Актуальность темы
Вращение Земли отражает множество астрономических и геофизических явлений, происходящих на поверхности Земли, в ее недрах, в атмосфере и океанах, а также в ближнем Космосе. Все явления, приводящие к перераспределению масс оболочек Земли и момента импульса между ними, влияют на вращение Земли. Среди них - вариации приливного потенциала, обусловленного действием небесных тел, изменения момента импульса ветров, течений, таяние ледников, влияние годового цикла возбуждения атмосферы, ураганного явления El Nino, процессы в мантии и ядре, землетрясения и многое другое
Развитие средств наблюдений в XX веке: радиоинтерферометрии со сверхдлинными базами (РСДБ), лазерной локации искусственных спутников (ЛЛС) и Луны (ЛЛЛ), спутниковых систем GPS и ГЛОНАСС, - привело к ситуации, когда точность наблюдений оказалась выше точности моделирования. Возникла необходимость совершенствования теорий. Моделирование неравномерностей вращения Земли зависит от уровня представлений о выше перечисленных процессах, от состояния их мониторинга, а также от результативности используемых математических подходов. Для организации исследований, планирования наблюдений и систематизации методов в 1985 г. учреждена Международная служба вращения Земли (МСВЗ)[4].
В последние десятилетия к точности астрометрических наблюдений, космической навигации и систем глобального позиционирования, предназначенных для определения местоположения на Земле и в Космосе, предъявляются высокие требования, которые не могли бы быть удовлетворены в отсутствие высокоточных методов преобразований между фундаментальными системами координат [5]. В матрицы преобразований между земной и небесной системами координат
входят параметры вращения Земли (ПВЗ) [6]. В связи с этим моделирование и прогнозирование вариаций во вращении Земли приобретает непосредственную практическую ценность.
Множество задач, связанных с вращением Земли ждет своего решения. Необходимо уточнение моделей вариаций ПВЗ в ставшем недавно доступным для наблюдений суточном диапазоне частот [7]. Требуют моделирования эффекты, открывшиеся с появлением новых теорий прецессии и нутации [8]. Не найдено окончательного объяснения нерегулярных изменений амплитуды, периода и фазы чандлеровского колебания полюса Земли [9] и др.
Цели исследования
В диссертационной работе предпринято исследование вращения Земли, при этом основное внимание уделено вопросам прогнозирования вращения Земли и вычисления возбуждающих функций по наблюдениям. Ставились следующие основные цели:
1. Анализ высокочастотных (суточных и внутрисуточных) составляющих изменений скорости вращения планеты и положения полюса с использованием РСДБ и GPS наблюдений, обеспечивающих необходимое разрешение. Сравнение полученных этими независимыми средствами данных с целью выявления достоверных эффектов.
2. Спектральный и структурный анализ отклонений теорий прецессии и нутации МАС2000 и ZP2003 от РСДБ наблюдений. Оценка эмпирических поправок к параметрам этих теорий.
3. Оценка эффекта, который оказало на вращение Земли землетрясение, произошедшее 26 декабря 2004 г. в Индийском регионе. Анализ наблюдений в целях обнаружения этого эффекта.
4. Анализ временные рядов движения полюса и скорости вращения Земли с использованием различных методов, выявление их сходств и различий, выбор оптимального метода для анализа ПВЗ.
5. Сравнение и усовершенствование методов прогноза движения полюса Земли и скорости ее вращения.
6. Решение задачи восстановления возбуждающей функции по наблюдениям с использованием корректирующих процедур. Получение прогнозов возбуждающих функций и прогнозов траектории движения полюса с использованием фильтра Калмана.
Методы исследования
Развитие математических методов и вычислительных средств, происходящее стремительными темпами, позволяет по-новому подойти к анализу и моделированию вращения Земли.
В работе использованы методы вейвлет-анализа [12], [13], сингулярного спектрального анализа (ССА) [14], нейронные сети (НС) [15]. Они сопоставлены с классическими методами Фурье-анализа [16], линейными регрессионными методами оценки параметров [17],[18], методами динамического моделирования [19],[20][21].
Научная новизна
1. В работе впервые проведено совместное рассмотрение высокочастотных компонент изменений скорости вращения Земли и движения полюса с одновременным привлечением GPS и РСДБ наблюдений на коротких интервалах времени. Проведенное сравнение позволило обнаружить множество артефактов в рядах GPS. Отмечен эффект, обратный известному эффекту утечки, возникающий при интерполяции временных рядов, который мог стать причиной некоторых из артефактов.
2. Проведен анализ остаточных отклонений наблюдаемых прецессионных и нутационных углов, полученных по РСДБ наблюдениям, от вычисленных с использованием теорий нутации МАС2000 и ZP2000. Впервые выполнена оценка эмпирических поправок к параметрам передаточных функций этих теорий.
3. Исследованы обстоятельства мощного землетрясения 26 декабря 2004 г. на Суматре, показано, что оно могло быть спровоцировано приливным воздействием. Оперативная оценка воздействия землетрясения на вращение планеты и анализ наблюдений в целях его обнаружения выполнены в первый месяц после события.
4. Проведено сравнение различных методов спектрального анализа в аспекте их применимости к рядам ПВЗ. Впервые показано, что сглаживающее окно, разработанное В.Л. Пантелеевым, обладает свойствами вейвлет-функции. С его помощью проведен вейвлет-анализ рядов движения полюса.
5. С использованием различных методов получены краткосрочные прогнозы ПВЗ, не уступающие по точности прогнозам МСВЗ. Проведено сравнение методов прогнозирования вращения Земли. К новым результатам можно отнести предложенный в работе метод прогноза с использованием ССА и НС.
6. Проведено сравнение различных методов решения обратной задачи восстановления возбуждающих функций по наблюдениям за вращением Земли. Предложено использовать корректирующие процедуры. Впервые, с использованием предложенного метода прогнозирования для возбуждающей функции и фильтра Калмана, получен прогноз траектории движения полюса.
Практическая и научная ценность работы
Полученные в работе прогнозы вращения Земли можно использовать в астрометрии при планировании и проведении наблюдений, в космической навигации для задания положений космических аппаратов, при позиционировании объектов на Земле и в других целях, требующих выполнения преобразований между фундаметальными системами координат.
Основная научная ценность работы авторам видится в применении новых математических подходов к анализу и прогнозированию
6
временных рядов вращения Земли. Использованные в работе подходы могут быть применены к решению задач, возникающих в других областях научных исследований.
На защиту выносятся
1. Результаты сравнительного анализа высокочастоных составляющих скорости вращения Земли и движения полюса по РСДБ и GPS наблюдениям: Заключение о наличии артефактов в рядах GPS-наблюдений, часть из которых может быть объяснена недостатками интерполяционных методов. Обнаруженный эффект интерполяции, обратный известному эффекту утечки, который может быть причиной некоторых из артефактов.
2. Результаты исследования остаточных отклонений теорий нутации ZP2003 и МАС2000 от наблюдений. Оценки эмпирических поправок к параметрам теорий. Заключение о невозможности улучшения согласия теорий с наблюдениями введением поправок к линейным частям передаточных функций, полученных на основе моделей внутреннего строения Земли.
3. Заключение о том, что землетрясение 26 декабря 2004 г. в Индийском регионе на вращение Земли повлияло крайне незначительно и его достоверное обнаружение не представляется возможным.
4. Метод прогнозирования временных рядов, основанный на совместном использовании сингулярного спектрального анализа и нейронных сетей.
5. Предложение об использовании для непрерывного вейвлет-анализа разработанного В.Л. Пантелеевым сглаживающего окна, у которого обнаружены свойства вейвлет-функции.
6. Прогнозы траектории движения полюса, полученные с использованием предложенного метода прогнозирования для
7
возбуждающей функции и фильтра Калмана. Предложение по использованию корректирующих процедур для восстановления возбуждающей функции по наблюдениям.
Аппробация результатов
Результаты исследований доложены на конференциях "Ломоносов-2003" и "Ломоносов-2004", МГУ, Москва; "Сагитовских чтениях" 2003, 2004 и 2005 г., ГАИШ МГУ; международной конференции "Journees-2003", ИПА, Санкт-Петербург, "КВО-2005", ИПА, Санкт-Петербург.
Личный вклад автора
Автором выполнен анализ данных, предоставленных МСВЗ, службой IGS, а также полученных обработкой РСДБ наблюдений в программе OCCAM 5.0 [22]. Высказаны соображения о возможных причинах обнаруженных артефактов. Выполнена оценка поправок к параметрам моделей прецесси и нутации. Сделаны оценки возможного влияния землетрясения на вращение Земли и предпринята попытка обнаружения эффекта в наблюдениях. Применены алгоритмы прогнозирования, разработанные другими авторами, а также разработаны собственные. Высказаны предложения по улучшению методов. Проведено динамическое моделирование вращения Земли и сравнение различных методов восстановления возбуждающих функций. Алгоритмы адаптированы для применения к исследуемым рядам ПВЗ.
Написаны программы на языках Fortran и СН—Ь, реализующие классические методы спектрального анализа, ССА и вейвлет-анализа, оценки АР-параметров, СКК, фильтра Калмана, сглаживания, регуляризации, а также программы, использующие встроенные функции пакета Matlab 7.0 для обучения нейронных сетей и дискретного вейвлет-анализа, в целях тестирования предложенных в работе методов прогнозирования.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Объем диссертации составляет 180 страниц, в ней содержится 48 рисунков, 7 таблиц, два приложения. Список литературы насчитывает 132 наименования.
Содержание диссертационной работы
Введение содержит обоснование актуальности выбранной темы. Проводится краткий обзор ее состояния на данный момент, выделяются некоторые основные вопросы, требующие решения. Формулируются также цели работы, делается обзор содержания.
В первой главе диссертации приводятся некоторые исторические сведения. Рассматривается деятельность МСВЗ и таких ее подразделений, как конвенционный центр, центр прогнозов, центр комбинирования решений, центр по геофизическим флюидам и его подбюро: атмосферы, океанов, приливов, гидрологии, мантии, ядра, гравитационного поля, нагрузки. Внимание уделяется службам РСДБ, Лазерных и GPS наблюдений, предоставляющим данные о вращении Земли в МСВЗ.
Поясняется, какие параметры приняты МСВЗ для описания вращения Земли, и как выполняются преобразования между фундаментальными системами координат. Напомним, что ПВЗ входят в матрицы преобразований между земной и небесной системами отсчета, которое выполняется по формуле
rcrs = PN(t)R(t)W(t)rtrs,
где Ttrs - радиус-вектор точки в земной системе, который умножается на матрицы поворота: W - обусловленную движением полюсов, PN -прецессией и нутацией, R - угловым вращением Земли. Поясняются принципы разделения движения оси вращения на прецессионно-нутационное, происходящее в инерциальном пространстве, и на
9
движение мгновенного полюса относительно системы отсчета, связанной с твердой Землей, содержащее периоды не превышающие двух суток в небесной системе отсчета.
Во второй главе представлены основные используемые в исследовании математические подходы. Они систематизированы в первом разделе.
Изложению основ классического Фурье-анализа, вейвлет-анализа и ССА посвящен второй раздел главы. Отметим, что в отличие от Фурье-анализа, представляющего собой разложения сигнала на гармонические составляющие, наличие которых предполагается в сигнале постоянным, вейвлет-анализ позволяет проследить эволюцию спектральных составляющих во времени. Гармоническая природа сигнала при этом не подразумевается. Анализ выполняется с использованием вейвлет-функций, выбираемых исходя из особенностей сигнала. Основным соотношением является соотношение неопределенностей
1
Аи ~ -гт^1 AT'
связывающее разрешающую способность по времени AT и по частоте Аи. Вейвлет-анализ позволяет разделить исследуемый сигнал на частотно-временные блоки, адаптируясь при этом к особенностям сигнала на разных масштабах. ССА также обладает более широкими возможностями, нежели Фурье-анализ, однако для его успешного использования необходимо выполнение некоторых предположений, в частности об ортогональности и конечности линейных пространств, порожденных составляющими исследуемого сигнала.
В третьем разделе изложены линейные регрессионные модели, среди которых линейная регрессия и метод среднеквадратической коллокации (СКК), активно развиваемый нашими коллегами из Петербурга [17] а также некоторые нелинейные подходы, такие как нейронные сети.
Линейные регрессионный анализ служит для нахождения параметров линий и гиперплоскостей, по которым группируются случайные величины. В случае временных рядов, набор из Р последовательных отсчетов ряда может быть интерпретирован как случайный вектор,
10
и для дискретно наблюдаемого процесса может быть записана авторегрессионная модель со скользящим средним (АРСС)
Р Ч
k=1 k=1
где Х{ - отсчеты сигнала, гц - случайные величины, ak - параметры авторегрессионной (АР) части, j3k - параметры скользящего среднего (СС), р и q - порядки АР и СС частей. Доказано, что АРСС модель может быть приближена АР моделью более высокого, возможно бесконечного порядка. Оценки параметров АР модели, могут быть получены различными методами, например Берга. Они позволяют прогнозировать развитие процесса. Для изменяющихся во времени параметров используются адаптивные методы.
СКК - линейный регрессионный метод, позволяющий обрабатывать наблюдения в случаях, когда желаемый сигнал связан с наблюдениями не детерменированно, а стохастически. Такая связь может быть задана ковариационными функциями или матрицами. Линейная несмещенная оценка желаемого сигнала s размерности Р с минимальной дисперсией находится по наблюдениям / размерности N в виде
s = Hl, H =
где Н- матрица размерности Р х N} определяемая ковариационными матрицами наблюдений Qu и сигнала-наблюдений Qsi. Под желаемым сигналом можно понимать сигнал сглаженный, интерполированный или прогнозный.
Нейронная сеть (НС) состоит из связанных между собой элементов - нейронов, осуществляющих преобразование поступающего на вход векторного сигнала в выходной сигнал. Каждый из нейронов характеризуется набором параметров и передаточной функцией, которая может быть линейной или нелинейной. Помимо числа и характеристик входящих в сеть нейронов, свойства НС определяются ее архитектурой. Сеть может содержать разное число слоев, обратные связи, быть самоорганизующейся. Для решения сетью возлагаемых на нее задач
11
проводится ее обучение на тестовой последовательности входных и выходных сигналов. В ходе обучения настраиваются параметры сети. НС используются при решении задач интерполяции и аппроксимации, распознавания и классификации, прогнозирования, сжатия данных, идентификации систем, управления, ассоциации и другое. Они могут аппроксимировать детерминированные и стохастические зависимости, адаптироваться к многомерным непрерывным функциям с любым числом минимумов и максимумов, однако выделить имеющуюся закономерность они не позволяют. Нейронные сети и другие нелинейные подходы активно развиваются в наше время, поскольку позволяют лучше приближать реальность.
Четвертый раздел второй главы посвящен динамическому моделированию. |
