I. ВВЕДЕНИЕ
Актуальность проблемы. В связи с появлением сложных инженерных и технических сооружений в последние десятилетия к вопросам динамики конструкций проявляется особый интерес. Существовавший долгое время детерминистический подход к решению таких задач не позволяет описать действующие на сооружения внешние нагрузки и вызванные ими колебания с достаточной точностью. Резкое повышение требований к оценкам надёжности и экономичности проектируемых зданий и сооружений вызвало усиленное внимание к развитию вероятностных методов расчёта, максимально приближающих как расчётную схему конструкции, так и действующие нагрузки к реальным объектам исследований. Под влиянием таких требований возник и продолжается интерес к колебаниям конструкций при воздействиях, имеющих стохастическую природу.
Случайными возмущениями, например, являются сейсмические, ветровые, снеговые нагрузки; силы, передающиеся на строительные конструкции от движения различного вида технологического оборудования, транспорта и людских потоков; кинематические перемещения опор и опорных контуров упругих элементов, работающих в составе сооружений и т. д.
Динамическое поведение дискретных систем при действии возмущений имеющих детерминистическую и случайную природу хорошо освещено. Достаточно изучены и колебания континуальных систем при случайных скалярных возмущениях, имеющих динамическое или кинематическое происхождение.
В то же время слабо изученными остаются задачи о колебаниях континуальных и континуально-дискретных систем при векторных возмущениях, компоненты которых являются детерминистическими или случайными процессами. В частности, публикаций по колебаниям балок при векторных возмущениях, содержащих одновременно динамические и кинематические источники колебаний, имеется лишь небольшое количество. Не проведены исследования по колебаниям распределённых систем при
векторных возмущениях с компонентами, заданными в виде различных по типу случайных коррелированных процессов.
Идеализированные дискретные или континуальные модели, которые до сих пор применяются в виде расчётной схемы для реальных конструкций, во многих случаях являются слишком упрощёнными. Такие схемы не могут отражать в полной мере действительную реакцию сооружений на действующие возмущения. Во множестве практических случаев дискретные и континуальные типы структур одновременно сочетаются и взаимодействуют, и это отражается не только на спектрах собственных частот и форм колебаний, но и на отклике системы на возмущения различного происхождения. Если при детерминированных возмущениях континуальные участки можно иногда заменять эквивалентными дискретными массами, то при случайных возмущениях, имеющих спектральную плотность в широком диапазоне частот, такой приём может привести к большим неточностям.
Стержни (в частности, балки) являются одним из основных элементов почти всех строительных сооружений, технических устройств, а также деталью различного рода оборудования. В плоских и пространственных каркасах зданий это панели, ригели, колонны и подкрановые балки. В виде отдельных объектов модели стержней применяют в расчётах водонапорных башен, столбов линий электропередачи, антенн, дымоходных труб, простых мостов, рельсов железных дорог, газопроводных или водопроводных труб и т.д.
В силу перечисленных причин представляется актуальной дальнейшая разработка новых математических моделей, методов и алгоритмов решения задач о свободных, гармонических и случайных колебаниях элементов зданий и сооружений в виде отдельных балок и балок с сосредоточенными массами при векторных возмущениях.
Целью работы является постановка и решение задач по определению основных характеристик колебаний однородных1 и континуально-дискретных балок с учётом вязкого трения при отсутствии и наличии продольных сил, при комбинированных динамических и кинематических векторных возмущениях, имеющих как детерминистическую, так и стохастическую природу.
Задачи работы:
> Разработать модели новых задач о свободных, вынужденных гармонических и вынужденных случайных колебаниях для однородных и континуально-дискретных балок.
> В детерминистическом случае колебаний для однородных растянутых балок и континуально-дискретных балочных систем получить формулы или численные алгоритмы для определения спектров собственных частот, коэффициентов затухания и соответствующих им форм свободных колебаний.
> Для вынужденных детерминистических колебаний рассмотреть три возможных варианта установившихся режимов:
- непериодические негармонические колебания;
- периодические негармонические колебания;
- гармонические колебания.
Для всех случаев найти функции перемещений и внутренних сил в сечениях балки, для третьего случая определить функцию распределения амплитуд вдоль оси балки.
> При вероятностной постановке задач, когда возмущения представлены как стационарные случайные векторные процессы, выявить влияние характерной частоты и степени коррелированности компонентов на выходные характеристики колебательной системы.
^ Определить среднеквадратические отклонения внутренних сил в сечениях, используя их известные зависимости от функции перемещений.
1 В данной работе однородными названы балки постоянного сечения по длине из однородного материала, с распределённой массой.
> Для детерминистических и стохастических задач составить алгоритмы расчётов исследуемых упругих систем и реализовать их в одной из современных информационно-вычислительных сред программирования.
> Провести численные эксперименты и проверить достоверность новых методик расчётов на классических примерах с известными решениями.
> Провести расчёты нескольких балок, взятых из реальной строительной практики, по разработанным алгоритмам и программам.
Автор защищает;
> Методику нахождения спектров собственных частот, коэффициентов демпфирования и форм свободных изгибных колебаний однородных и континуально-дискретных балок при наличии продольных сил и сил сопротивления.
> Методику определения функций перемещений и внутренних сил в сечениях балки, когда компоненты вектора возмущений являются гармоническими с разными частотами и начальными фазами.
> Результаты расчётов однородных и континуально-дискретных балок на предмет исследования влияния параметров входных случайных процессов на вероятностные характеристики колебаний.
Научная новизна работы заключается в следующем:
> Вынужденные детерминистические колебания однородной балки рассмотрены при новой постановке задач, учитывающей векторный характер гармонических возмущений при их разных частотах и начальных фазах.
> Вынужденные случайные колебания однородной балки рассмотрены при возмущениях векторным стационарным случайным процессом со стационарно связанными компонентами. Для формирования спектральной матрицы входного процесса предложен новый подход, позволяющий учитывать разнотипность случайных возмущений
У Предложена новая модель колебаний однородной балки при одновременном учёте продольной силы и сил внутреннего трения. Найдены спектры собственных частот и форм, коэффициент затухания свободных
колебаний. Предложены методики определения параметров вынужденных гармонических и случайных колебаний.
> Разработана новая математическая постановка задач о колебаниях балки с сосредоточенными массами, представляемой в виде континуально-дискретной системы. Разработаны алгоритмы определения спектров собственных частот, коэффициентов затухания и форм колебаний. Для вынужденных колебаний предложены методики решения смешанной системы дифференциальных уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложены эффективные способы определения функции перемещений при гармонических вынужденных колебаниях, спектральных плотностей и дисперсий при случайных колебаниях.
> Для всех типов рассмотренных балок при вынужденных колебаниях определены внутренние силы: при гармонических возмущениях -детерминистические функции, при случайных колебаниях - спектральные плотности и дисперсии.
Достоверность результатов для детерминистических моделей задач подтверждается тестовыми расчётами, проведёнными на классических примерах, которые с достаточной степенью точности совпали с известными результатами. Достоверность результатов по решению стохастических задач проверена и подтверждена совпадением их решений с решениями детерминистических задач при специальном подборе типов и параметров стохастических возмущений, позволяющем осуществить их предельный переход к гармоническим входным процессам.
Практическая направленность. Предложенная методика расчёта континуальных и континуально-дискретных балок при детерминистических и стохастических векторных возмущениях представляет не только теоретический интерес, но и может найти широкое применение в расчётах реальных строительных и технических сооружений. Такие возможности продемонстрированы на примерах приведённых по каждому разделу
диссертации (стальные континуальные балки, континуально-дискретная стойка и континуально-дискретная стальная балка). Получен акт внедрения результатов исследований при проектировании главной балки рабочей площадки производственного корпуса стекольного завода «ЗЭТ» в г. Нарткала Кабардино-Балкарской Республики.
Апробация работы.
Основные результаты работы докладывались и обсуждались: на научно-исследовательском семинаре по механике в Кабардино-Балкарском госуниверситете г. Нальчик, 2002 г.; на III Международной научно-технической конференции, 27-29 марта 2003 г., «Надёжность и долговечность строительных материалов и конструкций», ВолгГАСА, г. Волгоград, 2003 г.; на Тринадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 29-31 мая 2003 г., Самарский государственный технический университет, г. Самара, 2003 г.; на Всероссийской научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Перспектива - 2003», г. Нальчик, 2003 г.; на научной конференции молодых учёных КБГУ, Кабардино-Балкарский госуниверситет, г. Нальчик, 2003 г.; на Всероссийской научно-технической конференции, 25-27 сентября, «Наука, техника и технологии нового века», КБГУ, г. Нальчик, 2003 г.; на Всероссийской научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Перспектива-2004», г. Нальчик, 2004 г.; на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 26-28 мая 2004 г., Самарский государственный технический университет, г. Самара, 2004 г.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 13 публикациях [50, 51,73-77, 95-100].
Объём работы: Диссертация состоит из введения, четырёх глав, основных выводов, списка литературы и приложения, содержит 130 страниц.
И. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ, СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА
В процессе изготовления, возведения и эксплуатации элементы строительных и технических сооружений постоянно находятся под внешними воздействиями, имеющими различную природу. В большинстве случаев эти воздействия носят изменчивый, плохо прогнозируемый случайный характер. Порой описание этих возмущений с детерминистической точки зрения не представляется возможным. В качестве примера таких возмущений можно указать: сейсмические, снеговые, ветровые, тепловые нагрузки; силы, передающиеся от работающего технологического оборудования на конструкции строительных сооружений; флуктуации давления в турбулентном погранслое; акустическое излучение реактивной струи двигателей; колебания основания зданий от транспорта, движущегося вблизи; кинематические перемещения опор элементов, вызванные неупорядоченными общими движениями сооружения или машины в целом; кинематические перемещения точек контакта деталей, вызванные неизбежными геометрическими погрешностями их изготовления и т.д. Поэтому экономические, технологические и эксплуатационные требования к сооружениям и машинам в последние годы стимулируют во многих задачах строительной механики переход от традиционных детерминистических подходов к вероятностным, позволяющим более адекватно представить случайный характер нагрузок, граничных и начальных условий, других свойств упругих колеблющихся систем.
Исследованиями колебаний механических систем человечество начало заниматься уже с момента появления первых искусственных сооружений. Но лишь получив достаточный научный аппарат в конце 18 в начале 19 веков, удалось понять природу и причину механических колебаний. Труды Рэлея [145] о колебаниях распределённых одномерных систем в виде стержней и струны, являются одним из основопологающих в классической математической физике и её приложениях к расчёту строительных конструкций.
10
В рамках технической теории, учитывая гипотезу Эйлера-Бернулли, изгибные колебания балки (стержня) без учёта диссипации в традиционных обозначениях описываются дифференциальным уравнением в частных производных
^|EJ0] + pF0 = q(x,t). (1)
дх у дх ) dt
Такая форма применима, когда поперечные размеры сечения балки во много раз меньше пролёта балки. Если они сопоставимы, то применяют уточнённую формулу Тимошенко [146], которая учитывает поперечные сдвиги и инерции поворота сечений. В случае наличия вязкого трения по гипотезе Фойгта уравнение (1) приобретает вид
д2 |__Э2и ] ди „д2и ах ^ дх ) dt dt
К уравнения присоединяются начальные и граничные условия зависящие от способа закрепления концов. Существует и другая общепринятая форма учёта диссипации, когда внутренее трение получается частотно независимой т.е. по гипотезе Сорокина. В этом случае коэффициент демпфирования задаётся в комплексной форме.
В данное время наиболее важные результаты по детерминистическим и случайным колебаниям дискретных и континуальных механических сисем, представлены в известных монографиях В.В.Болотина [15, 17, 18, 21, 22, 23], А.С.Вольмира [34, 35], А.С.Гусева, В.А.Светлицкого [46, 135, 136, 137], М.Ф.Диментберга [58], В.В.Екимова [68], В.П.Макеева, Н.И.Гриненко, Ю.С.Павлюка [107], Н.А.Николаенко [117], А.Р.Ржаницына [133], В.Л.Бидермана [10], С.А.Тимашева [145], И.А.Биргера и Я.Г.Пановко [120], А.Н.Тихонова и А.А. Самарского [147], М.Е. Казакова и СВ. Мальчиков [72], С.П.Тимошенко [146], А.П.Филиппова [150], А.А.Свешников [139], А.Н.Тихонова [147, 148], D.E.Newland [183], в сборниках научных статей под редакциями С.Кренделла [84, 141] и W.L.Clarkson [194], статьях и докладах обзорного характера В.В.Болотина [13,- 14, 16, 19, 20, 24, 25],
11
М.Ф.Диментберга [55, 56, 57, 59, 60, 61, 62], М.З.Коловского, В.И.Осорина, А.А.Первозванского [82], А.Л.Ерёменко [69], S.H.Crandall, W.Q.Zhu [162], F.Kozin [178].
Сначала появились работы, в которых рассматривались вопросы надежности и прочности, накопления усталостных повреждений, статистического описания нагрузок и их комбинаций, механических свойств материала (Н.С.Стрелецкий, А.Р.Ржаницын). Позднее (конец пятидесятых, начало шестидесятых годов) интерес вызвали вопросы устойчивости конструкций (А.Р.Ржаницын [132], А.С.Вольмир [33], Б.П.Макаров [106], В.Г. Москвин [111, 112], Т.С.Неверова [116], Р.З.Хасьминский [151, 152]).
Со временем начали уделять особое внимания динамическим задачам при потере устойчивости, случайным колебаниям конструкций и вопросам надёжности (Болотин В.В. [15, 19, 21], Вольмир А.С.[34, 35, 36], Димитберг А.Ф. [75], Светлицкий В.А. [134, 138], Кац И.Я. [80], Кузьма В.М. [85, 86], Кушнер Г.Дж. [101], Комар Н.М. [83]).
Используя аппарат теории случайных процессов можно описать реакцию упругих систем на случайные воздействия. Методы решения таких задач можно разделить на две большие группы: корреляционные методы и методы теории марковских процессов. Корреляционная теория оперирует первыми двумя моментами распределения: математическим ожиданием и корреляционной функцией. Для нормально распределенных процессов этих сведений достаточно для определения и более старших моментных функций. Для стационарных процессов все аналитические выкладки упрощаются. Если заданы дифференциальные или интегральные уравнения, связывающие входные и выходные параметры, то имея можно получить соотношение между математическими ожиданиями, спектральными плотностями,
корреляционными функциями и т.д. Большинство исследований проведено именно в рамках этой теории.
В работе В.В. Болотина [16] специально рассмотрен метод моментных функций, принадлежащий к корреляционной теории и имеющий широкое
12
применение в статистической динамике. Здесь он показал возможность использования моментных функций как для систем с конечным числом степеней свободы, так и для распределенных систем.
А.П.Пшеничкиным был успешно применён [122-126] метод канонических разложений, предложенный В.С.Пугачёвым [121] к ряду задач строительной механики [127-131], этот метод потом был использован и другими авторами. Суть метода в том, что внешние воздействия и/или реакция системы представляются в виде разложения по детерминистическим базисным функциям пространственных координат со случайными коэффициентами в виде обобщённых сил и обобщённых координат. Это даёт возможность математическую модель динамической задачи, основанную на дифференциальных уравнениях в частных производных, заменить более простой моделью, построенной на обыкновенных дифференциальных уравнениях стандартного типа.
Метод корреляционной теории, не всегда даёт достаточную информацию для решения практических задач прочности, устойчивости и, особенно, надёжности конструкций. Методы теории марковских процессов, свободны от таких недостатков. Общие вопросы таких процессов изложены в монографиях [27, 28, 29]. Применение этих методов к задачам движения упругих систем рассмотрено в работах [16, 41, 42, 43, 189]. Хотя методы теории марковских процессов предоставляют ценную информацию для расчёта строительных конструкций (особенно для решения вопросов их надёжности), широкое применение этих методов сдерживается трудностями построения решений уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК), к которым они приводят.
Задачи статистической динамики, приводимые к обыкновенным дифференциальным уравнениям и уравнениям в частных производных (параболическим типа уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК), гиперболическим - при колебаниях распределенных систем), в последние годы стали решать с применением конечноразностных, конечноэлементных и других численных методов [88, 115, 116,184].
13
К настоящему времени в изучении динамики балок преобладает в основном детерминистический подход, т.е. внешние воздействия, начальные и граничные условия для уравнений, физико-механические свойства (параметры) принимаются в виде детерминированных величин и функций времени и пространственной координаты. Между тем во многих случаях они имеют явно вероятностный характер, что делает постановку и изучение всякого рода стохастических задач весьма актуальными [185]. Балки являются деталью почти всех строительных сооружений, машин, технических устройств, приборов, оборудования и т.д. Общие вопросы механики балок, в том числе и колебаний, даны в монографиях И.М.Бабакова [7], В.Л.Бидермана [10], В.А.Киселева [81], Д.Р.Меркина , С.П.Тимошенко [146], А.П. Филиппова [150], А.Ф.Смирнова, и др. [142], Д.Н.Спицыной [143]
Изгибные колебания балок при действии гармонических нагрузок изучены подробно, ряд решений по их кинематически возбуждаемым детерминистическим случаям при отсутствии трения дан в монографиях и статьях [81, 113, 118, 135]. Исследование случайных колебаний было начато в трудах М.Ф.Барштейна [8], В.В.Болотина [19, 21], Н.А.Николаенко [117] и продолжено В.А.Светлицким [137].
В основном рассматривались колебания от внешней случайной распределенной нагрузки, определялись статистические характеристики перемещений, скоростей и ускорений, в некоторых случаях внутренних сил и напряжений в сечениях.
В настоящее время многие отечественные и зарубежные исследователи изучают детерминистические колебания стержней, имеющих как постоянную структуру, так и переменную структуру. Из них можно выделить следующие работы [1, 2, 4, 9, 12, 30-32, 37, 47, 48, 64-67, 105, ПО, 149, 156-159, 164-167, 169-172, 179-181, 191-200]. В отдельных работах исследованы методы идентификации параметров механической системы или конструкции, местных повреждений или трещин на основе анализа показателей её колебаний [6, 101, 102,104,182,201].
14
В работе [3] приведена постановка начально-краевой задачи о динамическом нагружении упругого стержня. Для шарнирно закрепленного стержня определены спектр собственных частот и форм колебаний, которые используются для исследования задач в резонансных режимах воздействия внешней гармонической нагрузки. Решается обратная спектральная задача, а именно, по известным резонансным частотам определяются параметры неоднородности стержня [38, 39]. В работе [44] построена фундаментальная система решений обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, описывающего свободные продольные колебания стержня с произвольными законами изменения жесткости и плотности вдоль оси. О.В.Дементьева [52, 53] предложила метод построения собственных форм и частотных уравнений изгибных колебаний прямых стержней с дефектом типа трещины или с дефектом типа тромба на основе методов Граммеля и Ритца. Ю.Э.Сеницкий и И.Е.Козьма [140] нашли точное решение динамической задачи о продольных колебаниях стержня при наличии сил вязкого сопротивления. В публикациях широко представлены задачи о продольных колебаниях. В диссертационной работе С.В.Буда-Красновского [26] проведена разработка общих численных методов расчета стержневых элементов приборов и конструкций при кинематическом возбуждении, которые дают возможность получать числовые характеристики напряженно-деформированного состояния упругих пространственно-криволинейных стержневых элементов.
Интерес представляют и работы, в которых представлены задачи о колебаниях балок [5, 11, 55, 70, 155, 173, 188]. Изгибные колебания балок при действии гармонических нагрузок изучены подробно, ряд решений по их кинематически возбуждаемым детерминистическим случаям при отсутствии трения дан в монографиях и статьях [81, 88, 89].
Особый интерес представляют работы, в которых рассматриваются задачи о колебаниях континуально дискретных механических систем в виде и балок и струн, несущих сосредоточенные массы. Основные результаты
15
последних лет в этой области представлены трудами В.А. Светлицкого [134, 137, 174], Г.Е.Калбергенова [78], Л.И.Маневича [108], С.Б.Каравашкина [79], В.Ю.Бобыльченко [11], О.В.Дементьева [52], Д.А.Индейцева [71], Н.М.Маслова [109], Е.Т.Григорьев, Н.Б.Тульчинская [45], Х.П.Культербаева [77, 94, 95, 96, 98], K.T.Anders [153], Xu Xiaoge [200], M.Gurgoze [172, 173], S.P.Cheng [160, 161], H.Batan [154], E.Esmailzadeh [168], R.H.Gutierrez [174], P.K.Sarkar [190]. В работе [78] изучаются свободные изгибные колебания балки постоянного поперечного сечения, имеющего оси симметрии и несущего сосредоточенные массы, в предположении, что колебания происходят в одной из главных плоскостей балки и при отсутствии сил сопротивления. Получены дисперсионные уравнения для разного рода задач (при различных граничных условиях). Л.И.Маневич [108] провёл асимптотический анализ изгибных колебаний механически связанной натянутой цепи стержней чередующихся с сосредоточенными массами при наличии упругого взаимодействия, линейно взаимодействующими с окружением, анализ полученных результатов выявил существование трёх областей спектра колебаний. Первая соответствует распространению волн, длинных по сравнению с расстоянием между ближайшими массами. Дисперсионное соотношение определяется однородной системой с распределенной массой и распределенной реакцией окружения. Вторая область характеризуется высокочастотным колебанием масс, модулированным плавно изменяющейся амплитудой. Характерной модой рассматриваемого типа является антифазное колебание соседних узлов. В случае, когда величина сосредоточенной массы существенно превосходит величину массы звена, существует третья, ультравысокочастотная и коротковолновая область спектра. Она характеризуется колебаниями легких звеньев между относительно неподвижными массами. Области спектра и соответствующие им моды могут измениться в результате изменения отношений между геометрическими и физическими параметрами системы. При близости значений сосредоточенных масс и масс звеньев не проявлялась
16
ультракоротковолновая мода колебаний. В [79] приведены точные аналитические решения задачи о колебаниях конечной однородной линии с сосредоточенными массами для вынужденных и свободных колебаний. Попытка электрического моделирования колебаний изгибаемой балки, нагруженной сосредоточенными регулярными массами, сделана в работе [11]. Показано, что балка с распределенной нагрузкой и балка с сосредоточенными регулярными массами моделируются аналогично электрическим четырехполюсникам.
Для прямого стержня с одним локальным изменением массы (например, с одной присоединенной сосредоточенной массой) [52] получены частотные уравнения для каждой собственной частоты в отдельности и явные выражения для коэффициентов при базисных функциях с использованием широко известного вариационного метода Ритца-Тимошенко. В качестве базисных функций использованы собственные формы колебаний прямого стержня без локального изменения массы. Полученное решение удобно использовать при решении как прямой, так и обратной задачи колебаний, каковой может быть как задача диагностики дефекта типа "тромб" в прямом трубопроводе, так и задача проектирования изменения конструкции с отстройкой частоты в заданном диапазоне.
Тема диссертации сложилась под влиянием современного состояния указанных направлений строительной механики и необходимости постановки новых задач. Работы, проведённые автором, обнаруживают, что в детерминистических гармонических колебаниях однородных и континуально-дискретных балок сдвиг фаз компонентов векторных возмущений имеет существенное влияние на величину и форму колебаний. При равенстве частот всех компонентов возмущений подтверждается известный факт влияния величины частоты возмущений на амплитуды колебаний. Компоненты возмущений с разными частотами могут вызывать периодические, но негармонические колебания или непериодические и негармонические колебания балок. В задачах о случайных' колебаниях изучено поведение
17
континуальных и континуально-дискретных балок как при одновременном действии возмущений как одинаковых, так и разных типов. Существенным являются влияние частот, доминирующих в случайных возмущениях, параметры широкополосности случайных возмущений, коррелированность компонентов случайного векторного процесса возмущений. Изучение состояния вопроса и анализ показывают, что важнейшей и наиболее сложной задачей теории надёжности зданий и сооружений является дальнейшее развитие методов практического расчёта строительных конструкций как стохастических систем, работающих под действием случайных нагрузок. Поэтому одной из задач диссертации стало выяснение динамического поведения элементов зданий и сооружений при действии стационарных и стационарно связанных коррелированных случайных процессов. |
