Введение
Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесятым годам XIX века и связаны с именами Сен-Венана, рассмотревшего уравнения плоской деформации, и Леви, составившего, следуя идеям Сен-Венана, уравнения в трехмерном случае; ему же принадлежит способ линеаризации уравнений плоской задачи.
В начале XX века были опубликованы работы Хаара и Кармана, Мизеса. В первой из них была сделана попытка получить уравнения теории пластичности, исходя из некоторого вариационного принципа. В работе Мизеса четко сформулировано условие текучести.
Начиная с двадцатых годов, теория пластичности интенсивно развивается по двум главным направлениям: теория пластического течения и деформационная теория. В работах Прандтля, Мизеса, Рейса были получены важные результаты, как по основным уравнениям теории пластического течения, так и по методам решения плоской задачи. В трудах Генки были сформулированы основные положения деформационной теории пластичности. Однако законченный вид деформационная теория пластичности (теория малых упругопластических деформаций) приобрела благодаря работам А.А Ильюшина [16].
Вопросы экспериментального обоснования различных вариантов теории пластичности на основе общей теории процессов А.А. Ильюшина рассматривались в работах Р.А. Васина [10], В.Г. Зубчанинова [15], Э.С. Ленского [32].
Исследованию задач установившегося течения пластических сред посвящены многочисленные публикации зарубежных и отечественных авторов. Следует отметить работы Д.Д. Ивлева [8], И.А. Кийко [20, 21, 22], В.В. Соколовского [44], О.Д. Григорьева [11], М.Я. Бровмана [4, 5, 6].
5
В рамках модели идеального жестко-пластического материала существует класс решений, известных как идеальные течения. Впервые возможность получения таких решений для установившихся плоских течений была показана в статье [63], в этой работе было получено решение, описывающее процесс выдавливания через матрицу специальной формы. Доказательство существования идеальных течений дано в статье [56].
В работах Кийко [20, 21, 22] получены точные решения задач о течении пластического материала в тонком слое, найденные с помощью интегрирования вдоль линий тока.
В работе [45] получено замкнутое аналитическое описание напряженно-деформированного состояния при волочении, удовлетворяющее всем условиям пластичности и граничным условиям.
В книге [44] приведены решения задач для осесимметричного течения идеально пластического и упрочняющегося материала при малых деформациях в коническом канале.
В работе [1] исследованы уравнения теории идеальных течений для установившегося плоского течения. В данной работе показано, что если условия идеальной пластичности течения выполняются, то существуют еще две переменные, которые подчиняются телеграфному уравнению. Эти переменные определяют связь между декартовой и криволинейной системами координат, координатные линии которой являются линиями тока и ортогональными к ним линиями.
Простота уравнений теории идеальных течений имеет большое практическое значение при теоретическом определении оптимальных геометрических параметров инструмента для различных операций обработки металлов давлением. Отметим также, что простота уравнений теории идеальных течений позволяет использовать решения задач в рамках этой теории как тестовые при отладке компьютерных программ, что является неотъемлемым элементом численного моделирования.
6
При этом основная часть задач рассматривалась в рамках теории течения с условием текучести Треска. Г. Генки было показано, что в этом случае разрешающая система уравнений гиперболическая с ортогональными характеристическими линиями. Однако известно, что условие текучести Мизеса лучше аппроксимирует экспериментальные данные. Кроме того, многие материалы упрочняются в процессе деформирования, в связи, с чем вырос интерес к исследованию задач установившегося течения с учетом упрочнения.
Для течений упрочняющегося жестко-пластического материала даже в случае малых деформаций [44] уравнения равновесия усложняются. Соответственно, нахождение аналитического решения этих задач затрудняется.
В статье [24] представлена замкнутая постановка краевой задачи плоского установившегося течения упрочняющегося жестко-пластического материала при больших деформациях. Показана невыполнимость теорем Генки для линий скольжения. В статье делается вывод о необходимости использования численных методов для решения задач плоского установившегося течения упрочняющегося жестко-пластического материала. Лишь в исключительных случаях возможно построение аналитических решений.
В статьях [12, 23] рассмотрен метод решения задач установившегося течения жестко-пластического материала с упрочнением. В отличие от задач о течении идеально пластических тел, где удается получить интегралы уравнений равновесия, например интегралы Генки для плоской деформации [41, 44], уравнения равновесия для упрочняющегося жестко-пластического материала [24, 62] не интегрируются. Это обстоятельство затрудняет использование прямых методов расчета, поэтому эффективным становится применение различных полуобратных методов. Рассматривается установившееся течение, когда траектории движения частиц, вдоль которых
7
необходимо интегрировать параметр упрочнения для определения поверхности нагружения, совпадают с линиями тока. В работе [23] дано обобщение этого метода для плоского течения изотропно-упрочняющегося материала с гладкой поверхностью нагружения; получены решения задач о течении в шероховатом сходящемся канале и волочении тонкостенной трубы. В работе [23] хоть и введены линии скольжения, частные решения даны при условии, что линии тока совпадают с линиями скольжения. Так как полученные уравнения равновесия в общем случае не интегрируются. В работе [12] построены решения задачи течения материала в сходящемся канале с прямолинейными шероховатыми стенками и задачи течения материала в конфузоре с шероховатыми стенками, образованными логарифмическими спиралями. При сравнении данных задач отмечен дуализм: в случае течения по линиям тока, представляющим собой лучи, линии скольжения будут логарифмическими спиралями и наоборот, в задаче о течении в канале с логарифмическим профилем линии скольжения будут прямыми.
Первоначально полу обратный метод решения был предложен в [11] и применялся для задач об установившемся идеально пластическом течении материала Мизеса в криволинейном канале. Полуобратный метод основан на задании семейства линий тока и определяющих кинематических характеристик течения из удовлетворения уравнениям равновесия; такой характеристикой может быть модуль вектора скорости или некоторые другие величины, функционально с ним связанные. Этим методом найдено большинство точных решений. Так в задаче о течении среды в канале с прямолинейными стенками допущение о том, что линии тока — прямые, проходящие через начало координат, оправдывается и позволяет найти решение [44, 50]. В статье [4] найдено частное решение, в котором линиями тока являются логарифмические спирали. В работе [6] показано, что данным
8
методом для гиперболических линий тока можно получить точные решения не только для статических задач, но и для динамических задач.
В работе [5] рассмотрен вопрос о проверке допущения о том, что кривые данного семейства являются линиями тока. При этом скорость и компоненты девиатора напряжений выражаются через функцию одной из криволинейных координат. Получено нелинейное дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять эта функция, если допущение оказывается правильным.
В последнее время активно развивается направление в пластичности не опирающееся на концепцию предельных поверхностей. Обобщение деформационной теории А.А. Ильюшина [14] поставило вопрос о выборе наилучшей коротационной производной в определяющих соотношениях, который рассматривается во многих работах [7, 48, 51, 54, 55, 57, 58, 60]. В работах [52, 53, 59, 61] получены и применяются определяющие соотношения, в которых используют непосредственно производную Яуманна. Такой подход вытекает из потребности исключить влияние жесткого вращения частицы при распространении определяющих соотношений для малых деформаций на большие, и восходит еще к работам Прагера [41] и Хилла [49].
В статье [25] в определяющих соотношениях предложено применять производную Коттера и Ривлина. Автор пишет, что использование вихревой производной Яуманна в определяющих соотношениях приводит к осцилляции напряжений при простом сдвиге [39], Но в статье [9] показано, что применение полярной производной Яуманна устраняет этот недостаток.
Для выбора производных, в работе [37], кроме требования объективности [33, 47], было сформулировано дополнительное требование объективности. Было показано, что дополнительному условию удовлетворяют лишь абсолютная и полярная Яуманновская производные. В работе [37] показано, что при изотропных и близких к ним процессах полярная и вихревая производные совпадают.
9
Отметим, что постановки и решения задач установившегося течения на основе вариантов деформационной теории практически отсутствуют. Представляется актуальной разработка достаточно общей постановки и метода решения задач осесимметричного установившегося пластического течения, позволяющих получать решения в рамках различных моделей пластических сред; проведение сравнительного анализа решений, соответствующих теории течения (с учетом и без учета упрочнения), а так же вариантам деформационной теории скоростного типа.
Учитывая выше сказанное, сформулируем цель работы: разработка общей постановки и метода решения задач осесимметричного стационарного пластического течения, позволяющих получать решения в рамках различных моделей пластических материалов; построение и сравнение аналитических решений задачи осесимметричного стационарного течения несжимаемых материалов при использовании различных моделей конечного пластического деформирования.
В данной работе построены аналитические решения для задач осесимметричного стационарного движения пластических материалов при конечном деформировании как в рамках теории пластического течения с изотропным упрочнением, так и с использованием двух вариантов деформационной теории. Выведено условие совместности для девиаторных составляющих тензора напряжения. У многих авторов [2, 5, 23] оно встречается в частных решениях плоских задач стационарного течения материала, но в общем виде приведено не было. Проведено сравнение результатов задач для различных моделей материала. Результаты работы были приведены в статьях [26-30].
Глава 1 посвящена кинематике конечного деформирования несжимаемого материала при условии осевой симметрии. Выведены условия совместности для девиаторных составляющих. Найдены представления
10
кинематических соотношений и условий равновесия в координатах, связанных с линиями тока.
Глава 2 посвящена теории определяющих соотношений. Рассматриваются и сравниваются четыре типа определяющих соотношений: два варианта, с Яуманновской и абсолютной производной по времени от тензора напряжений, для материала, свойства которого описываются модифицированной деформационной теорией скоростного типа. И два варианта, с использованием теории течения: для идеально пластического материала и материала с изотропным упрочнением. Представлена запись определяющих соотношений при стационарном движении. Получены общие постановки задач осесимметричного стационарного течения для различных типов определяющих соотношений.
Глава 3 посвящена решению задач об изотропном течении в коническом канале для различных типов материалов с помощью полуобратного метода.
Глава 4 посвящена решению задачи об осесимметричном сдвиговом течении в коническом канале для различных типов материалов с помощью полуобратного метода.
Глава 5 посвящена сравнению различных вариантов моделей материалов на примере решения задачи прямого выдавливания при изотропном и вихревом течениях. Кроме того, построены асимптотические решения данной задачи для различных моделей определяющих соотношений без учёта и при интегральном учёте трения.
11
1. Кинематические соотношения и условия равновесия в установившихся процессах конечного деформирования
1.1. Запись кинематических соотношений в координатах, связанных с
линиями тока
Рассмотрим установившееся течение несжимаемого материала. Поле скоростей, в этом случае имеет вид:
V = Fj(a,,or2Ja3Mi + F2(a,,ar2,a3)^ +V3(al,a2ia3)e3, (1.1)
где ех,ё2,е3 - единичные векторы локального базиса криволинейной ортогональной системы координатах,а2,ос2 (рис. 1).
а? е
е,
а,
х,
Рис. 1
12 Условие несжимаемости материала запишем в форме [34]:
V-F = 0, (1.2)
~ ё, д е, д е-, д „
где V = —¦--------1—-------+ —---------оператор Гамильтона;
тт ^ тт -Л ТТ -Л * *
Я, <7«! Я2 67(С1Г2 Я3 f7(Qf3
ЯР
Я.=
- коэффициенты Ламе;
г = г(ах,а2,а3) — радиус-вектор точки пространства наблюдателя.
Полагая, что поле скоростей симметрично относительно оси Охъ представим его через потенциальную векторную функцию р,=/и{ах,а2)еъ в виде:
V = Vxfi. (1.3)
При определении скорости через потенциал /л условие несжимаемости (1.2)
тождественно удовлетворяется.
Из(1.1)и(1.3) получим представление поля скоростей через потенциал ju:
- Нх да, Н2 да2 дах Нх да2 Н2 даг Я3
Формулы дифференцирования векторов локального
ортонормированного базиса криволинейной ортогональной системы координат имеют вид [33]:
(1.5)
дат Hs
где 5^ - дельта Кронекера (8m s = 1 при т = s, 5m s = 0 при т Ф s).
В дальнейшем будут рассматриваться только осесимметричные течения и, соответственно, осесимметричные системы координат (далее с.к.).
Дифференцирование векторов локального базиса криволинейной ортогональной осесимметричной с.к. будет иметь упрощающие особенности по сравнению с формулой (1.5).
Для криволинейной ортогональной осесимметричной с.к. с осью симметрии (см. рис. 1 - ось Х{) такой, что координатные линии а3
13
представляют собой окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси симметрии с.к., с центрами в точках пересечения этих плоскостей с осью симметрии с.к., метрика пространства (компоненты метрического тензора) не будет меняться по координате аъ. Отсюда коэффициенты Ламе Я, такой с.к. не будут зависеть от аъ:
гя(««) = 0
0
да3
При этом координатные линии ах и аг совершенно равнозначны и не имеют никаких особенностей в отличии от а3.
Используя выражения (1.5) и (1.6), найдем формулы дифференцирования векторов локального базиса криволинейной ортогональной осесимметричной с.к.:
де, 1 дН, _ дёг 1 дН2 _ дё, 1 дН, _ дах H2 да2 ' да2 Нх дах ' да3 Нх дах 3'
дё2 1 дНх - дё2 1 дН2 _ де2 1 дН,, Я, 5а, Эа, Н. да, да, Н*, да
j ..X 2 <^i>b2 oa2 Я, да{ оаъ H2 oa2
дёг -
дах да2 даъ Нх дах Н2 да2
е2.
Подставляя уравнения (1.7) в выражение поля скоростей (1.4), получим:
т7 1 („ dju dH3Y 1 („ дм dH3Y
V--------- Я,—— + и------ е,----------Я,——+и,-----\е0. (1.8)
Н2Н3 { да2 да2) ' НХН3 \ 3 да, дах ) 2
Полагаем, что поверхности а2 = const криволинейной ортогональной осесимметричной с.к. совпадают с трубками тока течения среды. Тогда линии тока есть линии ах (вдоль которых координаты а2 и а3 не изменяются).
Таким образом, вектор скорости V направлен в разных точках по касательным к линиям ах (см. рис. 1), следовательно, его составляющие V2 и F3 вдоль линий а2 и аъ соответственно равны нулю.
14
Кроме того, из осесимметричности течения следует, что все скалярные характеристики потока (скаляры, компоненты векторов и тензоров) не зависят от аъ и, следовательно, их производные по аъ равны нулю. Тогда из (1.8) следует, что
1
дн
да.
дах
з _
= 0.
(1.9)
Введем скалярную функцию J3 - потенциал скоростей, связанный с /л выражением:
(1.10)
= 0.
Условие (1.9) будет удовлетворятся, если
да.
Отсюда следует, что вдоль линии тока ах функция /? не изменяется. Потенциал скоростей будет зависеть только от переменной а2, т.е. /3 - /3(а2). Рассмотрим представление кинематических характеристик через потенциал скоростей /3(а2)- Положим, что скорость направлена в противоположную сторону относительно координаты ах. Тогда физические компоненты вектора скорости на основании (1.8) и (1.10), учитывая, что Д2 -неизвестная функция, примут следующий вид:
Н2НЪ
= V3=0 .
(1.11)
Найдем компоненты градиента скорости VV при осесимметричном течении в координатах, связанных с линиями тока, используя (1.11):
Нх
ff]H2 да2 ' \\дНг
Н2 да2' Н1Н2
0
0
0;
0;
НХН3 да
1 У
(1.12)
15
#
Представление компонент градиента скорости через потенциал скоростей р имеет вид:
1
,2
н\н2нъ)х
Д.2
U Z-7 Т1 211
0;
дН
НхЩНг да,
2 .
0;
О
О
-Д,2 дНъ {H2Hj да,
(1.13)
Представим тензор - градиент скоростей VF его разложением на симметричную W и антисимметричную а> части [43]:
W + a>, (1.14)
где PF = — (VF + VFT) - тензор деформации скорости;
О) — ~ (VF — VFT) — тензор вихря (символ « т » означает операцию
транспонирования).
Компоненты тензора деформации скорости W, согласно (1.14), примут
вид:
f - ?
1 1 1
,2
Д.
,2
Н,Н\НЪ да2 1 Г Д
; о
,2
Я, Ят Я,
Я21Я2Я3
-Д,2 дН2, ' Н1Н2Н3 да, '
0
0;
0;
-Д,
,2
я,я2я32
(1.15)
Из выражения (1.15) видно, что тензор деформации скорости W для несжимаемого материала имеет след равный нулю, а значит, является девиатором, что важно для дальнейшего.
16
Интенсивность тензора деформации скорости W, которая определяется по формуле W = vW • -W , равна W =
,2
1
1
Я, ( Н~,Н-,
1
ая,
1
ая,
НхНгН] да,
(1.16)
J_
1
дН,
НхН22Н3да2
хН2Н3
Здесь введен кинематический потенциал X -
(1Л7)
Из его определения следует, что кинематический потенциал х связан с потенциалом скоростей (3 выражением:
р2 = Сехр I \х ааЛ, (118)
где С - константа интегрирования.
Из определения х видно, что это скалярная функция, зависящая только от
координаты а2, т.е. х = х(аг) ¦
Подстановка выражения (1.18) в формулу (1.11) позволяет найти распределение поля скоростей, через кинематический потенциал х '•
С
Я2Я3
ехр
(1.19)
Компоненты тензора вихря & из (1.13) и (1.14) примут вид:
17
«1
А л
0;
,
да2
; 0;
0;
0
О О
(1.20)
V j
Частным случаем криволинейной ортогональной осесимметричной с.к. является сферическая с.к., которой в дальнейшем будем часто пользоваться.
В сферических координатах, где ах -> р, а2-+а, аъ-хр, коэффициенты Ламе имеют вид:
Я1 = 1; Я2 = р\ Нъ = psiua.
Формулы дифференцирования векторов локального ортонормированного базиса (1.7) в сферической с.к. будут записаны следующим образом:
дё„ дё„
дР
= 0,
дё
дР
а _
= 0,
да
дёа _ да ~
9 -О
др
дё,
да
<р —
= 0,
д(р
д<р д<р
(1.21)
= -smaep —
Компоненты вектора скорости (1.11) в сферической с.к. будут записаны в виде:
V =V =0.
а <р
(1.22)
р sin a
Зависимость поля скоростей от кинематического потенциала % (1-19) предстанет в следующей форме:
1Г _ *к
da),
(1.23)
где Vk — константа интегрирования. |
