Список основных обозначений
:= и =: — "равно по определению" (двоеточие — со стороны определяемого объекта).
* — операция транспонирования.
R+:=[0,+oo[.
W1 — евклидово пространство размерности п с каноническим орто-нормированным базисом е\,... ,еп и нормой ||ж|| = л/х*х.
col(o;i, «2, • • • , oin) — вектор-столбец с координатами а\, «2? • • • ? ап •
Mmn — пространство вещественных матриц размерности т X п со спектральной нормой, т. е. операторной нормой, индуцируемой в Мтп евклидовыми нормами в Шп и Rm; М„ := Мпп .
В?(Н) = {G Е Mmn : ||G — Н\\ ^ е} — шар радиуса е с центром в
н е мтп.
[h\, /12,..., hn] — т х п-матрица, образованная вектор-столбцами h\,
^ = [е\, ег,.. ., еп] — единичная п X п-матрица. Sp Л — след матрицы А. rank А — ранг матрицы А.
х(А) := \\A\\ ||А"11| — спектральное число обусловленности обратимой матрицы А.
(hn ... hu\
— ведущая главная подматрица порядка к
к / матрицы Н = {hij}fj=l G Мп .
% — {Н G Мп : det(H)k > 0, к = 1,..., п} — совокупность всех п х п-матриц, имеющих положительные ведущие главные миноры.
П(р) := {Н еМп: det{H)k > р, к=1,...,п}.
Я(г, р) := {Н G ВГ(Е) С Мп : det(H)k > р, к = 1,..., п}.
КСтп(1) — множество ограниченных кусочно непрерывных отображений U : / —> Mmn , определенных на промежутке / С К, с равномерной нормой \\U\\c{i) := sup{||I7(i)|| :*€/}; #(?„(/) := /ГСпгг(/) •
Cn(I) — пространство непрерывных отображений U : / —> Мп , определенных на отрезке /CR,c равномерной нормой ||?7||c(/):=sup{||?7(?)|| :
tei}.
М-п — совокупность всех линейных однородных дифференциальных систем
х = A(t)x, teR, х еШ1,
где Л{-) ? КСп(Щ . Каждая система из Мп отождествляется с ее матрицей коэффициентов.
ФСР — фундаментальная система решений.
и г лт 1п(1И?)11/1И<*)11) м
h(x;[a,?\) :=-------- —^_uj_ — рост нетривиального решения х(-)
линейной однородной системы на отрезке [а, /3].
It -it -it
р := lim - / pis) ds , р := lim - / p(s) c?s , p := lim - / p(s) ds — co-
/ pis) ds , р : lim t JQrx J ' ^ t^+So t j {
ответственно верхнее, нижнее и точное средние значения функции р: [0,+оо[-)>М.
int -D — внутренность множества D С Мтга относительно Мтп. conv D — выпуклая оболочка множества D С Мтоп . Линейную управляемую систему
х = A(t)x + B(t)u, t 6 R, ж G R", m G Rm,
управление в которой не фиксировано, называем открытой; если в этой системе выбрано управление u(t) = 0, то соответствующую систему
х = A(i)x, t€R, x G R",
называем свободной; если управление выбрано линейным по наблюдателю
у = C*(t)x, t G R, у е.Мг,
т.е. имеет вид и = U(t)y, то соответствующую систему
x = (A{t)+B{t)U(t)C*(t))x' называем замкнутой. Так же называем систему
x = (A(t)+B(t)U(t))x
в случае отсутствия наблюдателя, при выборе управления линейным по фазовой переменной х .
Введение
Одной из первых и наиболее важных задач классической теории автоматического регулирования была задача о стабилизации управляемого объекта, поведение которого описывается стационарной линейной системой
х = Ах + Ви, хем", иемт, teR, (ол)
где А и В — постоянные вещественные матрицы размеров п х п и пхт соответственно. Под стабилизацией этого объекта (или, что то же самое, системы (0.1)) понимается построение такой линейной обратной связи и = Ux с постоянной га X п матрицей U, что всякое решение замкнутой этим управлением стационарной системы
x = (A + BU)x, xeRn, teR, (0.2)
по норме стремится к нулю при t —> +00 быстрее функции e~at, где неотрицательная величина а заранее задана. Поскольку обусловленное поведение решений системы (0.2) полностью определяется вещественными частями собственных значений матрицы А + BU, задача стабилизации сводится к перемещению в область
Са:={ХеС: Re А < -а}
комплексной плоскости всех собственных значений \j(A-\-BU) матрицы A-\-BU под воздействием стационарного матричного управления U. Прямым развитием этой задачи стабилизации является задача о назначении спектра, в которой требуется обеспечить точные равенства
Xi(A + BU) = щ, г = 1,..., п,
для произвольного наперед заданного набора комплексных чисел /i\,
/i2 • • •, /in ¦
В 1969 году в работе [181] П. Бруновский указал, что в течение длительного времени был известен следующий факт: в случае скалярного управления (т = 1) задача о назначении спектра разрешима в том и только том случае, когда п х п матрица
[Ь,АЪ1А\...,Ап-1Ь]
обратима (здесь Ь := В Е Мпд). Отметим, что эта теорема может быть легко получена как следствие метода преобразования векового уравнения, предложенного в 1931 году великим русским механиком и кораблестроителем А.Н. Крыловым в работе [78] (см. также [32, с. 190-192]).
В начале 60-х годов В. М. Попов доказал [121,194], что необходимое и достаточное условие разрешимости задачи о назначении спектра при произвольном т Е N совпадает с условием
rank[B, AB,..., An~lB] = п (0.3)
полной управляемости (Р. Калман, [189,190]) системы (0.1). Позднее М. Уонэм в своей работе [199] показал, что если числа ?i,..., fin образуют спектр вещественного типа, т. е. такой, каким может обладать вещественная матрица, то матрица обратной связи U может быть выбрана вещественной.
Если мы ставим своей целью распространить этот результат на линейные нестационарные системы
х = A(t)x + B(t)u, x eRn, «er, teк, (0.4)
то мы вынуждены сначала ответить на три вопроса: во-первых, из какого класса выбирать матрицу обратной связи U, во-вторых, что понимать под спектром замкнутой системы
х = (A(t) + B(t)U)x, xGR", teR, (0.5)
и, в-третьих, каким образом следует интерпретировать условие полной управляемости (0.3).
Наиболее просто эти вопросы решаются для периодических систем, в качестве спектра которых естественно рассматривать совокупность мультипликаторов ц\,..., //п , т. е. собственных значений матрицы Х(о/,0) [39, с. 185]; здесь и — период системы (0.4), X{t, s) — матрица Коши свободной системы
x = A(t)x, x€Rn. (0.6)
Матричное управление U(-), вероятно, следует выбирать таким, чтобы замкнутая система (0.5) принадлежала тому же классу систем, что и свободная система (0.6).
В одной из первых работ по управлению асимптотическими характеристиками нестационарных систем [181] П. Бруновский показал, что для со-периодических систем (0.4) с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами разрешимость задачи о назначении спектра при всяком наборе предписанных значений /i;; г = 1,...,п, образующих спектр вещественного типа, эквивалентна полной управляемости рассматриваемой системы. При этом матрица управляющего воздействия [/(•) может быть выбрана из множества cj-периодических непрерывно дифференцируемых т х п матриц.
В случае нестационарных и непериодических систем самым естественным обобщением понятия спектра является понятие полного спектра показателей Ляпунова [88, с. 34] (см. также [57, с. 71-72]).
Определение 0.1 (A.M. Ляпунов, [88, с. 34]). Совокупность чисел Ai ^ ... ^ Ап образует полный спектр показателей Ляпунова системы (0.6), если выполнены следующие условия: 1) показатель Ляпунова
Х[х]:= lim -l
L J f-M-oo t
всякого нетривиального решения x(-) этой системы принадлежит множеству чисел {Ai,..., А„} ;
2) для произвольной фундаментальной системы решений (ФСР) х\(-), ,. •., хп(-) системы (0.6) имеет место неравенство
п
Е АЫ ^ Е А,-;
г'=1 i=l
3) существует ФСР xi(-),... ,хп(-) системы (0.6) такая, что
Е хш = Е х{.
Эта ФСР называется нормальной.
Если система (0.6) стационарна, то ее полный спектр показателей Ляпунова состоит из набора вещественных частей собственных значений матрицы коэффициентов А [39, с. 138]. Если же матрица коэффициентов А(-) системы (0.6) имеет период ш, то ее мультипликаторы и характеристические показатели Ляпунова связаны равенствами
Aj = -ln|/ij|,- i = l,...,n.
ш
Следуя традиции асимптотической теории линейных систем, мы будем рассматривать однородные системы вида (0.6) с кусочно непрерывными и ограниченными на К. коэффициентами. Совокупность всех таких систем обозначим М.п. Чтобы замкнутая управлением
и = U(t)x (0.7)
система (0.4) принадлежала тому же классу Л4п, потребуем кусочной непрерывности и ограниченности матрицы В(-), и само матричное
управление ?/(•) будем выбирать из множества КСтп(Ш.) кусочно не- прерывных и ограниченных на числовой прямой т х п матриц.
Определение 0.2. Характеристические показатели линейной системы (0.5) называются глобально управляемыми, если для всякого набора вещественных чисел Ц\ $С ... ^ /in найдется кусочно непрерывная ограниченная матричная функция [/(•) такая, что выполнены равенства
где \\{А + ВU) ^ ... ^ Хп(А + BU) — полный спектр показателей системы (0.5) при U = ?/(•).
Выясним теперь, как понимать условие (0.3) полной управляемости стационарных систем в случае произвольных линейных управляемых систем. Оказывается, что коэффициентное обобщение критерия полной управляемости (0.3) на произвольные нестационарные системы справедливо только в случае систем с аналитическими коэффициентами (А. Чанг, [182]). Для систем с гладкими неаналитическими коэффици- ентами имеет место лишь достаточное условие полной управляемости (Н. Н. Красовский, [76, с. 148]), которое состоит в том, что ранг матрицы управляемости
Q(t):=lQo(t)1Qi(t)1...iQn(t)]i
где
Qo(t) := B{t), Qi(t) := A{t)Qi^(t) - Q,-_i(t), i = 1,..., n,
должен достигать в некоторой точке рассматриваемого промежутка наибольшего возможного значения, равного размерности системы п.
Различные эффективные условия полной управляемости линейной нестационарной системы (0.4) получали также В. Т. Борухов [15], Л.Е. Забелло [42], A.A. Леваков [84], С. А. Минкж [111], Л. И. Родина и Е. Л. Тонков [151] и другие авторы.
Если условие rankQ(^) = п для матрицы управляемости Q(t) выполнено при всех t G R, то система (0.4) является, во-первых, дифференциально управляемой [191,197] (см. также [30, с. 223]), и, во- вторых, по матрице управляемости можно построить нестационарное преобразование фазового пространства, приводящее эту систему к канонической форме, которая в случае т = 1 эквивалентна скалярному уравнению n-го порядка, а в случае т > 1 — системе нескольких независимых скалярных уравнений (Е. Я. Смирнов [165, с. 41-53],
10
И. В. Гайшун [30, с. 243-316]. Поскольку задача управления характеристическими показателями Ляпунова скалярного уравнения решается просто (добавлением к коэффициентам этого уравнения подходящих функций), для систем, у которых это приводящее преобразование оказывается ляпуновским или обобщенным ляпуновским преобразованием, могут быть получены достаточные условия управляемости полного спектра характеристических показателей.
Такие условия были получены в работах Е. Я. Смирнова [163-165] и В. А. Воловича [198] для систем (0.4) с матрицей А(-) класса С2п~2(Щ и матрицей Б(-) класса C2n~l(R). В работах И. В. Гайшуна [24-30] и Е. Л. Тонкова [195] для случая т = 1 было достигнуто существенное снижение требований к порядку гладкости коэффициентов системы (0.4), что позволило значительно расширить класс систем, охватываемых достаточными условиями управляемости показателей, которые основаны на приведении системы (0.4) к виду, эквивалентному скалярному уравнению.
Для произвольных систем вида (0.4) указанный подход, по-видимому, реализовать нельзя. Один из возможных альтернативных подходов был в свое время предложен Е. Л. Тонковым и оказался весьма плодотворным. Он основан на результатах его работы [171], где доказана эквивалентность условий равномерной полной управляемости в смысле Р. Калмана [189] исходной системы (0.4) и равномерной стабилизиру-емости замкнутой системы (0.5) в предположении равномерной непрерывности коэффициентов (близкие по смыслу результаты содержатся в работе [186] японских математиков М. Икеды, X. Маеды и Ш. Кодамы). Из этой теоремы следует, что если система (0.4) с равномерно непрерывными коэффициентами равномерно вполне управляема, то за счет выбора линейной обратной связи (0.7) характеристические показатели Ляпунова \{{A-\-BU), г = 1,...,п, замкнутой системы (0.5) можно сделать меньшими любого наперед заданного отрицательного числа.
В связи с этим результатом Е. Л. Тонковым была поставлена задача о построении для равномерно вполне управляемой системы (0.4) обратной связи вида (0.7), которая бы обеспечила совпадение совокупности характеристических показателей Ляпунова системы (0.5) с заранее заданным набором вещественных чисел.
Напомним, что система (0.4) называется ^-равномерно вполне управляемой (Р. Калман, [189]), если существует такое число с* > 0, что
11 матрица управляемости (матрица Калмана)
:= I X(to,s)B(s)B*(s)X*{to,s)ds
to
при всяком ?о ? К удовлетворяет неравенству
которое понимается в смысле квадратичных форм, т. е. для любого вектора ^GR" выполнено неравенство
Первые результаты для задачи управления спектром в такой постановке были получены автором в работах [122,123], в которых рассматривался вопрос о локальной управляемости показателей.
Определение 0.3 [122]. Характеристические показатели Ляпунова системы (0.5) называются локально управляемыми, если для любого е > 0 найдется такое 5 = 6(s) > 0, что всякому набору вещественных чисел /ii,..., /in, таких, что .max |//г| < 5 и \{(А) + Hi ^ \ч-1 (А) + /Ui+i
г—1,...,п
при всех i 6 {1,...,п- 1}, отвечает кусочно непрерывная ограниченная матричная функция U?{-), удовлетворяющая условию ||?-^(?)|| ^ е и обеспечивающая выполнение равенств
Х{(А + BU) = Xi(A) + щ, г = 1,..., щ
здесь Аг(А) — показатели системы (0.6).
В [122,123] была доказана локальная управляемость характеристических показателей Ляпунова линейной системы (0.5) для равномерно вполне управляемой системы (0.4) при условии диагонализи-руемости свободной системы (0.6), а также локальная управляемость попарно различных значений показателей при условии приводимости системы (0.6) к некоторому блочно-треугольному виду (это условие выполнено, например, в случае устойчивости показателей Ляпунова системы (0.6)). Кроме того, в этих работах был рассмотрен вопрос об управлении некоторыми другими ляпуновскими инвариантами, в частности, центральными показателями Винограда и интегральной разде-ленностью решений.
Позднее локальная управляемость показателей Ляпунова изучалась в работах Е. Л. Тонкова и его учеников Д. М. Олейникова и
12
В. А. Зайцева. В работах [115-118] Д. М. Олейниковым методами нестандартного анализа был осуществлен перенос ряда основных результатов о локальной управляемости показателей на системы с импульсной обратной связью
+ОО
u = U(t)y, U(t)= ? Uio(t-ti),
i——oo
где 5(t)— дельта-функция, а управляющими параметрами являются матрицы Ui и моменты времени t{. В статье Е. Л. Тонкова и В. А. Зайцева [48] рассмотрен вопрос об управлении показателями для билинейных систем
х = (Ао(А) + uiAi(A) + ... + urAr(fa))x,
х емп, и = со1(г«1,...,иг)екг, а е ?, teR,
параметризованных при помощи топологической динамической системы (Е, /*). В [175,195] Е. Л. Тонковым впервые поставлена задача о неупреждающем управлении показателями и получены первые результаты в этом направлении.
Свойство локальной управляемости характеристических показателей Ляпунова системы (0.5) эквивалентно открытости в точке U(t) = 0 отображения, которое каждому допустимому управляющему воздействию U(-) ставит в соответствие совокупность характеристических показателей Ляпунова системы (0.5) с таким [/(•). Некоторые результаты о свойствах этого отображения содержатся в статьях П. Колониуса и В. Климана [183-185].
В связи с результатами об управлении центральными показателями и интегральной разделенностью решений, полученными в работах [122,123], был поставлен вопрос о локальной и глобальной управляемости не только полного спектра показателей Ляпунова, но и других инвариантов преобразований Ляпунова (иначе называемых ляпуновски-ми, или асимптотическими инвариантами).
Напомним некоторые понятия теории показателей Ляпунова.
Определение 0.4 (A.M. Ляпунов, [88, с. 42]). Линейное преобразование
у = Щх (0.8)
называется преобразованием Ляпунова, если его матрица L(-) удовлетворяет условиям:
13
sup||L(i)||tR
2) при каждом t ? R матрица L{t) обратима и sup ||L~1(i)|| < oo;
3) функция L(-) кусочно непрерывно дифференцируема на R, причем ||L(t)|| < оо.
Матрица L(-) преобразования Ляпунова (0.8) называется матрицей Ляпунова.
Применение преобразования (0.8) к системе (0.6) переводит ее в систему
у = D(t)y, убГ, tGR, (0.9)
где
D(t) = L(t)A(t)L-\t) + L{t)L-\t), t e R. (0.10)
Определение 0.5. Пусть (0.8) — преобразование Ляпунова. Матрицы А(-) и D(-), связанные соотношением (0.10), называются кинематически подобными, а соответствующие им системы (0.6) и (0.9) называются асимптотически эквивалентными (по Богданову) [13].
Замечание 0.1. В некоторых работах (см., например, [18, с. 12; 39, с. 159]) можно встретить иное определение асимптотической эквивалентности. На протяжении всей работы мы будем придерживаться определения Ю. С. Богданова.
Определение 0.6. Система (0.6) называется приводимой к системе (0.9), если она асимптотически эквивалентна этой системе. Система (0.6) называется приводимой, если она асимптотически эквивалентна некоторой автономной системе (0.9).
Определение 0.7. Система (0.6) называется правильной, если ее коэффициент неправильности Ляпунова
(7Л(Л):=А1(А) + ... + А„(Л)- lim \[SpA(s)ds
t->+oo t JQ
равен нулю.
Хорошо известно, что преобразования Ляпунова образуют группу [1, с. 62; 12], а формула (0.10) задает действие этой группы на множестве Л4п систем с ограниченными и кусочно непрерывными коэффициентами. Величины и свойства, сохраняющиеся под действием группы ляпуновских преобразований, называются ляпуновскими (асимптотическими) инвариантами.
14
К асимптотическим инвариантам относятся такие величины (свойства), как полный спектр показателей Ляпунова; свойства приводимости и правильности (A.M. Ляпунов, [88]); коэффициенты неправильности сгп О. Перрона [193] и а? Д. М. Гробмана [36] (их определения приведены на с. 237), нижний показатель
:= Hm -l
t
О. Перрона [193]; нижний и верхний равномерные показатели
?[x]:=
Hm 71пЩ
f-s-Ц-оо t — S \\X[S
_s \\x(s)\\
П. Боля [179]; нижний и верхний центральные показатели
:= lim Um i|
kT ^
1 X
ln
Р. Э. Винограда [21]; верхний особый показатель
введенный впервые П. Болем [179], и, много позднее, но независимо от него, К. П. Персидским [120] (см. также [37]); экспоненциальные показатели
До(А) = lim lim
Н. А. Изобова [56,61,65]; свойство интегральной разделенности решений системы (0.6) (Б. Ф. Былов, [16]), заключающееся в существовании ФСР rci(-),..., хп(-) этой системы, для которой при всех t ^ s выполняются неравенства
' iW)ir ' fc-1----'n Х)
15
с некоторыми положительными постоянными сие?; и многие-многие другие.
Огромное разнообразие асимптотических инвариантов линейных систем приводит к задаче об управлении не только отдельными инвариантами преобразований Ляпунова, а сразу всей их совокупностью.
ОпределениеО.8 [97]. Система (0.5) обладает свойством гл оба л ь-ной ляпуновской приводимости, если для любой системы
z = F(t)z, z e Rn, t€R, (0.11)
принадлежащей множеству Л4п систем с ограниченными и кусочно непрерывными коэффициентами, существует такое кусочно непрерывное и ограниченное управление ?/(•), что система (0.5) с этим управлением асимптотически эквивалентна системе (0.11).
Ясно, что если система (0.5) обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости, то всякий ее асимптотический инвариант выбором матричного управления ?/(•) можно сделать совпадающим с любым допустимым наперед заданным значением (т. е. эта система обладает свойством глобальной управляемости каждого ляпуновского инварианта) . Для дискретных систем вопрос о достаточных условиях глобальной ляпуновской приводимости рассматривался В. А. Луньковым в [87]. Некоторые результаты для систем с непрерывным временем были получены В. А. Зайцевым в [47,49-51].
Из результатов о локальной управляемости показателей Ляпунова, т. е. об открытости в точке U(t) = 0 Е Mmn отображения
вытекает открытость при Q(t) = 0 ? Мп отображения
ставящее в соответствие всякой кусочно непрерывной и ограниченной матричной функции Q(-) полный спектр показателей Ляпунова возмущенной системы
х = (A(t) + Q(t))xy xERn, teR. (0.12)
С этими результатами тесную связь имеют результаты исследований в задаче об отыскании достижимых границ подвижности показателей системы (0.12), т.е. величин
16
Г*(А) := sup \k(A + Q), Q
где Q(-) предполагается принадлежащим какому-либо классу малости [18, 57]. Наиболее полно изучены границы подвижности вверх старшего показателя Лп. Несколько менее — границы подвижности вниз младшего показателя Ai. Ранее всего был вычислен верхний центральный показатель П(А), введенный Р. Э. Виноградом в [21] как оценка сверху для старшего показателя системы (0.12) с малыми возмущениями. Достижимость этой оценки в классе малых возмущений доказана В.М. Миллионщиковым в [107]. Из этих двух работ вытекает, что
п(А) = lim sup{A„(A + Q) : ||Q||C ^ s}.
с ~}\J
В [107] В. М. Миллионщиковым получена также формула для вычисления младшего центрального показателя
совпадающего с достижимой нижней границей младшего показателя системы (0.12) в классе малых возмущений. В [153] И.Н. Сергеевым показано, что оба центральных показателя достижимы также в классе бесконечно малых возмущений, т. е. справедливы равенства
U(A)=M{\1(A + Q) : ,HmJ|Q(*)|| = 0},
ЩА) = sup{Xn(A + Q) : lim \\Q(t)\\ = 0}.
Старший сигма-показатель Va(A), соответствующий классу сг-возму-щений, т. е. возмущений, удовлетворяющих неравенству
в котором Nq — положительная константа, зависящая от Q(-), вычислен H.A. Изобовым в [56]. Старший экспоненциальный показатель Vo (A), соответствующий предельному классу всех экспоненциально убывающих возмущений и играющий важную роль в решении задач Ляпунова об устойчивости по линейному приближению, вычислен H.A. Изобовым в [61], где получена также и формула для младшего экспоненциального показателя Aq(A) .
В [153,156] И. Н. Сергеевым построены достижимые границы подвижности вверх для всех промежуточных показателей при малых и
17
бесконечно малых возмущениях. В работах Н. А. Изобова [58-60] введено понятие минимального показателя линейной дифференциальной системы, представляющего собой достижимую границу подвижности вниз старшего показателя при малых возмущениях, дана формула для его вычисления в случае двумерной системы и оценка снизу в общем случае. В работах И.Н. Сергеева [158-162] вычислен минимальный показатель трехмерной системы, а также найдена достижимая граница подвижности вниз ее промежуточного показателя при малых возмущениях. Ранее в работе [157] И. Н. Сергеевым были полностью вычислены границы подвижности всех показателей линейной дифференциальной системы для возмущений, малых в среднем.
Обобщением задачи о вычислении достижимых границ подвижности показателей является задача о построении спектрального множества линейной дифференциальной системы, т. е. совокупности значений спектрального вектора (\\(А + Q),..., Хп(А + Q)), принимаемых им на всем множестве систем (0.12) с возмущениями из рассматриваемого класса. Впервые спектральное множество было полностью вычислено в работе М. И. Рахимбердиева и Н. X. Розова [150] для стационарной системы с малыми в среднем периодическими возмущениями. Спектральные множества систем с гробмановскими возмущениями вычислялись Н. А. Изобовым в [63,64]. Ряд результатов о спектральных множествах линейных сингулярных систем с экспоненциальными возмущениями получен в работах H.A. Изобова и С.Г. Красовского [67,77,187]. Для случая малых возмущений весьма серьезные продвижения достигнуты в работах М. И. Рахимбердиева [144-149].
Вычисление точных границ характеристических показателей и построение спектральных множеств линейных дифференциальных систем с ограниченными возмущениями, не являющимися малыми, но удовлетворяющими некоторым дополнительным ограничениям, производилось в работах С. А. Гришина [34], Н. А. Изобова [62], Н. А. Изобова и Т.Е. Зверевой [66], А.Г. Суркова [166-169].
В заключение обзорной части введения отметим, что задачами стабилизации различных систем при различных предположениях в разное время занимались Э. Г. Альбрехт [2], П. Бруновский [20], С. А. Гришин и Н.Х. Розов [35], С. А. Гришин [34], Ю.Ф. Долгий [40], Л.Е. Забел-ло [43,45], В. А. Зайцев [49], H.H. Красовский [72-75], В.Н. Лаптин-ский [83], Г. А. Леонов [85], В. А. Луньков и Е. Л. Тонков [86], С. А. Нефедов и Ф.А. Шолохович [113], Ю.С. Осипов [73,119], И.Н. Серге- |
