Введение
Проблема изучения систем дифференциальных уравнений в частных производных в настоящее время имеет различные направления. С одной стороны, эта проблема может рассматриваться в рамках анализа, где основным предметом исследований является определение решений уравнений при условии корректной постановки задач. С другой стороны, благодаря работам Софуса Ли взгляды на дифференциальные уравнения в частных производных стали развиваться в новых направлениях. Возникла так называемая "качественная" математика, предметом исследования которой являются те или иные характеристики или свойства объектов, связанных каким либо образом с системой уравнений. Предметом интересов стала и структура самих систем дифференциальных уравнений и всего того, что можно из них получить, в частности, с помощью таких операций, как дифференцирование и продолжение.
Отметим, что методы, направленные на проведение "качественных" исследований систем уравнений в частных производных (аналитические методы), по их конечной информативности в некотором смысле уступают тем методам, которые ориентированы на построение решений для конкретных задач. Речь идет прежде всего о сравненении с численными методами решения уравнений. Однако, аналитические методы исследования имеют и ряд преимуществ. К таким преимуществам относятся более широкие возможности для организации системного подхода к изучению явления или процесса (моделируемого дифференциальными уравнениями), возможность замены математической модели процесса более простой моделью (или математической моделью, представленной в специальной, удобной форме), в некоторых случаях возможность получения точных ("количественных") решений, и др. Как отмечается в [108] "численное решение позволяет получить конкретный ответ на конкретный вопрос, но не
дает представления о структуре решения. Поэтому интерес к выделению классов решений, зависящих от произвольных параметров и функций, возрос именно в связи с появлением большого численного материала расчетов, нуждающихся в интерпретации". Таким образом, данное направление математического моделирования ("качественные исследования") дополняет методы численного моделирования и часто является предварительным этапом задачи получения решений системы дифференциальных уравнений.
К наиболее известным и разработанным задачам, относящимся ко второму направлению, принадлежат задача исследования групп симметрии систем уравнений в частных производных и задача построения законов сохранения.
Само по себе понятие симметрии является одним из наиболее фундаментальных " качественных" свойств окружающего нас мира. По выражению В. Гильде [28] понятие симметрии играет "ведущую, хотя и не вполне осознанную роль в современной науке, искусстве, технике и окружающей нас жизни".
Применительно к дифференциальным уравнениям группа симметрии определяется как совокупность преобразований (удовлетворяющих определенным требованиям), и преобразующих решения этой системы в другие ее решения. В соответствии с этим требованием система дифференциальных уравнений является инвариантной относительно действия группы преобразований: в преобразованных переменных система имеет тот же вид, что и исходная.
Теория непрерывных групп преобразований создавалась С. Ли специально для изучения дифференциальных уравнений. Основной задачей исследования групп симметрии систем дифференциальных уравнений является задача построения алгебры Ли дифференциальных операторов (векторных полей). При этом исходная система уравнений должна являться
инвариантной относительно действия группы преобразований, соответствующей алгебре Ли дифференциальных операторов (которые называются также инфинитезимальными симметриями системы уравнений).
Обыкновенные дифференциальные уравнения были первым объектом приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям [156] (см. также [89]). Позднее Г. Биркгоф [12] привлек внимание к приложениям групп Ли к дифференциальным уравнениям механики жидкости.
Систематические исследования по приложению групп Ли для широкого круга физически важных задач были начаты Л.В. Овсянниковым [85] и его учениками [43]. Применительно к уравнениям механики жидкости и газа, эти работы продолжаются Л.В Овсянниковым и по настоящее время (см., например, [87], [SS]). В аналитической механике теоретике - групповые методы были использованы еще в работах А. Пуанкаре и Н.Г. Че-таева. Одни из первых работ по исследованию групповых свойств систем уравнений механики жидкости и газа в нашей стране были выполнены Ю.Н. Павловским [93], В.В. Пухначевым [104], СВ. Хабировым [124] (в г. Казани В.Г. Павловым [26], [91], [92]).
Представления о современном состоянии и направлениях развития метода Ли - Овсянникова можно найти в работах [2],[43], [89]. Кроме того, краткое введение в современные методы группового анализа и сводка основных результатов по групповому анализу дифференциальных уравнений имеются в Руководстве по групповому анализу дифференциальных уравнений [140].
Отметим здесь, что наибольшая часть работ в этом направлении была выполнена с использованием точечных групп преобразований (т.е. групп преобразований, "изначально" действующих в пространстве зависимых и независимых переменных).
Важнейшим направлением развития теории непрерывных групп преобразований является направление связанное с понятием обобщенных (вые-
ших) симметрии. В теории контактных преобразований С. Ли включал производные зависимых переменных в пространство представления группы [154] (группа преобразований действует в пространстве зависимых, независимых переменных и производных зависимых переменных первого порядка). Он же поставил вопрос о существовании обобщений контактных преобразований высших порядков [155]. Позднее Бэклунд рассматривал преобразования, зависящие от производных зависимых переменых произвольного (конечного) порядка [131] (преобразования Ли - Бэклунда). Обобщение данного подхода привело к обобщенным преобразованиям, которые существенно нелокальны и не определяются значениями конечного числа производных от зависимых переменных. Преобразования данного типа появились в связи с открытием "вполне интегрируемых систем" и последующим развитием методов обратной теории рассеяния [1], [129].
Другое направление развития теории непрерывных групп преобразований, применительно к. дифференциальным уравнениям, - теория приближенных групп преобразований. Приближенные группы преобразований [6], [7], [8] были введены в рассмотрение Н.Х. Ибрагимовым, В.А. Байковым, Р.К. Газизовым по аналогии с понятием приближенного решения для систем уравнений, содержащих малый параметр е [81]. На основе аналога теоремы Ли для приближенных групп в [142], [143], [144] было развито инфинитезимальное описание приближенных одно-параметрических групп преобразований и выведены определяющие уравнения для построения приближенных симметрии уравнений с малым параметром.
Близкое к приближенному групповому анализу направление исследования дифференциальных уравнений с малым параметром рассматривалось также в работах В.И. Фущича и его коллег [121], [122], [123]. В этих работах под приближенной симметрией уравнения с малым параметром понималась точечная симметрия системы уравнений, полученной разложением зависимой переменной по малому параметру, с последующим рас-
щеплением исходного уравнения по степеням малого параметра.
Примеры группового анализа дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, имеются также в работах В.А. Чугунова и др. [116], [138].
Еще одна тенденция в развитии группового анализа - тенденция к абстракции и глобализации, охватившая большую часть современной теории групп. По выражению П. Олвера "приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, начатые Ли и Нетер, постепенно уходили во тьму, в то время как глобальная абстрактная переформулировка дифференциальной геометрии и теории групп Ли, за которую боролся Э. Кар-тан, занимала господствующее положение в математике" [89]. Наиболее полно данная тенденция проявилась в работах A.M. Виноградова и др. [20], [109] направленных на создание геометрической теории группового анализа систем уравнений в частных производных. В этих работах система уравнений в частных производных рассматривается как некоторая поверхность в пространстве струй (джетов) локальных сечений некоторого расслоенного пространства.
Геометрическая теория систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основанная на использовании бурбаковского формализма, разработана Ю.Н. Павловским и изложена в работе [94].
Кроме того, благодаря работам Эли Картана, сформировался подход к изучению систем дифференциальных уравнений в частных производных путем приведения их к системам внешних дифференциальных уравнений. При использовании этого подхода исходная система уравнений заменяется системой, в которую в общем случае входят зависимые и независимые переменные, производные зависимых переменных, а также дифференциалы этих величин. Выражения, состоящие из слагаемых, в которые входят дифференциалы переменных всех видов, образуют т.н. внешние дифференциальные формы, которые умножаются специальным образом - с по-
8
мощью внешнего произведения и дифференцируются с помощью операции внешнего дифференцирования. Систематическое использование внешних дифференциальных форм и операции внешнего дифференцирования составляет основу дифференциально-геометрического метода исследования.
Впервые переход к системам внешних дифференциальных уравнений использовался для нахождения симметрии систем уравнений в частных производных, по-видимому, в начале 60-х годов в работах A.M. Васильева [18], [19] и К.П. Суровихина [113], [115] на примере некоторых систем уравнений механики жидкости и газа. В этих работах для нахождения симметрии использовался достаточно трудоемкий метод канонизации. Основной задачей здесь являлось представление системы внешних дифференциальных уравнений с помощью системы форм Пфаффа, удовлетворяющих уравнению Маурера-Картана (уравнению структуры). Данную методику проведения группового анализа условно можно назвать структурным методом.
Позднее, в работе В.К. Harrison, F.B. Estabrook [146] также использовался переход к системам внешних дифференциальных уравнений для отыскания симметрии систем дифференциальных уравнений в частных производных произвольного класса. Для нахождения инфинитезимальных симметрии в [146] использовались производные Ли внешних дифференциальных форм. Так же как и в методе Л.В. Овсянникова, задача отыскания симметрии сводится в [146] к задаче получения и решения системы определяющих уравнений. Поэтому метод отыскания симметрии [146] в определенном смысле можно считать аналогом метода Л.В. Овсянникова.
Все перечисленные выше направления касаются различных подходов к методам и формулировкам понятия симметрии систем дифференциальных уравнений. Что касается использования симметрии, то здесь также существуют различные подходы.
В случае обыкновенных дифференциальных уравнений наличие одно-
параметрической группы симметрии позволяет понизить порядок уравнения на единицу [89]. Кроме того, наличие симметрии у системы обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет определять первые интегралы системы [94], [127]. Возможно также использование симметрии для решения задачи декомпозиции системы обыкновенных дифференциальных уравнений [94].
Симметрии и дифференциально-геометрический подход использовались в работе [38] по редукции нелинейных управляемых динамических систем (приведение исходных систем к более простому виду). Вопросы редукции обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривались также в [39], [40] на основе теории дискретных групп преобразований.
Для уравнений в частных производных одно из направлений исполь-звания симметрии - построение новых решений системы уравнений в частных производных по уже известным ее решениям (размножение решений). При этом группа симметрии позволяет классифицировать множество всех решений системы (два решения считаются эквивалентными, если они связаны одним из преобразований группы). Возможна также классификация с помощью симметрии систем дифференциальных уравнений в зависимости от произвольных параметров или функций, входящих в систему.
Другое направление касается собственно построения решений системы уравнений. Найденные в результате проведения группового анализа симметрии системы уравнений в частных производных используются для понижения размерности пространства независимых переменных при построении так называемых инвариантных и частично-инвариантных решений [86], [89]. А именно, в результате исследования групповых свойств системы уравнений определяется система инвариантов группы (полная или неполная). После этого исходная система уравнений сводится к так называемой фактор-системе, которая имеет меньшую размерность про-
10
странства независимых переменных. В частности, таким образом можно получать автомодельные решения систем уравнений в частных производных. Возможен и другой подход к использованию инвариантов группы
- уменьшение размерности пространства зависимых переменных. Подобным образом, например, получаются решения типа простых волн [86]. Недостаток данного подхода к использованию симметрии - ограничения по постановке граничных условий для которых могут быть получены решения исходной системы уравнений.
Групповые методы используются при решении задачи о точной линеаризации нелинейных уравнений в частных производных. Такая возможность рассматривалась в [12], [85] и более полно в [43].
Еще одно известное направление использования симметрии - построение законов сохранения для систем уравнений определенного класса. Под законом сохранения понимается запись уравнений, входящих в исходную систему, в специальной форме - в виде дивергенции некоторого вектора.
Наиболее известная методика построения законов сохранения для систем уравнений в частных производных опирается на первую теорему Э. Не-тер. Теорема Э. Нетер позволяет определять законы сохранения для так называемых вариационных систем уравнений в частных производных, т.е. для таких систем, которые могут быть получены как уравнения Эйлера
- Лагранжа для некоторого функционала. При этом сама процедура построения законов сохранения использует симметрии системы. Достоинством данного подхода к построению законов сохранения является тот факт, что наиболее трудоемкая часть метода заключается в проведении группового анализа системы исходной уравнений - то есть основана на использовании хорошо известного и разработанного алгоритма. К недостаткам метода можно отнести то ограничение, что исходная система уравнений должна быть вариационной.
Н.Х. Ибрагимов [42] дал новое доказательство теоремы Э. Нетер на
11
языке теории непрерывных групп преобразований. Им же были построены законы сохранения для уравнений из различных областей физики. К.Г. Гараевым построена [21], [22] модифицированная теория инвариантных задач, позволяющая конструировать законы сохранения и первые интегралы для оптимизационных задач в различных областях естествознания (в частности, при решении задачи оптимизации управления ламинарным пограничным слоем сжимаемого газа). Кроме того, в [22] приводится обобщение теоремы Э. Нетер на основе теории L* инвариантности.
Отметим здесь, что задача построения законов сохранения систем уравнений в частных производных может быть сформулирована на языке внешних дифференциальных форм. Впервые этот подход использовался, по - видимому, A.M. Васильевым в начале 60-х годов. Методика, разработанная A.M. Васильевым, позволяет определять законы сохранения для систем уравнений произвольного класса на основе отыскания характеристик законов сохранения (некоторой вектор-функции, на которую умножаются уравнения исходной системы). Недостаток этой методики, изложенной в работах [10], [11], [18], заключается в том, что для определения характеристик законов сохранения необходимо провести исследование на совместность некоторой системы уравнений Пфаффа и затем построить ее аналитическое решение, что в общем является достаточно трудоемкой задачей.
Оригинальная методика построения законов сохранения для уравнений в частных производных (на основе перехода к внешним дифференциальным уравнениям) была предложена в [162].
Позднее была разработана методика построения законов сохранения для систем уравнений в частных производных произвольного класса на основе теории спектральных последовательностей и использовании комплекса де Рама [109]. Согласно [109], задача отыскания законов сохранения сводится к задаче отыскания некторой вектор-функции, которая называ-
12
ется производящей функцией закона сохранения. Несколько более простое изложение этой методики приводится в [89], где производящие вектор - функции называются характеристиками законов сохранения. При этом производящие функции (или характеристики законов сохранения) определяются из решения линейной системы уравнений в частных производных первого порядка. Если производящая функция найдена, то можно утверждать, что закон сохранения существует (по крайней мере, локально) и его можно найти с помощью подходящего оператора гомотопии [89]. Справедливость этого утверждения определяется леммой Пуанкаре. Поскольку дифференциальные формы используются и при доказательстве леммы Пуанкаре и при построении оператора гомотопии, то можно считать, что использование метода внешних дифференциальных форм является совершенно естественным в задаче отыскания законов сохранения. Поэтому вполне естественной является и формулировка задачи отыскания законов сохранения на языке метода внешних дифференциальных форм.
Необходимо отметить, что приведенный здесь обзор работ является не полным, особенно в части применения симметрии в качественной теории дифференциальных уравнений. При составлении данного обзора упоминались, в основном, работы близкие по тематике к проблемам, затрагиваемым в диссертационной работе.
Основные проблемы, рассматриваемые в диссертационной работе, можно классифицировать по следующим направлениям.
I. Расширение возможностей использования классических (точечных) симметрии для построения решений уравнений в частных производных.
II. Построение новых (неклассических) видов точечных симметрии, для расширения класса объектов (систем дифференциальных уравнений), допускающих теоретико-групповые методы исследования.
III. Построение и использование законов сохранения для невариационных систем уравнений в частных производных.
13
IV. Развитие метода внешних дифференциальных форм применительно к задачам отыскания симметрии и построения законов сохранения систем дифференциальных уравнений.
Первые два направления существенным образом опираются на геометрическую трактровку понятия инвариантно- групповых решений, к которым относятся инвариантные, частично- инвариантные и дифференциально-инвариантные решения. С геометрической точки зрения технику построения инвариантно- групповых решений можно трактовать как присоединение к исходной системе дополнительных уравнений (поверхностей) инвариантного характера. При таком подходе, в отличие от метода дифференциальных связей, присоединяемые уравнения (одно или несколько) используют априорную информацию о системе, полученную на основе группового анализа. В работе геометрическая трактовка инвариантно- групповых решений на основе присоединения инвариантных связей используется как при решении задачи расширения области использования классических (в смысле Л.В. Овсянникова) симметрии, так и при построении и использовании неклассических симметрии.
Раширение возможностей использования классических симметрии может быть связано с различными аспектами. В частности, одним из возможных направлений использования симметрии может являться уменьшение количества присоединяемых инвариантных связей (минимум - одна связь). При таком подходе исходная система переопределяется в "минимальной степени", что потенциально увеличивает произвол в решении, но одновременно повышает трудоемкость построения решений (частично данную проблему снимает использование компьютерных пакетов символьных вычислений). Здесь же возможна и переформулировка самого понятия инвариантной связи либо за счет расширения класса присоединяемых уравнений (поверхностей более общего характера), либо за счет включения в пространство представления группы новых объектов (например,
14
параметров системы).
Разработка неклассических симметрии может быть связана с изменением самого понятия инвариантности системы уравнений. Речь здесь может идти, в частности, о обобщении понятия инвариантности за счет за счет ослабления требования преобразования любого решения исходной системы уравнений снова в решение данной системы.
Вторым существенным аспектом работы является использование метода внешних диффернциальных форм. Использование метода внешних дифференциальных форм в работе связано не только с упоминавшейся выше тенденцией абстрактизации и глобализации в современной теории группового анализа. В своей работе В.К. Harrison ( [148]) следующим образом определяет преимущества использования метода внешних дифференциальных форм для изучения уравнений в частных производных.
1. Метод прост в применении.
2. Метод имеет "геометрическую природу". Это позволяет использовать метод внешних дифференциальных форм в различных задачах (отыскание классических и обобщенных симметрии, законов сохранения и т.д.).
3. Метод дает возможность "менять местами" зависимые и независимые переменные (как в преобразованиях годографа).
4. Метод хорошо адаптируется для проведения символьных вычислений на компьютере.
Справедливость данных утверждений по поводу преимуществ метода внешних дифференциальных форм достаточно очевидна за исключением, быть может первого пункта. В частности, это касается преимуществ использования метода внешних дифференциальных форм в задаче отыскания симметрии дифференциальных уравнений перед классическим методом Л.В. Овсянникова. В своей статье В.К. Harrison не приводит обоснований, определяющих технические особенности метода внешних дифференциальных форм с точки зрения облегчения задачи отыскания симметрии.
15
Возможно именно это обстоятельство, в совокупности с необходимостью изучения "языка" и техники метода внешних дифференциальных форм, и явилось причиной не достаточно широкого применения метода в прикладных исследованиях. В частности, в 97 г. В. Harrison [148] отмечает, что предложенный им (совместно с F. Estabrook) подход к проведению группового анализа дифференциальных уравнений с использованием метода внешних дифференциальных форм не получил широкого распространения и остался практически не известным широкому кругу специалистов, работающих в области группового анализа уравнений. Отметим здесь следующий ряд работ, в которых рассматривались различные аспекты использования метода внешних дифференциальных форм [134], [135], [136], [147], [149], [160].
Некоторые возможности метода внешних дифференциальных форм, определяющие преимущества вычислительного характера в задаче отыскания симметрии (по сравнению с классическим методом), можно выявить при анализе следующего простого примера.
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида
где /(?, х) - некоторая гладкая функция. Пусть инфинитезимальная образующая симметрии определяется векторным полем вида
где ?(t,x),r)(t, x) - некоторые гладкие функции. В рассматриваемое уравнение входят зависимая, независимая переменная и производная зависимой переменной. Под действием группы преобразований происходит преобразование всех этих переменных. Поэтому для того, чтобы, в соответствии с классической методикой Л.В.Овсянникова, определить точечные симметрии рассматриваемого уравнения, необходимо использовать продолженное
16 |
