4 ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена разработке методики, позволяющей провести качественный и количественный анализ устойчивости и управляемости систем с многозначными операторами.
В диссертации проводится исследование устойчивости, качественного поведения и управляемости систем, описываемых дифференциальными уравнениями и системами дифференциальных уравнений с правой частью в виде аккретивного (монотонного) оператора, который в общем случае является нелинейным и многозначным.
Такие системы используются при изучении разнообразных проблем физики, химии, биологии, экологии, экономики, в частности процессов переноса тепла, колебательных процессов, процессов диффузии, а также при изучении многочисленных технических задач.
В диссертационной работе системность прослеживается в решении следующих взаимосвязанных задач:
— исследование устойчивости системы, описываемой дифференциальным включением с монотонным оператором;
— исследование устойчивости экосистем, описываемых дифференциальными уравнениями с многозначными правыми частями;
— анализ управляемости системы перемещения объекта с выходом в вертикальное положение, описываемой дифференциальными включениями;
— построение и анализ модели теплообменника с регулируемым тепловым потоком, которая описывается уравнением теплопроводности с обобщенно аккретивным оператором в правой части.
Использование качественных методов исследования систем с многозначными операторами осуществляется на основе функций Ляпунова, при этом широко используются методы системного анализа, теории управления, методы теории полугрупп непрерывных операторов, методы качественной теории и теории устойчивости.
Перейдем к краткому обзору известных результатов и литературы по тематике диссертационной работы.
Пусть X— банахово пространство с нормой ||.|. Нелинейный многозначный оператор А: Х-^2Х, где 2х есть множество всех непустых подмножеств из X, с областью определения 1ХА)::={хеХу1х*0} и множеством значений Im(A)::=KjxeD(Ayix называется [87] аккретивным, если для любых х, ysD{A) и любых х*<=Ах,у*еАу выполняется неравенство
VA>0, \\x + kx*-y- Ху *\\Х > \\х - у\\х.
Согласно современной терминологии, в отечественной литературе [42,43,48] вместо термина аккретивный предлагается использовать термин монотонный, но точного определения монотонного оператора ни в одной из указанных выше работ нет, хотя термин «монотонный» обычно относится только для функций вида f:R—>R . Поэтому будем вводить термин «монотонный» по мере появления аккретивных операторов, которые можно доопределить как монотонные или обобщенно монотонные. В частности, в я-мерном случае обобщенно монотонными операторами будем называть действительнозначные функции f.R—>Rn, и действительнозначные функции со значениями в гильбертовых пространствах f.R->R°°, у которых все компоненты возрастающие или невозрастающие, или убывающие или неубывающие всюду.
Обобщенно возрастающие и неубывающие операторы f.R->Rn,l?после этого доказать, что для таких операторов выполняется условие аккре-тивности. В диссертации замена понятия аккретивности на понятие монотонность используется только для случаев, для которых понятия аккретивности и монотонности, возможно обобщенные, уже определены. Например, оператор Лапласа А по определению не является аккретивным, но оператор -А ак-кретивен. Поэтому считаем А обобщенно аккретивным оператором, и А можно называть монотонным оператором.
Понятие монотонного оператора и первые публикации по теории монотонных операторов принадлежат М.М.Вайнбергу [10]. Он определял понятие монотонности как обобщение на нелинейный случай свойства неотрицательной определенности линейного оператора.
Дальнейшее развитие монотонные операторы получили в работах V.Barbu [52,53], T.Kato [88], Y.Komura [93]. В частности, T.Kato [88] ввел понятие максимально аккретивного и локально максимально аккретивного операторов, V.Barbu [52] доказал, что если Л'Х-*Х нелинейный многозначный максимально аккретивный оператор и ВХ-ьХ непрерывный, всюду определенный нелинейный аккретивный оператор, то оператор А+В максимально аккретивный в банаховом пространстве X, a H.Brezis [56] сформулировал необходимое и достаточное условие аккретивности операторов в гильбертовом пространстве.
Однако, несмотря на большое количество работ по монотонным и аккретивным операторам (например, работы [56], [59], [72], [63], [66], [73], [88], [89]), систематическое изложение данного круга вопросов впервые было дано в монографии Ю.В.Трубникова и А.И.Перова [43]. Авторы изучили условия монотонности различных классов отображений (в частности многочленов, линейных операторов, дифференцируемых операторов), ввели понятие [/-монотонного, (?/,х)-монотонного, (?/,х,а)-монотонного операторов и доказали ряд важных теорем о существовании решений краевых задач с нелинейными краевыми условиями.
В диссертации продолжена классификация аккретивных операторов на более широкие классы операторов и функций. Введены обобщенные понятия аккретивности и монотонности, а также обобщенной монотонности в евклидовых и гильбертовых пространствах, основные из которых перечислены ниже.
Пусть R — одномерное евклидово пространство со скалярным произведением (a,b)::=ab.
Функция f:R->2 называется обобщенно неубывающей (невозрас-
тающей), если для любых xyeR и любых х* еДх), у* еДу) при х*у выполняется неравенство: (х-у, х*-у*)>0 (соответственно (х-у, х*-у*)<$).
Если еп, п — 1, 2, ... , есть ортонормированный базис гильбертово пространства X, то многозначный сепарабельный оператор
называется неубывающим (невозрастающим) в X, если при каждом п многозначная функция fn:R-+2R обобщенно неубывающая (невозрастающая). все такие операторы названы в диссертации монотонными.
Обобщенно монотонными (обобщенно аккретивными) функциями называются кусочно-монотонные функции f.R—>R, область определения которых разбивается на счетное число интервалов, в каждом из этих интервалов функция не убывает и непрерывна, или не возрастает и непрерывна, и в каждой граничной точке между двумя интервалами имеются конечные пределы и слева, и справа.
Монотонные (аккретивные) операторы часто используются в системах в виде дифференциальных уравнений или включений, включения используются, когда операторы в некоторых или во всех точках имеют значением многоэлементные множества. Среди работ по дифференциальным включениям в пространстве Rn следует отметить работы А.Ф.Филиппова [44], В.И.Благодатских [9], а в общих банаховых пространствах вопросы сущест-
8
вования решений рассмотрены А.А.Толстоноговым [41]. В монографии Ю.Н.Меренкова [26] установлены теоремы о свойствах решений неавтономных дифференциальных включений с допустимой правой частью, обобщающие работы De Glas [85], полученные для автономного случая. Дифференциальные включения изучаются в последнее время, в частности, в связи с приложениями к теории управления. Большой вклад в развитие оптимального управления внесли Р.В.Гамкрелидзе [14], Л.С.Понтрягин [29], В.И. Зубов [19], В.И.Благодатских [8], которые стояли также в начале исследований дифференциальных включений. Отметим, что на практике включения с ак-кретивной правой частью можно заменить на дифференциальное уравнение, если в точке с многозначным значением выбирать одно из значений, а другие включения с регулярной правой частью (например, с локально допустимой правой частью и выпуклым значением) можно заменить на однозначную реализацию [44], по крайней мере в евклидовом пространстве.
В данной диссертации проведен анализ управляемости транспортной системы, описываемой дифференциальными уравнениями в контингенциях. Многозначность в правых частях дифференциальных уравнений возникает ввиду сопротивления разреженной среды, которое в первом приближением не учитывается (учитывается только масса объекта, сила тяги по вертикали и горизонтали и постоянное ускорение свободного падения). Для исследованной транспортной системы для однозначных параметров определено управление, определяющее оптимальный маршрут. Для многозначных параметров указан неформальный алгоритм коррекции движения с помощью датчиков для возвращения на оптимальный маршрут.
Среди систем с многозначными операторами следует отметить экологические системы. Большой вклад в развитие математического подхода к изучению изменений в составе биологических сообществ внес В.Вольтерра [13]. В работе [5] А.Д.Базыкиным проведен анализ режимов динамического поведения в системах нескольких взаимодействующих популяций и их качест-
венных перестроек при изменении условий. Автором предложена биологическая интерпретация выявленных режимов. Среди работ по устойчивости биологических сообществ следует отметить Ю.М.Свирежева и Д.О.Логофет [37,38], В.Д.Горяченко [16]. В отличие от этих работ, в диссертации проведено исследование на устойчивость и качественный анализ экосистемы с тремя взаимодействующими популяциями, описываемой дифференциальными уравнениями с многозначными правыми частями, и получены достаточные условия устойчивости обобщенной экосистемы.
В работе рассматриваются также вопросы существования решения дифференциального включения — е-Аи, и(0)=х, описываемого систему с моно-
dt
тонным оператором А'. Х—>2 , где u:R —>X(R есть множество всех неотрицательных действительных чисел). J.M.Ball [50] доказал, что если оператор А линейный, то данное включение имеет единственное решение, названное слабым и определенное с помощью сопряженного оператора Л*. В общем же случае, когда оператор А нелинейный, решение определяется другим способом, используя теорию нелинейных полугрупп, изложенную в работах V.Barbu [52], M.Crandall [73].
В диссертации доказано существование решения указанного включения методом аппроксимации в виде экспоненциальной формулы
u(t)::=S(t)x::=\im(I + — А)~пx=exp(-tA)x. Показано, что множество S(t) обра-
зует непрерывную полугруппу. Экспоненциальная формула для аккретивного оператора Л+ю/, где Дальнейшее изучение систем с аккретивными (монотонными) операторами связано с понятием функции Ляпунова для аккретивного оператора. Определение функции Ляпунова для аккретивного оператора привел A.Pazy [100,101] и на основании ее свойств исследовал поведение решения u(i) диф-
ференциального уравнения —=-Аи с монотонным оператором A: D(A)dt
при г—»оо. A.Pazy полнил критерий, по которому полунепрерывная снизу функция ф: X-+R является функцией Ляпунова. Этот критерий основан на теории полугрупп и результатах действия оператора А на резольвенту Jx::=(I+7uiyl. Изложенные в диссертации результаты являются продолжением перечисленных выше исследований.
Также в диссертационной работе проведен анализ перспективных примеров аккретивных операторов из M.G.Crandall и T.Liggett [68, 76], которые находят применение при построении многих моделей математической физики и их приложений в различных отраслях народного хозяйства,
В данной диссертации мы остановились на построении модели регулируемого теплообменника, которая описывается монотонным оператором. Построение соответствующих моделей требует составления уравнений движения - для этой модели таким является одномерное уравнение теплопроводности, у которого правая часть есть оператор Лапласа, который является частным случаем аккретивного оператора.
Таким образом, актуальность вопросов, рассмотренных в диссертационной работе, следует из возрастающего потока теоретических работ по теории устойчивости и управляемости различных систем с многозначными операторами и их технических реализаций и из перспективности использования аккретивных операторов для построения и анализа этих систем.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы состоят из параграфов, в каждом параграфе используется самостоятельная нумерация определений, теорем и формул. При ссылках на формулы и теоремы, не входящие в текущий параграф, даются указания на соответствующие главы и параграфы. Первый параграф каждой главы является вводным.
11
Актуальность темы исследования. В настоящее время развитие системного анализа динамики управляемых и неуправляемых систем с многозначными операторами обусловлено как широким кругом прикладных задач, среди которых основными являются задачи управления сложными техническими объектами и технологическими процессами, так и бурным развитием компьютерной техники. Появляющиеся все новые возможности использования компьютеров, развитие их аппаратной части и программного обеспечения, систем сбора данных на базе микропроцессорных систем в задачах управления приводят к необходимости пересматривать существующие и создавать новые, имеющие большую практическую направленность, аналитические и качественные методы исследования систем с многозначными операторами. Эти методы позволяют осуществлять более точное прогнозирование функционирования этих систем.
Одним из математических аппаратов описания процессов динамики и управления системами являются дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений с правой частью в виде аккретивного (монотонного) оператора, который в общем случае является нелинейным и многозначным. Поэтому задачи современной компьютеризованной автоматики, то есть задачи создания новых эффективных приемов управления различными технологическими объектами, обуславливают развитие средств анализа систем с многозначными операторами, описывающих динамику функционирования управляемых и неуправляемых систем.
Диссертационная работа посвящена разработке методики, позволяющей провести качественный и количественный анализ устойчивости и управляемости систем с многозначными операторами.
Вопросы исследования монотонных операторов и качественного поведения систем, описываемых дифференциальными уравнениями с многозначными операторами, изучались, начиная с работ М.М.Вайнберга и V.Barbu, в работах русских и иностранных ученых: Ю.В.Трубникова, А.И.Перова,
12
В.К.Кириакиди, Ph.Benilan, H.Brezis, F.Browder, M.Crandall, PJ.P.Egberts, T.Kato, Y.Konishi, T.Liggett, A.Pazy, G.F.Webb и других ученых.
Вопросы управляемости систем изучались в работах Л.С.Понтрягина, В.И.Благодатских, В.ИЗубова, Е.Ф.Мищенко, А.А.Воронова, Дж.Варга, Р.В.Гамкрелидзе, Ф.Чаки, К.Негойцэ и других ученых.
Цель работы состоит в исследовании устойчивости, качественного поведения и управляемости систем, описываемых дифференциальными уравнениями с многозначными операторами в правой части.
Методы исследования. В диссертации использованы методы системного анализа, теории управления, качественной теории систем с многозначными операторами, первый и второй метод Ляпунова.
Научная новизна диссертации состоит в следующих результатах, полученных диссертантом. В диссертационной работе:
1) доказаны новые теоремы об аккретивности для выделенного класса операторов в различных банаховых пространствах;
2) описан новый класс обобщенных монотонных (аккретивных) операторов в евклидовых и гильбертовых пространствах, представляющий собой обобщение и конкретизацию исследований, проведенных А.И.Перовым и Ю.В.Трубниковым;
3) доказаны новые теоремы уточняющие исследования H.Brezis и W.Strauss об аккретивности оператора Лапласа в банаховых пространствах
I)q и l}Q, состоящих из интегрируемых и интегрируемых с квадратом функций, определенных на измеримой области Q пространства Rn;
5) построена модель теплообменника, которая отличается от известных в литературе алгоритмом вычисления приближенного значения решения, меняющимися начальными и граничными значениями и регулируемым тепловым потоком;
6) предложен алгоритм для системы управления по перемещению объекта к цели в трехмерном пространстве; в отличие от известных в литературе ал-
13
горитмов система описывается дифференциальным включением, что позволяет выделять из множества возможных движений устойчивое единственное движение при условии, что цель перемещается произвольно с ограниченной скоростью на плоскости;
7) исследовано качественное поведение экосистемы с тремя взаимодействующими популяциями, описываемой дифференциальным включением, которое обобщает результаты Дж. Смит, В.Д. Горяченко, В. Вольтерра, А.Д. Базыкина на системы с многозначной правой частью.
Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании свойств устойчивости и качественного поведения колебательных систем, экосистем, систем теплообмена, систем автоматического регулирования, а также в задачах управления движением тела в конкретных или нечетких условиях.
Результаты диссертации могут быть использованы при чтении курсов по теории устойчивости и качественной теории динамических систем, по теории управления, а также по теории нелинейных многозначных операторов.
Достоверность и обоснованность научных результатов основана на корректности постановок задач, строгом и обоснованном использовании методов системного анализа, теории управления, качественной теории и теории устойчивости дифференциальных уравнений с многозначными операторами, на сравнении с результатами, полученными с помощью других методов, на обсуждениях на научных семинарах и конференциях. Для теорем даны строгие и корректные доказательства.
Личный вклад автора в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту. В совместно опубликованных работах научному руководителю Ю.Н. Меренко-ву принадлежат постановки задач.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1*]—[11*] (см. список литературы к диссертации).
14
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на научно-практических конференциях Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина (Елец, 1999, 2000, 2001,2002,2003,2004, 2005 гг.); на научном семинаре по качественной теории и теории устойчивости динамических систем Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 2004, 2005 гг.); на IV региональной научно-практической конференции «Информационные и коммуникационные технологии в образовании» (Борисоглебск, 2003 г.); на второй Российской научно-практической конференции «Математика и механика в современном мире» (Калуга, 2004 г.); на межвузовской научно-практической конференции «Информатика: концепции, современное состояние, перспективы развития» (Елец, 2004, 2005 гг.); на научно-исследовательском семинаре кафедры ВМиИ ЕГУ им. КА.Бунина «Спектральная теория дифференциальных операторов и актуальные вопросы компьютерной математики» (Елец, 2004, 2005 гг.); на двенадцатой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2005г.); на научно-исследовательском семинаре по методам нелинейного анализа Вычислительного центра им. А.А.Дородницына РАН (Москва, 2005 г.).
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.
1. Сформулированы и доказаны теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости решений системы, описываемой дифференциальным включением с аккретивным оператором.
2. Доказаны теоремы об аккретивности операторов, действующих в евклидовых и гильбертовых пространствах.
3. Сформулированы и доказаны теоремы об аккретивности оператора Лапласа в пространствах LXQ и L2Q функций, интегрируемых и интегрируемых с квадратом на измеримой области Q пространства Rn.
15
4. При изучении систем с многозначными операторами описан класс обобщенных монотонных и аккретивных операторов в евклидовых и гильбертовых пространствах.
5. Предложена модель теплообменника с регулируемым тепловым потоком при различных начальных и граничных условиях. Создана компьютерная программа на языке Паскаль для персонального компьютера для получения приближенных решений с заданной точностью вычислений.
6. Проведен анализ управляемости транспортной системы, описываемой дифференциальными включениями, для которой определено для однозначных параметров управление, определяющее оптимальный маршрут. Для многозначных параметров указан неформальный алгоритм коррекции движения с помощью датчиков для возвращения на оптимальный маршрут.
7. Проведен качественный анализ и выяснены условия устойчивости в экосистемах, описываемых уравнениями с многозначными правыми частями.
Обозначения. Приведем список некоторых обозначений, часто используемых в диссертации.
::= равно по определению; := знак присваивания;
R, R+, R — множество всех действительных чисел, всех неотрицательных
действительных чисел и всех неположительных действительных чисел; R" — «-мерное евклидово пространство;
{а\ Р(а)} — множество элементов вида а, для которых верно условие Р(а); D(A) — область определения отображения или оператора А; 1т(А) — область значения отображения или оператора А; А— замыкание множества Л; дА — граница множества А; АхВ — декартово произведение множеств А и В;
. сЫ
х = — или х — производная от х по переменной t; dt
(х, у) или х-у -скалярное произведение векторов х и у.
16
Глава 1
ПОСТАНОВКА НАУЧНОЙ ЗАДАЧИ.
ВОПРОСЫ КОРРЕКТНОСТИ РЕШЕНИЙ В СЛУЧАЕ СИСТЕМ С МНОГОЗНАЧНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
§1.1. Введение
В первой главе рассмотрены объекты исследования и охарактеризованы области их практического применения, дана содержательная постановка основных задач. Также в первой главе изучены свойства монотонных операторов в различных банаховых пространствах и вопросы существования решения дифференциального включения, описываемого систему с монотонным оператором.
В §1.2 перечислены изучаемые системы с многозначными операторами и отмечена их прикладная направленность. В параграфе 1.3 рассмотрена содержательная постановка задач анализа устойчивости и управляемости перечисленных в § 1.2 систем.
В §1.4 исследованы свойства систем с многозначными операторами. Здесь введены понятия аккретивного оператора и резольвенты аккретивного оператора, получены результаты о взаимосвязи аккретивного оператора и резольвенты. Также в §1.4 изучены свойства аккретивных операторов в одномерном евклидовом пространстве, охарактеризованы классы дифференциальных аккретивных операторов. Кроме того, в параграфе 1.4 получены теоремы об аккретивности операторов в евклидовых и гильбертовых пространствах и приведены примеры аккретивных операторов в пространстве L [o,i] функций, интегрируемых на отрезке [0,1], и в пространстве C[0)i] функций, непрерывных на отрезке [ОД], а также пример аккретивного оператора в пространстве R2.
17
В §1.5 выяснены условия существования решения дифференциального включения, описываемого систему с монотонным оператором.
Результаты настоящей главы изложены в работах автора [1*, 2*, 5*, 7*, 8*, 9*].
§1.2. Изучаемые системы с многозначными операторами и их прикладная направленность
Вопросы исследования монотонных операторов и качественного поведения систем, описываемых дифференциальными уравнениями с многозначными операторами, изучались, начиная с работ М.М.Вайнберга и V.Barbu, в работах русских и иностранных ученых: Ю.В.Трубникова, А.И.Перова, В.К.Кириакиди, Ph.Benilan, H.Brezis, F.Browder, M.Crandall, P.J.P.Egberts, T.Kato, Y.Konishi, T.Liggett, A.Pazy, G.F.Webb и других ученых.
Вопросы управляемости систем изучались в работах Л.С.Понтрягина, В.И.Благо датских, В.И.Зубова, Е.Ф.Мищенко, А.А.Воронова, Дж.Варга, Р.В.Гамкрелидзе, Ф.Чаки, К.Негойцэ и других ученых.
В диссертации проводится анализ устойчивости и управляемости систем, описываемых эволюционными дифференциальными уравнениями или системами дифференциальных уравнений с правой частью в виде аккретивного (монотонного) оператора, который в общем случае является нелинейным и многозначным.
В работе изучаются следующие системы с многозначными операторами:
1) система, описываемая дифференциальным включением
dx
----Е.-АХ
dt
с монотонным оператором А в одномерном евклидовом пространстве.
2) система перемещения груза из начальной точки в конечную с выходом в вертикальное направление, описываемая дифференциальными включениями

 Часть из работы     Получить работу