Задачам динамики и управления угловым движением космического аппарата посвящено большое число публикаций как в России, так и за рубежом. Однако сложность стоящих здесь проблем, отсутствие общих аналитических решений и трудности численного решения дифференциальных краевых задач, к которым сводятся задачи оптимального управления пространственным движением космического аппарата, продолжают оставлять эту проблематику актуальной.
Успех в решении задач динамики и управления движением космического аппарата во многом зависит от выбранной модели движения космического аппарата. Угловое движение космического аппарата, рассматриваемого как твердое тело, описывается двумя группами уравнений: динамическими уравнениями Эйлера и кинематическими уравнениями, записанными в тех или иных кинематических параметрах (углах Эйлера-Крылова, направляющих косинусах, параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона), Кейли-Клейна). В работах В.Н. Кошлякова [40-45], В.Н. Бранеца [15-19], И.П. Шмыглевского [15-18], Ю.Н. Челнокова [79-91], Д.В. Лебедева [51, 118], В. Wie [100], Н.Л. Стрелковой [76, 77] и других авторов показано, что использование в качестве кинематических параметров таких невырождающихся параметров как параметры Эйлера повышает эффективность аналитического исследования и численного решения многих задач динамики и управления угловым движением космического аппарата. При этом удобным математическим аппаратом оказывается аппарат кватернионов Гамильтона.
В большинстве работ по динамике и управлению угловым движением космического аппарата, использующих в качестве параметров ориентации параметры Эйлера, применяется модель углового движения твердого тела, состоящая из динамических уравнений Эйлера и кватернионного кинематического уравнения. Кроме этой модели для решения задач динамики и управления успешно используется другая модель твердого тела, имеющая вид
5
системы дифференциальных уравнений второго порядка относительно параметров Эйлера (В.Н. Котляков [40-45], Ю.Н. Челноков [79-83]). Эти уравнения движения, записанные в связанной с твердым телом системе координат, удобны для решения ряда задач динамики твердого тела и космического аппарата (например, для решения задач устойчивости и стабилизации углового движения), однако они оказываются неудобными для построения оптимальных (программных) траекторий и управлений угловым движением космического аппарата с использованием принципа максимума.
В диссертационной работе для решения задач динамики и управления угловым движением осесимметричного космического аппарата - твердого тела используются две формы (осцилляторная и нормальная) новых кватернионных уравнений движения осесимметричного твердого тела, записанных в специальной системе координат, вращающейся с абсолютной угловой скоростью, коллинеарной вектору кинетического момента твердого тела. Эти уравнения, предложенные Ю.Н. Челноковым [81,82,87], отличаются от уравнений, записанных в связанной с твердым телом системе координат, большей простотой и компактностью. Их использование, как показано в диссертационной работе, облегчает аналитическое и численное решение изучаемых задач.
Одной из важных задач теории управления угловым движением космического аппарата является задача построения прогнозного движения -одного из основных программных угловых движений космического аппарата, имеющего смысл движения по инерции, удовлетворяющего заданным краевым условиям по угловому положению космического аппарата. Известное решение этой задачи основывается на аналитических решениях уравнений движения твердого тела в случае Эйлера. Такой подход особенно эффективен в случае осесимметричного космического аппарата и изучался в ряде работ (М.В. Левского [52] и др.). В диссертационной работе решается задача построения обобщенного прогнозного движения осесимметричного космического аппарата, когда программный управляющий момент не равен нулю, а коллинеарен
6
вектору кинетического момента космического аппарата. Частным случаем этой задачи является задача построения обычного прогнозного движения. Решение задачи основывается на построенном в работе аналитическом решении кватернионных дифференциальных уравнениях движения осесимметричного космического аппарата — твердого тела в случае коллинеарности главного вектора моментов внешних сил и вектора кинетического момента твердого тела. Этот случай интегрируемости уравнений движения осесимметричного твердого тела впервые был установлен (в классических переменных) Б.А. Смольниковым [74]. Построенная в работе новая, кватернионная форма аналитического решения уравнений движения осесимметричного твердого тела для указанного случая удобна для построения обобщенного прогнозного движения космического аппарата.
В работе также рассматривается новое решение задачи построения обычного прогнозного движения космического аппарата с произвольным распределением масс, основанное на решении дифференциальной краевой задачи, описываемой кватернионным дифференциальным уравнением, связывающим кватернион ориентации космического аппарата с его вектором кинетического момента.
Другой актуальной задачей теории оптимального управления угловым движением осесимметричного космического аппарата, связанной с созданием высокоточных систем ориентации, использующих в качестве исполнительных устройств вращающиеся маховики, является задача построения оптимальных (программных) законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного космического аппарата. В диссертационной работе эта задача, по-видимому, впервые решена для двух основных функционалов качества с использованием принципа максимума и кватернионного дифференциального уравнения, связывающего кватернион ориентации космического аппарата с его вектором кинетического момента.
Отметим, что если в задаче построения обычного прогнозного движения космического аппарата с произвольным распределением масс используется
7
кватернионное дифференциальное уравнение, v связывающее кватернион ориентации космического аппарата с его вектором кинетического момента, записанное в системе координат, связанной с космическим аппаратом, то в задаче построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного космического аппарата используется другое кватернионное дифференциальное уравнение, также связывающее кватернион ориентации космического аппарата с его вектором кинетического момента, но записанное в вышеуказанной специальной системе координат.
Большое количество работ посвящено изучению задачи оптимального по быстродействию управления угловым движением космического аппарата -твердого тела, однако эта задача в общей постановке до настоящего времени далека от завершения. Среди работ, посвященных решению этой задачи в различных постановках с использованием аппарата кватернионов, отметим работы В.Н. Бранеца [15-19], И.П. Шмыглевского [15-18], М.Б. Чертока [19], Ю.В. Казначеева [19], Д.В. Лебедева [51], В.В. Маланина [56,57], Н.А. Стрелковой [76,77], А.Н. Сиротина [70-72], А.В. Молоденкова [34,60,61], Я.Г. Сапункова [61].
Обширный обзор литературы [5-9,11,14,17,21,25,19,47,48,49,51,58,63, 70,72,75,92-96,99] по задаче оптимального в смысле быстродействия переориентацией космического аппарата содержится в монографии [58]. В этой монографии отмечается, что при исследовании динамических задач оптимального по быстродействию управления движением объектов, когда в качестве управляющего воздействия выступает вектор моментов внешних сил, основная аналитическая трудность заключается в рассмотрении оптимального по быстродействию управления ориентацией твердого тела. Обычно решение данной задачи разбивается на две подзадачи: торможение (гашение) вращений и переориентация твердого тела (начальное и конечное положения тела заданы и являются состояниями покоя). В работе [58] отмечается, что если торможение вращений достаточно полно исследовано [1, 2, 3, 4, 10, 14, 36, 53, 54, 73, 74, 92, 97], то задача оптимального по быстродействию управления переориентацией
твердого тела в полной постановке является задачей нерешенной, тем более далека от завершения общая задача синтеза оптимальных управлений ориентацией твердого тела (с одновременным гашением угловой скорости).
В диссертационной работе задача оптимального управления угловым движением осесимметричного космического аппарата исследуется при произвольных краевых условиях. В качестве функционала качества рассматривается более общий комбинированный функционал, характеризующий расход времени и импульса модуля управляющего момента за промежуток времени управляемого движения на перевод космического аппарата из начального в конечное состояние. Для решения задачи используется новая кватернионная модель углового движения космического аппарата - твердого тела, повышающая эффективность аналитического исследования и численного решения задачи оптимального управления.
Каждая из исследуемых в диссертации задач представляет самостоятельный интерес. Методологическая общность их решения заключается в использовании нового класса кватернионных моделей движения осесимметричного космического аппарата - твердого тела.
Целями и основными задачами работы являются:
- получение решений задач динамики и управления угловым движением осесимметричного космического аппарата с использованием новых кватернионных моделей углового движения твердого тела;
- разработка алгоритмов и программ численного решения краевых алгебраических и дифференциальных задач, к которым сводятся задачи построения прогнозного движения и задачи оптимального управления угловым движением космического аппарата.
В работе решаются следующие задачи:
- построение аналитических решений уравнений неуправляемого и управляемого движений осесимметричного космического аппарата в частных случаях его движения;
9
- построение обобщенного прогнозного движения осесимметричного космического аппарата и обычного прогнозного движения космического аппарата произвольной динамической конфигурации;
- получение оптимальных законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного космического аппарата;
- построение оптимальных управлений и траекторий углового движения осесимметричного космического аппарата.
В первой главе диссертации рассматриваются известные классические и кватернионные уравнения углового движения осесимметричного космического аппарата - твердого тела вокруг центра масс, находящегося под действием произвольного внешнего момента, в том числе две формы (осцилляторная и нормальная) новых кватернионных уравнений движения осесимметричного космического аппарата, записанных в специальной системе координат, вращающейся с абсолютной угловой скоростью, коллинеарной вектору кинетического момента космического аппарата.
Во второй главе строятся аналитические решения кватернионных дифференциальных уравнений движения осесимметричного космического аппарата в двух частных случаях его движения: в случае движения космического аппарата по инерции и в случае коллинеарности главного вектора моментов внешних сил и вектора кинетического момента космического аппарата, удобные для решения задач построения прогнозного движения космического аппарата.
В третьей главе диссертационной работы решается задача построения обобщенного прогнозного движения осесимметричного космического аппарата, когда программный управляющий момент не равен нулю, а коллинеарен вектору кинетического момента космического аппарата. Показано, что решение задачи построения обобщенного прогнозного движения осесимметричного космического аппарата сводится к решению системы двух скалярных алгебраических трансцендентных уравнений. Построены аналитические решения задачи в случае сферической симметрии космического аппарата и в
10
двух частных случаях разворотов космического^ аппарата (на любой угол) вокруг определенным образом ориентированных в пространстве осей. В этой главе также рассмотрено новое решение задачи построения обычного прогнозного движения космического аппарата с произвольным распределением масс, основанное на решении кватернионной дифференциальной краевой задачи. Разработаны алгоритмы и программа численного решения задачи построения прогнозного движения.
Четвертая глава диссертационной работы посвящена задаче построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного космического аппарата с использованием кватернионных уравнений, записанных во вращающейся специальной или инерциальной системе координат. С помощью принципа максимума [67] и кватернионного дифференциального уравнения, связывающего вектор кинетического момента осесимметричного космического аппарата с кватернионом ориентации космического аппарата, сформулированы (для двух функционалов качества) дифференциальные краевые задачи для построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента космического аппарата. Построены общие аналитические решения дифференциальных уравнений краевых задач, образующих системы девяти нелинейных дифференциальных уравнений. Показано, что решение дифференциальных краевых задач сводится к решению двух скалярных алгебраических трансцендентных уравнений. Получены, как явные функции времени, зависимости для кватерниона ориентации, вектора абсолютной угловой скорости и вектора кинетического момента космического аппарата, описывающие оптимальное управляемое движение космического аппарата. Разработаны эффективные алгоритмы и программа численного решения задач построения прогнозного движения космического аппарата для любых заданных начальной и конечной ориентации космического аппарата.
В пятой главе предложено новое решение задачи оптимального управления угловым движением осесимметричного космического аппарата с использованием новых кватернионных уравнений в нормальной форме. Задача
11
оптимального управления угловым движением осесимметричного космического аппарата исследуется при произвольных краевых условиях. В качестве функционала качества рассматривается комбинированный функционал, характеризующий расход времени и импульса модуля управляющего момента за промежуток времени управляемого движения на перевод космического аппарата из начального в конечное состояние. Построены новые кватернионные дифференциальные уравнения краевой задачи принципа максимума для построения оптимальных управлений (проекций вектора управляющего момента) и траекторий углового движения осесимметричного космического аппарата. Найдено несколько первых интегралов задачи, установлен частный случай интегрируемости дифференциальных уравнений краевой задачи. Разработаны кватернионные алгоритмы и программа численного решения задачи оптимального управления угловым движением осесимметричного космического аппарата для произвольных краевых условий. Построены примеры численного решения задачи.
Научная новизна:
1. Построено кватернионное решение дифференциальных уравнений движения осесимметричного космического аппарата в случае коллинеарности главного вектора моментов внешних сил и вектора кинетического момента космического аппарата в форме, удобной для построения прогнозного движения космического аппарата.
2. Получены новые кватернионные алгебраические и дифференциальные уравнения краевых задач для построения обобщенного прогнозного движения осесимметричного космического аппарата и обычного прогнозного движения космического аппарата с произвольным распределением масс. Построены частные аналитические решения краевых задач. Разработаны алгоритмы численного решения краевых задач.
3. Найдено общее аналитическое решение задачи построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента
12
осесимметричного космического аппарата для двух основных функционалов качества.
4. Получены новые кватернионные дифференциальные уравнения краевой задачи принципа максимума для построения оптимальных управлений и траекторий углового движения осесимметричного космического аппарата (минимизируется время управляемого движения и импульс модуля управляющего момента за это время), построено частное аналитическое решение задачи, найдено несколько первых интегралов дифференциальных уравнений краевой задачи, построены алгоритмы численного решения краевой задачи.
Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач, строгостью применяемых методов решения, сопоставлением полученных результатов с результатами других авторов. На защиту выносятся:
1. Кватернионное аналитическое решение дифференциальных уравнений движения осесимметричного космического аппарата в случае коллинеарности главного вектора моментов внешних сил и вектора кинетического момента осесимметричного космического аппарата.
2. Решения трех задач теории управления угловым движением космического аппарата:
- задачи построения прогнозного движения,
- задачи построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного космического аппарата,
- задачи оптимального управления угловым движением осесимметричного космического аппарата,
построенные с использованием новых кватернионных моделей динамики твердого тела.
3. Геометрические интерпретации управляемого углового движения осесимметричного космического аппарата.
13
4. Алгоритмы численного решения задач построения прогнозного движения космического аппарата (обобщенного прогнозного движения осесимметричного космического аппарата, обычного прогнозного движения космического аппарата с произвольным распределением масс) и задачи оптимального управления угловым движением осесимметричного космического аппарата.
Практическая значимость. Полученные законы оптимального управления и траектории углового движения космического аппарата могут быть использованы в качестве законов программных управлений и программных траекторий при построении систем ориентации космических аппаратов, использующих в качестве исполнительных устройств вращающиеся маховики и (или) реактивные двигатели. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для построения программных траекторий и управлений угловым движением космического аппарата - твердого тела и математического моделирования управляемого движения космического аппарата.
Использование результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, были использованы в лаборатории механики, навигации и управления ИПТМУ РАН (г. Саратов, 2003-2004 гг.) при выполнении работ по заданию президиума РАН (тема № 0120.0403260 «Разработка кватернионных и бикватернионных моделей и методов механики твердого тела, методов пространства состояний в задачах динамики и управления движением») и проекта РФФИ № 02-01-00988 «Кватернионные модели и методы в пространственных нелинейных задачах оптимального управления движением космических аппаратов».
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались: на научных конференциях механико-математического факультета Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики и механики» (2001-2004); на XXXIV и XXXV постоянно действующем научно-техническом семинаре «Проблемы теории, конструкции, проектирования и эксплуатации ракет» (г. Саратов, 2002, 2003); на научных семинарах Института
14
проблем точной механики и управления РАН 4(г. Саратов, 2002-2004); на международной научно-технической конференции «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении» (г. Саратов, 2002); на 3-й международной конференции «Авиация и космонавтика» (г. Москва, 2004).
Публикации. По результатам исследований опубликовано 5 научных статей [29-33].
Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы, двух приложений.
15
Глава 1. Математические модели углового % движения космического аппарата
1.1. Динамические и кинематические уравнения Эйлера
Пусть космический аппарат, рассматриваемый как твердое тело, находится под действием произвольного момента внешних сил, а выбранный полюс (центр масс О космического аппарата) перемещается в инерциальном пространстве произвольным образом. Угловое движение космического аппарата будем рассматривать относительно системы координат 0X5X2X3 (Х')3 перемещающейся относительно инерциальной системы
координат O*XiX2X3 (X) поступательно (одноименные оси систем координат X' и X полагаем параллельными). С космическим аппаратом жестко свяжем систему координат OY1Y2Y3 (Y), направив ее оси вдоль главных осей инерции космического аппарата для точки О. Пусть а>ь и>2, Щ - проекции вектора со абсолютной угловой скорости космического аппарата на оси OYj, OY2, OY3. Ориентацию космического аппарата относительно системы координат X' будем определять при помощи углов Эйлера \|/, 9, ф, которые вводятся обычным образом [20]. Моменты инерции космического аппарата относительно осей OYb OY2, OY3 обозначим А, В, С.
Уравнения движения космического аппарата в переменных соь »2> <*>з> М/, 0, ф (динамические и кинематические уравнения Эйлера) имеют вид [20]:
^ + (С at
(1.1.1)
at at
16
d\i/ 1 , . ч
—-- =---(coi sin ф + C02 cds ф),
dt sine
de =
dt
dф л, ч
—l = C03 - ctg9 (coi sm ф + 0D2 cos ф).
dt
Здесь Mi, M2, M3 - проекции вектора М главного момента внешних сил, вычисленного относительно точки О, на оси OYj, OY2, OY3 связанной системы координат Y.
1.2. Кватернионные уравнения движения осесимметричного космического аппарата в осцилляторной и нормальной формах
Движение жестко связанной с космическим аппаратом системы ¦ координат Y относительно системы координат X' будем задавать
нормированным кватернионом [7]
А, = Хо + Aiii +
где ij, i2, 13 - орты гиперкомплексного пространства (мнимые единицы
Гамильтона), A,j, (j = 0, 3) - компоненты кватерниона ориентации А (параметры
Родрига - Гамильтона (Эйлера)), одинаковые в базисах X' и Y и связанные с углами Эйлера соотношениями [44]
, 6 Ч> + Ф л • в ?~Ф
An=cos—cos———, A, =sin—cos——-,
2 2 2 2
I а (1-2Л)
A2 = sin—sin-1—-, Ao = cos—sin-—-.
2 2 2 3 2 2
Кинематические уравнения углового движения космического аппарата относительно системы координат X' в параметрах Эйлера в кватернионной и координатной формах имеют вид [7]:
2---= X, о Шу 5
dt
17 (1.2.2)
-A2cg2 ~
2—2- = dt
2--- = ^qCO!
dt
2--- = A,0C02
dt
1Л
2—- = Ao©3 dt
где (oY = cojii + ©2i2 + (Оз1з ~ кватернион, составленный из проекций щ, Ю2, Юз
вектора Ш абсолютной угловой скорости космического аппарата на оси связанной с ним системы координат Y, то есть, отображение вектора со на базис Y.
Здесь и далее знак «о» означает кватернионное умножение, дифференцирование кватерниона выполняется в предположении неизменности
ортов ib i2, i3.
Составим динамические уравнения движения осесимметричного
космического аппарата в параметрах Родрига - Гамильтона Aj, (j = 0,3). Для
этого воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента. Если L и М - вектор кинетического момента космического аппарата и вектор главного момента внешних сил, действующих на космический аппарат, вычисленные относительно точки О (центра масс космического аппарата), то
dL л/г — = М.
dt
(1.2.3)
Если абсолютную производную вектора L выразить через его локальную производную, то уравнение (1.2.3) запишется в виде:
+©xL=M.
(1.2.4) |
