ВВЕДЕНИЕ
АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ
Математическому моделированию различных экономических процессов в настоящее время уделяется достаточно большое внимание. Это связано с тем, что в последние годы в нашей стране произошли значительные изменения в области приложений математики. Переход к рыночной экономике заставил перенести интересы специалистов по прикладной математике в новые области, которые не были известны до начала 90-х годов. Одной из таких областей стала актуарная математика или математика, связанная со страхованием. В числе проблем, которые приходится решать, находится вопрос о построении модели страховой компании в целом.
Страхование как отрасль экономики обязано своим возникновением тому, что многие области человеческой деятельности связаны с риском случайных финансовых потерь. Они возникают в результате нежелательных происшествий, таких, например, как пожары, дорожно-транспортные катастрофы, несчастные случаи, потеря трудоспособности и т. п. Страхование уменьшает риск путем передачи его профессиональным страховым компаниям, которые, принимая на себя за определенную плату случайные риски финансовых потерь из независимых источников, снижают их опасность путем объединения. Таким образом, основной принцип любого вида страхования состоит в том, что страховая компания (страховщик), получив предварительно от страхователя определенную денежную сумму (страховую премию), обязуется при наступлении страхового случая произвести страховую выплату, покрывающую финансовые потери.
Хотя для каждого страхового контракта значения страховой премии и возможной страховой выплаты строго оговорены, до момента заключения контракта они неизвестны и должны рассматриваться как случайные величины. Моменты поступления страховых премий и наступления страховых случаев также являются случайными величинами. Поэтому любая математическая модель деятельности страховой компании должна наряду с правилами начисления страховых премий включать в себя статистические модели потоков страховых премий и выплат.
Работы по математической теории страхования можно условно разделить на три группы. К первой можно отнести работы, посвященные анализу и построению
моделей распределений вероятностей страховых премий и страховых выплат. Ко второму - работы, посвященные правилам назначения страховых премий. Наконец, третью группу составляют работы, посвященные расчету характеристик деятельности страховой компании в целом на основе принятой математической модели. К этой группе работ, по мнению автора, принадлежит и настоящая диссертация.
Считается, что первыми работами по математической теории страхования являются работы Ф. Лундберга и X. Крамера, в которых была предложена и исследована так называемая классическая модель процесса страхования [138, 169, 207]. Классическая модель страховой компании, благодаря ее относительной простоте, позволяет вычислить в явном виде вероятности разорения и выживания страховой компании, выработать рекомендации по определению необходимого начального капитала и назначению страховых премий. В то же время классическая модель не отражает многие черты деятельности страховых компаний в реальной жизни. Развитию и уточнению классической модели посвящено большое количество работ по математической теории страхования, однако, остается еще много проблем, требующих дополнительного исследования. К числу малоизученных можно отнести, например, проблемы:
• описание математических моделей страхования в виде многомерных случайных процессов;
• учет нестационарности и случайности потоков входящих рисков;
• управление величиной страховых премий в зависимости от состояния страховой компании;
• вопросы конкурентного взаимодействия страховых компаний на рынке страховых услуг;
• математические модели неклассических страховых компаний, таких как фонды социального страхования и пенсионные фонды.
В представленной работе исследуются модели, учитывающие эти факторы, что, по мнению автора, и определяет ее актуальность. Работа выполнялась по плану научно-исследовательских работ факультета информатики Томского государственного университета.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью данной работы является:
1. Разработать математическую модель страховой компании в виде двумерного случайного процесса, компонентами которого являются капитал компании и число застрахованный рисков, и исследовать вероятностные характеристики этой модели.
2. Построить и изучить характеристики страховой компании в случае, когда интенсивность потока входящих рисков зависит от времени и когда она является случайным процессом (дважды стохастические модели потока входящих рисков).
3. Рассмотреть конкурентное взаимодействие двух страховых компаний на рынке страховых услуг.
4. Рассмотреть вопросы управления страховой премией в зависимости от интенсивности потока входящих рисков.
5. Построить математическую модель влияния рекламы на деятельность страховой компании.
6. Построить математическую модель фонда социального страхования.
7. Построить каркасы приложений имитационного моделирования страховых компаний и систем массового обслуживания дискретно-событийным методом и создать программный комплекс такого имитационного моделирования.
СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ
Как уже было отмечено выше, считается, что первыми работами по математической теории страхования являются работы Ф. Лундберга и X. Крамера, в которых была предложена и исследована так называемая классическая модель процесса страхования. Описание и различного рода исследования в рамках классической модели можно найти, например, в монографиях Э. Штрауба [155], Д. Кокса и В. Смита [117], Y. Н. Panjer и G.E. Willmont [207], J. Grandell [186], H.U. Gerber [185], H. У. Прабху [136], обзорах В.И. Роторя и В.Е. Бенинга [138], П. Эмбрехтса и К. Клюппенберта [160], В.Калашникова и Д. Константинидиса [105]. Классическая модель страховой компании базируется на следующих предположениях [184]: процесс поступления страховых премий в компанию считается детерминированным, за время / приращение капитала равно et, где с - количество средств, поступивших
в компанию за единицу времени; страховые выплаты - независимые, одинаково распределенные случайные величины; моменты страховых выплат образуют пуас-соновский поток. Таким образом, величина страховых требований, поступивших в компанию за время t, образует сложно-пуассоновский процесс [150]. Основным достоинством классической модели является ее относительная простота, которая позволяет вычислить в явном виде такие характеристики, как вероятности разорения и выживания страховой компании.
В публикациях, посвященных изучению классической модели, в основном исследуются вероятности разорения и выживания страховой компании и принципы выбора нагрузки страховой премии (нагрузки безопасности). Из работ последнего времени отметим, например, работы V.M. Malinovskii [200, 201], в которых рассматривается вероятность разорения на конечном интервале, В.Е. Бенинга и В.Ю. Королева [24], в которой рассматривается вероятность разорения при малой нагрузке страховой премии, J. Grandell [187, 188], в которой исследуются простые аппроксимации вероятности разорения. S. Asmussen [164] исследовал адаптивные процедуры оценки вероятности разорения. В работах О.П. Виноградова [35], Ю.Д. Григорьева и A.B. Куклина [56, 57] рассматриваются возможности построения верхних и нижних границ для вероятности разорения. В работе В.В. Калашникова и Г.Ш. Цициашвили [106] строятся оценки для вероятности разорения при наличии больших выплат, а в работе К.Г. Гунченко [59] - прямые методы оценки вероятности разорения для различных видов распределений суммарного риска. Возможности перестрахования больших рисков рассматриваются в работах Г.А. Медведева [129], Ю.Д. Григорьева [54, 55], Е.В. Глуховой и Е.В. Капустина [51], Е.В. Булин-ской [27], И.В. Черепановой [154] и Л.Д. Шона [156, 157].
В большинстве работ последнего времени рассматриваются более сложные модели, обобщающие классическую модель. В рамках этих работ, процесс поступления страховых премий в компанию также считается случайным процессом. Так, например, в работе К.И. Лившица [120] находятся вероятность разорения и условное время до разорения для случая, когда страховые премии, поступающие в компанию, образуют пуассоновский процесс. В работах М. А. Маталыцкого, Т. В. Романюк [127, 128] страховая компания рассматривается как некоторая система массового обслуживания В работах К.И. Лившица и Л. Ю. Сухотиной [121, 122]
10
рассмотрены характеристики страховой компании при малой нагрузке страховой премии для пуассоновской модели и модель страховой компании с учетом сезонных изменений. В работах В.Е. Бенинга и В.Ю. Королева [22, 23] исследуется случай, когда моменты страховых выплат образуют процесс Кокса (дважды стохастический пуассоновский процесс). Неоднородный поток страховых выплат рассматривается в работе О.П. Виноградова [34].
Большое внимание уделяется также проблемам, связанным с возможностью страховой компании использовать имеющиеся в ее распоряжении свободные средства для получения дополнительной прибыли и уменьшения тем самым вероятности разорения. Е.В. Глуховой и Е.В. Капустиным [50] рассчитывались вероятности выживания страховой компании при размещении части средств на депозитных вкладах, а в [107] учитывается возможность одновременного наступления страховых случаев. Минимизации вероятности разорения путем выбора инвестиционной стратегии посвящены работы Т.А. Белкиной, А.Г. Фроловой, СВ. Чекалиной [20, 21], A.B. Бойкова и A.B. Мельникова [26], в которых предполагается возможность как безрисковых, так и рисковых инвестиций.
В перечисленных выше работах исследуется, как правило, стационарный режим функционирования страховой компании, когда ее характеристики можно считать независящими от текущего времени. Исследованию деятельности страховой компании при нестационарных потоках страховых рисков посвящены первые три главы настоящей работы. Наиболее близкими по тематике к вопросам, рассматриваемым в этих главах, являются работы Д.Д. Ахмедовой, А.Ф. Терпугова [3-5, 18], В.М. Каца, К.И. Лившица и A.A. Назарова [109-116, 195], А.Ю. Голубина [185], С.А. Масяйкина [125, 126], в которых рассматривается влияние расходов на рекламу на деятельность страховой компании и исследуется конкурентное взаимодействие страховых компаний на общем страховом поле.
В ряде работ рассматриваются более сложные, по сравнению с предыдущими, модели. Например, Н. Schmidli [212] рассматривает возможность одновременного инвестирования и перестрахования. Ф. Еникеева и В. Калашников [60] и D.G. Konstantinides, Q.H Tang, G.Sh.Tsitsiashvilii [196, 217], исследовали модели риска с инфляцией. В работе П. Эмбрехтса [159] прослеживается связь между актуарным и финансовым подходами к расчету страховых премий. Применение методов теории
11
чувствительности к задачам страхования и теории финансов рассматривается в работе R. Norberg [208]. Применению франшизы, которая может получить большое распространение в связи введением обязательного автомобильного страхования, посвящена работа Ю.Д. Григорьева и И.Ю. Хекало [58].
С другой стороны, кроме классических страховых компаний у нас в стране на рынке страховых услуг существуют объекты, в деятельности которых активную роль играет государство, выполняя с их помощью некоторые социальные функции и гарантии. В качестве отличительной особенности деятельности таких объектов на рынке страховых услуг отметим полный или частичный отказ от получения коммерческой выгоды. К числу таких объектов можно отнести различного рода государственные фонды социального страхования и пенсионного страхования.
Построению и исследованию математических моделей таких объектов в последние годы посвящен ряд работ, в которых для исследования работы государственных фондов применяются различные методы теории массового обслуживания или идеи классических моделей страхования применяются с учетом особенности работы таких фондов. Например, в работе Л.Ф. Адашкина [2] строится диффузионная аппроксимация для математической модели деятельности фонда социального страхования РФ. В работах A.A. Назарова, И.Р. Гарайшиной, ЯЗ. Галайко [41, 43, 44, 46-48, 132] исследуются математические модели фондов пенсионного страхования.
В четвертой главе настоящей работы предлагается и исследуется математическая модель Фонда социального страхования Российской Федерации, основанная на адаптации классической модели страхования с учетом особенностей деятельности фонда. С математической точки зрения вопросы, рассмотренные в этой главе, сводятся к задаче управления так называемым процессом разорения. Описание и обзор основных результатов различного рода исследований по этой тематике можно найти, например, в седьмой главе монографии Л. Такача [145]. К публикациям последнего времени, посвященным исследованию процессов разорения, можно отнести работы А.Т. Семенова [140 - 143].
Последние две главы настоящей работы посвящены разработке и исследованию имитационных моделей процессов страхования, рассмотренных в предыдущих частях работы. По утверждению А. М. Лоу и В. Д. Кельтона [1], имитационное мо-
12
делирование является одним из самых распространенных методов исследования операций и теории управления. Согласно исследованию Gupta [189] эта технология исследования сложных систем занимает второе место, после математического программирования.
В рамках настоящей работы для реализации имитационного моделирования использован метод дискретно-событийного моделирования [1, 166]. К сожалению, необходимо отметить, что в отечественной литературе этот термин не является устоявшимся. В качестве примера приведем только ряд учебных пособий последних лет, в которых приведено описание этого метода. Например, в учебнике В. И. Вар-фол омеева, С. В. Назарова [33] метод называется дискретно-стохастической моделью (стохастическим автоматом) или Р-схемой, в работе Ю. И. Рыжикова [139] -дискретной моделью, наконец, в учебном пособии Б. Г. Ослина [133] все задачи имитационного моделирования сводятся к указанной схеме.
Основной трудностью в рамках дискретно-событийного метода является правильное определение переменных состояния, необходимых для реализации моделирования с корректной последовательностью событий и получением интересующей статистики. В связи с этой сложностью необходимо отметить работу L.W. Schruben [213], который в 1983 году предложил метод представления событий с помощью графов, и работы Т.К. Som и R.G. Sargent [211, 216], в рамках которых этот метод был значительно усовершенствован. Альтернативный метод формального описания СМО предложен, например, в работе H.H. Лябах, М.А. Бутакова [123].
В последние годы значительно вырос интерес к распределенным технологиям имитационного моделирования. Вопросы, связанные с применением распределенных вычислений в рамках дискретно-событийного метода, можно проследить в работах Chandrasekaran U., Sheppard S. [173], J. Misra [203], R. M. Fujimoto [182, 183], D.M. Nicol [204], R.L. Bagrodia [165]. Перечислим основные направления, которые рассматриваются в рамках распределенной реализации метода. Например, идеи, связанные с реализацией многопроцессорной обработки имитационной модели, рассмотрены в работе S. Sheppard et al. [216], в работе J.C. Comfort [177] рассматривается обработка списка событий по принципу «главный-подчиненный». "Другим подходом к распределению имитационной модели между различными
13
процессорами является декомпозиция исходной модели на подмодели, выполнение которых передается различным вычислительным ресурсам. Этот метод распределенного моделирования был изначально разработан К. М. Chandy и J. Misra [174 -176], в более поздних работах J. Misra [203] рассмотрены проблемы технической реализации этого подхода. Альтернативная концепция виртуального времени, связанная с распределением подмоделей между параллельными вычислительными процессами, реализованная через механизм изменения шкалы времени рассмотрена у D.R. Jefferson [192].
Специальные исследования по эффективности распределенного моделирования описаны в работах S. Lavenberg, R. Muntz, В. Samadi [197], J.C. Comfort [177]. В работе Р. Heidelberger [190] рассматривается влияние распределенного моделирования на статистическую эффективность со смешанными результатами. Решение вопроса о декомпозиции имитационной модели для распределения между параллельными вычислительными процессами можно найти в монографии М. S. Shanker, R. Padman, W. D. Kelton [214]. Анализ конкретных приложений для распределенного и параллельного моделирования приведен в работах D.M. Nicol, M.M. Johnson, A.S. Yoshimura [205] и CD. Carathers, В. Topol, R. M. Fujimoto, V. Sunderam [172].
В связи с быстрым развитием технологий World Wide Web необходимо отметить ряд работ последнего времени, связанные с исследованиями самых разнообразных возможностей применения этих технологий для расширения возможностей моделирования. Так, например, в работах Р. А. Fishwick [179, 180] исследуется широкий спектр вопросов, связанных с использованием механизмов клиент-сервер для увеличения производительности, распространения имитационных моделей и результатов их выполнения. Общий обзор подходов к моделированию, основанный на использовании веб-узлов и базирующийся на характерные примеры, дан в работе Р. Lorenz, Н. Dorwarth, К. С. Ritter, T.J. Schriber [199].
В последнее время в качестве альтернативы или возможного пути реализации для распределенного подхода рассматривается объектно-ориентированное моделирование. Фактически объектно-ориентированное моделирование берет свое начало от объектно-ориентированного языка SIMULA, который появился в начале 60-х годов прошлого века. В качестве источников, в которых рассмотрены вопросы
14
объектно-ориентированного моделирования, отметим J.A. Levasseur [198] и D.W. Jones, S. D. Roberts [193].
В рамках настоящей работы разработка объектно-ориентированных имитационных моделей осуществляется с применением Унифицированного Языка Моделирования (UML, Unified Modeling Language). UML является прямым потомком методов объектно-ориентированного анализа и проектирования (OOA&D), которые появились в конце 80-х начале 90-х годов прошлого века. UML непосредственно унифицирует известные методы Г. Буча [167], Д. Рамбо (ОМТ) [209, 210] и А. Джекобсона [191], при этом он обладает гораздо большими возможностями. Язык UML стандартизирован консорциумом OMG (Object Management Group) и в настоящее время является стандартом OMG. Подробное описание истории возникновения, целей и задач этого средства визуализации, специфицирования, проектирования и документирования программных систем можно найти в книге Г. Буча, Д. Рамбо, А. Джекобсона [28], краткое изложение основных принципов языка приведено в работах К. Скотта [144] и М. Фаулера [180]. Предложенный в пятой главе работы каркас для разработки систем имитационного моделирования, основан на концепции типовых решений проектирования (паттернов, шаблонов проектирования), которая была предложена С. Alexander, S. Ishikawa, M. Silverstein, M. Jacob-son, I. Fiksdahl-King, S. Angel в [163], в области разработки программного обеспечения идея применения паттернов подробно изложена в классической монографии Э. Гаммы, Р. Хемла, Р. Джонсона Дж. Влиссидеса [42]. В качестве примера работы последнего времени, посвященной тематике применения типовых решений при разработке информационных систем, приведем монографию М. Фаулера [149]. Эти работы образуют методологическую основу решений, которые рассматриваются в последних главах настоящей работы.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Условно предлагаемую диссертационную работу можно разбить на три части. В первой части, в которую входят главы I-III, предлагаются и исследуются математические модели страховой компании в виде двумерного случайного процесса, компонентами которого являются капитал компании и число застрахованных рисков, при различных предположениях, относительно числа застрахованных рисков, капитала компании, влияния рекламы и т.д.
15
В первой главе рассмотрены математические модели страховых компаний в предположениях, что поток входящих рисков является стационарным марковским потоком. Первый параграф главы посвящен исследованию модели, в которой интенсивность входящего потока линейно зависит от числа уже имеющихся рисков, а страховое поле считается неограниченным. В 1.1.1 относительно рассматриваемой модели делаются следующие предположения: Будем описывать состояние страховой компании в момент времени t двумерным случайным вектором {k(t), S(t)}, где
k{t) - число рисков, застрахованных компанией, a S(t) - ее капитал в момент времени t. Изменения капитала и числа застрахованных рисков происходят в следующих случаях:
1. Компания страхует новый риск. Будем предполагать, что поток приходящих рисков - это примитивный поток с параметром X+?^ k{t). Первое слагаемое в
последнем выражении отражает поток рисков, которые клиенты страхуют в компании по независящим от нее обстоятельствам, а второе - тот факт, что среди людей, не застраховавших свои риски, распространяется информация о страховой компании, происходит неявная реклама компании. Вероятность того, что за время At компания застрахует новый риск, равна (A. + ?^ kJAt+o(At). Каждый новый риск
приносит компании страховую премию ?, размер которой является случайной величиной с функцией распределения F^(z) и моментами М{Е,} = а, Л/|^2]= аг.
2. Будем считать далее, что по каждому из застрахованных рисков регулярно с интенсивностью Х^ выплачивается взнос в размере С,, который является случайной величиной с функцией распределения /^(z) и моментами М{с} = с и
}= c2. Будем считать, что взносы вносятся независимо друг от друга и поэтому за время At в компанию поступит такой взнос с вероятностью kX^At + o(At).
3. Страховое время некоторых рисков заканчивается. Будем считать, что каждый риск покидает компанию независимо от поведения других рисков с интенсивностью ц. Тогда за время At компанию покинет риск с вероятностью
k\iAt+o(At).
4. Наконец, наступают страховые случаи. Будем считать, что с каждым клиентом может наступить страховой случай с интенсивностью цп и эти страховые
16
случаи для различных рисков независимы. Тогда на интервале At наступит страховой случай с вероятностью k\inAt + o{Ai), а компания при этом выплатит страховое возмещение в размере ц, которое является случайной величиной с функцией распределения Fn{z) и моментами М{г|} = Ъ, M\f]2j=b2.
Целью исследования является рассмотрение статистических характеристик процессов k(t) и S{t), т. е. поведение числа рисков и капитала компании.
В 1.1.2-1.1.7 проведены исследования модели в предположении, что процесс k(t) находится в стационарном режиме. Полученные результаты сформулированы • в виде следующих утверждений и теорем:
Теорема 1.1. В предположениях 1) - 4) финальные вероятности тсу- определяются соотношениями
1
а«, (1.2)
а условие существования стационарного режима имеет вид ?^/ц < 1.
Так как полученные выражения для финальных вероятностей являются достаточно громоздкими и «неудобными» для дальнейшего использования, то было рассмотрено так называемое диффузионное приближение, когда процесс k(t) аппроксимируется диффузионным процессом. Для нахождения такого приближения использовался асимптотический метод анализа марковизируемых систем. С учетом следующих обозначений доказана теорема 1.2
1 2 2 1 / \
р = Л./Ц, ф = Р? Ш. — = 8 ,8 j = K + ?X, —TZj =P[X,e). S/ p 8
Теорема 1.2. Если
1. существует конечный предел lim Р(х, е) = Р(х),
Б->0
2. функция P(x,z) дважды дифференцируема по х,
то функция Р(х) удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка вида
17

Получить работу