-4-ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
АДМ - аэродинамическая модель, ГМ - гибридный метод, КОС - крыло обратной стреловидности, КТО - конструктивно-технологические ограничения, КЧ - коэффициенты чувствительности, МКЭ - метод конечных элементов, МПГ - метод проекции градиента, КЭМ - конечноэлементная модель, НЖК - наиболее жесткая конструкция, ОМКО - обобщенный метод критериев оптимальности, ПЛМКО - последовательная линеаризация в методе критериев оптимальности,
ПНП - полнонапряженный проект,
ПО - программное обеспечение,
ПП - проектная переменная,
РИПАК - расчет и проектирование авиационных конструкций,
САПР - система автоматизированного проектирования,
СУБД - система управления базами данных,
ЭОП - эквивалентное ограничение перемещений,
А - длина одномерного элемента, площадь в плане двумерного,.
[ДОТ] . матрица аэродинамических коэффициентов влияния упругой несущей поверхности,
[A(R)] -матрица аэродинамических коэффициентов влияния жесткой несущей поверхности,
[а] - булева матрица перехода от матрицы подконструкции к глобальной матрице,
[а^] - диагональная матрица площадей панелей аэродинамической модели,
-5-
С - величина переменной состояния конструкции,
С - допускаемое значение переменной состояния конструкции, Е - модуль упругости материала, е - удельная энергия деформации, е* - удельная псевдоэнергия,
[F] - матрица коэффициентов влияния конструкции, G - функция физического ограничения,
[Щ - булева матрица связи,
[К] - матрица жесткости,
Кэ - коэффициент эффективности алгоритма,
L - функция Лагранжа,
М - масса конструкции, функция цели,
MD - число Маха критической скорости дивергенции,
MQ - величина изгибающего момента,
m - масса подконструкции, проектная переменная,
m(L) - минимально возможное значение проектной переменной из конструктивно-технологических условий,
mmin - минимально возможное значение проектной переменной,
mmax - максимально возможное значение проектной переменной,
[т] - матрица масс,
Nv - количество итераций, п - количество проектных переменных, п - количество активных проектных переменных, {Р} - вектор нагрузки, действующей на конструкцию, р - количество физических ограничений, 2 - количество активных физических ограничений,
{Q} - вектор виртуальной нагрузки,
R - параметр оптимальности,
{S} - вектор, связывающий перемещения с напряжениями материала,
-6-
т
s - число случаев нагружений,
U - потенциальная энергия деформации конструкции,
U* - псевдоэнергия конструкции,
{и} - вектор перемещения узлов модели,
{и^} - вектор перемещения узлов модели от нагрузки {Р},
{и(ч)} - вектор перемещения узлов модели от нагрузки {Q},
v - множитель Лагранжа для ограничения на ПП сверху, ,± VD - критическая скорость дивергенции,
w - множитель Лагранжа для ограничения на ПП снизу,
{W} - вектор амплитудных значений перемещений узлов КЭМ при свободных колебаниях конструкции,
X - площадь поперечного сечения одномерного элемента, толщина двумерного,
а - коэффициент релаксации,
{а} - вектор углов атаки панелей А ДМ,
Р - коэффициент настройки алгоритма,
s - коэффициент настройки алгоритма,
X - множитель Лагранжа для физического ограничения,
р - плотность материала,
а- нормальное напряжение материала,
а- допускаемое значение напряжения материала, vt х-касательное напряжение материала,
v - номер итерации,
со - частота собственных колебаний. . .
-7-^ ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное исследование посвящено разработке метода оптимизации распределения материала в тонкостенных комбинированных конструкциях.
Комбинированными принято называть конструкции, состоящие из
элементов, обладающих различными свойствами [ 122]. Данному определению
отвечает весьма широкий класс упругих систем. В рамках данной работы
рассматриваются тонкостенные комбинированные конструкции следующих
Ч двух типов.
1. Упругие системы, объединяющие элементы, работающие в одноосном и двухосном напряженном состоянии.
2. Конструкции, элементы которых выполнены из различных материалов. Данный выбор объясняется тем, что комбинированные упругие системы
указанных типов широко используются в авиастроении. Большинство ф| авиационных конструкций по своей природе тонкостенные (безмоментные)
[1,31,119,45]. Лонжероны, шпангоуты и нервюры обычно состоят из поясов, адекватно моделируемых стержневыми элементами, и стенки, работающей в плоском (мембранном) напряженном состоянии. Обшивка часто подкрепляется стрингерным набором для увеличения критических усилий потери • устойчивости. Все эти комбинированные системы, в свою очередь, включаются в работу более сложных агрегатов (крыла, фюзеляжа, горизонтального и вертикального оперения). В их конструкции могут использоваться различные материалы, например, алюминиевые сплавы и стали, композиционные материалы.
Работоспособность алгоритмов оптимального проектирования силовых конструкций, как правило, демонстрируется на объектах, состоящих из элементов одного типа. Чаще всего это фермы или пластины и оболочки с концентрацией напряжений. В то же время применение ряда известных алгоритмов к конструкциям, состоящим из разнородных элементов, зачастую приводит
. -8-
к парадоксальным результатам, связанным с вырождением одних элементов и необоснованным увеличением других (превращение жестких конструкций в механизмы, неограниченный рост толщины пластины в элементах на краю выреза и т. п.).
Для преодоления этих трудностей в данной работе предложен метод, который подвергся разностороннему испытанию, для чего на основе системного подхода разработана методика тестирования.
По результатам выполненных исследований опубликовано 9 печатных
W
работ [ 16-22,44,45], в том числе 6 статей. В четырех публикациях, написанных
в соавторстве, диссертанту принадлежат следующие разработки и результаты.
В статье "Оптимизация конструкции крыла обратной стреловидности"-моделирование объекта проектирования, численные исследования.
В статье "Рациональное проектирование комбинированных упругих систем с учетом ограничений на напряжения" - метод оптимизации * комбинированных упругих систем, объединяющий алгоритмы поиска
полнонапряженного проекта и наиболее жесткосткой конструкции.
В статье "Оптимизация распределения материала конструкций в САПР РИПАК" - процедура идентификации активных проектных переменных на основе анализа множителей Лагранжа.
В статье "Тестирование программ оптимизации конструкций" -классификация тестов и методика тестирования алгоритмов оптимизации ¦0 распределения материала в тонкостенных конструкциях.
-9-
1.ВВЕДЕ1ШЕ
1.1. Декомпозиция процесса проектирования конструкций
Теория проектирования конструкций исторически развивалась в двух направлениях, называемых прямой и обратной задачами [114]. Под прямой задачей понимается анализ поведения конкретной конструкции под воздействием внешней среды. Обратная задача заключается в определении совокупности параметров силовых элементов конструкции, удовлетворяющей заданным критериям.
Достаточно достоверно прогнозировать поведение конструкции при статическом и динамическом нагружении позволяют численные эксперименты на математических моделях. Предлагаемые в данной работе алгоритмы оптимизации ориентированы на использование метода конечных элементов (МКЭ)[10,50,120].
Обширная библиография на тему оптимального проектирования конструкций содержится в работах [4,8,15,35,66,91,103,105,106,108,112, 129, 130, 150, 163, 176]. Большой вклад в развитие теории оптимизации конструкций внесли Я. Арора, Н.В. Баничук, Л. Берке, В.И. Бирюк, В.А. Бунаков, Г. Вандерплац, В.В. Васильев, 3. Васютинский, В.П. Валуйских, В .Б. Венкайя, В .Г. Гайнутдинов, Г.И. Гребенюк, В .И. Гришин, А.И. Данилин, М. Доббс, В.А. Зарубин, В.Г. Киселев, Д.М. Козлов, А.А. Комаров, В.А. Комаров, А.С. Кретов, Я. Кьюсалаас, И.Б. Лазарев, Е.К. Липин, Л.С. Ляхович, В.П. Малков, А. Мичелл, И.Ф. Образцов, Л.В. Петухов, В.- Прагер, Н.В. Пустовой, И.М. Рабинович, Ю.А. Радциг, Г.И. Расторгуев, Д. Рожваны, Р. Розани, А.П. Сейранян, Н.Н. Складнев, В.Ю. Столбов, А.Г. Угодчиков, В.М. Фролов, К. Флюри, Э. Хог, Н.С.Хот и другие.
Решение обратной задачи для сложных технических объектов обычно делится на несколько этапов [3,104, 72, 42]. На первом этапе, называемом структурной оптимизацией [72,71,80,104,42,2], выбирается конструктивно-
-10-
силовая схема изделия, то есть определяется количество, тип и форма конструктивных элементов, а так же их ориентация в пространстве и способы соединения между собой. На этапе параметрической оптимизации [89, 72, 103,129,150,176,42,2] определяются размеры сечений силовых элементов.
Структурную оптимизацию упругих систем можно разделить на задачи оптимизации топологии (исследуются различные варианты схемы соединения элементов) [160, 75] и задачи оптимизации формы конструкции [5, 91, 108, 112]. Наиболее широко исследованы оптимизация форм контуров отверстий в пластинах [4,5,112,37], оптимизация форм поперечных сечений стержней [6,137,164], оптимизация пластин с ребрами жесткости [85,49, 58,15, 101, 112,119,98,182,143].
В данной работе ограничимся рассмотрением задачи параметрической оптимизации тонкостенных комбинированных конструкций. Обзор методов параметрической оптимизации конструкций представлен в разделе 1.2, особенности оптимизации тонкостенных комбинированных конструкций -в разделе 1.3.
1.2. Обзор методов оптимизации распределения материала в конструкциях
За проектные переменные (ПП) для задачи параметрической оптимизации силовой конструкции обычно принимаются параметры X., описывающие размеры сечений конечных элементов (толщина пластины или площадь поперечного сечения стержня) [68,103,129,68,161,89]. Задача оптимизации распределения материала в силовой конструкции чаще всего формулируется как задача условной оптимизации с нелинейными ограничениями -неравенствами:
п
минимизировать М(Х) = Х PiAjXj (1.1)
i
i-l
при G/X) = С/Х) - С. < 0, j=l,2,...,p, (1.2)
Х
-11-
1 1,А...,П, (L.J)
где М - масса конструкции;
р{ - плотность материала i-ro элемента;
А. - постоянная составляющая объема i-ro элемента - площадь в плане двумерного элемента (пластины) или длина одномерного (стержневого) элемента;
п - количество ПП;
G. - j-e физическое ограничение;
Cj и С - j-ая переменная состояния конструкции и ее допускаемое значение;
р - количество физических ограничений;
X.min и Х.тах - ограничение снизу и сверху на величину i-ой ПП.
Переменными состояния конструкции являются напряжения в различных точках конструкции, обобщенные перемещения, частоты собственных колебаний, критические скорости дивергенции несущих поверхностей, флаттера и так далее.
Физические ограничения будем называть активными, следуя [55, 103, 129], если соотношения (1.2) выполняются в форме равенства. Активными будем называть ПП, для которых ограничения (1.3) являются строгими неравенствами [55,103,129].
Все многообразие методов оптимизации распределения материала в конструкциях можно разделить на прямые, или методы математического программирования, и непрямые, или методы, основанные на критериях оптимальности [103, 129]. В работах К. Флюри [149, 150] показано, что прямые и непрямые методы могут быть получены один из другого незначительными изменениями в логике алгоритмов. Предложены гибридные методы оптимизации [129,169,151].
1.2.1. Методы математического программирования. В основе прямых методов лежит идея пошагового улучшения качества проекта на основании
-12-
локального поведения функций цели и ограничений вблизи текущей точки области поиска.
Для проектирования конструкций применяется метод альтернативного шага [170, 171], проекции градиента [129, 138], возможных направлений [140], методы рекурсивного квадратичного программирования [113, 160]. Все эти методы, как правило, определяют последовательность поисковых шагов в допустимой области вдоль гиперповерхностей ограничений, при которых значения целевой функции монотонно убывают. Отметим, что все эти методы решение исходной задачи оптимизации с ограничениями -неравенствами сводят к решению вспомогательной задачи с ограничениями - равенствами (физические ограничения, имеющие статус пассивных просто не рассматриваются). Разумеется, речь идет о возможности эвристического определения набора активных ограничений в текущей точке без точного знания этого набора в оптимальной точке. На каждой итерации может решаться вопрос определения подходящей длины шага [140]. Меньший шаг может замедлить сходимость, а слишком большой - привести к осцилляциям вычислительного процесса и даже расходимости [129].
Штрафные методы [33, 154] преобразуют исходную задачу с ограничениями к задаче безусловной оптимизации. При таком подходе к целевой функции добавляется функция, которая называется штрафной. Расширенная целевая функция учитывает степень нарушенности ограничений. Различают методы внутреннего и внешнего штрафа [33]. В общем случае эквивалентность между исходной и преобразованной задачами обеспечить не удается. Точность определения локального решения.весьма чувствительна к выбору штрафной функции (настройке алгоритма).
В работе [129] в качестве достоинства прямого подхода отмечается устойчивость алгоритмов при движении к границе допустимой области, но их скорость сходимости уменьшается при подходе к локальному минимуму. Еще один недостаток прямых методов - зависимость числа итерационных
-13-
шагов от количества 1111.
1.2.2. Методы критериев оптимальности. В рамках непрямого подхода задача минимизации целевой функции с ограничениями - неравенствами заменяется косвенной. Постулируется критерий, которому должна отвечать рациональная конструкция и строится итерационная процедура поиска этой конструкции. Критерии оптимальности могут выводиться из математической формулировки задачи или основываться на особенностях поведения, подмеченных для некоторых классов конструкций. Непрямой подход позволяет строить эффективные алгоритмы, число итерационных шагов которых не зависит от количества 1111.
Большую часть всех физических ограничений составляют ограничения напряжений, так как они записываются для локальных точек конструкции. Поэтому начнем обзор необходимых условий оптимальности с критериев для задачи проектирования конструкций при наличии только ограничений на напряжения.
1.2.2.1. Полнонапряженный проект (ПНП). Конструкция называется полнонапряженной (равнопрочной), если во всех элементах, где сечение больше минимально допустимого, реализуется предельное состояние хотя бы в одном из случаев нагружений [70]. Для поиска ПНП используется классическая формула отношения напряжений:
X.(v-i)=x/v)maxj(a.)/ai, j=l, 2,..., s, (1.4)
где а. - напряжение в i-элементе при j-м случае нагружения; •
а - допускаемое напряжение для i-ro элемента;
s - число случаев нагружений;
v - номер итерации.
Достоинства метода - простота и высокая эффективность. Критерий ПНП строгий в случае статически определимых конструкций, для которых внутренние усилия не зависят от распределения материала. Оптимальный
-14-
проект при этом получается за один пересчет конструкции. Для большинства статически неопределимых конструкций справедливо свойство консерватизма внутренних усилий [103, 75] и ПНП удается получить за 5-10 итераций, независимо от числа ПП.
Концепция ПНП не включает в себя в явном виде целевую функцию -массу конструкции. ПНП находится в вершине области допустимых значений, чего в общем случае недостаточно для оптимальности проекта [62,116,170, 20]. Тем не менее, алгоритм, построенный на соотношении (1.4), часто приводит крациональному проекту [69]. Это подтверждают многочисленные исследования, например [72, 62, 20, 84, ПО, 115,116,45].
1.2.2.2. Критерий равномерной плотности энергии деформации. В основу данной концепции положена идея замены совокупности локальных ограничений напряжений интегральной характеристикой - потенциальной энергией:
U= 1/2 {КГЦ}, (1.5)
где {Pj} - вектор j-ой нагрузки, приложенной к узлам КЭМ;
{и.} - вектор перемещений, связанных с j-ой нагрузкой.
Этот подход использовался и развивался многими авторами [180, 181, 66, 67,176,62, 75, 42, 9,15, 112, 31,21].
Требование к жесткости конструкции при единственном активном j-м случае нагружения может быть записано в следующем виде [176]:
а(х)=и/х)-с=о. (1.6)
Дифференцируя функцию Лагранжа
L(X) = M(X) + X.G.(X), (1.7)
где X. - множитель Лагранжа,
по переменной X, можно прийти к следующему выражению:
-15-
X. eVp; = 1 или eVp=const, i=l, 2,..., n, (1.8)
где e;j - удельная энергия деформации i-ro элемента при j-м нагружении;
п - количество активных 1111.
Согласно рассматриваемому критерию оптимальности, отношение плотности энергии деформации к плотности материала должно быть одинаковым для всех активных ПП. В работе Комарова А.А. [66] получен аналогичный результат, минимизируя потенциальную энергию конструкции при неизменном объеме материала в случае проектирования конструкции, выполненной из однородного материала. Конструкции, удовлетворяющие данному критерию, получили название наиболее жестких (НЖК).
В работе [176] рассматривается задача минимизации массы при ограничениях жесткости вида (1.6) для нескольких случаев нагружения. Такой подход приводит к следующим необходимым условиям оптимальности:
Z fl, e/Pi) = 1, i=l,2,...,n. (1.9)
Под НЖК при нескольких случаях нагружении в работе [67] понимается конструкция, полученная минимизацией суммы потенциальных энергий всех случаев нагружении при постоянном объеме. В этом подходе, к сожалению, остается открытым вопрос о выборе значимых (активных) случаев нагружения. Тем не менее, масса НЖК иногда оказывается меньше, чем масса ПНП [62,20] - в ПНП могут оказаться зоны, которые эффективно работают в одних случаях нагружении и слабо нагружены в других. Для таких конструкций масса ПНП может быть уменьшена за счет усиления "связывающих" элементов, которые заставят указанные зоны взаимно поддерживать друг друга в различных случаях нагружении. При этом в "связывающих" элементах предельное состояние может не реализовываться ни в одном из случаев нагружении.
-16-
Для поиска НЖК используется метод множителей Лагранжа [67], а также рекуррентное соотношение, аналогичное формуле отношения напряжений (1.4) [45,20]:
/ij, j=l, 2,..., s, (1.10)
где е. - допускаемая удельная энергия деформации для i-ro элемента.
1.2.2.3. Критерий эквивалентного ограничения перемещений. Ограничение напряжения в j-м элементе может быть представлено в следующем виде [103,129]:
G= {Spin} -3 < 0, j=l, 2,..., р, (1.11)
где {S.} - вектор, связывающий перемещения j-ro элемента {и.} с ограничиваемым напряжением в этом элементе.
Сущность критерия эквивалентного ограничения перемещений (ЭОП) заключается в сведении ограничений на напряжения к ограничениям обобщенных перемещений [103, 176]. В этом подходе вектор {S.} рассматривается в качестве виртуальной нагрузки для j-ro элемента.
Продифференцировав функцию Лагранжа
.G. (1.12)
j=i J J,
по ПП, приходим к следующему выражению: ^7Р; = 1> i=l, 2,..., П, (1.13)
где е*~ - удельная псевдоэнергия в i-м элементе от виртуальной нагрузки J на действительных перемещениях {ul}.
1.2.2.4. Гибридный критерий оптимальности. С одной стороны, алгоритм, построенный на основе критерия ЭОП, предполагает использование множества виртуальных случаев нагружений для
-17-
аппроксимации всех ограничений на напряжения. Это резко увеличивает вычислительные затраты на этапе анализа конструкции. С другой стороны, концепция ПНП не требует дополнительных случаев нагружений, но является менее строгой. Найти компромисс между точностью и эффективностью можно на основе гибридного критерия [149,150]. При этом подходе только часть ограничений на напряжения учитывается в виде соотношений (1.11) с помощью критерия ЭОП, а остальные ограничения - в соответствии с критерием ПНП. Так, ограничение напряжения в i-м элементе можно учесть, сделав более жестким ограничение снизу на величину 1111Х™*:
X.™ = max ( Х,Ч Х,<*>), (1.14)
где X.(L) - ограничение i-ой ПП снизу, обусловленное КТО;
X.(F) - значение 1111, получаемое из формулы отношения напряжений:
X.^ = X.maxj(a7ai), j=l, 2,..., s.
Отметим, что гибридный критерий удачно приспособлен для проектирования конструкций с концентрацией напряжений [52].
Следующие два критерия относятся к классу задач проектирования конструкций на весь спектр физических ограничений (напряжения, обобщенные перемещения, частоты собственных колебаний, критическую скорость флаттера и т. д.).
1.2.2.5. Критерий наиболее нарушенного ограничения. Этот критерий выводится в предположении, что точке оптимума будет соответствовать единственное активное ограничение. Далее используются эвристические алгоритмы типа "огибающей" или "последовательного удовлетворения наиболее нарушенных ограничений" [103]. Алгоритмы, построенные на основе рассматриваемого критерия, обладают высокой эффективностью. Однако, они не позволяют точно идентифицировать набор активных ограничений в оптимальной точке [161, 163].
1.2.2.6. Обобщенный критерий оптимальности. Данный критерий [148, |
