Введение
Актуальность темы. Использование аппарата функций Ляпунова при исследовании устойчивости управляемых динамических систем позволяет решить задачу глобальной стабилизации нелинейных систем [17, 21]. Так в работе [17] была решена задача глобальной стабилизации нелинейной динамической системы с учетом вязкости среды для специального вида управления. В работе [13] была развита идея работы [17] при наличии внешнего неизвестного возмущения. В работе [19] была рассмотрена задача о глобальной стабилизации системы, если размерность вектора управления меньше размерности вектора состояния управляемой системы. В то же время представляет интерес исследование устойчивости такой системы при наличии в системе малого параметра, обусловленного неидеальностью системы. Одним из существенных факторов в задачах стабилизации нелинейных систем, создающих особые трудности при их решении, является фактор "дефицита размерности управления"(см. выше). Для линейных стационарных объектов эта трудность была преодолена еще в 60-х годах теорией управляемости линейных систем Р.Калмана [39]. Для существенно нелинейных систем этот фактор создает дополнительные сложности, когда речь идет о глобальной стабилизации, о создании той или иной глобальной асимптотики фазового пространства, определенной целью управления. Используемые в последнее время в задачах нелинейной стабилизации методы "линеаризации с помощью обратной связи"[39], при наличии дефицита в размерности управления, сталкиваются со своими трудностями. Основным методом решения задач стабилизации нелинейных систем в условиях дефицита размерности управ-
-5-
ления является метод глобальных функций Ляпунова [21]. Цель работы. Целью данной работы является исследование глобальной устойчивости движения нелинейных динамических систем с разрывной правой частью с помощью двух функций Ляпунова. Задачи диссертационной работы.
1. Разработка математического аппарата исследования управляемых нелинейных динамических систем с помощью нескольких функций Ляпунова.
2. Исследование устойчивости сингулярно-возмущенных систем с помощью разработанного аппарата.
3. Исследование с помощью метода двух функций Ляпунова нелинейной механической системы "обращенный маятник на управляемой тележке". Методы исследования. Основными методами исследования является метод глобальных функций Ляпунова, методы теории нелинейных систем с разрывной правой частью, методы теории сингулярно-возмущенных систем, методы исследования теории нелинейных систем автоматического регулирования, а также некоторые разделы теории неравенств, теории множеств и теории пределов.
Связь с планом. Исследования по теме диссертационной работы проводились в соответствии с планом научно-исследовательских работ НГАСУ и НГТУ, выполняемых в рамках единого заказ-наряда Министерства образования РФ, а также были поддержаны грантами Министерства образования Российской Федерации и Российского фонда фундаментальных исследований, а также грантом Международного центра-фонда перспективных исследований в Нижнем Новгороде (МЦФПИН), No: 99-1-01. Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие науч-
-6-
ные результаты:
<* - Сформулированы и доказаны теоремы, лежащие в основе метода несколь-
ких функций Ляпунова, для исследования глобальной устойчивости нелинейных динамических систем с разрывной правой частью.
- Сформулированы и доказаны теоремы, позволяющие использовать метод нескольких функций Ляпунова для исследования устойчивости сингулярно-возмущенных нелинейных динамических систем.
- С помощью развитого аппарата для двух функций Ляпунова исследована глобальная устойчивость нелинейной механической системы "обращенный маятник на тележке" с разрывным управлением, в том числе, для случая сингулярных возмущении.
- Проведено численное моделирование с помощью системы MATLAB поведения фазовых траекторий на основе использования развитого аппарата на примере ряда известных систем, а также для случая нелинейной фазовой системы "обращенный маятник на управляемой тележке".
- Проведен сравнительный анализ полученных результатов с недавно появившимися результатами исследования этой системы зарубежными учеными (США) с помощью методов теории групп.
Практическая ценность. Полученные результаты являются модельными для ряда сложных механических систем: монорельс (Япония [90]), спутник с вращающимся ротором, подводный объект с вращающимися частями, вращающаяся стрела с грузом (США [78, 79]), а также могут быть использованы в датчиках для механических шкивов (Португалия [82]), сейсмостойком строительстве, радиотехнических системах и др. Апробация результатов. Основные результаты работы были представ-
— 7—
лены на международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление", Самара, октябрь 1997 г., международной конференции, посвященной 60-летию ИПУ РАН, Москва, июль 1999 г., 4-й нижегородской сессии молодых ученых, Сэров, сентябрь 1999 г., международной конференции "Прогресс в нелинейной науке", посвященной 100-летию со дня рождения акад. А.А. Андронова, Нижний Новгород, июль 2001 г., Европейской конференции по управлению (SF), Порто, Португалия, июль 2001 г., Международной школе по динамическим и управляемым системам, Суздаль, август 2001 г., Международном математическом конгрессе, Пекин, КНР, август 2002 г. Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 14 печатных работах.
Личным вкладом диссертанта в совместные работы является вывод результатов, анализ имеющихся в научной литературе результатов по проблеме, подходов к решению аналогичного класса задач, проведение численного моделирования. Брусину В.А., как научному руководителю, принадлежат постановка задач и формулировка базисного метода. С Ю.М.Максимовым были обсуждены результаты численного моделирования и возможные применения. Структура и объем диссертации. Основной текст диссертации состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 92 названия и занимает 111 машинописных страниц и 16 рисунков.
В первой главе, рассмотрены основные подходы к теории нелинейных динамических систем с разрывной правой частью.
Во второй главе, устанавливаются основные теоремы аппарата метода нескольких функций Ляпунова для исследования глобальной устойчивости нелинейных динамических систем общего вида.
-8-
В третьей главе, устанавливаются теоремы, позволяющие распространить разработанный во второй главе аппарат на сингулярно-возмущенные системы.
В четвертой главе, исследована глобальная устойчивость нелинейной фазовой системы "обращенный маятник на управляемой тележке"с помощью двух функций Ляпунова. Проведено численное моделирование поведения траекторий на фазовой плоскости и на поверхности Ляпунова. Результаты сопоставлены с результатами недавних исследований этой системы группой зарубежных ученых (США).
В Заключении, обсуждаются основные результаты, полученные в диссертационной работе, и определяются основные направления дальнейших исследований.
В данной работе представляется аппарат 2-х глобальных функций Ляпунова. В основе аппарата лежит теорема 2.3.1 раздела 2, а так же используемые для проверки ее условий теоремы 2.3.2 и 2.3.3. В главе 3 данный метод используется для исследования задачи о сохранении устойчивости при сингулярных возмущениях некоторого класса. Исходная система уравнений разбивается на две подсистемы. Одна из двух вводимых в аппарат глобальных функций Ляпунова [21] используется в первой подсистеме, а вторая используется для решения вопроса об асимптотике lj - предельных траекторий, на которых рассматривается вторая подсистема. В главе 4 применение метода иллюстрируется на примере существенно нелинейной фазовой системы.
-9-
Глава I. Необходимые сведения из теории нелинейных систем с разрывной правой частью
1.1. Введение
Исследование устойчивости движения существенно нелинейных динамических систем таких как обширный и практически важный класс релейных систем автоматического регулирования (управления) и механических систем с сухим трением (с характеристикой z-типа), тесно связано с математическим аппаратом нелинейной теорией колебаний и теорией дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями [4, б, 30, 59, 73]. Первые работы в этом направлении были опубликованы А.А.Андроновым и А.А.Виттом в начале 30-х годов прошлого века (см. монографию А.А. Андронова, А.А.Витта и С.Э. Хайкина [4]) и затем эти исследования были продолжены в работах его научной школы (см., напр., монографию Ю.И.Неймарка [59]). Большой вклад в исследование таких систем был внесен М.А. Айзер-маном, Е.А. Барбашиным, В.М. Матросовым, А.Ф. Филипповым, В.А. Якубовичем и др.
В этой главе приведены необходимые сведения из теории нелинейных систем с разрывной правой частью, используемые в последующих главах для доказательства основных теорем аппарата нескольких функций Ляпунова (гл. 2), теорем об устойчивости существенно нелинейных систем систем при сингулярных возмущениях (гл. 3) и исследовании глобальной устойчивости движения конкретной управляемой нелинейной механической системы "обращенный маятник на тележке" с разрывным управляющим воздействием релейного типа (гл. 4).
-10-
В п. 1.2 вводится описание движения динамической системы с помощью системы дифференциальных уравнений, приведены основные свойства решений и траекторий динамических систем с непрерывной правой частью, введено понятие о;-предельной точки и си-предельной траектории.
В п. 1.3 представлены основные подходы к понятию решения и доопределения нелинейностей в динамических системах с разрывной правой частью. Введено понятие поверхностей разрыва в пространстве состояний и скользящего режима. В п. 1.4 описаны типы устойчивости решений в разрывных системах. Введено понятие решения дифференциального включения для динамических систем с разрывным управлением релейного типа. В п. 1.5 введено понятие функций Ляпунова и представлены их свойства. Представлены две теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости для систем с непрерывными правыми частями, а также теоремы метода Ляпунова для разрывных систем. В п. 1.6 приведены два иллюстративных примера для нелинейных систем второго порядка с управлением (релейного типа). Приводится анализ поведения траекторий в пространстве состояний и изображающей точки на поверхности Ляпунова. В заключение сформулирована имеющаяся к настоящему времени база для исследования устойчивости движения в динамических системах с разрывными правыми частями, в т.ч. существенно нелинейных систем с разрывным управлением релейного типа.
1.2. Основные характеристики движений динамических систем.
В этом параграфе представлен характерный вид систем дифференци-
-11-
альных уравнений, используемых при описании движений систем с разрывной правой частью, представлены используемые при анализе устойчивости в этой и последующих главах представления о решении, понятия ^-предельной точки и ^-предельной траектории.
т
Уравнения разрывных динамических систем. Поведение разрывных нелинейных динамических систем описывается, в общем случае, системой дифференциальных уравнений вида
dx\
d dx
t
dt
= f2{t,xu...,xn)
(1.2.1a)
dxn _ dt ~J
где вектор-функция /(•) в правой части уравнения может испытывать разрывы первого рода на некотором множестве значений в пространстве состояний Rn системы. Здесь х € R71 -вектор состояния системы, t - время. Эта система может быть также записана в виде
г- = fi{t,x1,...,xn) (г = 1,2,..., га)
dt
или в векторно-матричных обозначениях ([32], стр.64, 70) \
(1.2.16)
X =
X
п
= col(xu ..., хп), f{t, х) =
, х),..., fn(t, х)]
с учетом того, что
-12-
система (1.2.1а) может быть записана как
(1.2.1с)
В дальнейшем будем записывать систему в виде
Лт f} (Л 9 1 й\
U/l/
подразумевая под х и f(x,t), в общем случае векторы порядка п.
В теории автоматического регулирования, для систем с разрывной нелинейностью, (например, релейного типа, рассматриваемых далее в диссертации (см. главу 4)), в блочном представлении, схему релейной системы можно представить как последовательно соединенные линейное (L) и нелинейное (N) звено с релейными характеристиками нелинейностей ( [30], с.13, [59], с. 225). Система дифференциальных уравнений (1.2.1), соответственно запишется в виде "линейной"и нелинейной"частей, т.е. используя две группы уравнений
(см. монографию [30], с. 12)
dx
а = г*х
(1.2.2а) (1.2.26)
Первые два уравнения описывают линейную часть системы, в то время как существенно нелинейная часть описывается отдельным уравнением (1.2.2Ь), т.е. рассматривается как некоторым образом выделенный блок системы. В этой системе уравнений P,q,r - постоянные матрицы
р =
Рп Рп ... Pin 9и 912 •• • 9ln
Р21 Р22 ••• Р2п я = 921 922 •• • 92n
Pnl Рп2 • • • Рпп 1 9ml 9m2 •• qmn
r =
Гц ги ... Пп
7*21 7*22 • • • r2n
-13-
порядков п х п, п х т, п х I, соответственно. Функции ? = ?(?) и а = сг(?), в общем случае, являются векторными величинами порядков т \л I, соответственно ([30], с.12, 138). Знак * означает эрмитово сопряжение ( в случае вещественных векторов- транспонирование) [30], так что а в (1.2.2а) является скалярной величиной и система (1.2.2) может быть записана как
— = Px + q?, a = гТх (1.2.3а)
Z = Такое описание, например, использовано фактически в простом и хорошо известном примере "двухпозиционный авторулевой "(см. [4], с.562) со стационарной нелинейностью релейного типа, где
? = ip(a, t) = ip(a)
с характеристикой z-типа [30, 59]
сг > О
а = 0 (1.2.4)
—<Ро, сг < 0 .
Этот пример отражает характерные особенности таких систем (см. п. 1.5 в конце данной главы) и его результаты будут использованы в гл. 4.
В такой схеме (рис.1.2.1) на вход блока (L), поведение которого описывается уравнением (1.2.3а),подается сигнал ?(?), выходом является cr(t). Входом блока (N) с характеристиками, задаваемыми уравнением (1.2.3Ь),наоборот является cr(t), в то время как ?(?) является выходом. В простейшем случае, вещественная функция &
(L)
(N)
системы
с помощью
Рис. 1.2.1. Схема описания нелинейной разделения заданной системы (1.2.1) на "линейную" и "нелинейную" части ([30], с. 14, [59], с.225): а) линейная часть -блок L : вход - ?(о, выход - a(t); нелинейная часть - блок /V: вход - <т(0/ выход - ?(/); б) система (1.2.2) как последовательно соединенные блоки L и N.
-14-
выход a(t) однозначно определен после задания ?(?) и начального состояния х(0) = xq. Более того, в случае непрерывных нелинейностей система (1.2.3) может быть снова записана в виде (1.2.1) с функцией
/Or, t) = Рх + qВ случае разрывных нелинейностей (т.е. в случае разрывной по а функции (p(cr,t)) это не так: вопрос о понятии решения системы (1.2.3) требует дополнительного обсуждения как в этом случае ([30], с.138 ), так и в общем случае системы (1.2.1).
Как известно [66], в случае непрерывной по х функции f(x,t) в правой части (1.2.1) выполнение условий классической теоремы существования обеспечивает существование решения (при заданных начальных условиях to и хо = x(to)) по крайней мере для значений t, достаточно близких к заданному начальному моменту to, а также продолжимость решения на любой интервал времени (to,T), на котором решение x(t) остается ограниченным ([30], с.139). При этом решением дифференциального уравнения (1.2.1) является абсолютно непрерывная функция x(t), которая имеет производную на всём заданном интервале t и обращает это уравнение в тождество. Необходимым для существования и единственности решения уравнения (1.2.1) является выполнение условия Липшица для функций f(x,t) в правой части
(1-2.1)
||/(*l,t) - f(x2,t)\\ < L||X! -Х2||, (1.2.6)
где L - некоторая постоянная.
В пространстве состояний (фазовом пространстве) решению x(t) соответствует траектория, т.е. множество точек M(x(t)), описываемое концом вектора состояния системы (фазовой точкой) при изменении t в заданном
-15-
интервале. Множество траекторий, соответствующих системе (1.1.1),можно характеризовать векторным полем направлений с компонентами (/i,...,/n). Этот вектор равен скорости движения точки по траектории в пространстве состояний. Если решения, соответствующие данной траектории (L), определены для всех значений t (—со < t < +00), то траектория является целой. Если же решение определено при t > to , то говорят о положительной полутраектории (L+). Здесь to - значение t, соответствующее решению в точке Мо траектории L. При этом, если целая траектория (или полутраектория) расположена в некоторой ограниченной, замкнутой области D пространства состояний (фазового пространства), то она является ограниченной. В дальнейшем под полутраекторией или траекторией будет пониматься ограниченная полутраектория или ограниченная целая траектория (ср. с [5]). В дальнейшем, в соответствии с [5], с.35, под движением на траектории подразумевается решение, соответствующее данной траектории; при этом подразумевается, что прохождение траектории через заданную точку в заданный момент времени соответствует данному выбранному движению.
Понятие ^-предельной точки и ы-предельной траектории. В
дальнейшем, при исследовании устойчивости движения в автономных системах, когда правые части дифференциальных уравнений не зависят явно от времени t
существенным будет использование понятия и- предельной точки и и- предельной траектории.
Определение 1.2.1. ш-пределъной точкой М* целой траектории L
-16-
называется точка М*, являющаяся предельной для положительной полутраектории L+, т.е. если при любом, сколь угодно малом е > 0 и любом сколь угодно большом Т > to в е-окрестности точки М* имеется точка полутраектории L+, соответствующая значению t > Т.
Из этого определения следует, что если х* - координата ^-предельной точки М*, то можно найти последовательность моментов времени tn, tn —¦» +00, п —> +со, такую что lim x(tn) = х* [4, 5, б, 30]. Если точка М* является о;-предельной точкой траектории L при данном выборе начального положения изображающей точки Mq на полутраектории L+, то она будет также ы-предельной точкой L и при любом другом выборе точки Mq на L.
Существенно, что w-предельная точка может как принадлежать самой траектории L, так и не принадлежать ей. Так состояние равновесия является своей единственной ш-предельной точкой, и все точки замкнутой траектории также являются ее ы-предельными точками. Наоборот, в случаях узла, фокуса, а также седла, траектория,стремящаяся к состоянию равновесия, имеет своей единственной cj-предельной точкой это состояние равновесия, которое не принадлежит ни одной из этих траекторий. Также, все точки предельного цикла, являясь ^-предельными точками для наматывающейся на предельный цикл спиралевидной полутраектории L+, не принадлежат L+ [4, 5].
Понятие ^-предельной траектории определяется следующим образом.
Лемма 1.2.1 (о предельной траектории [4, 5]). Если М* есть и>-предельная точка полутраектории L+, выделенной из траектории L, то и все точки траектории L*, проходящей через точку М*, являются и-предельными для L.
Доказательство этой леммы основано на том, что данной траектории в

 Часть из работы     Получить работу