ВВЕДЕНИЕ
Одним из эффективных способов поддержания сложных динамических систем в требуемом состоянии является совершенствование и развитие алгоритмического диагностического контроля показателей их функционирования (состояния). Под показателями контроля состояния динамических систем понимаются отклонения их основных-доминирующих и частных характеристик, оцененных (вычисленных) в конкретных текущих условиях от требуемых их значений, установленных для нормального штатного режима. Такие показатели характеризуют устойчивость, как необходимое качество систем. Они должны не только оцениваться, но и прогнозироваться непосредственно в процессе их функционирования в различных реальных условиях: детерминированных и/или
а при воздействии внешних и внутренних случайных факторов в том числе и при
имитации ситуаций и объектов, на которые система должна реагировать в соответствии со своим назначением.
В диссертации показатели состояния оцениваются и прогнозируются для динамических систем, аксиоматически определяемых [1] множествами моментов времени -Т, состояний —X, мгновенных входных воздействий - U, допустимых входных воздействий - Q = {<»: Г -»С/} * 0, Q с Rm, Q- замкнутое множество, множеством мгновенных значений выходных величин -Y, множеством выходных величин Г = {у: Т -* Y). Принципиальным при этом является то, что перед каждой системой ставится определенная цель, то есть контролю по показателям состояния подлежат целенаправленные динамические системы. В этих системах воздействия со = {co(t),a(t)} обусловливаются соответственно состояниями внешней среды и внутрисистемными факторами - параметрами а(/) = {а,(0,Д2(05->я,(0} • Текущее состояние системы определяется по соотноше-
t нию x(t) = ^?{1,^,х{га),(о{1:),а^)), где teT, t>t0, t0- начальный момент времени,
x(t)-траектория поведения системы на множестве Xпри {a>{t),a(t)} e Q, 77(0 - случайные возмущения, Ч? - переходная функция состояния на X. Ч> - это основная характеристика системы, но она не наблюдаема в текущих условиях, так как априори принципиально невозможно полностью описать все множество альтернативных состояний системы и связей между ними, порождаемые возможными отклонениями параметров от их номинальных значений в процессе функционирования системы. Известно только, что для режима нормального функционирования должно иметь место выполнение условия а^ < a(t) < a^,
иначе будет иметь место нештатный режим: "ВНИМАНИЕ " или "БРАК". При известных же 4s, x(t), a>(t,tQ) можно было бы однозначно установить текущее
состояние системы в зависимости от параметров a(t) = {а,(г),а2(0,-,«/(0} и при этом спрогнозировать состояние системы на момент tk>t>tQe.T, а значит и ус-,% тановить выходные величины y(t) = прогнозируемый моменты времени; ^-выходное отображение - оператор вы-
хода. Но поскольку ЧР и X неизвестны, то текущее состояние системы можно оценить только по результату её реакции на известные входные воздействия. Так, если входное воздействие задать в виде одиночного кратковременного (широкополосного) сигнала, то оператор выхода будет представляться интегральным оператором, например, в виде оператора Дюамеля, Гаммерштейна, Вольтерра. Ядра этих операторов описывают полностью весовую (импульсную) функцию системы при конкретных, но априори неизвестных, её параметрах.
Очевидно, что весовая функция является основной определяющей характеристикой системы и она восстанавливаема в текущих условиях функционирования системы при заданном входном воздействии и наблюденной выходной величине. Затем для каждой выходной величины можно оценить такие статистические характеристики как математическое ожидание, авто и взаимную корреляционную функцию, центральный момент высшего порядка и интегральный закон распределения вероятностей; эти характеристики условные - вычисляются при известном входном воздействии и они, по отношению к весовой функции, являются частными.
Динамические системы описываются, в общем случае, нелинейными дифференциальными уравнениями. Заметим, что собственно выходная величина в условиях наличия случайных воздействий формируется в виде выборки измерений и описывается уравнением наблюдения, в котором непосредственно учитывается и весовая функция.
На основе результатов прогноза состояния системы должны реализовываться соответствующие воздействия-управления по поддержанию системы в штатном режиме. Однако такие целенаправленные воздействия в диссертации не рассматриваются, так как формирование их множеств и выбор соответствующего управления в текущих условиях составляет самостоятельную проблему - проблему оптимального управления динамическими системами. Далее всюду будем исходить из учета зависимости
y(t) = (p(t,y/(t,to,x(tu),a(t),G>{t),ri(t)X
как уравнения наблюдения, которое представляется в пространстве сигналов -в пространстве входных и выходных величин при нахождении системы в состоянии x{t), характеризующимся вектором параметров а(0 = {а1(0,л2(0>-,л/(0}-Из этой зависимости непосредственно следует возможность определения при контроле системы компонент вектора a(t) = {л,(0,а2(О>-,а/(О} или> иначе, возможность определения параметров весовой функции системы и её частных характеристик при известных измеренных данных y(t) и априорных данных относительно x(t0), a)(t), 7(0» что в Целом составляет содержание задачи идентификации системы, причем идентификации как параметрической, так и непараметрической.
Сущность параметрической идентификации будет заключаться в представлении характеристик контролируемой системы в виде разложения в конечный ряд с неизвестными коэффициентами и точечном статистическом оценивании последних по измеренным данным на выходе системы в её текущем состоянии
в условиях известных входных воздействий, аддитивно взаимодействующих с другими реально имеющими место внешними и внутренними воздействиями естественного происхождения.
При непараметрической идентификации будет осуществлено, при тех же условиях, восстановление характеристик системы как функциональных зависимостей из соответствующих пространств функций; при этом параметрическое представление искомых характеристик не вводится а учитываются только их свойства гладкости.
Очевидно при контроле — идентификации системы входные воздействия должны представлять смесь полезного сигнала a>(t) и помех rj(t), формироваться специальным образом и в том числе с модуляцией их параметров, чтобы удовлетворить условию сочленения входных воздействий [1,2], что возможно с использованием имитаторов.
В техническом плане динамические системы представляются совокупностью однотипных или разнотипных устройств, взаимосвязанных между собой согласно поставленным перед ними целям. Типы связей могут быть самыми различными: последовательными, параллельными, обратными, иерархическими и др. Системы могут быть с сосредоточенными или распределенными параметрами, линейными или нелинейными, непрерывными или дискретными и др. В качестве примеров систем здесь назовем систему автоматической стабилизации курса самолета, находящегося в условиях случайных воздействий вследствие флюктуации ветра, плотности атмосферы, силы тяги и др. причин, систему стабилизации курса морского судна, подверженного случайным воздействиям из-за волнения моря, ветра, неравномерности течений и из-за других факторов, и автоматизированную систему управления продольным движением самолета, учитывающую изменение жесткости его корпуса и действие сил внутреннего неупругого сопротивления.
Типичными звеньями динамических автоматизированных систем являются информационно-измерительные устройства, вычислительные системы, системы передачи данных, средства отображения результатов функционирования и контроля системы. Каждое из них определяется своей весовой функцией и частными характеристиками, а значит, может быть оценено своими показателями текущего или прогнозированного состояний. Конкретно в диссертации изложены (наряду с методами восстановления весовой функции системы в целом) результаты оценки этих показателей для звена типа канала передачи информации.
Актуальность темы.
К настоящему времени по проблемам теории и практики идентификации систем опубликовано достаточно большое число работ. Результаты этих работ, накопленные к 1984—1987 гг., изложены, например, в книгах Я. 3. Цыпкина, «Основы информационной теории идентификации» (М.: Наука, 1984, 320 с), А. А. Бессонова, Ю.В.Загашвили, А. С. Маркелова «Методы и средства идентификации динамических объектов» (Л.: Энергоатомиздат, 1984, 280 с), В.Я. Катковника «Непараметрическая идентификация» (М: Наука, 1985, 336с), Ш.Е. Штейнберга «Идентификация в системах управления» (М.: Энергоатом-
8
издат, 1987, 80 с.) и в «Справочнике по теории автоматического управления» под ред. А. А. Красовского (М.: Наука, 1987, 712 с). В последующие годы была издана книга Л. Льюнга «Идентификация систем—теория для пользователя» (М.: Наука, 1991, 432 с), перевод с английского под редакцией Я. 3. Цыпкина и опубликовано большое количество статей в различных научных журналах в нашей стране и за рубежом (их краткое содержание изложено в реферативном журнале ВИНИТИ за 1988—2003 гг. «Техническая кибернетика» в разделе «Теория кибернетических систем управления»).
В этих работах такие задачи идентификации динамических систем как формирование испытательного сигнала (ИС), оценка характеристик и параметров систем рассматриваются как независимые самостоятельные частные задачи.
Принципиальным моментом при идентификации систем является необходимость применения оптимального испытательного сигнала, обеспечивающего получение достоверной информации за минимальное время. Сигнал должен обладать свойствами практической финитности по спектру и на временном интервале. В известных работах таких сигналов не предложено. Например, в качестве испытательного предложено использовать сигнал в виде отрезка ряда Котельникова, имеющий ограниченный спектр с неограниченными по времени координатными функциями.
Используется в качестве испытательного сигнала дельта-функция, имеющая бесконечный спектр, но мгновенный импульс нельзя практически реализовать.
Испытательный сигнал, синтезированный на основе принципа максимума Понтрягина при ограничении амплитуды сигнала, представляется релейной функцией с неизвестными моментами переключений, которые вычисляются методами многомерной оптимизации. Но такой сигнал из-за сложности формы невозможно также практически реализовать.
Другие применяемые на практике испытательные сигналы являются мало информативными, то есть определяют узкий набор частных показателей идентификации и не определяют основную характеристику системы-ее оператор как весовую функцию.
Все существующие испытательные сигналы в должной мере не учитывают свойств динамической системы, для которой они применяются, и, следовательно, не обеспечивают оперативности и достоверности идентификации.
Вторым ключевым направлением при идентификации систем является оценивание их операторов по выходным данным при подаче на вход системы испытательных сигналов. Для линейных систем (непрерывных и дискретных ) в качестве характеристики оператора, представляющего систему, принимается ее весовая функция ( импульсная переходная функция). Для нелинейных систем, представимых операторами Вольтерра или Гаммерштейна, в качестве весовой функции принимается набор их ядер.
Обычно в качестве критерия идентификации принимается минимум среднего значения квадрата (дисперсии) ошибки между выходными значениями истинного неизвестного оператора реальной (идентифицируемой) системы и ис-
комого оператора системы. Такой критерий справедлив в тех случаях , когда случайные входные воздействия распределены по нормальному закону с известными параметрами. Однако при статистической непараметрической идентификации, когда входные случайные воздействия должны формироваться с заданными математическими ожиданиями и корреляционными функциями, то для этого потребуется большое количество реализаций. Поэтому вероятностные характеристики входного процесса реализуются с некоторыми погрешностями, границы которых можно оценить методами математической статистики. Кроме того, на практике, как правило, неизвестны значения корреляционных функций входных сигналов, а известны только границы их изменения.
Для этих условий актуальна постановка задачи идентификации по критерию минимаксной (максиминной) дисперсии ошибки в условиях априорной неопределенности о вероятностных характеристиках входных воздействий, обеспечивающего гарантированное значение дисперсии ошибки.
С другой стороны, как правило, известны математические ожидания (номинальные значения) и взаимные моменты второго порядка (разброса) отклонений весовых функций ( входных полезных сигналов фильтров статистической обработки ) от номинальных значений. В этом случае сужается область их определения. За счет учета этого может быть значительно повышена точность определения оператора идентифицируемой системы.
Поэтому задача идентификации динамических систем с учетом априорной информации о значениях весовых функций в минимаксной ( максиминной) постановках является актуальной. Это особенно важно для динамических систем, к которым предъявляются повышенные требования по надежности, например, экологически опасных систем, и систем, связанных с безопасностью человека.
Если система нелинейная или входные случайные воздействия не распределены по нормальному закону, то поиск оптимального оператора, обеспечивающего минимум среднеквадратического значения ошибки, должен осуществляться в классе нелинейных операторов, например, при представлении системы функциональным полиномом(оператором) Вольтерра. Полиномы Вольтерра нашли широкое применение для исследования нелинейных систем с полиномиальными нелинейностями и для которых используются временные и спектральные методы анализа линейных систем.
Однако применение полиномов Вольтерра ограничено при статистической непараметрической идентификации систем с сосредоточенными параметрами и особенно для систем с распределенными параметрами, из-за необходимости решения систем многомерных интегральных уравнений повышенной кратности для определения ядер, как функций от многих переменных.
Поэтому актуальной задачей является применение такого оператора при непараметрической идентификации нелинейных систем, для определения ядер которого не требуется вычисления многомерных интегралов повышенной кратности. Таким оператором является функциональный полином Гаммерштейна.
Таким образом возникает необходимость комплексного подхода к решению
10
проблемы идентификации, как проблемы синтеза оптимального испытательного сигнала, разработки методов и алгоритмов определения оптимальных операторов линейных и нелинейных динамических систем, разработки программно-реализуемых на ПЭВМ алгоритмов, обеспечивающих достоверный и своевременный контроль состояния динамических систем в текущих условиях их функционирования.
Цель работы. Разработка математических методов, вычислительных алгоритмов и программ решения комплекса задач идентификации: оптимизации испытательного сигнала и формирования случайных входных воздействий; восстановления операторов линейных и нелинейных систем, наилучшим образом по заданным критериям, аппроксимирующих истинные (реальные) неизвестные операторы идентифицируемых систем; оценки параметров весовых функций линейных систем и ядер операторов Вольтерра или Гаммерштейна для нелинейных систем (параметрическая идентификация ); оценки вероятностных характеристик систем, представимых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, линейных и нелинейных систем, представимых операторами Вольтерра и Гаммерштейна; восстановления частотных характеристик систем (сигналов) по конечной временной выборке, содержащей случайные ошибки; создание библиотеки процедур и моделей для идентификации систем с сосредоточенными и распределенными параметрами.
На защиту выносятся следующие концепции- положения:
1.Комплексный подход к решению проблемы идентификации, заключающийся в совместной оптимизации испытательного сигнала и алгоритмов идентификации динамической системы.
В основу синтезирования испытательного сигнала принята концепция максимальной сосредоточенности его энергии по времени и спектру, практически финитного в частотной и временной областях, с использованием двух разработанных численных методов вычисления вытянутых волновых сфероидальных функций (ВВСФ).
В основу восстановления оператора нелинейной системы принята концепция параметрического оценивания ядер полинома Вольтерра для систем с сосредоточенными параметрами и непараметрического оценивания ядер полинома Гаммерштейна для систем с распределенными параметрами, для линейных и статистически линеаризованных по методу Казакова- Бутона систем- концепция представления их байесовскими фильтрами с конечной памятью, учитывающими априорную информацию о параметрах нестационарного случайного полезного входного сигнала.
2.Концепция непараметрического оценивания операторов нелинейных динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, основанная на минимизации среднего квадрата ошибки идентификации, при описании системы полиномом Гаммерштейна. Это обеспечивает оптимальность оценок при негауссовых входных случайных процессах.
11
3.Концепция непараметрического оценивания операторов линейных систем, основанная на минимаксимизации ( максиминимизации) критерия среднего значения квадрата ошибки идентификации байесовскими фильтрами с конечной памятью, учитывающими априорную информацию о первых двух статистических моментах параметров входного сигнала. Использование априорной информации об ограниченности областей допустимых значений входного полезного сигнала существенно повышает точность идентификации.
4.Концепция параметрического оценивания операторов нелинейных динамических систем, имеющих нелинейности с разрывами непрерывности производных нулевого и первого порядков, основанная на статистически линеаризованном методе максимума апостериорной вероятности.
5.Концепция оценки вероятностных характеристик случайных процессов на выходе динамических систем (дисперсий, высших моментов, корреляционных функций, функций правдоподобия и т.д.) по аналитическим выражениям без дополнительного статистического моделирования функционирования динамических систем.
б.Концепция аналитического высокоточного вычисления частотных характеристик динамических систем на основе решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода с сильно осциллирующим ядром при их аппроксимации сплайнами Лагранжа, ВВСФ, обобщенным рядом Котельникова.
7.Концепция построения классов математических моделей в системе объектно-ориентированного программирования "Дельфи " на основе разработанной библиотеки процедур и моделей для исследования методов идентификации систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. Научная новизна диссертации состоит:
1 .В синтезе испытательных сигналов в базисе ВВСФ, полученных в результате решения однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода с сильно осциллирующим ядром, и с максимальными значениями коэффициентов подобия как собственных значений соответствующих ВВСФ.
Собственно синтез осуществляется по критерию минимизации среднеквадра-тической ошибки приближения единичного спектра линейной комбинацией ВВСФ с учетом требований по заданной энергии и согласованности с полосой пропускания частот идентифицируемой динамической системы.
Известные методы не обеспечивают формирования испытательных сигналов с максимальными значениями коэффициентов подобия при требовании их фи-нитности в частотной области и с заданной энергией во временной области.
2.В синтезировании оптимальных операторов линейных динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами при априорной неопределенности о пространственно-временных и частотных характеристиках внешних воздействий как условий функционирования, вызывающих дополнительные ошибки при формировании выборочных данных измерительными средствами идентифицируемой системы.
Синтез основан на доказательстве
12
а)оптимальности операторов систем (весовых функций), описываемых байесовскими минимаксными (максиминными ) фильтрами с конечной памятью при учете ограничений на значения корреляционных функций ошибок выборочных данных. Доказательство построено на сведении задачи поиска условного минимакса (макси-мина ) к задаче минимизации квадратичной формы без ограничений на весовые функции. Ограничения по несмещенности на весовую функцию снимаются за счет представления полезного входного сигнала каноническим разложением со случайными коэффициентами, характеризующимися априори заданными математическими ожиданиями и взаимными центральными моментами второго порядка, а также за счет введения требования точного преобразования фильтром априорного математического ожидания, заложенного в его структуре.
Это теоретическое положение охватывает имеющееся решение {/
аналогичной задачи, для случая, когда коэффициенты разложения имеют бесконечные дисперсии и нулевые взаимные моменты.
б) оптимальности метода вычисления эффективных оценок параметров весовой функции по критерию максимума правдоподобия ( при нормальном законе распределения аддитивных ошибок измерений) посредством условной максимизации квадратичной формы с положительно определенной матрицей, при условии, что ошибки измерений ограничиваются заданными пределами второй составляющей ошибок, и последующем сведением задачи максимизации к полной проблеме собственных значений, легко реализуемой на ПЭВМ. Существующие же методы решения таких задач являются весьма трудоемкими для реализации на ПЭВМ.
в) необходимого условия оптимальности весовой функции линейной системы с распределенными параметрами как двумерного согласованного фильтра. Доказательство основано на принципе построения согласованного фильтра по критерию максимума отношения сигнал/шум на выходе системы, приводящего к формированию двумерного интегрального уравнения Фредгольма первого рода, решением которого является искомая оптимальная весовая функция. Установленное таким образом необходимое условие в форме интегрального уравнения является общим по отношению к существующим методам определения весовых функций линейных систем как согласованных фильтров.
3. В синтезе оптимальных операторов нелинейных динамических систем с распределенными параметрами как нелинейных согласованных фильтров-обнаружителей тестовых сигналов.
Синтез основан на реализации критерия максимального отношения сигнал/шум на выходе динамической системы, представимой оператором Гам-мерштейна n-го порядка, и приводит к необходимым условиям оптимальности в виде системы двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода, которой должны удовлетворять ядра Гаммерштейна.
13
I»
Полученные необходимые условия являются обобщением соответствующих условий для линейных согласованных фильтров, так как последние получаются как частный случай при представлении динамической системы полиномом Гаммерштейна первой степени.
4. В синтезе оптимальных операторов нелинейных динамических систем, как сглаживающих фильтров, представимых двумерным оператором Гаммерштейна п-го порядка, по критерию минимума среднего значения квадрата ошибки воспроизведения требуемого выходного сигнала идентифицируемой системы. Необходимые условия оптимальности оператора получены в форме системы п-го порядка двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода. При этом уравнение Винера- Хопфа является частным случаем полученной системы при представлении динамической системы полиномом Гаммерштейна первой степени.
5. В доказательстве эквивалентности по выходным значениям операторов Вольтерра и Гаммерштейна для нелинейных систем, содержащих в качестве линейного инерционного звена фильтр низких частот и безынерционное полиномиальное звено.
Замена полинома Вольтерра полиномом Гаммерштейна для таких систем позволяет проводить их синтез и вероятностный анализ без необходимости вычисления многомерных интегралов повышенной кратности.
6. В разработке методов аналитической оценки и прогнозирования вероятностных характеристик процессов на выходе линейных и нелинейных динамических систем, представимых интегральной (дискретной ) сверткой, дифференциальными уравнениями в пространстве состояний, операторами Вольтерра и Гаммерштейна.
Выведены аналитические выражения авто и взаимных корреляционных функций ошибок фильтрации для оптимальных линейных дискретных байесовских фильтров с конечной памятью. В байесовском фильтре с нарастающей па--, мятью (рекуррентном фильтре Калмана) вычисляется ковариационная матрица
оцениваемых параметров. Она не отражает вероятностную степень связи значений случайных ошибок в оценках параметров в различные моменты времени. В такой же мере эта вероятностная связь не учитывается и в формулах В. С. Пугачева, полученных для байесовского фильтра с конечной памятью.
Разработан сплайн-интерполяционный метод расчета вероятностных характеристик нелинейных систем, представимых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, операторами Вольтерра и Гаммерштейна, а также метод вычисления статистических узлов на основе решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Из сплайн-интерполяционного метода как частный случай следует интерполяционный метод В.И. Чернецкого, если интервалы существования случайных величин не разбивать на частичные подынтервалы. Применение сплайн-интерполяционного метода наиболее эффективно для расчета вероятностных характеристик динамических систем, не-* линейности которых (как функции от случайных величин ) имеют разрывы не-
14
прерывности низких порядков и для несимметричных нелинейностей.
В интерполяционном методе статистические узлы выбираются только в зависимости от порядка аппроксимирующего полинома и плотностей распределений по всей области задания случайных величин, и поэтому в должной степени не учитываются динамические свойства системы. В методе локальных статистических узлов А.В.Поцелуева плотности распределений аппроксимируются трапециями, что может привести к большим погрешностям вычисления статистических узлов.
7. В разработке метода вычисления частотных характеристик (спектров сигналов, интегрального преобразования Фурье функций) по конечным выборкам весовых функций
( сигналов ), содержащих случайные ошибки.
Собственно вычисление сводится к решению интегрального уравнения Фред-гольма первого рода с сильно осциллирующим ядром и аппроксимации частотной характеристики в базисе сплайнов Лагранжа, ВВСФ и обобщенным рядом Котельникова. Принятые аппроксимации приводят к аналитическому вычислению интеграла интегрального уравнения и представлению последнего в виде линейной регрессии. При этом оценивание параметров регрессии производится фильтром Калмана или байесовским фильтром с конечной памятью. Установлена оценка погрешности вычисления интеграла с сильно осциллирующим ядром, для которой выведено уточненное неравенство С.Н.Бернштейна для функций с финитным спектром и конечной энергией.
В существующих методах решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода интеграл заменяется какой-либо квадратурной формулой. При сильно осциллирующем ядре это потребует большого числа узлов.
Из предложенного метода вычисления интегралов как частный случай выводится известный метод Филона, в котором используются сплайны Лагранжа второй степени.
Обобщенный ряд Котельникова обеспечивает лучшую аппроксимацию функций и их спектров по сравнению с обычным рядом Котельникова.
8. В разработке проблемно- ориентированного комплекса вычислительных алгоритмов, программ и процедур для интеллектуальной поддержки принятия решений при идентификации систем.
Новизна состоит в разработке программ и процедур, приспособленных для непосредственной реализации в системе современного программирования " Дельфи ", для решения следующих задач : синтеза сигналов, расчета весовых функций оптимальных динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, расчета вероятностных характеристик линейных и нелинейных систем, моделирования функционирования линейных и нелинейных систем, представимых операторами Вольтерра и Гаммерштейна, для исследования алгоритмов идентификации.
9. В разработке метода точного вычисления распределения Стьюдента для * любых значений к-степеней свободы. Новизна состоит в рекуррентном вычис-
15
лении отношения гамма-функций в формуле распределения Стьюдента. Метод реализован в устройстве авторского свидетельства на изобретение. Распределение Стьюдента вычисляется через элементарные функции с помощью громоздких формул и при значениях к>20 заменяется нормальным законом, но нет оценки погрешности такой аппроксимации.
Изложенные теоретические положения в целом составляют вклад в теорию статистической параметрической и непараметрической идентификации линейных и нелинейных динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, в статистическую теорию анализа и синтеза оптимальных линейных и нелинейных систем, вероятностного анализа динамических систем, представимых системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, операторами Вольтерра и Гаммерштейна, в теорию интегральных уравнений в части решения однородного уравнения Фредгольма второго рода и уравнения Фредгольма первого рода с сильно осциллирующим ядром.
Практическая значимость. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для решения следующих практических задач:
1 .Расчета с потенциально высокой точностью оптимальных весовых функций систем с сосредоточенными и распределенными параметрами для линейных стационарных и нестационарных систем, представимых в интегральной и дискретной форме, по минимуму среднего значения квадрата ошибки преобразования, а также по минимаксному (максиминному) критерию и, для нелинейных стационарных систем, представимых оператором Гаммерштейна, при негауссовых входных случайных процессах.
2.Расчета весовых функций согласованных линейных фильтров, учитывающих априорную информацию о первых двух моментах коэффициентов нестационарной составляющей случайного полезного сигнала и нелинейных согласованных фильтров, представимых оператором Гаммерштейна, в условиях негауссовых помеховых воздействий и случайных полезных входных сигналов.
3.Расчета вероятностных характеристик ( математических ожиданий, моментов высших порядков, авто и взаимных корреляционных функций, плотностей распределений) выходных процессов нелинейных стохастических систем, представимых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, операторами Вольтерра и Гаммерштейна, сплайн-интерполяционным методом с определением статистических узлов интегрированием обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
4.Оценки параметров траекторий движения объектов максиминным методом правдоподобия при их аппроксимации уравнениями линейных регрессий и статистически линеаризованным методом максимума апостериорной вероятности при аппроксимации траекторий уравнениями нелинейных регрессий. Прогнозирования траекторий движения объектов и расчета вероятностных ошибок прогнозирования по аналитическим выражениям.
5.Оценки текущего и прогнозируемого состояний систем передачи информации с применением синтезированного в базисе ВВСФ испытательного сигнала
16
в аппаратно-программных комплексах контроля функционирования этих систем.
б.Вычисления частотных характеристик линейных стационарных динамических систем по весовым функциям, реставрации изображений, аналитического продолжения спектра изображения для его восстановления на основе решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода с аппроксимацией искомых функций сплайнами Лагранжа, ВВСФ, обобщенным рядом Котельникова и аналитическим вычислением интеграла этого интегрального уравнения. Данный метод вычисления интегрального уравнения применим также для синтеза антенн (акустических, радиотелескопов и др.), для повышения разрешающей способности антенн, оценки энергетического спектра по функции автокорреляции, восстановлении сигналов и их спектров в оптике, в том числе и с аналитическим продолжением спектров.
7. Оценки доверительных интервалов для оцениваемых параметров весовых функций динамических систем с вычислением точных значений квантилей ( без привлечения таблиц и интерполяции ) интегрированием дифференциального уравнения первого порядка. Алгоритм вычисления квантилей для больших выборок (обратной функции Лапласа) реализован в устройстве, защищенным авторским свидетельством на изобретение, алгоритм вычисления доверительных интервалов для математических ожиданий при малых выборках реализован в устройстве, защищенным в другом авторском свидетельстве на изобретение.
Результаты диссертации используются при чтении лекций и проведении практических занятий со студентами по специальному курсу: "Методы и алгоритмы оценки параметров случайных процессов".
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на XIV Московской городской НТК, посвященной Дню Радио (Москва, 1988); на двух межотраслевых научно-производственных конференциях " Развитие и совершенствование телевизионной техники " (НИИТТ "Электрон" г. Львов, 1990- 1991г.г.); на 1-12-ой ежегодных Всероссийских научно-технических конференциях "Современное телевидение" ( Москва; 1992-2004 г. г.); на НТК специалистов и молодых ученых "Развитие и совершенствование телевизионной техники" (НИИТТ " Электрон ", г. Львов, 1993) ; на двух Международных конференциях "Информационные технологии в проектировании", "Восток-Запад" (Москва, 1994,1996 г.г.); на Международной конференции " 100-летие начала использования ЭМ волн для передачи сообщений и зарождения РТ " (Москва, 1995); на 2-ой Международной конференции " Спутниковая связь " (Москва, 1996); на LII научной сессии, посвященной Дню Радио(РНТО РЭС им. Попова А.С., Москва, 1997); на 22м Europen Meeting of Statistitical, 1Ы Vilnus Conference of Probability Theory and Mathematical Statistics (Вильнюс, 1998); на 3-м сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти С.Л.Соболева (1908-1989) ( Новосибирск, 1998); в Российском научном обществе исследования операций, ВЦ РАН (Москва, 2001); на 4-ой Московской Международной конференции по исследованию операций (Москва,2004 г.).
17

 Часть из работы     Получить работу