Введение
' Свободные турбулентные течения играют существенную роль при об-
текании тел, в задачах экологии, океанологии и геофизики; они являют-jf ся классическим объектом исследования теоретической, вычислительной
'"'Y и прикладной гидродинамики. Интересным примером пространственного
J свободного турбулентного течения, имеющим весьма важные практические
Ж приложения, является турбулентный след за телом вращения в устойчиво
стратифицированной среде.
Течение в турбулентном следе за телом, движущимся в устойчиво , стратифицированной жидкости, обладает целым рядом особенностей, от-
,- личающих его от смутного течения в однородной среде. При сравнительно
слабой устойчивой стратификации турбулентный след вначале развивает-I ся почти так же, как и в однородной жидкости, и расширяется симметрич-
¦', но. Однако вертикальной турбулентной диффузии препятствуют архиме-
довы силы, поэтому па больших расстояниях от тела след приобретает сплющенную форму и, наконец, совсем перестает расти в вертикальном Цщ / направлении. Из-за турбулентного перемешивания плотность жидкости в
пределах следа распределена более равномерно, чем вне его. Архимедовы силы стремятся восстановить прежнее невозмущенное состояние устойчивой стратификации, возвращая частицы жидкости на горизонты их равновесного состояния. В результате, в плоскости, ортогональной оси движения тела, возникают конвективные течения, приводящие к активному ¦л ,-•¦;¦? образованию внутренних волн в окружающей жидкости [15] (рис. 0.1).
Предметом исследования в настоящей работе являются турбулентные следы за телами вращения, движущимися горизонтально равномерно в бесконечном потоке. Рассматривается случай следов с нулевым избыточ-
Введение 5
ным импульсом. Главной особенностью таких турбулентных следов в случае однородной жидкости является их более быстрое вырождение в сравнении с турбулентными следами за буксируемыми телами [38, 107]. В работах Сенницкого [89] и Пухначева [84] аналитически показано, что при ламинарном режиме обтекания в следах за самодвижущимися телами возмущения продольной компоненты скорости убывают значительно быстрее, чем в следах за буксируемыми телами. Аналогичные данные получены в численных расчетах [29] для случая турбулентных следов в устойчиво стратифицированной среде.
¦fc
=const
V
/t>y=o
Рис. 0.1. Схема течения в следе в стратифицированной среде.
Результаты лабораторных экспериментов по изучению поведения характеристик безымпульсных турбулентных следов за телами вращения в однородной среде описаны в целом ряде работ, из которых паи-
Введение О
более подробными представляются работы Naudascher [172], Алексенко и Костомахи [2], Higuchi. & Kubota [155], Sirviente & Patel [181], а также обзорные монографии Шеца [107] и Pequet [173] (в них можно найти ссылки на другие работы). В ходе лабораторных экспериментов были выполнены измерения ряда основных характеристик следов за осесимметричными телами на оси следа и в его поперечном сечении для расстояний вниз по потоку, достигающих 20D [181]-15(Ш [172] (D - диаметр тела). При этом уже на небольших расстояниях от тела наблюдаются признаки автомоделыю-сти течения. Отмечается более быстрое убывание скорости осредиенного
^ движения в сравнении с турбулентными флуктуациями, т.е. на достаточ-
ном удалении от тела в безымпульсных турбулентных следах реализуется практически бессдвиговый режим течения [172, 2]. Одной из наиболее цитируемых работ по изучению вырождения безымпульсного турбулентного следа является работа Naudascher (1965г.), которая послужила отправной
д> точкой для значительного числа экспериментальных, численных и теоре-
тических исследований (см., в частности, работы Finson [145], Сабелыш-кова [85], Городцова [41], Hassid [153], Коловандина [61], Новикова [79]). Весьма существенный прогресс в исследованиях последнего времени связан с появлением целой серии экспериментальных данных, полученных Алексенко и Костомахой [2, 3, 69] для безымпульсиых следов в однородной жидкости, в том числе с учетом близкого к изотропному турбулизо-
^ ванного фона. Помимо упомянутых выше характеристик здесь измеря-
лись также нормальные напряжения Рейиольдса и скорость диссипации, что открыло возможности для тщательного воспроизведения результатов этих опытов в численных экспериментах (см., например, работы Черных и др. [121, 100, 7G, 119, 50, 49, 117]).
Практически одновременно с изучением следов в однородной жидко-
¦*' сти проводились лабораторные эксперименты, связанные с анализом
поведения характеристик безымпульсиых турбулентных следов в стратифицированной среде. Одной из первых работ, в которых в условиях
Введение 7
лабораторного эксперимента было установлено, что турбулентный след за самодвижущимся телом в линейно стратифицированной среде существенно отличается от следа в однородной жидкости, является, по-видимому, работа Schooley & Stewart [180]. В ней были продемонстрированы основные особенности развития турбулентного следа в стратифицированной среде -коллапс и генерация следом внутренних волн, представлены некоторые теоретические оценки параметров генерируемых при движении тела внутренних волн.
В дальнейшем вопросу изучения явления коллапса следа был посвя-
ф щен целый ряд экспериментальных исследований (см., например, обзор в
[170]). В работе Merrit [170], кроме результатов оригинальных лабораторных измерений размеров турбулентного следа в "линейно стратифицированной среде и расстояния от тела, на котором начинается коллапс следа, содержится также подробный анализ этих данных. В результате было
д> показано, что характерными параметрами течения являются отношение
времени после образования следа к периоду Вяйсяля-Брента Т, определяемому стратификацией среды ps(z), а именно - градиентом плотности, а также число Фруда, равное отношению произведения скорости течения Uqo на период Вяйсяля-Брента к начальному размеру следа Dq'.
Наиболее детальные лабораторные исследования характеристик турбулентности в следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде, выполнены, насколько это известно автору, Lin & Pao [166] (некоторые результаты экспериментов этих авторов, касающиеся следов в однородной и линейно стратифицированной средах, в том числе данные о вырождении дефекта продольной компоненты осредненной скорости, приведены в [154, ИЗ]). В [166] представлены наиболее подробные количественные данные о поведении линейных размеров следа и интенсивно-стей турбулентных флуктуации полей плотности и скорости в безымпульсном турбулентном следе для достаточно широкого диапазона чисел Фруда,
Введение 8
включая трудно моделируемые в лабораторных условиях большие значения этого параметра. Результаты измерений иллюстрируют анизотропный характер вырождения интенсивностеи пульсациоииых составляющих горизонтальной и вертикальной компонент скорости на больших расстояниях от тела и содержат практически полный набор начальных данных для численного моделирования течения.
Лабораторные опыты показывают, что в тех случаях, когда распределение плотности невозмущениой жидкости по глубине является существенно нелинейным, картина течения может сильно отличаться от па-
/) блюдаемой в линейно стратифицированной среде. Наиболее характерные
изменения были продемонстрированы Gilreath & Brandt [150] на примере пикноклина, представляющего собой непрерывный аналог двуслойной жидкости. Основное внимание в этой работе уделялось исследованию внутренних волн, возникающих при движении тела внутри высокоградиент-
ц ной прослойки пикиоклина. В ходе экспериментов варьировалось соотно-
шение толщины прослойки с изменяющейся плотностью и диаметра тела. Представлены данные о качественной картине течения, отмечена тенденция к формированию в высокоградиентных прослойках (в случае, когда толщина этой прослойки меньше диаметра тела) близких к стационарным внутренних воли конечной амплитуды; выполнены теоретические оценки наблюдаемых внутренних волн.
Главным объектом исследования экспериментальных работ Сысоевой и Чашечкина [96], Чашечкина [115], Hopfinger ct al. [156, 137, 138], Fernando et al.[165], Шишкиной [182], Spedding et al. [185, 186], Bonnier & Eiff [112] явились особенности волновой картины течения. В [96, 115, 182, 15G, 137, 138, 165, 185, 186, 112] рассматривалось течение, возникающее при движении буксируемой сферы в линейно стратифицированной жидкости. В этих
••' работах большое внимание уделяется проблеме визуализации в лаборатор-
ном эксперименте, а также выявлению и исследованию стадий эволюции следа, анализу данных о поведении размеров следа. Сысоева и Чашечкин
Введение 9
[96], Chashechkin [115], Шишкина [182], Hopfinger et al.[156, 137, 138] изучали различные режимы течения в большом диапазоне чисел Рейнольдса и Фруда как в ближнем следе, так и в дальнем. Lin, Boyer, Fernando [165] основное внимание уделили исследованию особенностей поведения разме-ров следа в зависимости от значений числа Фруда. Spedding et al. [185, 186] рассматривали характеристики следа за буксируемой сферой при больших временах жизни следа. Детальный анализ экспериментальных данных о вырождении турбулентных следов за буксируемыми и самодвижущимися телами в линейно стратифицированных жидкостях и теоретические оцен- ки параметров внутренних волн выполнены в работах Чашечкина [115], Voisin [192]. В последней из них представлен обзор ряда экспериментальных и теоретических работ по данной теме.
Весьма значительная часть исследований безымпульсиых турбулентных следов в стратифицированной жидкости выполнена в рамках упро- щенных представлений. В лабораторных условиях в бассейне с иепо-движной стратифицированной жидкостью с помощью разного рода турбу-лизаторов создавалась плоская область турбулентных возмущений, время жизни которой предполагалось равным времени пребывания в следе. Рассматриваемая плоская задача представляет также интерес в связи с изучением динамики локальных турбулентных образований - пятен турбулентности, играющих важную роль в формировании тонкослоистой ми- кроструктуры в океане [74, 75, 97, 102].
Авторами ранних экспериментальных работ, в которых изучался двумерный нестационарный аналог трехмерного турбулентного следа за движущимся телом в линейно стратифицированной среде, были Van de Watering [189], Schooley [178] (ссылки на другие ранние работы имеются, например, в [170]). Трохан и Чашечкин [98] провели исследование фазовой картины течения. В экспериментах Као & Рао [159] рассматривалось течение, генерируемое турбулизованной областью в жидкости с нелинейной стратификацией. Изучались особенности волновой картины течения, в
Введение 10
частности, были получены данные о генерации при коллапсе следа в пик-ноклине уединенных внутренних волн значительной амплитуды.
Экспериментальному исследованию развития области турбулизован-ной жидкости в тонкослоистой среде посвящена также работа Попова [83]. '"" Основное внимание уделялось изменению формы турбулентного пятна в
зависимости от его расположения относительно прослоек жидкости с большими градиентами плотности. Показано преимущественное растекание пятна в горизонтальном направлении в виде узких языков вдоль высокоградиентных прослоек, а именно - вдоль расположенных внутри прослоек ^ горизонтальных плоскостей, соответствующих равновесному положению
частиц перемешанной жидкости.
В лабораторных экспериментах Fernando et al. [146, 147, 142] исследуется эволюция пространственных пятен турбулентности в стратифицированных средах. Рассматривается как линейное распределение плотам ности невозмущенной жидкости по глубине [147, 142], так и случай двухслойной жидкости [146]. Полученные данные о геометрии пятен и генерируемых внутренних волнах согласуются с имеющимися представлениями о течении в случае плоских турбулентных образований [72].
Качественные представления о рассматриваемом течении дают также многочисленные исследования ламинарных перемешанных областей в стратифицированных средах. Наиболее полные обзоры работ этого на-4х правления выполнены Степаняицем, Стуровой, Теодоровичем [93], Маде-
ричем, Никишовым, Стеценко [72], Ведеиьковым, Смирновым, Борисовым [16], Зудиным [56]. Из экспериментальных работ в первую очередь необходимо упомянуть лабораторные опыты Wu [197], посвященные изучению коллапса однородного по плотности пятна в линейно стратифицированной среде. Maxworthy [168] изучал внутренние волны, формирующиеся при *> развитии перемешанных областей в пикноклине, включая стационарные
волновые образования. В опытах Мадерича, Кулика [71], Maderich et al. [167] исследовалось растекание интрузий в слоистой среде, при этом основ-
Введение 11
ное внимание уделялось установлению характера зависимости течения в пикноклине от соотношения размера интрузии и толщины слоя раздела (слоя с максимальными градиентами плотности). В частности, было про-
,к демонстрировано формирование уединенных внутренних в "узком" слое
раздела, когда размер интрузии значительно превосходит толщину слоя раздела.
Данные, полученные в ходе лабораторных экспериментов (дополнительные ссылки можно найти в цитируемой литературе), имеют важное значение для понимания процессов, происходящих при эволюции турбу-
^ лентных следов. Следует отметить, однако, что количественное, а зача-
стую и качественное воспроизведение результатов этих исследований является затруднительным для численного моделирования из-за недостатка исходных данных об условиях проведения экспериментов (во многих экспериментах турбулизующее устройство оставалось в зоне смешения во все
4*4, время их проведения). В большинстве из них также отсутствуют более
или менее полные количественные данные о поведении основных характеристик течения (в особенности это относится к измерениям характеристик турбулентности), открывающие возможности для подробных сопоставлений с результатами расчетов. Это обстоятельство, по-видимому, служит подтверждением того факта, что экспериментальное исследование данного класса течений (так же как и его численное моделирование) представляет собой весьма нетривиальную задачу.
Для численного моделирования турбулентных следов в стратифицированной среде, как правило, требуется решить систему дифференциальных уравнений, описывающих трансформацию характеристик течения. Основным инструментом при проведении теоретических и численных исследований турбулентных следов за телами с движителями, как и мно-гих других турбулентных течений, были и остаются до настоящего времени математические модели, базирующиеся на полуэмпирических моделях турбулентного движения. Подробное описание моделей, в том числе с из-
Введение 12
ложеиием физических аспектов и принципов их построения, содержится в работах Mellor & Yamada [171], Launder [163], Rodi [176, 177], Онуфриева [82], Курбацкого [64], а также в коллективных монографиях [104, 73].
Иерархия полуэмпирических моделей турбулентности применительно к задачам расчета спутных турбулентных течений коротко может быть представлена следующим образом. Поскольку, как установлено, в частности, в лабораторных экспериментах [2], рассматриваемое спутное течение в случае однородной жидкости имеет практически бессдвиговый характер, в качестве наиболее простой модели турбулентности может быть 1Ч1\ рассмотрена так называемая е-модель. Она включает в себя дифферен-
циальное уравнение переноса энергии турбулентности е. При этом для моделирования процесса диссипации энергии турбулентности в тепло е (слагаемое в правой части упомянутого уравнения) требуется дополнительная информация. В простейших случаях речь идет о классическом ^v колмогоровском соотношении е ~ e3/2/L, где масштаб турбулентности L
определяется из геометрических соображений либо из решения дифференциального уравнения, основанного на полуэмпирических представлениях [67]. Опыт расчетов разных авторов показывает, что определение масштаба может представлять собой самостоятельную довольно сложную задачу (например, при наличии фоновых возмущений), альтернативой решения которой является привлечение дифференциального уравнения для скоро-
« сти диссипации ((е ~ е)-модель).
Использование моделей, аналогичных представленным выше, подразумевает строгую изотропию нормальных напряжений Рейнольдса на всех участках следа, что практически может быть принято лишь в простейших случаях следов в однородной жидкости. В расчетах турбулентных спутных течений с учетом стратификации среды это является весьма сильным
'; упрощением. Стремление описать более тонкие процессы, как, например,
анизотропное вырождение турбулентности в дальнем следе, приводит к использованию дифференциальных уравнений переноса компонент тензора
Введение 13
рейнольдсовых напряжений. Точная форма записи этих уравнений включает диффузионные слагаемые, содержащие неизвестные моменты третьего порядка, а также обменные и диссипативные слагаемые, для определения которых требуются дополнительные соображения и полуэмпири-
" ческие гипотезы. Неудачное замыкание (за счет грубого описания или
пренебрежения ролью существенных для описываемого течения механизмов) может не только не улучшить решение, но и внести дополнительные погрешности. При аппроксимации диффузионных слагаемых выходом из положения можно было бы считать привлечение дифференциальных урав-
±\ нений также и для третьих моментов. Однако для рассматриваемых про-
странственных течений задача в такой постановке может оказаться чрезвычайно усложненной. К тому же вопрос о замыкании уравнений для третьих моментов вновь остается открытым. Как пример удачной попытки замыкания уравнений для третьих моментов (в задачах атмосферного
ал пограничного слоя) следует упомянуть работы Илюшина и Курбацкого
[158, 59, 157]. В ряде работ [114, 158] уточнение аппроксимаций третьих моментов проводилось одновременно с соответствующим усовершенствованием уравнения для скорости диссипации. Что касается трудностей при полуэмпирическом моделировании обменных и диссипативпых слагаемых в уравнениях для моментов второго порядка, то, в частности, в работах Launder at al.[140], Speziale [187] предлагаются модели с усовершенствованными аппроксимациями этих членов. Преимущества новых моделей продемонстрированы на примере расчетов классических тестовых задач.
В целом ряде случаев весьма успешным оказывается привлечение вместо дифференциальных уравнений переноса моментов второго или третьего порядка их алгебраических усечений. В частности, для снутных турбулентных течений в однородной и стратифицированных средах применяют-
<-> ся модифицированные (е ~ е)-модели турбулентности, которые включают
в себя алгебраические локально-равновесные или неравновесные представления компонент тензора рейнольдсовых напряжений [164, 67, 175, 177,
Введение 14
149, 154]. Усовершенствованные алгебраические аппроксимации моментов третьего порядка предложены в работах Илюшина и Курбацкого [158, 157]. Достаточно хорошее качество этих моделей было продемонстрировано на примере решения ряда задач атмосферного пограничного слоя, в которых ' общепринятые аппроксимации оказывались непригодными.
Иерархия моделей для определения одноточечных корреляционных моментов с пульсациями ноля плотности, которые появляются при рассмотрении стратифицированных спутных течений, подобна изложенной выше. Наиболее простой и часто используемой является градиентная мо-_Х> дель для компонент вектора турбулентных потоков. В частности, такая
модель может быть получена как результат усечения соответствующих дифференциальных уравнений [149]. При этом удается наиболее простым явным образом учесть влияние силы тяжести. Применение дифференциальных уравнений переноса компонент вектора турбулентных потоков и ж > дисперсии флуктуации плотности приводит к тем же трудностям, что и
при моделировании напряжений Рейнольдса.
Кроме описанной выше проблемы замыкания, весьма важным обстоятельством при использовании полуэмиирических моделей является определение эмпирических постоянных и(или) функций, количество которых увеличивается по мере усложнения моделей. Хотя универсальных значений для них практически не существует, авторы большинства работ в этом -v1 вопросе руководствуются теми соображениями, что полученные значения
не должны противоречить опыту предыдущих исследований, имеющимся данным экспериментальных и теоретических исследований классических задач. Наборы в достаточной мере общепринятых значений эмпирических констант приведены, например, в обзорной статье Роди [73].
Многообразие существующих моделей турбулентности порождает про-
fv блему выбора оптимальной. Применительно к рассматриваемым в данной
работе турбулентным течениям, требующим решения пространственных
задач, выбор модели, как правило, предопределяется двумя обстоятель-
Введение 15
ствами: целью исследования, а именно - количеством и качеством информации, которую необходимо получить в результате расчетов, и возможностями компьютеров.
В качестве наиболее простого теста для оценки применимости полу-' эмпирических моделей турбулентности к описанию динамики безымпульс-
ных турбулентных следов в неоднородной по плотности среде может быть использована задача об эволюции следа в пассивно стратифицированной среде, когда полагается g = 0, р =? const (g — ускорение силы тяжести). В этом приближении гидродинамические характеристики собственно турбу-
.|л лентного следа развиваются как в однородной жидкости. На начальной
стадии развития турбулентиого следа в устойчиво стратифицированной среде ("активная" стратификация) воздействие силы тяжести также считается пренебрежимо малым. Разумеется, безымпульсные турбулентные следы в однородной жидкости представляют интерес и как самостоятель-
^л ная задача. Ниже будет представлен краткий обзор теоретических и чи-
сленных исследований этого течения.
При численном моделировании безымпульспых турбулентных следов за телами вращения в однородной жидкости основное внимание уделялось воспроизведению имеющихся экспериментальных данных. В работах Левеллена, Теске, Дональдсона [68] и Коловандина, Лучко [62] было получено согласие с опытными данными из работы Naudascher [172]. В ря-¦ де работ задача о динамике турбулентного следа в однородной жидкости
рассматривалась как тестовая при расчетах спутных течений в линейно стратифицированной среде (см., например, работы Даниленко, Костина, Толстых [47], Даниленко [46], Белоцерковского и др. [7], Hassid [153, 154], Мошкина, Федоровой, Черных [76]). При этом в [46, 47, 7] проводилось сопоставление с данными [172], в [76, 154] - с данными Lin & Pao, в [153]
Г' - с опытными данными многих авторов, в том числе с данными Lin &
Pao. В цикле работ Федоровой, Черных [100], воспроизводятся экспериментальные данные Алексенко, Костомахи [2, 3] о вырождении следов за
Введение 16
сферой (см. также [121, 76]) по ряду основных характеристик течения, а также выполнено сопоставление с результатами автомодельного анализа Hassid [153]. Наибольшие успехи этого направления исследований связаны с серией лабораторных экспериментов Алексенко и Костомахи [2, 69], по
'"'' результатам которых в работах Деменкова, Черных [117, 49, 119], Демен-
кова, Костомахи и Черных [51] было выполнено систематическое исследование турбулентных следов за сферой, включая закрученные безымпульсные следы. Работа Франка [ЮЗ] посвящена изучению влияния однородной внешней турбулентности на Динамику турбулентного пятна.
1 х Наряду с численным исследованием характеристик турбулентности в
"ближней" {х < 20-^150D) области следа, в которой проводились лабораторные измерения, в работах Hassid [153], Лесновой [69], Левеллена, Теске, Дональдсона [68], Лыткина, Черных [70], Черных и др. [119, 120, 50, 117], Деменкова [49] рассматривалось асимптотическое поведение дефекта про-
1, дольной компоненты скорости, энергии турбулентности и размера следа.
Наиболее подробные данные о законах изменения характерных масштабов и осевых характеристик дальнего безымпульсного следа, в том числе касательного напряжения, содержатся, по-видимому, в работе Колован-дина и Лучко [62], причем основное внимание в этой работе уделялось возможности описания перехода от состояния развитой турбулентности к турбулентному течению с малыми значениями турбулентного числа Рей-
Л* иольдса.
Для описания течения в цитированных работах привлекались различные модели турбулентного движения. В работе [70] использовалась простейшая е-модель. В [153, 69] согласование с экспериментами достигалось путем существенного варьирования эмпирических постоянных в (е ~ е)— модели турбулентного движения. В работах [121, 100, 119, 120, 50, 117, 49] Гу отдавалось предпочтение более универсальным модифицированным (е ~
е)-моделям с неравновесными алгебраическими аппроксимациями напряжений Рейнольдса [174]. Исследование с применением модели с диффе-
Введение 17
ренциальными уравнениями для этих величин проведено в [68]. В основе модели лежит использование масштабов пульсационного движения, для определения которых привлекаются полуэмпирические соображения. Модель работы [62] помимо уравнений для энергии турбулентности и диссипации включает в себя уравнения для касательного и вертикального нормального напряжений, а также полуэмпирические функции, призванные описать зависимость течения от турбулентного числа Рейнольдса. В [50, 49, 117] хорошее соответствие опытам [2] получено при использовании упрощенной (но аналогии с [174]) модели работы [62]. L\ Теоретический анализ автомодельного вырождения осесимметрич-
1 TV
ных безымпульсиых турбулентных следов в однородной жидкости выполнялся в целом ряде работ [10, 39, 145, 85, 41, 153, 61, 79]. Обзор ранних работ этого направления содержится в монографии Гиневского [145]. Первые теоретические исследования турбулентных следов с нулевым избыточным ^ импульсом, выполненные Биркгофом и Сарантонелло [10] и Гиневским,
Ухановой, Почкиной [39], основывались на использовании уравнения переноса дефекта продольной составляющей средней скорости. Результаты этих исследований продемонстрировали более быстрое затухание средней скорости в безымпульсных турбулентных следах (следах гидродинамических движителей) в сравнении с обычными следами за буксируемыми телами. В более поздних работах Finson [145], Сабельникова [85], Hassid [153], > Коловандина [61], опирающихся на экспериментальные данные из работы
[172], в качестве исходных моделей течения использовались как е-модель [85], (е ~ е)-модели [153], так и модели с дифференциальными уравнениями для напряжений Рейнольдса [145]. Были получены асимптотические законы расширения следа и вырождения энергии турбулентности, скорости диссипации и напряжений Рейнольдса. В частности, была под-^ тверждена экспериментальная информация [172] о том, что возмущения
продольной компоненты осредненной скорости затухают пропорционально среднему квадрату пульсационной составляющей скорости.
