ВВЕДЕНИЕ
Предметом исследования является расширение выразительных возможностей языка современной логики.
Актуальность исследования. Математическая (символическая) логика является современным этапом развития формальной логики. Ее выразительные возможности представляются синтаксисом, алгеброй и геометрией, образующими неразрывное единство и дополнение друг друга в языке логики.
Синтаксис (лексико-грамматические схемы и формы мышления) обладает наименьшей логической силой.
Алгебра (математическая логика) позволяет установить то общее, что имеется в различных по содержанию мыслях - их логическую силу и слабость, их логическое количество и качество. Тем самым становится возможным классификация особых языково-мыслительных конструкций, их сравнение и сопоставление. Алгебраические формулы легко располагаются в пространстве, образуя решетки, матрицы, таблицы. Алгебра, в отличие от синтаксиса, более научна, объективна, непредвзята. Недостатком алгебры является ее абстрактность, бессодержательность.
Геометрия (схемы, диаграммы) строится на основе алгебры. Средства визуализации придают мышлению определенность, конкретность, осязаемость, наглядный и очевидный характер, благодаря чему достигается наибольшая продуктивность мышления.
Логическая грамотность заключается в свободном отношении к перечисленным выше знаковым системам. Правила применения и сочетания знаковых систем выражают принцип дополнительности (комплементарности), который имеет фундаментальное значение для логики [Григорьев Б.В. Классическая логика: Учебное пособие. - М.: Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС, 1996. - 192 с. - С. 16-18].
Противоречие заключается в том, что логические способы и методы обработки информации в алгоритмических языках программирования реализованы всего лишь одним компонентом языка современной логики - синтаксисом, что не позволяет применять методы математической (символической) логики в полной мере. Актуальность исследования заключается в необходимости разрешения противоречия, поиске путей и способов расширения выразительных возможностей языка современной логики. Исторически известно, что основатели математической логики Д.Буль, У.С.Джевонс, И.И.Жегалкин, О.деМорган, Ч.С.Пирс, П.С.Порецкий, Э.Шрёдер до приобретения ее символической письменности в своих исследованиях применяли арифметические операции с логической точки зрения.
Идея исследования состоит в предположении, что символические обозначения логических связок можно моделировать арифметическими операциями, что позволит применять методы математической (символической) логики в алгоритмических языках программирования и расширит выразительные возможности языка современной логики компонентом арифметики логики в дополнение к синтаксису, алгебре и геометрии логики.
Цели и задачи исследования. Главная цель диссертационного исследования состоит в разработке теоретической базы (оснований) языка арифметизированной логики для расширения выразительных возможностей языка современной логики.
Достижение главной цели осуществляется постановкой и решением следующих основных задач:
- выявить объективно необходимые предпосылки систематического построения языка арифметизированной логики в контексте главной цели исследования;
- разработать логически обоснованные средства реализации основных схем и форм мышления в языке арифметизированной логики;
- выделить специфические параметры языка арифметизированной логики для разработки средств и методов его автоматизации. Методологическая основа и разработанность темы исследования.
Методологическую основу диссертационного исследования составляют идеи классической и современной математической (символической) логики, теории информатики и кибернетики. В разрабатываемой теме нашли свое отражение известные в отечественной и зарубежной литературе отдельные идеи, имеющие к ней непосредственное или косвенное отношение: в области построения основ математической логики с применением заимствованных в арифметике знаков операций для описания действий над классами (И.И.Жегалкин, П.С.Порецкий, Э.Шредер); в области компьютерного представления разделов логики (К.И.Бахтияров); в области практики программирования (В.Н.Касаткин). Настоящее исследование предполагает расширить выразительные возможности языка современной логики путем создания и систематического исследования языка арифметизированной логики.
В методологическом плане автор благодарен тем ученым, с чьими трудами имел возможность ознакомиться, деловым встречам на кафедрах и конференциях по логике и философии Санкт-Петербурга и Москвы.
Научная новизна заключается в разработке и внедрении:
- единых арифметизированных подходов к изучению типовых схем логических форм мышления в результате их анализа и систематизации;
- арифметизированных моделей логических форм мышления;
- критериев применимости арифметизированных моделей;
- интерпретаций форм мышления универсальными средствами языка арифметизированной логики;
- синтеза и программной реализации рекурсивно устойчивых алгоритмов линейных способов логической обработки информации;
- практических рекомендаций по повышению быстродействия современной цифровой технологии на основе подходов языка арифметизированной логики;
— использования предложенных средств, способствующих расширению выразительных возможностей языка современной логики. Практическая значимость диссертации определяется новыми
возможностями в теоретических и практических исследованиях способов и методов логической обработки информации на основе расширения выразительных возможностей языка современной логики.
Алгоритмизация предложенных методик, выбор оптимальных структур и их компьютерная и техническая реализация явились основой для проектирования интегральных логических модулей и микросхем, а также для разработки принципиально новых линейных способов логической обработки информации. На некоторые из них получены положительные решения ВНИИГПЭ.
Результаты диссертации могут послужить методологическим основанием для представления новых подходов современного языка логики на основе расширения его выразительных возможностей.
Апробация работы. Рукопись диссертации обсуждалась и была рекомендована к защите на заседании кафедры философии Санкт-Петербургского государственного института точной механики и оптики (Технического университета) и на заседании кафедры логики Санкт-Петербургского государственного университета.
Основные идеи и результаты диссертационного исследования отражены в публикациях и статьях, выступлениях на научных конференциях, в частности на: III, IV Международных конференциях «Смирновские чтения» (Москва, 2001, 2003 гг.), VIII, IX, X, XI, XIII, XIV Международных конференциях «Применение новых технологий в образовании» (Москва, 1997, 1998, 1999, 2000, 2002, 2003 гг.),
Международной научной конференции молодых ученых (Ишим, 2001), VII Общероссийской научной конференции «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке» (Санкт-Петербург, 2002), VI межвузовской конференции «Проблемы педагогической инноватики» (Тобольск, 2001).
Диссертационные задачи, связанные с разработкой логических схем и на их основе интегральных электронных схем, нашли отражение в изобретениях (per. №2001117273 от 26.06.2001, per. №2001122666 от 14.08.2001) и полезных моделях (№26710 от 10.12.2002, №29195 от 27.04.2003).
8
ГЛАВА 1. ЛОГИЧЕСКАЯ ПРИРОДА АЛЬТЕРНАТИВНЫХ ВЕЛИЧИН
1.1. История выразительных возможностей языка математической (символической) логики
Язык общения порождал математику и логику. Грамматика, математика и логика участвуют в любой деятельности человека и содействуют его развитию.
Под выразительными возможностями языка математической (символической) логики понимают любые ее представления знаками:
• иконическими знаками (диаграммы, схемы, таблицы, формулы, расположение слов в предложениях),
• вырожденными индексами (указатели),
• символами (специальные символы, слова, предложения, высказывания, языки) [38, с. 14-20].
Логика имеет дело с отношением символов к их объектам. Чтобы сделать это отношение очевидным и понятным, она разрабатывает правила перехода от символов естественного языка к индексам и символам искусственного языка, а от него — к иконическим знакам. Таким образом, в языке логики присутствуют все виды знаков, представляя своей совокупностью своеобразные синтаксис, алгебру и геометрию логики.
Логика начала свое становление с лексико-грамматических форм естественного языка. Этот инструмент научного анализа состоял из правил в виде схем и форм рассуждений. Появились эти схемы и формы рассуждений благодаря усилиям философов-элеатов [12, с. 8-19]:
- Парменида (ок. 540-480 до н.э.),
- Сократа (469-399 до н.э.),
- Платона (427-347 до н.э.)
[29, с. 236; 48, с. 17; 62, с. 435, 442, 560; 65, с. 4; 70, с. 99; 94, с. 472-473].
Суть рассуждений они видели в выведении одних (истинных) суждений, именуемых заключениями (следствиями) из других, называемых посылками (предпосылками). Для представления рассуждений находились особые языково-мыслительные конструкции, которые связывались между собой специальными логическими словами. Такие конструкции носили комбинаторно-вероятностный характер, порождающий определенное количество схем и форм рассуждений, а также определенные условия их применимости. Рассуждения, представленные иконическими знаками, зависели от расположения слов в языково-мыслительных конструкциях, играющих одновременно роль символов. Все языково-мыслительные конструкции трудно было запомнить в разных вариантах их сочетаний.
Вместе с языком развивалась геометрия. Геометры во времена Евклида обозначали объекты буквами [71, с. 34]. Такой подход упрощал мыслительную деятельность, на что мог обратить внимание Аристотель (384-322 до н.э.).
Важным достижением Аристотеля является то, что он отделил логические принципы и схемы рассуждений от содержания самих рассуждений. Если у более ранних философов логические правила функционируют только в конкретных рассуждениях, то Аристотель создал теорию силлогизмов (первую логическую систему дедукции [68, с. 16]) и дал систематическое изложение логики, - благодаря чему его считают основоположником формальной логики. Он ввел в употребление буквенные обозначения для субъектов и предикатов простых категорических высказываний [62, с. 438], изложил законы правильного мышления (закон тождества, закон непротиворечия, закон исключенного третьего). В своих исследованиях Аристотель выделял именно форму: "если А приписывается всем Б, а Б - всем В, то А необходимо приписывается всем В", - это схема умозаключения (дедуктивного вывода, дедукции) [12, с. 20]. Если вместо А, Б, В подставить конкретные значения или слова, то мы получим конкретное
10
телесные
Схема 1.1.1.
бестелесные
рассуждение в виде примера применения указанной схемы. Именно схемы умозаключений демонстрировали выразительные возможности языка формальной логики. С буквенных обозначений терминов суждений началось развитие обозначений от вырожденных индексов к символам.
Дальнейшая разработка логики высказываний осуществлялась логиками мегаро-стоической школы:
- Зенон (ок. 336-ок. 264 до н.э.) ввел термин "логика" вместо "аналитика" [62, с. 181],
- Хрисипп (281 -208 до н.э.),
- Посидоний (ок. 135-50 до н.э.).
Логики этой школы дали анализ логических терминов (отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации), а также ввели переменные для высказываний [62, с. 299].
Первая схематическая визуализация в логике была использована истолкователем аристотелевской логики Порфирием (233-304). Он предложил схему дихотомического классификационного дерева ("древо Пор-фирия") - прародительницу логиче- * к
СКИХ СХеМ, Деревьев, Графов И Т.П. разумное^ ^^ неразумное
Схема Порфирия отображает субординацию родовых и видовых понятий^, с. 165,461].
Первая визуализация отношений между объемами понятий посредством кругов была применена представителем афинской неоплатоновской школы - Филопоном (VI век), написавшим комментарии на "Первую аналитику"
одушевленные^ _ и _ неодушевленные
нечувствующий
Сократ I Аристотель
Платон
Диаграмма 1.1.1
11
Аристотеля [62, с. 675]. Объем понятия условно изображается окружностью и отображает совокупность предметов того или иного класса предметов. Такие предметы или классы предметов можно изображать точками или окружностями меньшего радиуса внутри окружности, представляющей объем рассматриваемого понятия.
Формы и схемы суждений (Аристотель) и высказываний (стоики), буквенные обозначения в логике позволяли изучать наиболее общие свойства и отношения между предметами, явлениями, процессами реальности путем рассуждений. Схематические деревья и круговые диаграммы не только наглядно изображали структуру суждений и высказываний, но и регламентировали строгий порядок их построения и последовательность приведения рассуждений.
Способ пошагового описания действий (всякая система вычислений, выполняемых по строго установленным правилам) был предложен древнеузбекским ученым ал-Хорезми Абу Абдулла Мухаммед ибн-Муса ал-Маджуси (787 - ок. 850). Его имя в Европе было переведено algorithmi, что и дало название - алгоритм [85, с. 93, 333]. Это был очередной шаг к систематизации знаний, аналогичный "древу Порфирия".
Когда наступил длительный период застоя, логики продолжали изучать и развивать аристотелевскую силлогистику, пользуясь средствами естественного (латинского) языка, к которым присоединялись простейшие схемы и буквенные обозначения. Схема 1.1.2.
Кому принадлежит первая геометрическая интерпретация (визуализация) отношений между некоторыми видами суждений с помощью логического квадрата -
точно не известно. Но впервые она встречается в руко-____________
писи II в. н.э. у Апулея [Л. Г. Тоноян. К истории "логического квадрата". // Материалы VII Общероссийской научной конференции "Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке". СПб., 2002. - с. 407-409].
12
Первые шаги к практике программирования после открытия алгоритмов делали изобретатели тайных шифров (криптограмм) французский математик Франсуа Виет (1540-1603), английский философ Фрэнсис Бэкон (1561-1626) [44, с. 9]. Естественным образом развивалось и обратное направление - искусство дешифровки или криптоанализа. Франсуа Виет применяет правила числовой алгебры к уравнениям, связывающим какие угодно величины, которые обозначались им буквами, а Рене Декарт (1596-1650) вводит общепринятые теперь знаки для переменных и искомых величин (х, у, z, ...), для буквенных коэффициентов (а, Ь, с, ...) и степеней (xJ, a3, ...) [71, с. 35]. Он также создает основу современного формального языка математики - буквенную алгебру. Эти достижения математики не замедлили сказаться на развитии логики.
Основоположник математической логики Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) предложил в своей "Диссертации о комбинаторном искусстве" (1666 г.) проект "универсальной характеристики". Соответствующий метод включал два теоретических инструмента: искусственный язык науки {characteristica universalis) и исчисление умозаключений {calculus rationator), для чего Лейбниц перенес Декартову символику в логику. И хотя сам он не осуществил свою идею до конца, у него был общий план ее реализации: надлежит все понятия свести к некоторым элементарным, образующим как бы алфавит, азбуку человеческих мыслей. Когда это удастся сделать, станет возможной замена обычных рассуждений на оперирование со знаками. В этом и заключалось бы исчисление умозаключений, подобное математическим вычислениям. Это позволяло бы "производить проверку или последовательные доказательства, сводя все к числам, причем делать это можно не только для заключительного предложения, но и в любой момент и на любом шаге, начиная с посылок" [12, с. 37; 17, с. 100]. К законам правильного мышления Лейбниц добавил закон достаточного основания [62, с. 278-279].
13
Другим автором идеи универсального языка знаков является Ламберт Иоганн Генрих (1728-1777). Он использовал для обозначения простых суждений геометрические линии ("ламбертовы линии"), которые помогали увидеть процесс суждения как процесс логического исчисления - складывания и вычитания отрезков разной длины [62, с. 276]: Всякое АсутъВ В* tb Схема 1.1.3.
Ни одно А не суть В В*----------------------------»ь А»-------------------,а
Некоторые А не суть В Некоторые А суть В
п
Ламберт положил в основу своего исчисления четыре операции:
а+с - комбинирование, или логическое сложение;
а-с - изоляция, или логическое вычитание;
ахс - определение, или логическое умножение;
а-н? - абстрагирование, или логическое деление [88, с. 123-124].
Ламбертовы линии наглядно демонстрируют суждения логического квадрата (по аналогии с [49, с. 151]): Схема 1.1.4.
Можно сконструировать ламбертову линейку, состоящую из двух разноцветных сцепленных и перемещающихся относительно друг друга простых линеек. При этом неподвижная линейка моделирует субъект суждения, а вторая подвижная линейка имеет дополнительные возможности изменять свою длину и моделирует предикат суждения. Кроме того, неподвижная линейка содержит перемещаемый и фиксируемый указатель для моделирования частных суждений.
14
Формализм логики предполагал механический автоматизм. Первым изобретателем "механического искусственного интеллекта" стал схоласт и алхимик Раймунд Луллий (1234/35-1315). Затем дело продолжили:
- немецкий теософ Корнелий Агриппа (1486-1535),
- Джордано Бруно (1548-1600),
- иезуит Атанасиус Кирхер (ум. в 1680),
- немецкий философ Лейбниц.
Всем этим попыткам недоставало хорошо разработанного аппарата исчисления [12, с. 30-38].
Леонард Эйлер (1707-1783) увидел в кругах способ моделирования отношений между объемами понятий [62, с. 675], а не просто учебную демонстрацию этих отношений. В 1768 г. в "Письме к немецкой принцессе" [84, с. 13] он использует круги для изображения отношений родо-видового деления в силлогистике: Диаграмма 1.1.2.
А - родовое понятие (объем больше, содержание меньше, так как включает в себя только родовые признаки),
В - видовое понятие (объем меньше, содержание больше, так как наряду с родовым включает и видовые признаки).
Делением понятия он называл логическую операцию, раскрывающую объем понятия путем перечисления всех его видов с учетом какого-либо признака. Понятие, объем которого раскрывается, называется делимым понятием; виды, получившиеся в результате деления, - членами деления, а признак, с учетом которого выделяются члены деления, - основанием деления. Интерпретация кругами позволяла наглядно представлять классы и отношения между ними. Явно очерчивались пути математического анализа логики и теории множеств. Эйлер в 1736 г. предложил геометрические подходы при решении головоломок и математических развлека-
15
тельных задач, чем способствовал развитию теории графов (деревьев, логических схем).
Начинается исследование логики классов. Жозеф Диз Жергонн (1771-1859) исследовал пять основных отношений между классами, изображая их кругами Эйлера [62, с. 176]. Изображение кругами (и другими геометрическими фигурами) становилось универсальным методом визуализации моделируемых отношений. у^\ Диаграмма 1.1.3.
Бернард Больцано (1781-1848) для таких же отображений классов использует прямоугольники. Ему принадлежат идеи аксиоматического построения логики [62, с. 71].
Эварист Галуа (1811-1832) использует индексы. Математика, начиная с Декарта, все более расширяет и уточняет понятийный аппарат, используя пока формальную логику [71, с. 35].
Английский исследователь и инженер Чарльз Бэббидж (1791-1871) по-другому подошел к лейбницевым идеям машинизации исчислений. Его проект (1834) аналитической машины явился воплощением науки об операциях. В этом отчетливо проявляется историческая преемственность, связующая идеи Бэббиджа с "универсальной математикой" Декарта и "универсальной характеристикой" Лейбница [12, с. 38-39]. Но планируемой машине недоставало логического синтаксиса.
В 1804 г. французский инженер Жозеф Мари Жаккар (1752-1834) построил полностью автоматизированный ткацкий станок, способный воспроизводить сложнейшие узоры по программам, вводимых колодой перфокарт [44, с. 14]. В перфокартах просматривался путь к таблицам истинности. Аналогичное изобретение по возможности практического использования криптографии и криптоанализа последовало в электронике. С.Ф.Б. Морзе (1791-1872) предложил клопфер (приемник на основе
16
прообраза электромагнитного реле) и азбуку, зашифрованную разными последовательностями неравномерных сигналов, для передачи информации на далекие расстояния [44, с. 7-9]. Оба изобретения имеют прямое отношение к логике. Но практика пока опережала теорию.
Джордж Буль (1815-1864) является автором основополагающих для логики трудов "Математический анализ логики" (1847) и "Исследование законов мысли" (1854). Предложенная им алгебра служила для описания операций (сложение, умножение, вычитание) в основном над классами и действий над высказываниями. При этом операции утверждения и отрицания связаны с универсальным классом. А в логических равенствах под знаком "равно" подразумевалась связка "есть". Движение его мысли шло от математики к логике. Логика была представлена как абстрактная математическая структура: ее можно задать, указав некоторый алфавит, правила образования выражений и методы отыскания среди них истинных - теорем системы. Отрицание обозначалось штрихом [12, с. 49-54, 73-74; 44, с. 30; 62, с. 26-27, 76;].
В работах Буля было представлено описание абстрактной алгебраической структуры. Огастес де Морган (1806-1871) опубликовал чуть позже Буля "Формальную логику" в виде содержательных спецификаций на классах и высказываниях. В 1847 г. им открыты такие фундаментальные законы алгебры логики как отрицание конъюнкции равносильно дизъюнкции отрицаний и отрицание дизъюнкций равносильно конъюнкции отрицаний, получившие впоследствии его имя [12, с. 73-74; 62, с. 364-365].
С 1847 года выразительные возможности алгебры логики в виде уравнений и формул (иконические знаки) стали компактными. А изучение функциональных зависимостей причинно-следственных связей становится наглядным. В области визуализации работы с высказываниями и умозаключениями также произошли значительные открытия.
17
х у
Чарлз Лаутидж Доджсон (1832-1898) - с Диаграмма 1.1.4.
1855 работал в области математической логики, написал книги для детей под псевдонимом Льюиса Кэрролла. Придумал диаграммы (логическая игра Кэрролла), над которыми производил векторные преобразования. При этом игровые фишки выполняли роль векторного навешивания кванторов: красная - «некоторые суть» или «все суть», черная — «некоторые не-суть» или «никто (ни один) не-сутъ», - соответствующие построению и анализу силлогизмов с последующим получением вывода [66; 71, с. 36]. Диаграммы Кэрролла подобны декартовой системе координат, повернутой вокруг своей оси на 90 градусов влево, с пустым множеством в начале координат и значениями истинности 0 и 1. На самом деле это истинностная матрица, на которую накладываются внешние векторы квантификации.
Позднее Джон Венн (1834-1923) создал целую систему графических изображений (круги, эллипсы, прямоугольники). Ввел обозначение универсума прямоугольником, внутри которого рассматривались отношения между классами. Он предложил называть логику, в которой широко применяются математические символы, "символической логикой". [12, с. 74; 44, с. 31; 62, с. 540; 72, с. 82, 142-143].
Анализ диаграмм Венна и Кэрролла показывает, что, внешне отличаясь друг от друга, они отображают одни и те же отношения. Это говорит о том, что над классами и высказываниями в диаграммах Венна можно производить векторные преобразования так же, как это делал Кэрролл для суждений и силлогизмов. При этом необходимо соблюдать требова-
Диаграмма 1.1.5. |
