Глава О Введение
0.1 Общая характеристика работы
Актуальность темы
Диссертация посвящена изучению многоразрезных решений матричной модели и их приложению к изучению низкоэнергетических эффективных действий для суперсимметричной калибровочной теории.
Матричные модели [1] в приложении к изучению физических явлений появились в работах Е. Вигнера и Ф. Дайсона. В этих работах изучалась связь между распределением ядерных уровней и собственных значений случайных матриц. В течение последней четверти двадцатого века матричные модели были применены во многих физических и математических задачах, включая распределение энергетических уровней в сложных системах, квантовый эффект Холла, проблемы лапласовского роста, квантовую гравитацию, теорию струн, интегрируемые системы, теорию чисел, комбинаторику графов на поверхностях, инварианты Громова-Виттена и многое другое.
Ключевой задачей квантовой хромодинамики является вопрос получения низкоэнергетического действия из действия калибровочной теории. В последние десять лет был достигнут большой прогресс в решении этого вопроса для суперсимметричных теорий. В 1994 Э. Виттен и * Н. Зайберг нашли низкоэнергетическое действие для N = 2 суперсимметричной теории, используя тонкий анализ имевшихся результатов о
структуре низкоэнергетического действия [2, 3]. Позднее этот результат был подтвержден инстантонными вычислениями в работах Н. Некрасова [4, 5, 6]. Диссертация посвящена изучению различных свойств низкоэнергетического действия Л/* = 1 суперсимметричной теории с материей в присоединенном представлении. Ее затравочное действие выглядит следующим образом:
/
( f d26d4xWaWa+ 2 f (12вс d2ed4xW() + h.c. (0.1)
Здесь введен комплексный параметр г = #/2тг + 4тгг/<72, векторное суперполе V, связанное с ним киральное суперполе: Wa = \D2e2VDae~2V и киральное суперполе Ф.
В 2001 году в работах Ф. Качазо, К. Вафы, К. Интрилигатора [7, 8], а затем в работах К. Вафы и Р. Диджкграафа [9, 10, 11] было показано, что для N = 1 суперсимметричной калибровочной теории с материей в присоединенном представлении низкоэнергетическое эффективное действие, записанное в терминах кирального суперполя глюбола
S = з^ГтЖУИ*, (0.2)
дается планарным пределом многоразрезных решений [12, 13, 14, 15, 16, 17] эрмитовой матричной модели:
g ) (0.3)
Этот факт является обобщением известного результата Г. Венециано и С. Янкеловича [18], получивших в 1982 году ответ для AF = 1 суперсимметричной калибровочной теории без материи.
Как в случае N = 2, так и в случае N = 1 теории ответ может быть описан в терминах интегрируемых систем. При этом фазовое пространство динамической системы совпадает с пространством модулей, возникающим при описании низкоэнергетического действия. В диссертации показана связь многоразрезных решений матричной модели с иерархией
Уизема [19] (см. также [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26]), возникающей в теории солитонов. Можно ожидать, что существует соотношение между статистической суммой в планарном пределе и квазиклассической или уиземовской иерархией хотя бы уже по той причине, что матричные интегралы сами по себе являются тау-функциями иерархий интегрируемых уравнений типа КП/Тоды [27, 28, 29, 30, 31, 32, 33].
Диссертация содержит вывод уравнений Виттена-Диджкграафа-Вер-линде - Верлинде (ВДВВ) для первого члена в разложении свободной энергии матричной модели по 1/N [34]. Уравнения ВДВВ [35, 36, 37] впервые были получены для топологических теорий (то есть теорий, в которых корреляторы не зависят от метрики), и их появление свидетельствует о существовании топологической теории, соответствующей данным решениям матричной модели.
Хотя матричная модель является точно решаемой, явные представления для корреляторов найти довольно сложно. В связи с этим важной задачей является вопрос о вычислении резольвент - производящих функций для корреляторов матричной модели, также имеющих разложение по 1/7V. В диссертации показано, что двухточечная резольвента совпадает с ядром бидифференциала Бергмана на кривой [38].
Предполагается [39, 40, 41], что непланарные вклады в свободную энергию матричной модели описывают голоморфные члены, отвечающие за взаимодействие калибровочной теории с гравитацией. В связи с этим представляется важным получить явные представления для данных вкладов. В работе предъявлено новое детерминантное представление для первого непланарного вклада в свободную энергию. Это представление позволяет связать диаграммную технику, возникающую в уравнениях ВДВВ, с вычислением старших членов в разложении свободной энергии матричной модели [38, 42].
Цель работы
Целью диссертации является:
• изучение низкоэнергетического поведения суперсимметричных калибровочных теорий;
изучение предела TV —»• оо, д —¦» 0 в матричных моделях и вычисление старших вкладов в свободную энергию;
связь многоразрезных решений матричной модели с иерархией Уи-зема;
изучение связи матричных моделей с топологическими теориями и вывод уравнения ВДВВ в многоразрезных решениях матричных моделей.
Научная новизна
Основные результаты работы являются новыми. Среди них:
• построение системы Уизема, соответствующей многоразрезным решениям эрмитовой матричной модели;
• представление двухточечной резольвенты через ядро бидифферен-циала Бергмана;
• вывод уравнений ВДВВ на лидирующий вклад в свободную энергию эрмитовой матричной модели;
• вывод детерминатного представления для первого непланарного вклада в свободную энергию эрмитовой матричной модели.
Практическая и научная ценность
• Получен новый пример описания низкоэнергетического действия суперсимметричных калибровочных теории в терминах иерархии Уизема.
• Получены явные представления для производящих функций корреляторов матричной модели.
• Показано, что планарный предел свободной энергии матричной модели удовлетворяет уравнениям ВДВВ, что подтверждает связь матричной модели с топологическими теориями.
• Изучен вопрос о вычислении старших вкладов в статсумму матричной модели. Получены новые явные формулы для первого непла-нарного вклада.
Апробация диссертации и публикации
Результаты диссертации докладывались на международных конференциях: Quantum Groups and Integrable Systems, Прага, Чехия, июнь, 2003; Quantum Fields and Strings, Домбай, Россия, август, 2003; 65th Workshop on General Algebra, Потсдам, Германия, март, 2003; Random Matrices, Random Processes and Integrable Systems, Монреаль, Канада, июнь-июль, 2005; научном семинаре Центра Нелинейных Исследований Лос-Аламосской Национальной Лаборатории, США, 2003; физико-математическом семинаре математического факультета университета г. Анжер, Франция, март, 2003. По материалам диссертации опубликовано 4 научные работы.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Список литературы содержит около 100 наименований. Общий объем диссертации составляет 96 страниц.
0.2 Содержание диссертации
Глава 1 является введением в приложение матричных моделей к изучению низкоэнергетических эффективных действий в суперсимметричных квантовых теориях поля.
Глава 2 содержит описание многоразрезных решений эрмитовой од-
номатричной модели:
/ DXe~^v^ = Z = eT, (04)
JNxN
= \ f DX f(X) exp (-ltrV(X)) , (0.5)
где
Возникновение таких решений наиболее естественно в представлении матричной модели через собственные значения. При этом матричная модель выглядит как квантовая механика 2-мерного кулоновского газа (в пределе бесконечной массы), живущего на прямой во внешнем потенциале. В пределе N —>¦ оо, д —>¦ 0 естественно ввести плотность собственных значений
(0.6)
и ожидать, что она будет ненулевой только на конечных носителях - в минимумах потенциала. Для фиксации чисел заполнения Si в многоразрезном решении необходимо введение соответствующих им химических потенциалов П^:
Se/f [Q\ Si, to, tk]= - f V(\)6(X)d\ + // q(X) log |A - A'| 6{X')dXdX'-
-По (J g(X)d\ -10) - J2 n- (JD
(0.7)
Многоразрезные решения также естественно получаются решением петлевых уравнений матричной модели:
[V\x)W{x)]_ = W(xf + h2W(x, x), (0.8)
где использовано определение одноточечной и многоточечной резол ь-
вент:
оо
. It Г X ™\
(0.9)
_____ /т/к» х "*1 * tv* X ™9 \
2—3 V ^ \bi -** Ъ1 j\ /conn
\ Ai A Xs Л / сопп
Для получения многоразрезных решений необходимо использовать разложение как свободной энергии, так и резольвент по Я,
оо
со
(0.12)
Ответы записываются с помощью гиперэллиптической кривой, параметры которой выражаются через потенциал матричной модели и через числа заполнения Sf.
У2 = V'(\)2 + АРт-^Х)(0.13)
у = М(Х)у ее M(\)yJl[^J\-»a). (0.14)
Здесь Рт-\ - произвольный (то есть не фиксируемый петлевыми уравнениями) полином степени т — 1. Кривая (0.13) имеет п разрезов и, соответственно, может быть представлена в терминах точек ветвления fia- Числа заполнения Si и химические потенциалы П* выражаются через интегралы по А и В циклам кривой соответственно:
Si = ^-i yd\, (0.15)
П; = / ydX. (0.16)
Полный набор модулей у нас состоит из m+n переменных. Действительно, если зафиксировать старший коэффициент в V(A) равным 1/га, то
10
остаются т коэффициентов полинома V{\) (свободный член не входит в уравнения) и т коэффициентов полинома Pm_i(A). Так как мы зафиксировали род кривой д = п — 1, то это дало нам т — п связей. Итого мы имеем 2т — (га — п) = т + п модулей. Из них т + 1 параметров - это tk, включая to, оставшимися мы выбираем числа заполнения Si.
В диссертации показано, что многоразрезные решения описываются системой Зайберга-Виттена-Уизема.
Мы называем системой Зайберга-Виттена следующий набор данных:
1° семейство М. римановых поверхностей С, такое, что размерность пространства модулей совпадает с родом кривой;
2° мероморфный дифференциал dS, чьи вариации по модулям голоморфны.
В случае матричной модели это дифференциал dS = ydX.
Эти данные позволяют определить препотенциал Зайберга-Виттена, связанный с интегрируемой системой. Действительно, в диссертации показано, что
- голоморфные дифференциалы, нормированные условием
Препотенциалом Зайберга-Виттена называется функция F такая, что
3F С ф
ni. (0.19)
Ее существование следует из симметричности матрицы периодов гиперэллиптической кривой
JLl dS=l dLjj = Tijt (0.20)
ob JB. JB.
11
которая, в свою очередь, вытекает из билинейных соотношений Римана. В данной работе система Зайберга-Виттена обобщается до обобщенной системы Уизема. Это приходится сделать, чтобы ввести параметры (или, как их часто называют, времена) tk. Это делается введением в дополнение к голоморфным дифференциалам dui набора мероморфных дифференциалов:
duk = ±^ (А*"1 + O(l)) d\, при А -> оо, к > 0, (0.22)
= —1. (0.23)
Обобщенная система Уизема задается системой уравнений на эти дифференциалы:
r.dd?lk ddcji ddwi ddujj , .
dS = ~db' ~dS~ = ~d?hy ( '
= dtp ' dSi db dS
частные производные берутся при постоянной А.
При этом мероморфные дифференциалы (0.21), определены с точностью до голоморфных. Так как в нашем подходе Si и tk ~ независимые переменные, этот произвол убирается наложением условий:
/ = 0Vt,fe. (0-25)
A.
При этом переменные tk могут быть инвариантно определены аналогично S^.
tk = —-resoo (\~kdS) , к = 1,..., m, to = res^dS. (0.26)
AC
Препотенциал определяется по отношению ко всем модулям уравнением (0.19) и
(^kdS) = -vk, к = 1,..., m, (0.27)
OF Г°°+ ~ = /
dS. (0.28)
12
Стоит отметить необходимость регуляризации последнего интеграла, что проделано в диссертации. Существование препотенциала доказывается используя билинейные соотношения Римана. В диссертации показано, что препотенциал построенной системы Зайберга-Виттена-Уизема совпадает с планарным пределом свободной энергии многоразрезного решения матричной модели.
Получено выражение для лидирующего вклада в свободную энергию: Я> = ^reSooV(\)y(\)d\ + ino*o + i JT TUSi. (0.29)
г=1
Также в диссертации проведен анализ вычисления старших резольвент, в частности, показано, что двухточечная резольвента в роде нуль совпадает с ядром бидифференциала Бергмана на кривой:
Wb(A, n)dnd\ = JT *?% TGbo+Jdntx) = B(P, Q% (0.30) k,i>o ^ л
где В(ц, X)djid\ - канонический бидифференциал, при этом введены гиперэллиптические координаты: Л = ?(Р) и /i = ?(Q). Канонический бидифференциал нормирован условиями отсутствия сингулярностей, кроме двойного полюса в совпадающих точках Р и Q:
'Q) = (к(р)е(з))2 + 1Sb{p)+)
и имеет нулевые Л-периоды.
Глава 3 содержит вывод уравнений ВДВВ
TiT?Fk^FkF1xTu VI,J,K (0.32)
на матрицы третьих производных
(0-33)
первого члена (JF0) в разложении свободной энергии матричной модели по 1/N.
13
Вывод уравнений ВДВВ основан на полученной в диссертации формуле вычетов
^(0"34)
^dXdy
где
(0-35)
Показано, что уравнения ВДВВ являются условиями ассоциативности алгебры 1-форм на гиперэллиптической кривой многоразрезного решения матричной модели. Показано, что для наличия уравнений ВДВВ необходимо выполнение следующих двух условий:
1° условия равенства числа модулей числу точек ветвления алгебраической кривой
#(/) = #(а); (0.36)
2° невырожденности матрицы ф*
det Ш ^ 0. (0.37)
1
В диссертации показано, что этот детерминант равен, с точностью до коэффициента, первому непланарному вкладу в свободную энергию матричной модели.
Исследован вопрос о том, как проявляются уравнения ВДВВ в пер-турбативном разложении
Глава 4 посвящена вычислению старших членов в разложении Т. Поправки старших родов можно найти с помощью итераций, если обратить разложение по родам в петлевом уравнении
л-1 ~
(К - 2W0(X)) Wh(X) = J2 Ww{\)Wh-w{\) + щ^-1(А), (0.38)
14
где использован линейный интегральный оператор К
dX V'(X)
Kf(x) = I
JCr
fCv 2m x — A и так называемый петлевой оператор
д ^ 1 д
ДА) = [V'(x)f{x))_ (0.39)
dV(X) ~ "
связывающий резольвенты и свободную энергию
.о д д дТ
(0.40)
dV(Xs 9 д д — (0.41)
dV(Xs)dV(Xs^) dV(X2)
Наша стратегия состоит в таком построении интегрального оператора dQ, который является обратным к интегральному оператору К—2Wq{X). При этом есть некоторая неопределенность: оператор К — 2Wq(A) имеет нулевые моды и сам по себе необратим. Тем самым, решение петлевого уравнения оказывается определенным с точностью до произвольной комбинации этих нулевых мод. Ядро оператора К — 2Wo(X), таким образом, в точности совпадает с множеством голоморфных 1-дифференциалов на римановой поверхности.
Эта свобода фиксируется тем, что резольвента И^(А) выражается исключительно в терминах производных ^щ и fwh-, что, как показывается в диссертации, позволяет однозначно определить решение петлевого уравнения. Полученное условие может быть записано в следующем виде:
dX = I Wh{X)dX = 0 Vt, h > 1. (0.42)
JAi
Основное наблюдение состоит в том, что интегральный оператор
^4
обратен оператору К — 2Wo(A) при действии на такие функции которые представляют собой рациональные функции от переменной /i с
15
полюсами конечного порядка только лишь в точках ветвления. Именно такую структуру имеет правая часть петлевого уравнения (0.38). Здесь 1-дифференциал dQ{\ ц) представляет собой первообразную ядра Бергмана B(\jfj,) относительно второго аргумента //. Полученная техника позволяет получать старшие вклады по степеням Н в резольвенты.
В диссертации получено явное выражение для Wi(A) и показано, что его можно проинтегрировать (0.41) с целью получения первого непла-нарного вклада в свободную энергию Т\.
Получено новое представление для Т\ через производные от точек ветвления гиперэллиптической кривой:
\
(0.45)
0.3 Основные результаты диссертации
• Описание низкоэнергетического эффективного действия J\f = 1 суперсимметричной теории в терминах системы Зайберга - Виттена -Уизема.
• Изучение планарного предела многоразрезных решений матричной модели, вычисление планарного предела свободной энергии и резольвент.
• Представление двухточечной резольвенты через ядро бидифферен-циала Бергмана.
• Вывод уравнений ВДВВ на лидирующий вклад в свободную энергию эрмитовой матричной модели.
• Вывод детерминантного представления для первого непланарного вклада в свободную энергию эрмитовой матричной модели из петлевых уравнений.
16
• Получено новое представление для первого непланарного вклада через точки ветвления гиперэллиптической кривой.
0.4 Благодарности
Мне хотелось бы выразить глубокую благодарность моему научному руководителю Алексею Юрьевичу Морозову за постановку задач, ценные обсуждения и постоянную поддержку и внимание. Я хотел бы специально отметить, что некоторые результаты мной были получены в соавторстве А.В. Маршаковым, А.Д. Мироновым, Л.О. Чеховым. Особенно я хотел бы поблагодарить Андрея Дмитриевича Миронова за постоянное внимание к моей работе, постановку ряда задач и ценные обсуждения.
Я также хотел бы поблагодарить моих коллег по лаборатории математической физики ИТЭФ.
17 |
