ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена плоским и пространственным задачам теории идеальной пластичности анизотропных сред.
Изотропные материалы являются частным случаем анизотропных материалов, проявляющих полную симметрию свойств.
Пластическое деформирование материала сопровождается явлением приобретенной анизотропии. Е. И. Шемякин [85] указывает, что «индуцированная пластическими деформациями анизотропия является едва ли не основным свойством пластичности, как и остаточная деформация». Материал с приобретенной анизотропией при дальнейшем использовании можно считать начально-анизотропным.
Ниже рассматривается начально-анизотропный идеальнопластический материал. Впервые условие пластичности начально-анизотропного идеаль-нопластического тела было сформулировано Мизесом [61, 106]. Мизес предположил, что выражение удельной энергии формоизменения упругого анизотропного тела является постоянной величиной в процессе деформирования анизотропного идеально пластического тела.
Условие пластичности Мизеса в общем случае можно представить в виде квадратичной функции:
bl2(ax-ay)rxy+cn(ax-cry)ryz+g]2(ax-ay)rxz + b23{cry-az)ryz+c23(cTy-cTz)rxz+g23(cry -az)rxz + (1)
+ П\2Тху + П23Т% + n3lTxz + m\2TxzTyz + ^23Txy^xz + Щ\*xy*yz
где ay, by, с у, gy, ntj ,my,k- константы.
Из полученного Мизесом [61] общего выражения упругой энергии формоизменения при соответствующих предположениях следует условие пластичности Мизеса для изотропного материала:
{сгх-с7уУ +{ay-(jz)2 +{cjz~(7xy +6{т2ху + т2у2+т2Х2) = вк1, k0 = const .(2) где (Jx,(jy,(Jz,Txy,Tyz,Txz -компоненты тензора напряжения.
Если в материале ориентация отдельных кристаллов не беспорядочна, то предел текучести и макроскопические зависимости между напряжением и деформацией изменяются с направлением. Например, для сильно прокатанной в холодном состоянии латуни предел текучести при растяжении в направлении, перпендикулярном к прокатке, может быть на 10% выше, чем для направления, параллельного прокатке [97]. Анизотропия свойств материала может явиться следствием в результате механических тепловых обработок. При этом образуется окончательная рекристаллизация текстуры, приближающаяся к текстуре монокристалла (например, прокатанная полоса меди может быть подготовлена так, что изменившиеся размеры зерен делают их кубическими с осями, параллельными краям полосы [103]).
Состояние анизотропии может характеризоваться тремя взаимно ортогональными плоскостями симметрии в каждой точке. Пересечения этих плоскостей известны как главные оси анизотропии. Полоса, вырезанная из центра холоднокатаного листа, представляет собой пример равномерно направленной анизотропии, где главные оси лежат в направлении прокатки, в поперечном направлении в плоскости листа и нормально к этой плоскости [104]. Главные оси в данном элементе могут в процессе непрерывного деформирования изменятся также относительно самого элемента, как, например, при простом сдвиге.
В литературе обычно рассматривается анизотропный материал, в котором главные оси анизотропии совпадают с декартовой системой координат. Условие Мизеса приблизительно описывает течение изотропного материала. Поэтому простейшим условием текучести для анизотропного материала является то, которое сводится к закону Мизеса, когда анизотропия мала.
Хилл [82] предположил, что условие текучести представляет собой квадратичную функцию компонентов.
Хилл [82] рассматривал условие пластичности анизотропного идеально пластического тела в виде:
А(ах - а у)2 + В(ау - azf + С{а2 - ах)2 + 2(Fr2xy + Gt% + Ht2xz) = 1, (3)
где А, В, С, F, G,H- параметры, характеризующие текущее состояние анизотропии.
Обобщением условия пластичности Мизеса - Хилла (3) является выражение, включающие члены «винтовой» анизотропии.
А(ах - ау)2 + В(сту -ozf + C(az -стх)2+ 2(Fr2xy + Gt2z + Ht2xz) + + 2L(ax -Vy)!^ + 2M(ay - az)ryz + 2N{az - ax)vxz = 1,
где L, M, N — константы «винтовой» анизотропии.
Термин «винтовая» анизотропия связан с направленным изменением сетки поверхностей скольжения в случае симметричного нагружения, обусловленным величинами Ь(сгх-сгу)тху,М(сгу-а2)ту2, N(ctz-(tx)txz в условии пластичности (4).
При этом линейные члены не приняты во внимание, поскольку, предполагается, что эффект Баушингера отсутствует. Квадратичные члены, в которых любое из касательных напряжений встречается линейно, отбрасываются из соображений симметрии. Если предположить, что гидростатическое напряжение не влияет на текучесть, то в условии пластичности может фигурировать только разность нормальных компонентов напряжения.
Согласно [2], во многих теориях анизотропной пластичности к числу наиболее важных исходных предположений относятся гипотезы о независимости текучести от среднего нормального напряжения (гидростатического давления) и пластической несжимаемости материала. Предположение о независимости процесса текучести материалов от среднего нормального напряжения было принято в первых теориях анизотропной пластичности Мизесом [61] и Хилл ом [82]. Вследствие этого предположения пластические деформации, полученные из ассоциированного закона течения, удовлетворяют условию пластической несжимаемости. Более поздний неквадратичный критерий
Хилла [82] также соответствует этому предположению. Ряд авторов, при разработке подходов к описанию анизотропной пластичности, использовали предположение о независимости текучести от среднего нормального напряжения, ссылаясь, в основном, на опыты Бриджмена. В работе [108] отмечено большое значение в развитии теории пластичности общепринятых предположений о независимости текучести от гидростатического давления и пластической несжимаемости материала. Вопрос о связи между влиянием гидростатического давления на предел текучести материала и его пластической сжимаемостью обсуждался в работе [109]. На различных сталях и полимерах была выявлена [109] заметная зависимость предела текучести от давления, но не обнаружено соответствующего пластического изменения объема. В работе [105] на экспериментальных данных для алюминиевых сплавов и углеродистых сталей подтверждена гипотеза о неизменности объема при неупругом деформировании материалов в пределах деформаций до 4%. Другие авторы [100], используя результаты экспериментов на плоских образцах из алюминиевого сплава, установили нарушение пластической несжимаемости и объяснили это наличием пластической анизотропии исследуемых материалов.
В настоящее время опубликовано множество работ, основывающихся на различных предположениях при описании анизотропной пластичности, в том числе имеются работы, в которых не принимается гипотеза о пластической несжимаемости материала. В работах [95, 110-113] развита теория анизотропной пластичности для пластически сжимаемых материалов. В статье [95] предложен обобщенный потенциал для анизотропного материала, учитывающий эффект Баушингера и пластическую сжимаемость, из которого, как частный случай, получается потенциал Хилла. В этой статье на экспериментальных данных для титанового сплава было показано, что характер изменения кривых текучести существенно зависит от введенного автором параметра сжимаемости.
Хилл [82] показал, если X,Y,Z- пределы текучести при растяжении в главных направлениях анизотропии, то имеют место следующие выражения:
X2 Y2 Z2 X2
' ' (5)
X
Z2 X2 Г2 Z2
А, В, С могут быть отрицательными и что это возможно, лишь когда пределы текучести отличаются значительно. Кроме того, В>С, если только X > Y, причем имеют место еще два аналогичных неравенства. Если R,S,T - пределы текучести при сдвиге по отношению к главным осям изотропии, то в этом случае:
2tf = 2F = R2 S2 T2
Таким образом, F,G,H -положительные величины. Если в элементе существует круговая симметрия относительно оси z, то форма выражения (3) остается инвариантной для произвольной системы осей х,у. Из условия (3) Хилл получил:
[{А + C)Пусть другие оси (дг, ,yl ,zl) выбраны так, что ось Zj совпадает с осью z, тогда как ось jct наклонена на угол а против движения часовой стрелки относительно оси х. Имеют места следующие соотношения:
aY - ах cos2 а + crVi sin2 а - 2тх Vi sin a cos a,
(7V =ax sin2 « + crv cos2 cz + 2txv sin q: cos a,
У Л1 У\ Л\У\
—Al У\ Л\У\
,, sinacosa + r,.,,
У\ Л\У\
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы анизотропия была симметрична относительно оси z, будут следующие выражения:
F = B + 2A = C + 2A, G = H. (9)
Если имеет место полная сферическая симметрия или изотропия, то
(10)
если 2В = —, то из выражения (3) получим условие текучести Мизеса.
Для того чтобы полностью описать состояние анизотропии элемента, необходимо знать направление главных осей и значение шести независимых пределов текучести X,Y,Z,R,S,T. Последние должны быть рассмотрены как функции механической и тепловой обработки, поскольку элемент был изотропным, обычно они будут изменяться так же в процессе дальнейшей деформации. Пока не вполне ясно, каким образом количественно связать пределы текучести с микроструктурой, например со степенью предпочтительной ориентации. Пределы текучести определяются посредством механических экспериментов.
Хилл [82] допустил, что /(Су) в уравнении (3) представляет собой пластический потенциал. Тогда соотношения, для приращения деформации, отнесенные к главным осям анизотропии, будут иметь вид:
dsx = dA[A(crx -сту) + С(стх - dey = dl[B(ay -az) + A(ay - ax)\ dyxz =
dsz =
Имеет место тождество dex + dsy + dsz = 0. Если напряжения меняет
знак, то знак приращения деформации также меняется на обратный. Кроме того, если главные оси напряжения совпадают с осями изотропии, то с последними совпадают также и главные оси приращения деформации. В противном случае главные оси напряжения и приращения деформации обычно не совпадают.
Для экспериментального определения состояния анизотропии необходимо, чтобы анизотропия была бы распределена равномерно по объему, достаточному, чтобы можно было вырезать образцы для испытаний на растяжение в произвольном направлении. Тогда, если полоса или цилиндр, вырезанные параллельно оси х анизотропии, находятся в условиях чистого растяжения с напряжением X, то приращения деформации относятся, как
dex:dey:d?z = A + C:-A:-C. (12)
Деформация в каждом поперечном направлении представляет собой относительное упрочнение до тех пор, пока пределы текучести отличаются настолько, что один из двух параметров, А или С, является отрицательным. Укорочение в направлении у больше, если А>С, т.е. если Z>Y; поэтому деформация в направлении большего предела текучести меньше. Аналогично испытания на растяжение в направлениях у и z дают отношения В/А и С/В. В принципе это допускает непосредственную проверку теории с точки зрения требования (А/С)х (С/В)х(в/А) = \. Используя полуторадюймовый прокатный алюминиевый лист, Клингер и Закс измеряли деформации в растягиваемых образцах, вырезанных в различных направлениях в плоскости листа и наклонно к нему. Когда образец был перпендикулярен к плоскости прокатки, то два поперечных компонента деформации в пределах экспериментальной ошибки были равны. Если х- направление прокатки, а у— поперечное направление в плоскости прокатки, то это означает, что В-С. Было так же замечено, что одна главная деформация всегда происходила в направлении, параллельном плоскости прокатки. Там, где теория применима, измерения отношений деформации при растяжении образцов, вырезанных в направлениях* и у, обеспечивают благодаря уравнению (5) косвенный метод определения отношений трех пределов текучести при растяжении. Это предпочтительно перед прямым методом, если текучесть недостаточно резко выражена. В частности, когда материал имеет форму тонкого листа, в этом состоят удобные способы определения предела текучести в направления толщины. С
другой стороны, независимые измерения отношений деформации пределов текучести обеспечивают дополнительную проверку справедливости теории.
Для растягиваемого образца, вырезанного под углом а к направлению прокатки, значения коэффициентов А, В, С, F могут быть выведены из наблюдаемой зависимости предела текучести от угла наклона. Максимум и минимум предела текучести при растяжении имеет место вдоль осей анизотропии, а так же в направлениях а , где
2- F-C-2A
tga=------------. (13)
F-B-2A }
Если F>В + 2Аи. F>C + 2A, то предел текучести имеет максимальные (неравные) значения в направлениях х и у, а минимальные (равные) значения - в направлениях а . Кук, Палмер и Смит наблюдали такого рода изменения на латуни после различной степени прокатки и отжига. Клинглер и Закс нашли, что предел текучести листа из алюминиевого сплава имеет минимум в направлениях, близких к 45°, и что В-С. Если Fнаходится между В + 2А и С + 2А, то предел текучести имеет максимум в направлении х и минимум в направлении у, когда В > С, и наоборот, когда
В<С. Отсюда очевидно, что зависимость F от величин В + 2А и С + 2А имеет определенный физический смысл.
Известно, что при растяжении тонкой полосы, шейка образуется не прямо поперек образца, а под косым углом, зависящим от состояния анизотропии. Образование шейки начинается в точке, в которой имеется небольшая неоднородность. Принимая во внимания свойства характеристик как кривых, вдоль которых распространяются малые сдвиги, найдем, что теоретически направление шейки должно совпадать с характеристикой. Имеются две характеристики, проходящие через точку. Вследствие деформации, нормальной к листу, характеристики обычно не ортогональны. Наклон dyjdx удовлетворяет уравнению:
10
[(А + С)ах - Аау\к2 + 2Frxydxdy + [(A + В)ау - Aax\iy2 = 0. (14) Пусть/?- угол наклона возможной шейки, измеряемой в направления прокатки. Тогда, согласно Хиллу [82], /? определяется из соотношения:
tftg2 /3 + 2btgfi-c = 0, (15)
где
a = A + (2F-B-C- 4^)sin2 «cos2 a,
b = [(F - В - 2A)sm2 a-(F-C- 2/l)cos2 «]sin«cos«, (16)
с = a + Bsm2 a + Ccos2 a = —^r,
где
a = [tfsin2 a + Ccos2 a + A + (2F-B-C- 4^)sin2 acos2 сс\г . (17)
В изотропном листе A = В = С = F/3, b = 0, а с = 2a, так что tg J3 = V2 или у? » ±54,7°. Таким образом, существуют два одинаково возможных направлений образования шейки, равно наклоненной к оси образца; если источник сдвига, который индуцирует образование шейки, лежит не на краю, а в середине образца, то иногда наблюдается V образная шейка, ветви которой совпадают с частями обеих характеристик.
Когда лист является анизотропным, то существуют по - прежнему два одинаково возможных направления шейкообразования, соответствующих корням квадратного уравнения для tg/?, но обычно различно наклоненных.
Корни этого уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку, если Ь = 0, что происходит, когда а = 0, а, ;г/2, где а определяется из выражения (13). Для этих значений а возможны две шейки симметрично расположенные относительно оси образца. Если F больше как В + 2А, так и С + 2А, то b отрицательно, когда а<а, и положительно, когда а>а . Когда а<а, Р численно больше для шейки, имеющей склонность располагаться поперек направления прокатки, и наоборот, когда а>а . Эти неравенства меняют знак, когда F меньше как В + 2Л, так и С + 2А. Измерения Кёр-
11
бера и Хоффа углов наклона шее для алюминия, меди и никеля находятся в качественном соответствии с теорией Хилла. Состояние анизотропии в их материалах после 98% холодной прокатки должно быть таково, что F>C + 2A>B + 2A. Это совпадает с пределами текучести, который для обжатия был меньше в направлении прокатки, чем в поперечном направлении (т.е. XКогда посредством глубокой вытяжки из круговой заготовки, вырезанной из прокатанного листа, образуется стакан, то обнаруживают, что высота края выше основания неравномерна, в отличие от симметричного процесса в случае изотропной заготовки. В местах, симметрично расположенных по отношению к направлению прокатки, в первоначальной полосе образуются «ушки». Обычно получаются четыре ушка: или по концам двух диаметров, составляющих 45° с направлением прокатки, или по концам диаметров, расположенным под углом 0°и 90° с направлением прокатки. Расположение и высота ушков зависят от особенностей металла. В одном и том же метал-ле(медь и сталь) могут быть получены оба типа ушков. У латуни в местах расположенных под 0°и 60°, наблюдалось шесть ушков. Признанно, что ушкообразование обусловлено анизотропией прокатного листа.
Ушки и углубления образуются в крайних точках, где радиальное направление представляет собой одну из главных осей приращения деформации, т.е. где главные оси напряжения и приращения деформации совпадают. Предполагают, что ушки и углубления развиваются соответственно от точек, где касательные к краю представляют собой направления минимального и максимального значений текучести при одноосном растяжении. Эта гипотеза подкреплена результатами детального исследования ушкообразования, проведенного Болдуином, Говалдом и Россом. Материал был такой, что В = С. Относительные значения F и В + 2 А в образцах вырезанные из прокатанного листа были таковы, что для меди, у которой ушки возникают под углом 0° и 90°, F В + 2А. Настоящая теория предсказывает самое большее четыре ушка;
12
для того чтобы охарактеризовать анизотропию в таком материале, как прокатная патронная латунь, у которой после окончательного отжига около 700° С образуется шесть ушков, теория должна быть обобщена. Предполагается, что условие текучести и пластический потенциал являются многочленами степени п приведенных компонентов напряжения. Для плоского напряженного или деформированного состояния полином выбирается в форме:
где степени i,j,k-положительные целые числа или нуль (7 + j + к < и), а число к, когда направления х,у представляют собой главные оси анизотропии, должно быть четным.
Замечено, какое бы ни было условие текучести, ушки и углубления образуются там, где касательные к краю представляют собой направления стационарных значений предела текучести. Эти направления определяются из
„da _
условии — - 0.
da
Обсуждение проблемы экспериментального исследования анизотропии прокатных металлов содержится в обзоре В. Н. Демичева, И. Н. Матченко, С. С. Яковлева [19]. Отмечено, что анизотропия проката является следствием образования текстуры предпочтительной ориентировки кристаллографических осей в зернах обрабатываемого материала, характера распределения и ориентировки фаз дефектов металла и остаточных напряжений, возникающих вследствие неоднородности пластической деформации при прокатке [1, 10, 11, 53, 65]. Отмечено так же, что при обработке данных экспериментов существенно используется гипотеза о несжимаемости пластического течения, т.е. независимость пластического течения анизотропного листового материала от гидростатического давления. Поэтому, в качестве теоретической основы для обработки экспериментальных данных, используется условие пластичности Мизеса - Хилла [82].
Необходимо отметить большой вклад, который внесен членами Тульской школы механики в изучение анизотропных свойств пластичности де-
13
формируемых металлов: В. Д. Кухарем, И. Н. Матченко, Н. М. Матченко, Е. М. Селедкиным, Л. А. Толоконниковым, Н. Д. Тутышкиным, В. В. Шевелевым, С. П. Яковлевым, С. С. Яковлевым и другими [19, 45-47, 55-59, 76-79, 81,84,89-94].
Для уменьшения числа необходимых экспериментов при исследовании анизотропных материалов привлекаются теоремы о числе независимых инвариантов заданной совокупности тензоров. Деформационная теория, также опирающаяся на теоремы об инвариантах, рассматривалась в работах А. С. Кравчука, Б. Е. Победри, Рыхлевского[67]. Перспективный подход к описанию пластичности анизотропных сред предложен в работах С. А. Христиано-вича, Е. И. Шемякина [83, 85-88]. Все эти работы объедены тем, что операции с инвариантами напряженно — деформированного состояния проводятся в физическом пространстве.
Следуя [28], рассмотрим некоторые вопросы построения моделей анизотропных пластических тел.
Приобретенная анизотропия пластических материалов связана с упрочнением. Упрочнение материала в процессе направленного пластического деформирования вызывает изменение механических свойств в различных направлениях - возникает приобретенная анизотропия наклепанного материала. Одним из проявлений приобретенной анизотропии является известный эффект Баушингера.
Свойства пластического материала могут быть описаны функцией на-гружения и законом связи между приращениями пластических деформаций и напряжений. В основу построения пластичности может быть положен постулат Драккера [98], из которого следует ассоциированный закон течения:
^ 0) (19)
dX^,
где /-функция нагружения, сту-,е? - соответственно компоненты тензоров
напряжений и пластических деформаций, а также условие устойчивости:
14
(20)
Условие устойчивости накладывает ограничения на законы упрочнения, или, другими словами, на характер изменения функций нагружения при пластическом деформировании. Тем самым условие устойчивости (20) оказывается связанным с явлениями приобретенной анизотропии.
Предположим, что функция нагружения определяется значением пластических деформаций:
/(сг^^.Ц (к, = const). (21)
Частным случаем соотношения (21) является функция нагружения теории линейного изотропного упрочнения:
Е 2 = к + cl2 (k,c = const), (22)
где
а также функция нагружения теории трансляционного упрочнения:
(сту - cefj )2 = к2 (к, с = const). (23)
Теория трансляционного упрочнения была развита в работах А. Ю. Ишлинского [36,37] и В. Прагера [69, 70].
В пространстве напряжений Р функция нагружения (20) при фиксированном значении efj интерпретируется некоторой поверхностью нагружения (рис. 1а).
Р ^---------^ч .5
е? — const
а — const
Рис Л
15
Вводится пространство пластических деформаций S', тогда при фиксированном значении о функция нагружения (21) будет интерпретироваться некоторой поверхностью пластических деформаций. В исходный момент нагружения пластические деформации равны нулю
(efj =0), в этом случае поверхность пластических деформаций проходит через начало координат (рис.1б).
При одной и той же величине пластических деформаций еЦ, при нейтральном нагружении различным значениям а (рис. 2а) будут соответ-
~ const
, хХ"->,o-j = const
О\ ~ COIlBt
а Рис. 2 б
ствовать различные поверхности пластических деформаций (рис. 26). При
изменении вектора напряжений а происходит приращение пластических деформаций. Согласно ассоциированному закону течения для гладких функций нагружения при любых приращениях напряжений направление приращения пластической деформации вполне однозначно: оно направлено по нормали к поверхности нагружения. Следовательно, при данном деформированном состоянии поверхность пластических деформаций испытывает вполне определенное смещение в пространстве S.
Таким образом, несмотря на то что компоненты сг;уИ е» входят в
функцию нагружения (21), по существу, симметрично и равноправно, ассоциированный закон течения определяет их неравноправное положение. Если вектор <т может фактически принимать любое значение внутри фиксированной поверхности нагружения, то вектор ер подобной свободой перемещения внутри фиксированной поверхности пластических деформаций не располагает. Для функции нагружения определено понятие
16
нейтрального нагружения, когда приращения напряжений могут быть любыми; для фиксированной поверхности пластических деформаций приращение пластической деформации всегда однозначно определено в каждой ее точке.
При данном деформированном состоянии вектор приращений пластических деформаций в зависимости от нагружения может получить любое направление; это обстоятельство интерпретируется тем, что для разных
значений о через данную точку е? проходит множество поверхностей пластических деформаций (рис. 26).
Можно указать следующее соответствие между поверхностями нагружения и пластических деформаций. Если путем изменения напряженного состояния от cr^j) до сг,у(2) (рис. За) пластические деформации изменились от значения еЦщ до е^2) (рис. 36), причем они лежат на одной поверхности деформаций, соответствующей сг^\)= const, то поверхность на-
гружения при фиксированном е?^ будет обязательно проходить через конец вектора ст^^ (рис. За).
— const
eH(i) ~ const
= const
а Рис. З б
Для приращения напряженного и деформированного состояния как следует из (21), имеет место соотношение:
(24)
17 |
