- 3-
С древнейших времен осознана огромная роль метода математического моделирования в процессе познания и практического использования окружающего нас мира. Решение любой практической за-дачи связано с необходимостью перевода ее на язык математических символов и формул, т.е. с ее Формализацией. Отбрасывая в процессе абстрагирования частные, специфические признаки предмета, переходя от чувственной формы отражения к рациональной, люди обогащали свои знания о предмете.
Непреходящее значение математического моделирования подчеркивалось многими исследователями (Г.Вейль,Г.Кепперс,К.Е.Морозов, Ю.А.Гастев), указавшими следующие аспекты его использования:
1.как средства познания и технического расчета объекта,
2. как мощного аппарата исследования явлений природы,
З.как инструмента решения научно-технических задач,
4. как метода научного исследования.
Современные пути экономического развития страны требуют со-
вершенствования системы образования с целью повышения зффектав-носта усвоения знаний, усиления политехнической направленности
преподавания. Овладение при этом современными математическими теориями и методами,общими принципами и умениями применять их к решению практических задач способствует воспитанию творческих и познавательных способностей, Формированию научно-теоретического
мышления. Поэтому для преподавания математических дисциплину частности, геометрии, усиливается актуальность вопросов о роли и месте математического моделирования .
Многочисленные исследования в области педагогики С В. В. Фирсов, Л. М. Фридман, Л. Д. Кудрявцев, А. Н. Колмогоров, А. И. Маркуше-вич, Б. В. Гнеденко,В.Л.Гончаров, С. И. Шварцбурд), психологииС В. В. Давьн
- 4-
дов, П. Я. Гальперин, Ж. Пиаже, С. Л. Рубинштейн, М. В. Гамезо, Н. Г. Салмина), методики преподавания математики (Г.М.Морозов, В. А.Стука-лов, В. С. Былков, А. Я. Блох, Л. Г. Петерсон, Н. Б. Мельникова, И. Я. Мешкова, В. А. Гаранин) свидетельствуют о том, что, во-первых, существующий курс математики школы и педвуза лишь эпизодически показывают процесс применения математики к решению практических задач и, во-вторых, о необходимости более полного включения идей математического моделирования в школьное и вузовское обучение ( Е.С.Муравьев, А. Г. Мордкович, А. С. Раухман, Р. А. Майер, М. Н. Скаткин, Т. А. Арташ-
кина).
Использование моделирования в обучении, по мнению психологов, помогает в решении ряда педагогических задач, таких как : активизация мыслительной деятельности, формирование научно-теоретического мышления, повышение эффективности усвоения знаний, соблюдение принципов сознательности обучения, единства теории и практи-
ки.
В процессе обучения в сознании обучаемого создается картина,
соответствующая уровню передаваемых знаний о математике, т. е. некоторая модель, поэтому важным компонентом математического образования является обучение методу математического моделирования, поскольку именно математическое моделирование позволяет раскрыть связи абстрактных математических понятий с реальностью. Осуществляя в структуре математического моделирования переход от Формальной математической задачи к ее интерпретации, мы осуществляем некоторую наглядность математических средств. Благодаря этому роль математического моделирования как средства наглядности является общепризнанной С А.И. Фетисов , Н. Ф. Четверухин, И. А. Гибш).
Представления о структуре математического моделирования, о его компонентах, специфике отдельных его этапов создают базу для
5-
развития общих навыков применения математики к решению практичес-
ких задач, обеспечивают аолипеосничвок^» KuarmSiewwonib преподава-
ния математики (Л.Д.Кудрявцев, Б.В.Гнеденко, Г.Фройденталь),и,в частности, геометрии, являясь, следовательно, составной частью
курса математики. Использование идеи математического моделирования позволяет продвинуть решение еще одной проблемы - усиление межпредметаых
й. Главное, что может быть достигнуто в этом наг это показ &iuujuK&a* пг1&кикк»&ения алгебры, геометрии, математи-
ческого анализа, иллюстрация влияния задач, возникающих в одной
области высшей математики, на развитие других, расширение арсенала математических моделей и средств моделирования.
Целенаправленное обучение математическому моделированию помогает формированию ix&?Kdfcdm&Ji>Haa c^wu&einu, студентов пе-
дагогического вуза, благоприятно влияет на ее мотивационные, ориентационные , содержательно-операционные, оценочные компоненты. Анализ теоретических исследований А.Н. Колмогорова, А. Я.Блоха, В. Л. Гончарова, Л. П. Веретенниковой, С. И. Шварцбурда, В. М. Монахова, А.А.Космодемьянской, Ю. М.Колягина убедительно показывают роль представлений о математическом моделировании в развитии мыслительных, творческих и математических способностей учащихся, ускорении умозаключений и процесса решения задач, Формировании науч-ного мышления, повышении эффективности усвоения знаний, обеспече-
нии высокого уровня подготовки специалистов.
Однако, при наличии широкого спектра исследований в рассматриваемом вопросе , естественно, что не все аспекты его изучены в равной степени. Дальнейшего изучения требует выбор эффективных путей включения метода математического моделирования в логическую структуру вузовского образования, направления использования геометрических задач для целенаправленного обучения структуре ма-
-6-
тематического моделирования. Все вышесказанное говорит об
АКТУАЛЬНОСТИ настоящего исследования.
ИССЛЕДОВАНИЯ состоит в поиске методических путей обучения студентов математических специальностей пединститутов основным компонентам структуры метода математического моделирова-
ния.
ОБЪЕКТОМ ИССЛЕДОВАНИЯ является процесс обучения геометрии в
педагогическом институте.
ПРЕЛИЕТОМ ИССЛЕДОВАНИЯ являются методические средства обучения методу математического моделирования.
ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ - выявить пути совершенствования процесса обучения геометрии на основе обучения структуре метода математического моделирования , определить критерии отбора учебного материала (теории и задач), на котором целесообразно обучать математическому моделированию, разработать методику решения геометрических задач с точки зрения модельных представлений.
ГИПОТЕЗА ИССЛЕДОВАНИЯ состоит в том, что : 1). использование в процессе обучения геометрии представлений и идей, связанных с математическим моделированием, способствует Формированию целостных, содержательных представлений о методе математического моделирования, 2). целенаправленное обучение компонентам метода математического моделирования способствует качественному усвоению теоретического материала, помогает в решении ряда педагогических задач.
Для решения проблемы и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие частаыв задачи:
1. Изучить естественно-научные, философские и психолого-педагогические основы реализации модельного подхода к обучению геометрии в педагогическом вузе.
2. Выявить компонентный состав метода математического модели-
-7-
рования и возможности его использования для анализа курса геометрии пединститута.
3. Проанализировать состояние, в котором находится отражение структуры метода математического моделирования в курсе геометрии средней школы и вуза.
4. Исследовать возможность обучения студентов педагогического вуза основным компонентам метода математического моделирования .
5. Провести отбор задач, обеспечивающих модельный подход к обучению геометрии в вузе.
6. Разработать методические приемы обучения структуре метода математического моделирования.
7. Провести экспериментальную проверку разработанных материа-
лов.
При решении поставленных задач использовались следующие
МШИ ИССЛЕДОВАНИЯ :
- изучение и анализ математической, психолого-педагогической, философской литературы по проблеме исследования,
_ анкетирование и беседы со студентами с целью отбора и анализа данных по проблеме исследования,
- разработка учебного материала на базе теоретических исследований диссертации,
- организация и проведение обучающего эксперимента,
- количественная и качественная обработка данных, полученных в результате эксперимента.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА работы состоит в определении критериев отбора учебного материала курса геометрии пединститута для обучения математическому моделированию, в разработке методических приемов обучения компонентам метода математического моделирования, в разработке дидактической организации совокупности сюжетных задач курса геометрии на основе модельного подхода к их решению.
-8-
ПРАКТИЧВСКАЯ ЗНАЧШЛЬ исследования заключается в том, что разработанные по темам "Элементы векторной алгебры", "Метод координат", "Линии в евклидовом пространстве" методические рекоменда-
ibiTb
при проведении
уроков, студентами педвузов для самостоятельной работы и написания курсовых, дипломных работ, преподавателями институтов для проведения спецсеминаров.
ОСНОВШЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ.
1). Проанализировав естественно-научную, учебно-методическую, философскую и психолого-педагогическую литературу, мы обосновали роль метода математического моделирования в процессе познания и практического овладения миром и установили необходимость обучения математическому моделированию средствами курса математики школы и вуза.
2). Теоретическое исследование проблемы места метода математического моделирования в практике обучения математике позволило выявить структуру метода, определить компонентный состав основных его этапов и разработать модельный подход к решению геометрических задач.
АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ.
О результатах исследования регулярно докладьвалось на методических семинарах и научных конференциях кафедры математики Шад-ринского государственного педагогического института, на конференциях учителей математики Шадринского района. Основные положения диссертации нашли отражение в 7 публикациях.
Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих 6 параграфов, заключения, приложений и списка литературы, содержащего 210 наименований.
- 9-
ГЛ. i. ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ
ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ МЕТОДУ
МОДЕЛИРОВАНИИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ.
t л. ^jnMmo5U4scKus осио*ы обучения итт
Роль метода математического моделирования в процессе познания и практического овладения миром огромна и осознана с древнейших времен. Корни использования математического моделирования уходят в глубь тысячелетий.
Особые двоичные термины, используемые в некоторых языках (греческом, немецком), указывают на древнее качественное происхождение числовых терминов. Расширение понятия числа привело к тому, что образовались числа с помощью сложения. С развитием ремесла и торговли понятие числа кристаллизировалось; числа группировались в большие единицы, пользуясь пальцами рук, что вело к счету сначала с основанием 5, потом с основанием 10 и 20. Так на определенной ступени общественного развития возник пальцевой счет, появилась возможность выражать числа в системе счисления и возникла примитивная разновидность арифметики.
ч
Такое элементарное ллдеаигл&акие- iwjxwacmbd., a затем и логических операций сложения, вычитания, умножения и деления все время усложнялось,сложились системы счисления с разными осно-ваниями, затем дробные, иррациональные, комплексные, трансцендентные числа.
Философы античного мира, не употребляя термина "модель",из-
-10-
лагали свои натурфилософские концепции в виде систеш утверждений, для иллюстраций которых строились наглядные аналоги из
элементов наблюдаемых земных явлений. Таковы идеи Фалеса о воде и Геракалита о космическом огне, как первоисточниках мира, учения Эпикура и Демокрита об атомах.
По существу первую математическую модель построил в начале нашей эры Птолемей в виде системы циклов и гиперциоов, кото-
рая
планет. Аристо-
тель применял метод моделей в естественных работах.
Леонардо да Винчи, И. Кеплер, Г. Галилей и другие ученые эпохи Возрождения обращались к моделям-аналогам, создавали идеальные и графические конструкции из воображаемых элементов реальных вещей, т.е.строили математическую модель, а затем результаты исследований использовали в своих проектах.
Г. Галилей считал, что "великую книгу природы может читать лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки ее-треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого словаЕ 55, стр. 41].
Легко прослеживаются дальнейшие основные этапы развитая и разветвления средств математического моделирования действительности:
1) обобщение понятия числа, замена конкретного числа абстрактными знаками а,в,с... и возникновение алгебры;
2) возникновение идеализированных объектов "прямая","плоскость11, "линия" и развитие геометрии;
3) описание непрерывных процессов и возникновение дифференциального и интегрального исчисления;
4) открытие универсального метода перевода вопросов геомет-
- и -
рии на язык алгебры и анализа и переход к аналитической геометрии ; 5) возникновение и развитие современной математики:теории
вероятностей, теории множеств, теории групп, многомерной геометрии. На протяжении всего развития математики вырабатывалась спе-
циальная система знаков, с помощью которых можно было моделировать явления, оценивать их, систематизировать знания и Факты о них. Математическая символика выступила как мощное средство моделирования мира. Однако, понадобились многие века, прежде чем появился такой универсальный язык, который позволяет легко и быстро производить арифметические операции. Этим языком вначале явилась "позиционная нумерация", а затем, с развитием алгебры, математики стали отвлекаться не только от качественных особенностей предмета, как это было при возникновении числа, но и от количественного значения символов чисел. Потребность в такого рода символической записи возникла еще в древнем Вавилоне, Греции, когда были введены знаки, подобные кубу разности. В связи с решением уравнений эта потребность стала насущной необходимостью. Рассмотрим для примера две задачи:
1. Площадь прямоугольника равна 6 квадратных единиц,а одна сторона 2 единицы. Найти вторую сторону.
2. Площадь прямоугольника равна 8 квадратных единиц,а одна сторона на две единицы больше другой. Найти стороны прямоугольника.
Первая задача сводится к решению уравнения ах=Ь и может быть решена на обычном языке. Для решения второй задачи требуется решить уравнение х(х+2)=8 и на естественном язьисе выразить ее решение затруднительно.
Вообще, решение любой практической задачи было связано с
необходимостью перевода ее конкретного содержания на язьк символов и формул, т.е. с ее формализацией.
Отбрасывая в процессе абстрагирования частные и специфические признаки предметов, переходя от чувственных Форм отражения действительности к рациональным , от конкретного к абстрактному, люди не только не обедняли свои знания о природе, а, наоборот, обогащали их.
В отличии от чувственного познания, мышление позволяет человеку освободиться от непосредственной связи с изучаемым предметом, оперировать умешенными моделями предметов, то есть понятиями ( например, понятиями: "точка", "прямая", "линия") как действительными предметами, при помощи сопоставления приобретать новые знания о предметах, делать умозаключения.
Как отмечал НАУемов, " все наше миросозерцание от своего наиболее обыденного до наиболее возвышенного содержания представляет собой собрание моделей, образующих более или менее удачный отклик существующего, соответствующих или не соответствующих тем видам, которые имелись в виду при их построении " [186 , стр. 30].
Исторически первой всеобъемлющей математической моделью была механика И. Ньютона. Обобщая свой опыт математического моделирования земных и небесных тел, Ньютон заложил начало теории подобия, явившейся основой применения и развития метода моделей в естественных и технических науках.
В 19-20 веках метод математического моделирования входит «в практику научного эксперимента. Возникающие теория относительности и квантовая механика обнаружили ограниченность классической Физики и непригодность в современной физике механических моделей. Появляются "знаковые" модели, представляющие
¦л -лг
-13-
собой описание явления с помощью математических символов.
Г.Вейль пришел к вьводу о том, что ни один из элементов нашего непосредственного восприятия , даже пространство и время, не может быть сохранен в мире, претендующем на подлинную объективность и ,в конце концов, к необходимости принять чисто знаковую конструкцию. Он перечисляет следующие характерные черты любой математической процедуры:
1) наличие переменных;
2) представление переменных в виде знаков ;
3) наличие функций a priori построенных отображений область
значений одной переменной на области значений другой переменной ( например , S=l/2gt ). В своем толковании данного нам в восприятиях и ощущениях,
которые суть "знаки" действительности, наука должна стремиться к преодолению присущей им субъективности. Фундаментальные понятия, образуемые с этой целью наукой, в конечном счете, оказываются символами, которые "свободное творчество духа противопоставляет данному". И именно такое ,теоретическое познание, целиком ставшее символической конструкций, по мнению Г.Вейля, позволяет предсказывать события.
По классическому определению Ф.Энгельса предметом обучения математики служат "количественные отношения и пространственные формы действительного мира", для исследования которых в чистом виде их необходимо отделить от содержания [ 202, стр. 37]. Абстрактный характер математических закономерностей обуславливает их большую общность. Сущность математики составляют абстракции и обобщения, следствием чего является ее специфическая особенность - наличие знаковой символики, оперирование
специальными математическими знаками, условными символическими обозначениями количественных величин и пространственных
-14-
Форм. В этом смысле Г.Кепперс говорит, что математику ха ризует "символический перевод" (то есть перевод на язык символов) чисел, отношений, вербально выраженных математических
знаков.
"Математика - как считает К, Е. Морозов - мощное средство описания (и в этом смысле моделирования) предметов, свойств, отношений"!: 127, стр. 9].
Само понятие "модель" вошло в математику в 19 веке в связи с возникновением гиперболической геометрии Н. И. Лобачевского, сферической геометрии К.Римана. С возникновением кибернетики и появлением Э.В.М. не осталось отраслей знания, где бы метод математического моделирования не применялся бы в той или иной форме.
М. М. Постников уверен, что для того чтобы понять, изучить и использовать какое-либо явление природы, имеется только один путь - создать в голове его модель.
Концепция реальных и идеальных элементов Д.Гильберта совершенно справедливо указывает, что предельно общие (абстрактные) понятия математики подлежат лишь косвенной содержательной интерпретации путем логического соотношения их с реальными предметами.
Как отмечал Ю.А.Гастев, "понятие моделирования действительно играет центральную роль в позитивном подходе к вопросам научного познания " и что "в схему моделирования без какого-то ни было насилия укладываются любые проявления точной и
активной познающей деятельности" [ 57, стр. 211].
Многие исследователи рассматривают моделирование столь широко, считая все Формы познавательной деятельности в определенном смысле моделями, то есть понятия "модель" /'моделирование"
ранг теоретако-познавательных категорий
-15-
В новое время термин "модель", по-видимому, предложил Э. Бельтрами, а позже, в явно выраженной Форме его использовал
Ф.Клейн. Словарь
[селе.
ваше объектов на их моделях, построение модели реально сущес-
твующих предметов и явлений...", а модель - как "схему, изображение какого-либо явления в природе и обществе" [ 172, стр. 325]. В.А.ШИФФ под моделью понимает такую "мысленно представляе-
мую или материально реализованную систему, которая, отое или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте"
[ 200, стр. 19]. Определение В.Отоффа содержит 4 признака модели:
1) это мысленно представляемая или материально реализуемая система;
2) она воспроизводит или отражает объект исследования;
3) она способна замещать объекты;
4) ее изучение дает новую информацию об объекте.
К. Е.Морозов считает 3 и 4 признаки бесспорными и признает тот Факт, что модель способна замещать объект, получать новую информацию. Но первые два признака он считает неприемлимыми и узкими, поскольку существуют модели и мысленно представляемые и материально реализуемые. Более того, существуют модели (например, Формула), не являщиеся ни тем, ни другим; также как среди моделей могут быть и такие, к которым второе требование применимо лишь с большими оговорками. Второй признак модели, кроме того, не является специфическим для модели: отражать действительность могут все формы сознания (ощущения, восприятия, представления и т.д.).
-16-
В силу рассмотренных причин К.Е.Морозов под моделью пони-
мает "любой объект природы, который способен замещать иссле-
дуемый объект так, что его изучение дает новую информацию об этом объекте", моделированием называет "построение (или выбор)
и изучение моделей с целью получения новых знаний об объекте" [ 127, стр. 8].
It Б.Новик под моделированием понимает "мвтод опосредованного практического или теоретического оперирования объектом, при котором исследуется непосредственно не сам интересующий нас объект, а используется вспомогательная искусственная или естественная система ("квазиобъект"),находящийся в определенном объективном соответствии с познаваемым объектом, способная заменить его на определенных этапах познания и дающая при ее исследовании в конечном счете информацию о самом моделируемом объекте"[ 136, стр. 42].
Метод математического моделирования обладает всеобщностью: моделировать можно любой объект или явление. Раз перед нами есть объект и требуется его познать, то всегда можно построить его модель сначала в идеальной Форме, а затем, если необходимо, воплотить ее материальную оболочку. Здесь полезно вспомнить слова К.Маркса о природе человеческого мышления :"...самый плохой архитектор от наилучшей пчелы с самого начала отличается тем, что прежде чем строить ячейку из воска, он уже построил ее в своей голове. В конце процесса труда получается результат, который уже в начале этого процесса имелся в представлении человека, то есть идеально".
Принципиальная возможность моделирования объектов и явлений живой природы равнозначна принципиальной их познаваемости. Но, поскольку созданием чувственных образов познание не ограничивается, для глубокого проникновения в сущность предметов, ну-
-17-
жен весь арсенал абстрактного мышления. В.А.Веников определяет модель как "некий промежуточный
объект (явление, процесс, установка, знаковое изображение), находящийся в отношение подобия к исследуемому объекту (натуре)", [46, стр.3]. Он различает два аспекта моделирования: 1) общий метод научного исследования; 2) инструмент решения конкретных научно-технических задач, выделяя три вида моделирования: полное, неполное и приближенное. Все модели В. А. Веников делит на мысленные (отвечающие всем видам мысленных экспериментов) и материальные (предусматривающие ту или иную конструктивную реализацию модели).
ЛВ.Вилькеев не различает образные и мысленные модели, используемые современной наукой вместо старой Формы наглядности, основывавшейся на непосредственных представлениях об объекте. Модельные образы, мысленно и абстрактно воссоздающие свойства объекта исследования, приобретают исключительную роль в процессе познания мира. Модельное представление, с одной стороны, служит средством формирования абстрактных знаний о предмете, с другой - выполняют роль чувственной опоры мысли при дальнейшем движении к более углубленному познанию объекта, к новым абстрактным знаниям.
Мысленная модель помогает интерпретировать отображенное в ней сущностное теоретическое знание в новой конкретной практической ситуации.
П.Б.Чебышев считает, что "всякое отношение между математическими символами отображает соответствующее отношение между реальными вещами". Другими словами, знаковые модели, отображающие связи и отношения реальных объектов (в том числе связи и отношения между отдельными знаками) можно считать наглядным выражением оригинала. |
