Актуальность проблемы 20
Научная новизна результатов работы 21
Научная и практическая ценность 22
Расположение материала по главам 23
Введение 23
Волны малой амплитуды в безграничной изотермической атмосфере 24
Волны малой амплитуды в неизотермической атмосфере 24
Дифференциальные свойства полей волн различных типов 25
Длинные внутренние гравитационные волны малой амплитуды 26
Квазиволноводное распространение внутренних гравитационных волн
малой амплитуды 27 Квазиволноводное распространение внутренних гравитационных волн
малой, но конечной амплитуды 27 Методы численного моделирования распространения волновых возмущений
малой амплитуды в стратифицированном полем тяжести газе 28 Численное моделирование процесса распространения внутренних
гравитационных вой конечной амплитуды в стратифицированном полем тяжести газе. Солитонные эффекты при распространении
внутренних волн 29 Вертикальное распространение нелинейных внутренних гравитационных
волн и их разрушение 30
Эффект перемешивания как солитонный распад внутренних волн 33
Приложение 0.1. Геофизические динамические модели атмосферных процессов 33
Динамические модели атмосферы 33
Уравнения геофизической гидродинамики как уравнения с малым
параметром при старшей производной по времени 37
Проблема численного интегрирования сингулярно возмущенных уравнений 39
Приложение 0.2. КдВ модель нелинейных внутренних волн и ее развитие 42
Приложение 0.3. Вывод системы уравнений КдВ (0.43) для волновых мод 45 Приложение 0.4. Регуляризация нелинейного гиперболического уравнения,
бездисперсионный предел в уравнении Кортевега-де Вриза 51
Глава 1. Волны малой амплитуды в безграничной изотермической атмосфере 54
54
1.1. Уравнение для волн малой амплитуды в изотермической атмосфере 54
(т. 1.2. Решение задачи Коши для волн в безграничной изотермической атмосфере 55
1.3. Проекционные операторы для акустических и внутренних гравитационных
волн в безграничной изотермической атмосфере 56
1.4. Псевдодифференциальные уравнения для акустических и внутренних
гравитационных волн в безграничной изотермической атмосфере 58
1.5. Геометрическая интерпретация акустических и внутренних гравитационных
волн как кривых в ортогональных подпространствах 58
1.6. Предельный переход к однородному газу 60
1.7. Краткое изложение результатов 61
Глава 2. Волны малой амплитуды в нсизотермической атмосфере 62
2.1. Предварительный анализ 62
2.2. Уравнения для волн малой амплитуды в неизотермической атмосфере 63
2.3. Волны с {*¦ = 0 « 1, длинные акустико-гравитационные волны 64
2.4. Упрощенная модель распространения внутренних гравитационных волн 66
2.5. Упрощенная модель распространения акустических вата 69
2.6. Расщепление задачи о распространении акустико-гравитационных волн на ^* подзадачи о распространении внутренних гравитационных и акустических
волн 71
2.7. Распределение энергии начального возмущения между волнами различных
типов 76
2.8. Локализованным начальным условиям для общей гидродинамической
задачи могут соответствовать нелокализованные начальные условия для
акустических и внутренних волн. 77
2.9. Расщепление двумерной задачи о распространении волн малой амплитуды
над плоской Землей на подзадачи о распространении акустической и
гравитационной волн 79
2.10. Расщепление пространственной задачи на подзадачи для акустической, гравитационной волн и стационарного вихревого движения 81
2.11. Исследование условий применимости приближения квазистатики в задачах о генерации волн 84
2.12. Разделение акустических и гравитационных волн в задаче о генерации волн внешними источниками 86
2.13. Уравнения нелинейного взаимодействия акустических и гравитационных
волн 87
2.14. Краткое изложение результатов 89 Приложение 2.1. Изучение общей системы уравнений 89
/, Существование решения 89
Устойчивость решения 89
Приложение 2.2. Доказательство теоремы 2.1 90
Существование решения 90
Сходимость решений укороченных уравнений к точным решениям 91
Приложение 2.3. Доказательство теоремы 2.2 92
Существование решения 92
Сходимость решений укороченных уравнений к точным решениям 93
Приложение 2.4. Решение задачи о разделении волн методом установления 94
Глава 3. Дифференциальные свойства полей волн различных типов 96
3.1. Двумерный случай 96
3.2. Дифференциальные свойства полей волн различных типов в пространственном
случае 102
3.3. Редукция условий сшивания полей на классе кусочно-гладких функций 103
3.4. Сравнение полученных условий сшивания с соотношениями Ренкина-Гюгонио 106
3.5. Наблюдения негладких волн в натурных и численных экспериментах 109
3.6. Отсутствие предельного перехода к квазистатическому приближению в
нелинейном случае на классе кусочно-гладких функций 111
3.7. Краткое изложение результатов 112
Глава 4. Длинные внутренние гравитационные волны малой амплитуды 114
4.1. Основные уравнения. Краевая задача на собственные значения 115
4.2. Другие формы краевой задачи 117
4.3. Исследование зависимости спектра оператора внутренних волн от
стратификации 118
Рассматриваемые стратификации 118
Сплошной спектр оператора L 119
Точечный спектр оператора L 119
Оценка параметров волноводной моды для реальной стратификации 122
4.4. Общее решение задачи о распространении волн 123
4.5. Асимптотика решения задачи о распространении волн при t —» со 124
4.6. Краткое изложение результатов 124 Приложение 4.1. Способ нормирования собственных функций, получаемых с
помощью численного решения задачи Коши для уравнений спектральной
задачи 125
Глава 5. Квазиволноводнос распространение внутренних гравитационных волн
малой амплитуды 127
5.1. Основные понятия 127
5.2. Функция Иоста, задача рассеяния и коэффициент отражения волн 129
5.3. Квазиволноводные моды внутренних волн в модели с двухслойной
стратификацией 131
Основные уравнения. 131
Квазиволноводная мода волны Лемба 133
Квазиволноводные моды внутренних гравитационных волн 133
Волноводная мода в двухслойной модели 136
5.4. Квазиволноводные моды для модели атмосферы CIRA-1961 136
5.5. Сравнение двухслойной и непрерывной моделей 141
5.6. Теорема об ортогональности квазиволноводных мод 143
5.7. Распространение вата в неэкспоненциальной атмосфере в приближении суперпозиции квазиволноводных мод 145
Ш
5.8. Краткое изложение результатов 147
Приложение 5.1. Метод приближенного вычисления квазиволноводных мод 147
Глава 6. Квазиволноводное распространение внутренних гравитационных волн
малой, но конечной амплитуды 151
6.1. Вывод нелинейных уравнений, описывающие квазиволноводное распространение
внутренних гравитационных волн 151
6.2. Несингулярная теория возмущений для комплексной системы уравнений типа
КдВ 155
6.3. Приближение, при котором излучение из квазиволновода не учитываются 155
6.4. Влияние эффектов излучения из квазиволновода на солитонный распад
(+ нелинейных внутренних гравитационных волн 156
6.5. Заключение. Краткое изложение результатов 159
Глава 7. Методы численного моделирования распространения волновых возмущений
малой амплитуды в стратифицированном полем тяжести газе 161
7.1. Численные модели распространения волн малой амплитуды в иедиссипативной атмосфере 161
Введение в проблему 161 Уравнения линейной теории акустико-гравитационных волн в недиссипативной
неизотермической атмосфере 163
Обобщенные решения задачи 164
Уравнения в безразмерных переменных 167
Конечно-разностная схема для интегрирования уравнений 168
Равномерно-сходящаяся итерационная процедура решения разностных уравнений 171 Доказательство сходимости разностной схемы, при котором одновременно
исследуется существование решения для случаев 0 Ф 0 и 0 = 0.
Исследование предела 0 —» 0. Дифференциальные свойства решения при
> 0 ф 0 и 0 = 0 173
Результаты тестовых расчетов. 178
Геометрическая интерпретация равномерной сходимости. 181
Равномерный метод второго порядка точности. 182
7.2. Численные линейные модели волновых процессов в диссипативной атмосфере 183 Уравнения для вата в диссипативной неизотермической атмосфере. 183 Анализ устойчивости задачи о распространении волн в диссипативной
неизотермической атмосфере. 184
Дискретизация по пространственным переменным уравнений для диссипативной
атмосферы 185
Дискретизация уравнений диссипативной модели по времени. Итерационная
процедура решения конечно-разностных уравнений, сходящаяся
равномерно по параметру 0 187
Сходимость разностных решений к точным. Существование решения точных
уравнений. Исследование зависимости решения от параметра 0 188
7.3. Трехмерные модели. Обобщение основных теорем на трехмерные задачи 189
7.4. Краткое изложение результатов 191
Глава 8. Численное моделирование процесса распространения внутренних
гравитационных вон конечной амплитуды в атмосфере. Солитонные
/, эффекты при распространении внутренних волн 193
8.1. Введение в проблему 193
iv
8.2. Основные уравнения нелинейной модели без диссипации; используемые
предположения 196
8.3. Особенности моделирования распространения нелинейных внутренних воли в
газе 197
8.4. Исследование влияния конечности шагов сетки на поведение численного решения нелинейной задачи 199
Дисперсионная регуляризация уравнений модели 202
8.5. Обобщение функционала волновой энергии на нелинейные задачи. Численные методы решения нелинейных уравнений для тяжелого газа 203
Обобщение функционала волновой энергии на нелинейный случай. Связь
консервативности с устойчивостью. 203
Дифференциально-разностные уравнения, аппроксимирующие уравнения динамики
тяжелого газа 206
Дискретизация по времени. Конечно-разностные уравнения. Сравнение численной
схемы с известными 211
Итерационная процедура для решения конечно-разностных уравнений, сходящаяся
равномерно по параметру /3 213
Программа, программирующая вычисления 214
8.6. Численное моделирование солитонного распада внутренних гравитационных волн. Сравнение квазистатической модели, регуляризованной диссипативным членом, с неквазистатической. Исследование различных регуляризации квазистатической модели. 214
8.7. Численная нелинейная модель для тяжелого газа с учетом диссипативных
процессов 221
8.8. Краткое изложение результатов и их обсуждение 222 Результаты исследования нелинейных уравнений и численных схем их
интегрирования 222
Результаты численного исследования солитонных эффектов при распространении
нелинейных внутренних гравитационных волн и их обсуждение 223
Глава 9. Вертикальное распространение нелинейных внутренних гравитационных
волн и их разрушение 225
9.1. Введение в проблему 225
9.2. Численная модель. Постановка задачи 226
9.3. Вертикальное распространение мод внутренних гравитационных волн,
разрушение волн 226
Параметры модели и метод расчета 226
Случай малых амплитуд. 227
Эффект разгона волной течения и сверхвращение атмосферы Венеры. 231
Случай умеренных амплитуд 232
Случай больших амплитуд 237
9.4. Сравнение с данными ракетных измерений 242
9.5. Краткое изложение результатов. Заключение 245
Глава 10. Эффект перемешивания как солитонный распад внутренних волн 248
10.1. Основные уравнения и используемые предположения 249
10.2. КдВ-модель и процессы перемешивания внутренними волнами 250
10.3. Постановка численного эксперимента 251
10.4. Результаты численного моделирования. Сравнение с результатами лабораторных экспериментов 252
10.5. Краткое изложение результатов. Выводы 255
Приложение 10.1. Исследование конечно-разностного метода 255
Численный метод решения уравнений 256
Доказательство сходимости на классе гладких решений 256
Изложение результатов. Заключение 260
Литература 264
vi
Введение
Предмет исследования. Основная система уравнений. Граничные и
начальные условия
Последние несколько десятилетий отмечены значительным прогрессом в понимании волновых движений в атмосфере. Было установлено, что волны в процессе их генерации, распространения и затухания переносят энергию и количество движения в размерах, достаточных для того, чтобы играть существенную роль в глобальном балансе энергии и количества движения атмосферы.
Согласно современным представлениям энергетический бюджет верхних атмосфер планет определяется в основном усвоением солнечной радиации и притоком энергии из нижележащих слоев атмосферы; при этом важное место в переносе энергии принадлежит , внутренним гравитационным волнам (ВГВ). Важными источниками ВГВ всех масшта-
бов в атмосфере являются метеорлогические и турбулентные процессы (ветры в горах, циклонические вихри, фронты, струйные течения и т.п.).
Диссипация волновой энергии обеспечивает притоки тепла, сравнимые с солнечными. Разрушение волн приводит к формированию турбулентности в верхней атмосфере. Распространяющиеся ВГВ влияют на процессы распространения радиоволн. Перенос импульса волнами влияет на циркуляцию атмосферы. Без всестороннего учета воздействия волновых процессов невозможно построение теории теплового режима, циркуляции, состава термосферы и мезосферы.
Диссертация посвящена исследованию процессов распространения и разрушения нелинейных внутренних гравитационных волн (ВГВ) в атмосфере. Основное внимание уделяется изучению гидродинамических моделей, описывающих нестационарные процессы в газе, стратифицированном полем тяжести, развитию численных и аналитических методов решения уравнений. Разработанные методы применяются затем для исследования процессов распространения и разрушения внутренних гравитационных волн в атмосфере; результаты расчетов сравниваются с имеющимися экспериментальными данными. > Диссипативная задача
Атмосферный газ рассматривается как сплошная среда [1]. Динамика нейтрального газа в переменных Эйлера описывается системой уравнений гидродинамики (0.1), учитывающей поле тяжести, с уравнениями состояния и внутренней энергии для газа. Ниже для примера выписаны двумерные уравнения, описывающие динамику газа в атмосфере
(ол)
d(pu) d(pu2) d(puw)
dt dx dz
d{pvi) d(puw) d(pw ) dP d ( dw
dt dx dz dz dz \ dz
дР_ д(иР)
dt + dx
Здесь p - плотность; и, w - компоненты горизонтальной и вертикальной скоростей; Р =е~-— давление; g — ускорение свободного падения, -у — показатель адиабаты; s(z), n(z) — коэффициенты вязкости и теплопроводности, /х — молекулярный вес, R — универсальная газовая постоянная; Т — температура. Для упрощения выписаны уравнения для случая двух пространственных измерений, х и г, причем ось z направлена вертикально вверх;
t — время. Внешние источники Qi(x,z, t), (i = 1,2,3), учитывающие возможное внешнее воздействие на атмосферный газ, предполагаются известными.
Первое уравнение — закон сохранения масс. Второе и третье — закон количества движения, записанный для горизонтальной и вертикальной компонент. Предполагается, что имеется только одна массовая сила — сила тяготения p"7f •
Последнее уравнение системы (0.1) является следствием закона сохранения энергии.
т^ de dvi dji Его также можно вывести из закона изменения внутренней энергии р— = р^—---75—•
Для удобства мы выбрали компонентную запись этого уравнения; по повторяющимся индексам предполагается суммирование. Здесь Pik — тегоор напряжений; jt — вектор потока тепла; Vi — вектор скорости с компонентами и, w; Хк — радиус—вектор точки с компонен-
^ d * d д д д _
тами х, z. Символ — обозначает индивидуальную производную: — = —+и—+ги—. Для
Civ (XTr С/? (Jus \J Z
ньютоновских жидкостей ptk = —PSik + p\ki ГДе й* — символ Кронекера и р\к — тензор,
, dvi
компоненты которого пропорциональны компонентам тензора скоростей деформации ——.
Охк
Свертка pjfc——^- является квадратичной по скоростям. Мы предполагаем, что амплитуды
UXk
dv-скоростей невелики, вклад диссипативных эффектов невелик, поэтому слагаемое р^-г-2-
иХк
дТ опускаем. Для вектора потока тепла ji справедлив закон Фурье ji = — k-rr— |1], причем
CJjO i
к зависит только от z. Учтем, что ре = p^jf-T = ^rfP, где с„ — теплоемкость моля при постоянном объеме. Подставляя в уравнение для внутренней энергии выражения для е, ji, Pik, получаем последнее уравнение системы (0.1) для давления.
Вязкие члены в законе количества движения взяты в упрощенном виде. Для длинных (/? = j? <С 1) внутренних гравитационных волн, которыми будем в основном интере-
д ( .ди\ соваться, существенен только один вязкий член: — I s{z)— 1. Аналогично в последнем
уравнении системы (0.1) учитывается только член теплопроводности с производными по г; слагаемым теплопроводности с производными по х можно пренебречь. До высоты 100 км диссипативные члены для изучаемых процессов не важны [242].
Краткий обзор современных динамических моделей атмосферы дан в Приложении 0.1.
Предполагается, что в отсутствие волн атмосфера однородна по х, стационарна и ветер отсутствует. Это соответствует частному случае системы (0.1), когда все частные производные по х и по t равны нулю, <д(а;, z, t) = 0 (i=l,2,3), и = w = 0. Про этот частный случай будем говорить, что он соответствует невозмущенной атмосфере. Параметры невозмущенной атмосферы называются фоновыми.
Невозмущенная атмосфера характеризуется функциями Т0(г), ро(г), Po(z) — фоновыми температурой, плотностью и давлением. Полагая все производные по времени в (0.1) равными нулю, qi(x, z, t) = 0, и = w = 0 получим уравнение, связывающее фоновые параметры атмосферы
ар
(0.2) ±1+Род = 0
Учитывая уравнение Клапейрона—Менделеева, из уравнения (0.2) получаем, что po(z), Tq{z), P0(z) связаны соотношениями
(0.3)
, . />о(0)Я(0) / Г dz \ „. . RT0(z) _ . , . , „. . A,W = "^ехР (- J ш) , H(z) = 1J±ft P0(z) = po(z)gH(z).
Одну из функций можно выбирать произвольным образом. Обычно известными считают ц(г) и Тй{г) или ц(г) и Я(г), a po(z), P0(z) вычисляют по формулам (0.3). Существуют эмпирические модели атмосферы, которые позволяют по дате, по месту положения, по индексу геомагнитной активности восстановить многие параметры атмосферы, в том числе функции T0(z), H(z), n(z). Мы не будем здесь обсуждать эти модели. В качестве примера на Рис. 0.1 показана функция H(z) для одной из моделей атмосферы
400.00-1
300.00-
200.00-
100.00-
о.оо-
0.00 2000 40.00 60.00 Шкала высот (км)
80.00
Рис. 0.1. Зависимость H(z) для стандартной модели атмосферы
Уточним: в действительности в физике атмосферы под фоновыми температурой, плотностью понимают результат усреднения реальных температуры, плотности по результатам многолетних наблюдений. Эти функции с большой точностью удовлетворяют соотношениям (0.2), (0.3), поэтому отличие нашего определения фоновых температуры, плотности от общепринятых несущественно.
Сплошные среды, параметры которых зависят от координат, называются неоднородными. Если параметры неоднородной среды зависят только от одной координаты, то среда называется стратифицированной или слоистой. To(z), po(z) зависят только от г. Следовательно, мы рассматриваем атмосферу как стратифицированную среду.
Атмосфера, в которой То не зависит от z, называется изотермической. Реальная атмосфера, как показывает график на Фиг. 0.1, является неизотермической.
В последнем уравнении системы (0.1) Q учитывает теплопроводность, а также дополнительное нагревание. Это нагревание, в конечном счете, учитывает нагрев газа солнечным излучением и высыпающимися энергичными частицами. Оно компенсирует выравнивающее действие теплопроводности и обеспечивает стационарность иеизотермической атмосферы.
В настоящее время для функций <;(г), k(z) построены эмпирические формулы, по которым эти коэффициенты вычисляются через температуру. Для атмосферы Земли 8 км < H(z) < 60 км, плотность po{z) изменяется с высотой на 11 порядков, функции s(z), k(z) изменяются в 20 раз для 0 км < z 500 < км. Атмосфера очень динамична, изменчива.
Поэтому, насколько это возможно, функции s(z), «(г), H(z) не конкретизируются, и рассматривается общий случай.
Верхние граничные условия стандартные
(0.4)
дг
= 0,
=/»
ди
дг
= 0,
z=h
на высоте h = 500 км. Верхние граничные условия (0.4) в настоящее время используются в большинстве научных работ, посвященным исследованию атмосферных волн. Решение задачи о распространении волн в атмосфере не очень чувствительно к выбору верхних граничных условий. Это связано с выравнивающим действием вязкости и теплопроводности на больших высотах и с тем, что граничные условия ставятся на большой высоте. В то же время верхние граничные условия все еще являются предметом постоянных научных дискуссий.
Нижние граничные условия - условия на поверхности планеты
(0.5) T\z=Q = T0(0), и\г=о = 0, гу|г=о = О,
Такие нижние граничные условия используются многими авторами при решении атмосферных задач. Тем не менее, правильный выбор нижних граничных условий в настоящее время тоже все еще являются предметом научных дискуссий. У поверхности Земли имеется пограничный слой, и взаимодействие атмосферы с поверхностью Земли имеет очень сложный характер. Однако нюансы в постановке нижних граничных условий обычно существенно сказываются только в слое атмосферы толщиной менее 1 км. Мы будем интересоваться поведением атмосферного газа вдали от поверхности планеты, поэтому граничные условия (0.5) приемлемы для наших целей.
Атмосфера предполагается безграничной вдоль оси х.
Начальные условия:
u(x,z,0) = fi(x,z), w(x,z,0) = /2(x,z), (0.6) Г(х,2,0) = h{x,z), p(x,z,0) = U(x,z).
Функции fi(x,z), (i = 1,2,3,4) предполагаются известными.
Будем интересоваться решением задачи (0.1), (0.4), (0.5), (0.6) при t < 104 сек « 10 час. Замечание о временном интервале, на котором нас интересует решение задачи, существенно. Например, если мы решаем задачу о генерации волн в атмосфере сгорающим спутником или метеоритом, то на небольших временах основным эффектом будут ударные волны. Однако спустя несколько часов результатом уже будет конвективное пятно и конвективные потоки в атмосфере. При этом с математической точки зрения решается одна и та же задача, но с физической точки зрения мы имеем дело с разными задачами. В действительности и математические методы решения этих задач могут различаться: методы, созданные для расчета ударных волн, вообще говоря, не годятся для расчета конвективных структур при больших t.
Приведем примеры физических задач, в которых используется математическая модель (0.1), (0.4), (0.5), (0.6) (возможно, как часть более сложной модели):
(1) возмущение атмосферы высыпающимися энергичными частицами в полярных широтах или сгорающими метеоритами и спутниками
(2) возмущение параметров атмосферы после взрыва (в том числе, через несколько часов после взрыва)
(3) возмущение атмосферы пожарами и землетрясениями
(4) экологические задачи: перенос примесей при авариях на большие расстояния
(5) задачи краткосрочного расчета погоды
(6) задача общей циркуляции атмосферы
4
(7) распад волн и образование турбулентности
В общем случае рассматриваемая нелинейная задача неустойчивая; это ясно из общих физических соображений. Приведем примеры начальных условий или источников, приводящих к неустойчивым задачам:
(1) слой холодного и тяжелого газа находится при t = 0 над слоем теплого и легкого газа
(2) сдвиг поля скоростей при t = О
(3) можно подобрать источник тепла <7з(з% z, t), подогревающий газ внизу, при котором задача будет неустойчивой. Задача о нагреве жидкости или газа снизу называется задачей Бенара.
Таким образом, если рассматривать задачу в общем виде, с произвольными начальными данными и с произвольными источниками Необходимо сузить класс рассматриваемых задач, ограничившись конкретной проблемой.
Недиссипативная задача
По оценкам в атмосфере ниже 100 км диссипативиые эффекты несущественны. Поэтому наряду с диссипативной задачей рассмотрим упрощенную задачу с <;(z) = к(г) = 0
(0-7) % . я .
(Jt UX
д[ри)_ ?(pu_2) , d(puw) dt Ox
dt дх дг w для которой граничные условия по вертикали задаются в следующем виде: ю\г_0 = 6(х,t), w\z=h = 0i /ц = 100 км
Будем предполагать, что или b(x, t) = 0 или b(x, t) периодическая функция.
Система уравнений (0.7) в основном и будет изучаться в диссертации. В модели (0.7) атмосферный газ рассматривается как идеальная сжимаемая жидкость, находящаяся в поле тяжести.
Анализ недиссипативной задачи в приближении волн малой амплитуды, случай изотермической атмосферы
Изучаемые уравнения очень сложные. Даже упрощенные, линеаризованные уравнения не удается решить аналитически. Однако имеется частный случай, который хорошо изучен. Это случай изотермической недиссипативной атмосферы. В изотермической атмосфере, по определению, температура среды То не зависит от координат. Тогда />o(z) = Ро(О) *ехр(-^), Я = ^а. Если в случае изотермической атмосферы пренебречь в уравнениях нелинейными и диссипативными слагаемыми, то задача решается аналитически.
Рассмотрим систему уравнений (0.7) для случая изотермической атмосферы в приближении малых амплитуд. При принятых упрощающих предположениях уравнения приобретают вид:
(0.8) Hxpt + Них + Hwz - w = 0, щ + дН(ф + ф)х = 0,
-• ¦ -"'-*¦¦ -'-^ -дф = 0, фг + (7 — 1) (их + wz) = 0,
5
где
ф(х, z, t) = —^-----, ф(х, z, t) = In р*'*' .
То Ро[г)
Приближение малых амплитуд означает, что скорости газа малы по сравнению со скоростью звука и что отклонение температуры и плотности от фоновых тоже мало. Поэтому слагаемые, содержащие любые произведения функций и, w, ф, ф, малы по сравнению со слагаемыми, содержащими эти функции только в первой степени; они отбрасываются. Такая процедура перехода к упрощенной системе уравнений называется линеаризацией, а упрощенная система уравнений называется линейной, поскольку таковой и является с математической точки зрения.
Обычно переход к линейным уравнениям осуществляют с помощью предварительного введения безразмерных переменных и последующего отбрасывания слагаемых, содержащих амплитудный параметр во второй и более высокой степенях. Не будем это без необходимости делать, поскольку процедура линеаризации стандартная и изложена во многих монографиях и учебниках.
Рассмотрим гармонические волны. Уравнения (0.8) имеет три типа частных решений:
(1) волны Лэмба:
(0.9) ф, и, (р ~ expi(kxx — W?<)exp I——г), w = 0, uL ¦¦
\ ~fH J
Здесь cs = y/igH — скорость звука. Амплитуда колебаний растет с высотой. Однако плотность газа быстро убывает с высотой. Поэтому плотность энергии этих волн, пропорциональная произведению плотности газа на квадрат амплитуды волны, экспоненциально убывает с высотой. Это приповерхностные волны; в безграничной атмосфере волны Лэмба отсутствуют. (2) акустические волны:
¦ф, u,w,(p~ exp i {кхх + kzz - uAt) exp
где ил, кх, кг — действительные. Поскольку последнее слагаемое под корнем всегда меньше единицы, то можно записать приближенное дисперсионное соотношение
2 ^
хорошо аппроксимирующее точное. Частота, период акустических волн в атмосфере лежат в диапазонах
0.21 сек"1 и J-7J7 < ^л < со, 0 < ТА < 4 мин 53 сек у АН
Акустические волны в стратифицированной среде представляют собой не потенциальное, то близкое к потенциальному движение жидкости. (3) внутренние гравитационные волны:
(* Ф> и, гу, v? ~ exp i (кхх + кгг - uGt) exp (—J .
6
где ujq, kxt кг — действительные.
Поскольку последнее слагаемое под корнем всегда меньше единицы, то можно записать приближенное дисперсионное соотношение
Частота, период гравитационных волн в атмосфере лежат в диапазонах 0I
Внутренние гравитационные волны представляют собой вихревое движение жидкости. Ротор скорости строго горизонтален.
(4) В трехмерном случае добавляется еще один вид решений — стационарные вихри с ротором, направленным вертикально. Для них о» = 0, w = 0, вертикальная структура возмущения может быть произвольной. При учете сил Кориолиса вихри начинают двигаться; это волны Россби. С волнами Россби связано существование циклонов и антициклонов.
ЗАМЕЧАНИЕ 0.0.1. Амплитуда акустических и гравитационных колебаний экспоненциально растет с высотой. Плотность газа экспоненциально падает с высотой. В результате плотность энергии этих собственных колебаний, пропорциональная произведению плотности на квадрат амплитуды, не изменяется с высотой.
Общее решение трехмерной задачи — суперпозиция перечисленных четырех видов решений. В двумерном случае имеется только три типа частных решений: волны Лемба, акустические волны и внутренние гравитационные волны. Если двумерная атмосфера безграничная, то остается только два типа частных решений: акустические волны и внутренние гравитационные волны.
Квазигидростатическое приближение
Уравнения (0.1) очень сложные. Автору неизвестно ни одно нетривиальное решение этих уравнений. Обычно пытаются решить уравнения численно.
Формально численное решение можно построить для любого t. Однако погрешности вычислений накапливаются. Оценка погрешности численного решения полных гидродинамических уравнений показывает, что на временах порядка одного периода ВГВ погрешность уже может быть не меньше амплитуды ВГВ. Поэтому надежно смоделировать распространение ВГВ обычными методами с необходимой точностью в рамках полной системы гидродинамических уравнений не удается.
Рассмотрим структуру погрешности. Полные гидродинамические уравнения описывают не только распространение ВГВ, но и распространение акустических волн (АВ). Аппроксимируя уравнения (0.1) или (0.7) конечно-разностными, мы заменяем производные конечными разностями. Например,
df(x,г,t) _ f{x,z,tj+i)-f(x,z,tj) _ dt т
7
Здесь т — шаг по времени. Последний член учитывает погрешность.
d2f(x, z, и) Д™ акустических волн :--**•*' з) « иА \f(x, z,t)\.
Оценим --- п2 t.ot х
ut2 r, O'if(X1Z,tj) 2 и/ .\i
Для внутренних волн :--^—— « uft l/(xi 2.01 •
Здесь ид — частота акустических волн, uq — частота внутренних гравитационных волн. Для рассматриваемых волн ил > uG почти для всех кх, кг. В геофизике наиболее интересны волны с kz ~ jj, к~1 ~ 100 — 1000 км; для них —? = 103 — 105.
Следствие 0.0.1. Погрешность дискретизации уравнений, возникающая от акустических волн, в 103 — 105 раз больше, чем погрешность дискретизации, возникающая от внутренних гравитационных волн.
Добавим: несколько периодов гравитационных волн (5 — 10 часов) — это не меньше чем 102 периодов акустических волн. Для акустических волн это огромное время. Погрешности от акустических волн очень долго накапливаются, и «забивают» ВГВ. Если даже численный метод устойчив, результаты расчетов спустя 5-10 часов реального времени вызывают сомнения и смоделировать распространение гравитационных волн не удается.
Даже если акустические волны отсутствуют при t = 0, они возбуждаются позже, за счет нелинейных эффектов, за счет округлений при счете, за счет используемых итерационных процедур, за счет погрешностей дискретизации.
Обсуждаемая трудность не является специфической проблемой ВГВ; наоборот, она характерна для многих геофизических задач. Уравнения современных геофизических моделей сложны и учитывают процессы с существенно различными временными масштабами. Часто нам особенно интересны медленные процессы, происходящие на большом временном интервале. Погрешности численного счета, происходящие от быстро протекающих процессов, на несколько порядков превышают погрешности от медленно протекающего процесса; поэтому эти погрешности мешают численному моделированию медленно изменяющегося решения. Для построения медленно изменяющегося решения необходимы специальные численные методы. Проблема численного интегрирования уравнений, описывающих процессы с существенно различными временными масштабами, ежегодно обсуждается на семинарах EGS/EGU (см. секция "Balance in atmosphere-ocean dynamics"Ha www.copernicus.org/EGS/); автор диссертации является многолетним активным участником этих семинаров.
Исторически первое решение проблемы накопления погрешностей от АВ было предложено Ричардсоном в 1922 г. Ричардсон предложил такое упрощение уравнений, которое исключает АВ из модели, а вместе с ними устраняет проблемы, связанные с этими волнами. Следующие рассуждения приводят к этому упрощению.
Эксперименты показывают, что для большинства волновых возмущений в атмосфере характерный вертикальный масштаб lz < 10 км. Для среднемасштабных и крупномасштабных процессов, особенно интересных для геофизики, горизонтальный масштаб 1Х ~ 100 -г- 1000 км. Поэтому имеем задачу с малым параметром Р = |j- ~ 0.1 -т- 0.01.
Введем безразмерные переменные:
(0.10) ?
ф' =
Здесь а - амплитудный параметр, Яо ~ lz - среднее значение масштаба стратификации #(z). В качестве временного масштаба взят период длинных гравитационных волн.
В безразмерных переменных получаем, что (^d + Step + Stegl^ ~ о (02) ~ Ю"2 -г
10~4. Поэтому при решении геофизических задач комбинация (jffi- + а^"^ + е^"М отбрасывается. В научной литературе соответствующее приближение часто называют квазистатическим или гидростатическим (приближение квазигидростатики). В квазигидростатическом приближении уравнение для вертикальной скорости заменяется на следующее
(0.Ц) - — - рд + - [Ф)—^ = 0, или чаще — + рд = 0,
поскольку диссипативные члены тоже малы. (0.11) — фундаментальное уравнение современной геофизики и динамической метеорологии.
В размерных переменных наиболее часто используемая замкнутая система уравнений квазигидростатического приближения имеет вид:
(0Л2)
dz
d{pu) dt
+ ~ + ~ ~ dx+dz\?(Z)dz)'
P9,
dP d(uP) d(wP) _ dt+ dx + dz " l7
•>K?+?)-«H-
Анализ показывает, что уравнения (0.12) квазигидростатического приближения не учитывают АВ. Именно это обстоятельство позволяет эффективно моделировать распространение ВГВ с помощью квазигидростатической системы уравнений. (Приближение несжимаемой жидкости является другим часто используемым приближением, позволяющим исключить АВ из модели. Можно показать, что приближение несжимаемости среды изменяет скорость распространения ВГВ на 40%, поэтому при рассмотрении динамических процессов, в которых существенную роль играют ВГВ, использовать это приближение нежелательно.) Квазигидростатическое приближение сейчас используется во многих численных моделей динамики атмосферы при моделировании процессов с периодами больше, чем ~ 15 минут. К задачам такого типа относятся задачи общей циркуляции атмосферы и прогноза, задача о генерации ВГВ авроральными высыпаниями энергичных частиц и авроральными токами. Акустические волны быстро затухают и рассеиваются в атмосфере, они не дают вклад в асимптотику при больших t. Поэтому сделанное упрощение разумно.
Переходя от системы уравнений (0.1) к системе уравнений (0.12) мы встречаемся с первой теоретической проблемой. Как поставить задачу для квазистатических уравнений? Исходная система уравнений требует четыре функции в качестве начальных условий: p(x,z,0), u(x,z,0), w(x,z,O), P(x,z,O). Именно четыре эти функции можно получить из эксперимента. Квазистатическая задача требует только две функции в качестве начальных условий:
Р(х, г, 0) или р(х, z, 0) и п(х, z, 0) или w(x, z, 0).
Здесь над функциями поставлен знак "тильда", потому что очевидно, что в общем случае P(z,2,0) ф P(x,z,0), p(x,z,0) Ф p[x,z,0), й(х, 2,0) -ф- и(х, z, 0), w(x, 2,0) Ф w(x, 2,0). Следовательно, переход к уравнениям квазистатического приближения нетривиален. По
9
начальным условиям для полной задачи необходимо вычислить начальные условия для квазистатической задачи. Эта задача по пересчету начальных условий называется проблемой квазистатического приспособления или квазистатической адаптации. Она обязательно решается в некотором приближении при подготовке начальных данных для метеорологических моделей.
Аналогично, если решаем задачу с внешними источниками, то по заданным источникам <7i(z, 2, t), q2(x, 2, t), <7з(я, 2, t) для полной задачи, может быть, нужно вычислять источники qi(x,z,t), q~2(x,z,t) q3(x,z,t), q~4{x,z,t) для квазистатической модели.
Некоторое время считалось, что квазигидростатическое приближение можно использовать почти всегда. Предполагалось, что если при t = 0 условие квазигидростатичности в атмосфере нарушено, то осуществляется переходный процесс, в течение которого быстро происходит квазигидростатическая адаптация мстеополей. После этого осуществляется квазигидростатическая или близкая к квазигидростатической эволюция параметров среды, и уравнения (0.12) уже применимы.
Однако диссертантом построены приближенные аналитические решения уравнений квазигидростатической модели, контрпримеры, показывающие, что в нелинейном случае гладкого решения квазигидростатической системы уравнений при достаточно больших t, вообще говоря, не существует [4], [5], [150]. Это зависит от начальных условий, но такие случаи нередки. Предельный переход 0 —* 0 молено понимать только в слабом смысле, даже в случае, когда акустических волн нет.
Изложим кратко аналитическую модель, показывающую нетрииальиость предельного перехода к квазигидростатическому приближению.
Анализ нелинейных уравнений аналитическими методами
Система уравнений Кортевега-де Вриза как модель нелинейных внутренних волн
Пусть имеется волновод, в котором распространяются длинные слабо нелинейные волны. Предположим, что поведение газа в волноводе описывается системой уравнений
min(A,tf)//, =
kn=nnlh
Рис. 0.2
(0.7). На нижней и верхней границах волновода задано условие твердой поверхности w(x,2 = 0,f) = w(x,z = h\,t) = 0. Пусть <т = |r < 1 — малый амплитудный параметр, /? = lf- Сосредоточим внимание на внутренних гравитационных волнах. Решение уравнений (0.7) будем искать по методу Галеркина:
где Sn(z) — система функций, образующих базис (Здесь для упрощения изложения основных идей допущены не принципиальные неточности. Детальный вывод уравнений (0.13)
ю

 Часть из работы     Получить работу