ВВЕДЕНИЕ
Теория алгебраических систем или универсальная алгебра, берущая свое начало с классической статьи Биркгофа [23], к настоящему времени сформировалась в самостоятельный раздел общей алгебры. В развитии этой теории можно выделить (весьма условно) два основных направления. Первое из них связано с изучением наиболее общих, то есть не зависящих от сигнатуры, свойств многообразий, а второе — с изучением конкретных классов алгебраических систем. На важность исследования многообразий групп, колец, решеток, линейных алгебр и других классических- многообразий указывал А. И. Мальцев на Международном конгрессе математиков (Москва, 1966). В настоящее время известно большое количество глубоких и интересных результатов в этой области.
Помимо двух указанных направлений в теории алгебраических систем большой интерес представляет широкий круг вопросов, связанных с обобщением известных свойств конкретных многообразий на многообразия значительно более широкого класса. К важным и крупным успехам в этом направлении универсальной алгебры следует отнести возникшую в восьмидесятых годах теорию коммутаторов конгруэнции алгебр1, в которой вводится и изучается операция коммутирования конгруэнции, обобщающая известную из классической теории групп операцию коммутирования нормальных под-
'в подобном контексте алгебра (более точно, универсальная алгебра) — то же, что и алгебраическая система
— 4-
групп. В действительности содержательная теория коммутаторов получается для конгруэнции алгебр лишь конгруэнц-мо-дулярных многообразий, но к счастью большинство многообразий алгебр, представляющих научный интерес, конгруэнц-модулярны. Систематическое изложение теории коммутаторов для конгруэнц-модулярных многообразий содержится в [24].
Среди прочего, теория коммутаторов позволяет развивать структурную теорию разрешимых алгебр в конгруэнц-модулярных и, в частности, в конгруэнц-перестановочных многообразиях алгебр. Описанию разрешимых алгебр в конгруэнц-модулярном многообразии посвящена работа [19]. Общий подход, позволяющий вести индукцию по ступени разрешимости, предложен В.А.Артамоновым в работе [3] и состоит в обобщении на алгебры конгруэнц-модулярных многообразий еще одной классической теоретико-групповой конструкции — представления Магнуса (различные аспекты этой конструкции с разной степенью подробности изложены в [16], гл. 15, [15, 26]). К сожалению, для общего конгруэнц-модулярного многообразия вопрос о ядре представления Магнуса не удается решить однозначно, как это делается для многообразия всех групп, поэтому представляет интерес изучение представления Магнуса для конкретных многообразий. Отметим, что еще до появления этого общего подхода аналог представления Магнуса для алгебр Ли был построен и изучен в работе [18], а для ассоциативных алгебр — в работе [28]. Недавно в диссертации [1] было
-5-
построено и применено для исследования ряда алгоритмических вопросов представление Магнуса для алгебр Лейбница.
С технической стороны представление Магнуса непосредственно связано с дифференциальным исчислением в соответствующих многообразиях. Среди других важных приложений дифференциального исчисления к свободным алгебрам различных многообразий отметим исследование автоморфных орбит элементов, теоремы о ранге и алгоритмы распознавания примитивности системы элементов — см., например, [20, 29].
Предлагаемая диссертация также посвящена изучению представления Магнуса, но в применении к общему многообразию мультиоператорных групп, а также к некоторым частным случаям таких многообразий, в числе которых многообразия всех неассоциативных, коммутативных неассоциативных и антикоммутативных неассоциативных линейных алгебр. Последние многообразия занимают важное место в современных алгебраических исследованиях благодаря своей общности, и особенно после того, как в работах [10, 17] для них было доказано интересное свойство шрейеровости (то есть доказано, что подалгебры свободных алгебр этих многообразий сами свободны). Объединяя для краткости коммутативный и антикоммутативный случай, будем говорить об е-алгебрах, то есть алгебрах с тождеством ху = еух, где е = ±1. Объединяя их еще и со случаем многообразия всех неассоциативных алгебр, будем говорить о неассоциативных (е-)алгебрах.
-6-
Приведем необходимые определения.
Многообразие — это класс всех алгебраических систем данной сигнатуры, в которых выполнен некоторый фиксированный набор тождеств. Согласно классической теореме Бирк-гофа [23], многообразия — это в точности те классы алгебраических систем, которые замкнуты относительно взятия гомоморфных образов, подсистем и прямых произведений. Конгруэнции (то есть эквивалентности, согласованные с операциями) алгебраической системы образуют решетку (структуру) по включению, то есть у любых двух конгруэнции а, /3 имеется точная верхняя грань а V /3, называемая их объединением, и точная нижняя грань аЛ/3, называемая (и являющаяся) их пересечением. Кроме того, определена операция умножения конгруэнции:
х(а/3)у <=> 3z : xazpy,
где x,y,z — элементы алгебраической системы.
Многообразие алгебр называется конгруэнц-перестано-вочным, если любые две конгруэнции а, /3 любой его алгебры перестановочны, то есть а(3 = /За. Согласно классической теореме А. И. Мальцева [13], многообразие V конгруэнц-пе-рестановочно тогда и только тогда, когда существует такой тернарный терм р, что в V выполнены тождества
Р(х, У, у) = р(у, У, х) = х. Примерами конгруэнц-перестановочных многообразий служат
многообразия групп, колец, модулей (вообще, любых мультио-ператорных групп), квазигрупп и булевых алгебр. Действительно, в мультиоператорных группах можно положить
р{х, y,z) = x-y + z (или xy~lz при мультипликативной записи), в квазигруппах
p(x,y,z) = (x/(y\y))(y\z), в булевых алгебрах
р(х, у, z) = xz + xy'z' + x'y'z.
Многообразие алгебр называется конгруэнц-дистрибутив-ным, если решетка конгруэнции любой его алгебры дистрибутивна, то есть удовлетворяет одному из двух эквивалентных тождеств дистрибутивности
а V (Р А т) = (а V /3) А (а V 7) (1)
а А (р V 7) = (а Л р) V (а А у).
Согласно теореме Йонссона [14], многообразие V конгруэнц-дистрибутивно тогда и только тогда, когда существует такое п^2и тернарные термы to,ti,..ttn, что в V выполнены тождества
to(x,y,z)=x, tn(x,y,z) = z, U(x,y,x) = x,
U(x,x,y) = ti+i(x,x,y), где г < п четно, U(x, у, у) = ti+i(x,у, у), где г < п нечетно.
_g_
Примерами конгруэнц-дистрибутивных многообразий служат многообразия решеток. Действительно, для них можно положить п = 2 и
po(x,y,z) = x, p2(x,y,z) = z,
Pl{x,y,z) = (х V у) А (х V z) А (у V z).
Многообразие называется конгруэнц-модулярным, если решетка конгруэнции любой его алгебры модулярна, то есть в ней тождество (1) выполнено при условии а ^ /3. В [12], гл. IV показано, что это условное тождество эквивалентно тождеству модулярности
(а А /3) V (/3 А 7) = Р А ((а А /3) V 7).
Согласно теореме Гумма [14], многообразие V конгруэнц-мо-дулярно тогда и только тогда, когда существует такое п^Ои тернарные термы p,to,ti, ..,tn, что в V выполнены тождества
to{x,y,z) = x, tn{x,y,y)=p(x,y,y),
р(х,х,у) = у, U(x,y,x) = x,
U(x, х, у) = ti+i(x, х, у), где i < n четно,
U(x, у, у) = ti+x(x,у, у), где г < п нечетно.
Конгруэнц-модулярность следует и из конгруэнц-перестаново-чности, и, очевидно, из конгруэнц-дистрибутивности. Поэтому примеры конгруэнц-перестановочных и конгруэнц-дистрибутивных многообразий также служат примерами конгруэнц-мо-
_g_
дулярных многообразий. Примером многообразия, не являющегося конгруэнц-модулярным, служит многообразие всех полугрупп.
Перечислим основные результаты диссертации.
1) Специальный вариант представления Магнуса для многообразий мультиоператорных групп и алгебр. Матричное представление Магнуса для линейных алгебр.
2) Матричное представление свободного абелева расширения факторалгебры свободной неассоциативной (е-) алгебры по мономиальному идеалу.
3) Невложимость свободной разрешимой алгебры большего ранга в свободную разрешимую алгебру меньшего ранга, свойство хопфовости свободной разрешимой алгебры конечного ранга, нильпотентная аппроксимируемость свободной разрешимой алгебры.
Необходимо отметить, что близкие вопросы изучались в работах [8, 9, 32], посвященных так называемым (р, ^-алгебрам — алгебрам с тернарной мальцевской операцией р, являющимся полигонами над моноидом S.
Перейдем к изложению содержания настоящей диссертации.
Диссертация состоит из введения и семи параграфов, которые объединены в две главы.
В первой главе (параграфы 1-3) приведены классические
-10-
результаты о представлении Магнуса и их аналоги, а также обобщение для произвольного конгруэнц-модулярного многообразия, изложены необходимые понятия и технические средства, используемые для доказательства основных результатов. Во второй главе (параграфы 4-7) получен специальный вариант представления Магнуса для многообразий мультиопера-торных групп и, в частности, его матричная реализация, доказано, что при некоторых предположениях оно является вложением для многообразия неассоциативных (е-)алгебр, изучается его образ. Полученные результаты применяются для доказательства ряда свойств свободных разрешимых (в частности, метабелевых) алгебр.
В первом параграфе напоминаются классические результаты о представлении Магнуса для групп (теоремы 1.2, 1.3), ассоциативных алгебр (теорема 1.4) и алгебр Ли (теорема 1.5). Указаны их основные приложения.
Второй параграф посвящен представлению Магнуса в конгруэнц-модулярных многообразиях. Приводится определение необходимого понятия коммутатора конгруэнции и другие связанные с ним определения, перечислены основные свойства коммутаторов (теорема 2.2). Изложены основные определения и результаты из [3]: определение касательного кольца R, дифференцирования тождеств, представления Магнуса fi : F -» Я, описание его ядра (теорема 2.5). Здесь F — свободная алгебра многообразия, Н — специальным образом по-
-11-
строенная алгебра того же многообразия с носителем А х U, где А = F/9, в — конгруэнция F, a U — свободный модуль над касательным кольцом R.
"Устанавливается связь между представлением Магнуса и свободными абелевыми расширениями: если ker/z = [9,9], то представление Магнуса является вложением свободного абеле-ва расширения алгебры А в алгебру Н. Для этого дается кате-горное определение свободного абелева расширения, а также его конструктивное описание (теорема 2.7). Объясняется роль свободных абелевых расширений в теории свободных разрешимых алгебр:
Теорема 2.8. Пусть F8 — свободная разрешимая алгебра ступени s ранга cardX многообразия V. Тогда Fs+\ является свободным абелевым расширением Fs с порооюдающей совокупностью X.
В третьем параграфе приводятся необходимые для дальнейшего определения и результаты. Напоминается понятие мультиоператорной группы, кольца и алгебры, а также и их идеалов. Указана связь между идеалами и конгруэнциями, в теореме 3.2 выписаны порождающие коммутатора идеалов. Кроме того, вводится понятие универсального дифференцирования, категорное определение универсальной мультипликативной обертывающей алгебры и ее конструктивное описание.
Основные результаты диссертации излагаются в параграфах 4-7.
-12-
Четвертый параграф посвящен построению специального варианта представления Магнуса для многообразий мультио-ператорных групп. В теореме 4.1 касательное кольцо R разложено в свободное произведение Ro * В! колец, заданных образующими и определяющими соотношениями. Оказывается, что в кольце В! содержится все необходимое для представления Магнуса: в терминах свободного модуля над кольцом R! строится алгебра Н1 и гомоморфизм ц' : F —> Н' и доказывается
Теорема 4.2. Ядра гомоморфизмов fi : F -> Н и у! : F —> Н' совпадают.
Для многообразий мультиоператорных групп предлагается считать касательным кольцом кольцо В! (более простое, чем R), а представлением Магнуса — //, и в дальнейшем не ставить штрихи. Необходимо отметить, что именно упрощенное таким образом представление Магнуса переходит в классические представления Магнуса для групп, алгебр Ли и ассоциативных алгебр, будучи рассмотренным в соответствующих многообразиях.
Далее рассматриваются многообразия более узкого класса — многообразия мультиоператорных алгебр. В теореме 4.3 на касательном кольце для алгебр этих многообразий введена структура линейной алгебры, и эта касательная алгебра задана образующими и определяющими соотношениями. В случае многообразия обычных алгебр над полем касательная алгеб-
-13-
ра совпадает с универсальной мультипликативной обертывающей (теорема 4.4), что приводит к матричному представлению Магнуса:
Теорема 4.5. Пусть V — многообразие алгебр над полем к, Л = F/I, где F — свободная алгебра многообразия V с множеством свободных порождающих X, Iа 0 \
I , а е А, и е и,
и a J
где U — свободный бимодулъ над алгеброй А с множеством свободных порождающих X. При указанной матричной реализации алгебры Н имеем
х x +1
где ii — представление Магнуса, х G X.
В пятом параграфе V — многообразие неассоциативных (е-)алгебр. Доказывается следующая
Теорема 5.3. Пусть char А; ф 2 (только для е-случая). Тогда если идеал I мономиальный, то ker fi = [I, I].
Показано, что условие, наложенное на char k в этой теореме, существенно.
Шестой параграф посвящен изучению образа матричного представления свободного абелева расширения свободной абе-левой алгебры, то есть свободной метабелевой алгебры (тео-
-14-
рема 6.2). В частности, изучаются гомоморфизмы свободных метабелевых (е-)алгебр конечного ранга (теорема 6.4).
В седьмом параграфе полученные в диссертации результаты применяются для доказательства ряда свойств свободных разрешимых алгебр. Обозначим через F3(r) свободную разрешимую алгебру ступени s ранга г в многообразии V и потребуем, чтобы существовало матричное представление F3(r), s ^ 2. Будем говорить, что алгебра А ? V удовлетворяет условию 1, если ее универсальная мультипликативная обертывающая R не имеет делителей нуля, и инъективно хотя бы одно из отображений а ь-> а', а н-> а", где а/, а" ? R — универсальные операторы умножения на а ? А справа и слева соответственно. Условию 1 удовлетворяют, например, алгебры Ли и неассоциативные (е-)алгебры. Доказывается следующая
Теорема 7.5. Если г\ > гч и все алгебры Fs(ri), s ? N, удовлетворяют условию 1, то для каждого s алгебра Fs(r\) не вложима в Fs(r2).
Присоединенным идеалом ассоциативной алгебры R назовем такой идеал /, что R = к ф /, причем f]In = 0. Бу-
п
дем говорить, что алгебра А ? V удовлетворяет условию 2, если ее универсальная мультипликативная обертывающая обладает присоединенным идеалом. Условию 2 удовлетворяют, например, разрешимые ассоциативные алгебры, произвольные алгебры Ли, неассоциативные (?-)алгебры. Доказывается следующее
-15-
Предложение 7.7. Свободный модуль конечного ранга над алгеброй с присоединенным идеалом обладает свойством хопфовости.
С помощью матричного представления Fs(r) из этого предложения получается
Теорема 7.10. Если г < оо и все алгебры Fs(r), s € N, удовлетворяют условию 2, то они обладают свойством хопфовости.
Наконец, доказывается
Теорема 7.11. Если все алгебры Fs{r), sGN, удовлетворяют условию 2, то они нилъпотентно аппроксимируемы.
Результаты диссертации докладывались на заседаниях научно-исследовательских семинаров по алгебре и по теории колец в МГУ, на международном семинаре «Универсальная алгебра и ее приложения» (Волгоград, 1999), на V международной конференции «Алгебра и теория чисел» (Тула, 2003). Результаты диссертации опубликованы в работах [4, 5, 6, 7].
Автор хотел бы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. профессору В. А. Артамонову за постановку задач, постоянную поддержку и внимание к работе, полезные советы и обсуждения.
-16-
ГЛАВ А I СВОБОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ
В этой главе излагаются результаты, послужившие основой для дальнейших исследований, и приводятся основные используемые во второй главе обозначения, определения и факты. В § 1 изложены классические результаты о представлении Магнуса для групп, ассоциативных алгебр и алгебр Ли. § 2 посвящен представлению Магнуса в конгруэнц-модулярных многообразиях, а также структурным свойствам свободных абеле-вых расширений. В § 3 приводятся определения и результаты, относящиеся к мультиоператорным группам и к универсальным мультипликативным обертывающим алгебрам.
§ 1. Свободные абелевы расширения групп, ассоциативных и лиевых алгебр
Пусть F — свободная группа с множеством свободных порождающих X, и пусть N < F, G = F/N. Вложение Магнуса позволяет представить группу F/[N, N] (где [N, N] — коммутант подгруппы N) в терминах группы G.
Определение 1.1. Дифференцирование Фокса целочисленного группового кольца ZF — это такой эндоморфизм D аддитивной группы XF, что
D{ab) = aD{b) + D(a) для всех a,b (E F.
-17-
Из того, что группа F свободна, легко вывести, что для
каждого ее свободного порождающего х 6 X существует един-
11 ^ч д ду .
ственное дифференцирование Фокса — такое, что — = Ьху
ох ох
для всех у ? X.
Пусть М — свободный левый модуль над целочисленным групповым кольцом ZG с множеством свободных порождающих {ех\х € X}, и пусть 7Г : ZF —> ZG — гомоморфизм колец, индуцированный естественным гомоморфизмом групп F —» G.
Теорема 1.2 (представление Магнуса, [26]). Отображение
, teF 1 У
является гомоморфизмом группы F в мультипликативную группу матриц
а € G, m G М.
о этого гомоморфизма совпадает с коммутантом [N, N]. Теорема 1.3 ([15, 30]). Образ гомоморфизма из теоремы 1.2 состоит из всех таких матриц
что в кольце ZG выполнено равенство
а — 1 = ^^ mx{xN - 1).
х&Х |
