаток может быть устранен с помощью применения определенного типа регуляризации, например с помощью сглаживания решения, либо, что почти тоже самое, с помощью объединения блоков, пересекаемых малым количеством лучей. Более сложным подходом можно назвать применение неравномерной сетки, с узлами, являющимся точками пересечения трех множеств перпендикулярных плоскостей, сгущающихся в областях с высокой плотностью лучей [75], [45]. Недостатки этого способа, связанные с распространением плотных областей сетки вдоль плоскостей разбиения, в [73] предлагается устранять с помощью гибкого разбиения и введения дополнительной грубой сетки. Обобщая описанные способы параметризации, в работе [53] предлагается использование одновременно трех сеток:
• Сетка для решения прямой задачи
• Сейсмическая сетка, детально описывающая скоростное строение среды с учетом априорной информации
• Инверсная сетка, на которой строится решение (в идеале совпадающая с сейсмической)
Наиболее удачным, хотя и трудно реализуемым, на наш взгляд, является разбиение среды на тетраэдры с линейными градиентами скорости [59]. Такое разбиение позволяет аналитически вычислять геометрию лучей и времена пробега в тетраэдрах. Кроме того, плотность узлов, являющихся вершинами тетраэдров может быть автоматически подобрана и соответствии с плотностью лучей в области [G1], [43].
Использование гладких функций для описания среды позволяет избавиться от искуственно привнесенных разрывов в распределении скорости в случае блочного разбиения среды или градиентов скорости в случае моделей с линейной интерполяцией. Таким образом, применение кубических сплайнов для параметризации модели, предложенное [70] позволяет более адекватно описывать среду с меньшим количеством параметров, сохраняя при этом достоинства неравномерного разбиения.
1.2.4 Решение прямой кинематической задачи
Решение прямой кинематической задачи состоит в определении времен пробега сейсмических волн в среде с заданной функцией распределении скорости. Обращение времен пробега требует, как правило, многократного решения прямой кинематической задачи. Поэтому, при выборе метода решения прямой задачи
16
приходится искать компромисс между точностью вычислений и быстродействием алгоритма.
Традиционно, прямая кинематическая задача решается при помощи методов, использующих трассировку лучей. Наиболее простым в реализации, достаточно быстрым и точным можно назвать метод пристрелки, который был использован в [51]. Гораздо более широкое распространение получил двухточечный метод изгиба лучей [62], [45], [70], [73], впервые описанный в работе [75] и модифицированный в [7G], позволяющий оптимальным образом подбирать геометрию лучен, для фиксированной пары источник-приемник. Однако чувствительность алгоритмов трассировки к небольшим телам с значительными аномалиями скорости требует применения дополнительного сглаживания скоростных моделей, что снижает их эффективность в реальных задачах.
Конечно-разностные методы решения уравнения эйконала, появляющиеся в последнее десятилетие [77], [66], лишены недостатков, присущих методам, основанным на трассировании лучей. Это позволяет использовать их для решения задач сейсмической томографии для сложных трехмерных сред [41], [60], [50]. Недостатком конечно-разностного метода [66] является требование равного шага сетки по всем пространственным координатам, влекущее за собой значительные затраты оперативной памяти компьютера. Тем не менее, этого можно избежать за счет увеличения объема вычислений, используя метод блочного расчета полей времен, изложенный в 2.1.4. Кроме того, производные высших порядков по пространственным координатам вычисленного конечно-разностным методом поля времен содержат значительные погрешности, что приводит к появлению нежелательных артефактов в конечном решении.
Наиболее обещающими методами решения прямой кинематической задачи, на наш взгляд, являются методы трассировки параксиальных лучей [56], [40], которые не требуют расчета и храпения времен пробега волн во всех узлах сетки, покрывающей исследуемую область.
1.2.5 Разделение системы на дискретную и непрерывную части
Использование двух типов неизвестных параметров в системе линейных уравнений существенно отличает задачу определения скоростной структуры по временам пробега волн близких землетрясений от других задач сейсмической томографии, где известны положения источников воли. Впервые времена пробега от близких землетрясений были использованы для определения скоростной структуры в [36], затем, в [63] метод разделения неизвестных скоростных параметров и параметров гипоцентров был формализован, и используется до сих пор практически в первоначальном виде. Для смешанной системы линейных уравнений
17

 Часть из работы     Получить работу