ВВЕДЕНИЕ
Целью математического моделирования является определение оптимальных условий протекания процесса, управление на основе математической модели и выработка управляющих решений. В связи с этим построенные на основе физических представлений модели должны качественно и количественно описывать свойства моделируемого процесса. В подземной гидродинамике математическое моделирование является важнейшим инструментом получения новых знаний. Это связано с дороговизной проведения натурных экспериментов, а также большим количеством параметров, которые влияют на их результаты. Совместная фильтрация несмешивающихся ¦ жидкостей является важным разделом подземной гидродинамики. В на-
стоящее время в связи с широким применением ЭВМ сложилась вполне определенная "технологическая цепочка" расчета конкретных задач механики сплошной среды, в том числе и задач фильтрации многофазных жидкостей. Схематически эта цепочка выглядит следующим образом: от изучаемого явления - к его математической модели, далее, - к численному алгоритму, программе, реализующей этот алгоритм на ЭВМ и, наконец, к анализу полученных результатов.
. Данная диссертационная работа посвящена численному исследованию и
| сравнению решений различных моделей двухфазной фильтрации, а также
приводится сравнение с экспериментами.
Первоначальная постановка задачи вытеснения нефти водой в работе Л.С.Лейбензона предполагала полное вытеснение нефти [57]. Эта "поршневая" модель применяется и в настоящее время. Однако многочисленные позднейшие исследования показали, что вода не вытесняет нефть полностью и происходит образование большой зоны, где движутся совместно обе фазы.
В диссертации рассматриваются модели фильтрации, в которых в качестве основного уравнения движения для каждой фазы используются обобщенные законы Дарси, кроме того они включают законы сохранения массы уравнения состояния. Одной из самых распространенных моделей этого типа является модель Баклея-Леверетта (далее БЛ-модель), предполагающая равенство фазовых давлений. Эта модель, предложенная Бакли и Леве-реттом в [112], подробно изучалась в работах А.Н.Коновалова, Б.И.Леви, З.Узакова, И.А.Чарного, М.И.Швидлера и многих других [44, 74, 86, 97, 101, 109]. Уравнение для насыщенности порового пространства какой-либо фазой в БЛ модели является нелинейным уравнением в частных производных гиперболического типа. Для этого уравнения характерно наличие
разрывов в решении. Так как почти единственным способом получения прогнозной информации являются численные методы, в частности использующие различные разностные схемы. Возникает проблема отбора схем, хорошо передающих качества решения. Разностные схемы для БЛ модели анализировались, например, в работах А.Б.Королева, Ю.П.Крупнова, Б.И.Леви, А.Н.Сычева, В.Б.Таранчука, Б.В.Шалимова, М.И.Швидлера и других [34, 46, 49, 48, 54, 55, 98].
Однако к настоящему времени появились новые принципы построения разностных схем и методов их анализа [33, 52, 71, 72, 73, 76, 78, 115, 116, 118]. Развиваются эти подходы, как правило для уравнений газовой динамики, "мелкой воды" и их модельных одномерных аналогов вида: Ж + ^аж = 0, где f(u) = 0.5и2 - вогнута. Развитие численных методов подземной гидродинамики традиционно шло вслед за вышеуказанными разделами вычислительной механики, с учетом той особенности, что в задачах двухфазной фильтрации f(u) не является ни выпуклой, ни вогнутой.
В данной работе проводится сравнение результатов применения некоторых классических разностных схем и их модификаций к решению задач фильтрации с учетом современного уровня численного анализа. Кроме метода Рунге для сравнения разностных схем строится ряд нетрадиционных точных решений.
Другой распространенной моделью фильтрации является модель Маскета-Леверетта (МЛ модель) в этой модели, в отличии от модели Баклея-Леверетта учитываются капиллярные силы, и в систему уравнений добавляется закон Лапласа. МЛ-модель интенсивно исследовалась такими учеными как С.Н.Антонцев [8], Г.И.Баренблатт [11], О.Б.Бочаров [16], В.М.Ентов [35], Н.В.Зубов [40, 41], А.Н.Коновалов [44, 45], С.Н.Кружков [47], В.Н.Монахов [4, 38, 39], А.А.Папин [7], З.Узаков [86, 96, 97], Н.В.Хуснутдинова [9, 65, 99, 100], М.И.Швидлер [56, 109] и многими другими [1, 43, 50, 51, 56, 59, 60, 66, 82, 87, 103, 109, 110, 111, ИЗ, 114, 117].
В МЛ модели возможен богатый набор комбинаций искомых функций [44]. Наиболее удачные искомые функции для исследования качественных свойств модели вероятно предложили С.Н.Антонцев и В.Н.Монахов [5] (s - водонасыщенность, р - эффективное давление).
Уравнение для насыщенности в МЛ-модели является квазилинейным уравнением в частных производных параболического типа. Обращение относительных фазовых проницаемостей в нуль, как показывают исследования приведенные в монографии С.Н.Антонцева, А.В.Кажихова В.Н.Монахова [4], приводит модель к вырождающейся системе дифференциальных уравнений. Последнее порождает сложности как при постановке гранич-
ных условий, так и при численной реализации модели. Этот анализ подробно проведен А.Н.Коноваловым в [44].
Эти сложности затрудняют создание эффективных тестов для численных алгоритмов и точных решений. В данной работе предлагается оригинальная методика создания тестов для МЛ-модели. Отметим, что эта методика может быть использована и для других моделей фильтрации, например для БЛ-модели или же для уравнения пропитки (МЛ модель без конвективного переноса).
Оставаясь в рамках линейной связи скорости фильтрации с градиентом давления, в работе С.Н.Антонцева и В.Н.Монахова [б] была предложена весьма общая форма обобщенного закона Дарси, учитывающая присутствие другой фазы еще и дополнительным слагаемым, названным относительной фазовой подвижностью далее просто фазовой подвижностью. Этот подход был реализован в работе З.Узакова [96] путем введения в законы Дарси для каждой фазы специальных функций фазовой подвижности, призванных отражать потерю скорости фазы за счет запирания части порового пространства другой фазой. В результате такой постановки получается невырождающееся параболическое уравнение для насыщенности. Для удобства изложения эта модель называется ниже моделью с фазовыми подвижностями (ФП-модель).
В данной диссертационной работе проводится подробное сравнение решений для ФП и МЛ моделей. Приводятся графики сравнения численных решений по этим моделям, а также проводится сравнение с экспериментами.
Наиболее применяемыми и подготовленными в технологическом отношении методами разработки месторождений высоковязких и парафини-стых нефтей, а также истощенных участков месторождений легких (маловязких) нефтей, являются тепловые методы. Термическое воздействие на пласт основано на резком снижении вязкости нефти при нагреве и, тем самым, на увеличении ее подвижности, а для парафинистых нефтей дополнительно и на предотвращении процесса кристаллизации парафина в порах.
Имеются две основные термические технологии: паротепловое вытеснение (ПТВ) нефти путем закачки теплоносителя (пара или горячей воды) через нагнетательные скважины и паротепловая обработка добывающих скважин (ПТОС). Разновидностями этих технологий являются циклические закачки теплоносителя и холодного агента (воды) в нагнетательные или добывающие скважины с возможными остановками некоторых из них (паузами), а также комбинации этих методов, в частности, смена назначе-
ния скважин с режима добывающих на нагнетательные и наоборот.
При реализации термических технологий возникают различные гидродинамические схемы вытеснения нефти из пласта: однонаправленное вытеснение в системе нагнетательная - добывающая скважины с чередованием прогрева и охлаждения участков пласта; термокапиллярная пропитка при остановках скважин; обтекание застойных зон (целиков) нефти и др. Поэтому реальный прогноз результатов применения сложных термических технологий нефтедобычи с помощью только инженерных расчетов (например, на основе балансовых соотношений или статистики) является практически невозможным и требует применения современных методов математического моделирования. Этому посвящены работы М.Г.Алишаева, М.Д.Розенберга, Е.В.Теслюка [3], В.Я.Булыгина [32], Э.Б.Чекалюка [102], Л.И.Рубинштейна [77], и других [104, 105, 106, 107, 108]. Естественно при этом в систему уравнений добавляется уравнение энергии и изменяется уравнение для насыщенности. Зачастую эти модели требуют экспериментального определения параметров смесей, что крайне сложно. Они сложны для качественных исследований и, как следствие, это вызывает сложности при конструировании численных методов для них.
Для преодоления этих недостатков О.Б.Бочаровым и В.Н.Монаховым в работе [17] была построена более простая модель неизотермической двухфазной фильтрации, для которой удалось доказать разрешимость основной краевой задачи. Данная модель получила название температурная модель Маскета-Леверетта (МЛТ-модель). Главной гипотезой используемой при этом является положение о равенстве температуры нефти, воды и пористой среды. Это позволило создать модель, не требующую параметров кроме справочных, которая к тому же эффективно реализуется численно. Модель изучалась в автомодельных переменных как численно, так и аналитически [19, 21, 22, 61, 63, 68, 69, 70]. В данной диссертационной работе численно анализируется задачи вытеснения для одномерного случая в физических переменных. Кроме того, исследуется влияние учета гравитационных эффектов.
В случае когда капиллярные силы незначительны, а температура оказывает воздействие, через вязкости фаз, имеет смысл говорить о температурной модели Баклея-Леверетта (БЛТ-модель). В работе исследуется как же температурное воздействие на капиллярные силы влияет на процесс вытеснения.
Применение математических моделей, таких как МЛТ-модель МЛ-модель, требует достаточно сложного математического аппарата. Особую ценность представляют подходы, использующие более простые и доступные для прак-
тического применения методы. Одним из таких подходов, до настоящего времени успешно применяемым на практике, является описание процесса вытеснения нефти в пласте с помощью приближенных формул, получаемых на основе точных решений уравнений исходной модели. К ним относятся стационарные решения, зависящие только от переменной х, автомодельные решения параболического типа, зависящие от = x{t + I)1/2, типа бегущей волны, зависящие от z = x-\-ct (с = const), и некоторые другие решения. Простые формулы М.Маскета (законы вытеснения), И.А.Чарного (зоны влияния скважин) и другие [101], построенные на основе параболической автомодельности, до сих пор служат надежным инструментом инженерного анализа разработки нефтяных месторождений изотермическими методами.
Автомодельные решения используются для:
• исследования свойств решений в исходных переменных;
• в некоторых случаях, как рабочий инструмент для прогнозных оценок;
• предварительного численного или аналитического изучения особенностей исходных уравнений;
• ассимптотического представления решений весьма широких классов задач;
• как тесты при построении различных приближенных методов решения более общих уравнений;
• сами по себе автомодельные решения представляют самостоятельный интерес, как специальные решения исходных уравнений.
Модель Маскета-Леверетта рассматривалась в автомодельных переменными такими учеными как Г.И.Баренблатт, В.М.Ентов, В.М.Рыжик [11, 79, 80], А.В.Кажихов [42], Н.В.Хуснутдинова [99] и другими [35, 75, 83]. МЛТ-модель в автомодельных переменных изучалась численно и аналитически О.Б.Бочаровым, В.Н.Монаховым и А.Е.Осокиным [17, 20, 22, 39, 58, 61, 63, 67, 68, 69, 70].
При определенных условиях капиллярные силы в МЛ-модели играют значительную роль, а в некоторых случаях роль капиллярных эффектов является определяющей. В первую очередь это процесс капиллярного впитывания смачивающей жидкости в пористые среды, насыщенные несмачи-вающей жидкостью или газом. Явление это, называемое обычно капиллярной пропиткой, помимо своей важности для технологии добычи нефти и
газа, имеет определенное значение и для почвоведения, некоторых процессов химической технологии и т.д. Процессы капиллярной пропитки изучались в работах А.А.Боксермана, В.М.Ентова, В.М.Рыжика, И.А.Чарного и других [10, 13, 36, 37, 79, 80, 83, 109]. В работе О.Б.Бочарова и А.Е.Осокина [20] исследован режим термокапиллярной пропитки в автомодельных переменных в случае закачки горячей воды. В данной диссертационной работе численно исследуется ряд задач пропитки для одномерного случая.
Одной из особенностей МЛ-модели является то, что естественные граничные условия для нее являются плохо обусловленными за счет обращения в ноль функций относительных фазовых проницаемостей (градиенты решения в окрестности границы становятся бесконечно большими), это исследовано А.Н.Коноваловым в [44]. В работе О.Б.Бочарова [14] в качестве граничного условия на эксплутационной скважине рассмотрено уравнение модели Баклея-Леверетта. В.Н.Монаховым в работах [39, 62] предложено применять БЛ модель в окрестности эксплутационной скважины. В итоге возникает задача сопряжения МЛ и Б Л моделей, разрешимость которой в одномерном случае доказана в [62]. Другим примером возникновения задачи сопряжения МЛ и БЛ моделей является появление сильно обводненной части нефтяного пласта. В этом случае считается, что капиллярные силы оказывают слабое влияние на процесс фильтрации. Это позволяет в этой области использовать БЛ-модель. Отметим также, что расчет задачи сопряжения несколько экономит процессорное время (так как БЛ-модель считается существенно быстрее). В работе численно исследуются примеры сопряжения этих моделей фильтрации, в физических переменных, автомодельных, в неизотермическом и изотермическом случаях. Отметим, что впервые подобная задача о сопряжении ортогональных потоков величины s(x,t) применительно к уравнениям пограничного слоя изучена в [65].
Цель работы. Численное исследование математической модели неизотермической фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости, изотермической модели с относительными фазовыми подвижностями, задач сопряжения моделей фильтрации разного порядка сложности. Построение тестовых решений и тестирование на них модифицированных разностных схем.
Автором представляются к защите результаты исследований влияния температурного поля на гидродинамические показатели процесса вытеснения, результаты исследований задач сопряжения различных моделей, результаты исследования разностных схем.
Научная новизна.Численными методами исследованы задачи изотермической и неизотермической фильтрации двухфазной жидкости в физических переменных и задачи сопряжения различных моделей фильтрации
в автомодельных и физических переменных с учетом и без учета температурного влияния.
Практическая ценность диссертационной работы заключается в возможности использования полученных результатов для повышения продуктивности разработки пластов с высоковязкими нефтями, а также для улучшения методов прогнозирования различных показателей нефтедобычи. Использование модифицированных разностных схем позволяет улучшить качество получаемых численных решений.
Достоверность научных положений изложенных в диссертации, обосновывается соответствием рассматриваемых моделей фундаментальным законам сохранения, а также соответствием полученных численных решений результатам расчетов и экспериментов уже исследованных ранее задач, которые представляли из себя частные случаи рассматриваемых моделей.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
• 37, 38, 40 и 41 Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1999, 2000, 2002, 2003);
• I Международной студенческой научно-практической конференции "Молодежь и наука на пороге 21 века" (Красноярск, 2000);
• Научно-практических конференциях преподавателей и студентов Горно-Алтайского государственного университета (Горно-Алтайск, 2000 — 2005);
• Всероссийской конференции "Математические методы в механике природных сред и экологии" (Барнаул, 2002);
• Второй Всероссийской конференции молодых ученых "Материаловедение, технологии, и экология в третьем тысячелетии" (Томск, 2003);
• Всероссийской конференции молодых ученых "Проблемы механики: Теория, эксперимент и новые технологии" (Новосибирск, 2004);
• Конференции-конкурсе молодых ученых Института Водных и экологических проблем СО РАН (Барнаул, 2004);
• на семинаре лаборатории моделирования гидрофизических и экологических процессов ИВЭП СО РАН (Новосибирск, 2005);
• на семинаре кафедры прикладной информатики ГАГУ (Горно-Алтайск, 2005);
10
• на объединенном семинаре ИВТ СО РАН и НГУ "Информационно-вычислительные технологии" (Новосибирск, 2005);
• на семинаре лаборатории фильтрации Института Гидродинамики имени М.А.Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2005);
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Результаты численного моделирования задач неизотермической фильтрации в одномерных постановках в физических переменных при закачке горячей и холодной воды.
2. Результаты исследований в изотермическом случае разностных схем, точных и тестовых решений.
3. Результаты решения задач сопряжения моделей Маскета-Леверетта и Баклея-Леверетта в физических и автомодельных переменных при разных температурных условиях.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа содержит 111 рисунков, 7 таблиц, библиографии - 118 наименований. Общий объем диссертации - 127 страниц.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, общий объем 29 п.л., в том числе личный вклад 15.5 п.л.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
Глава I посвящена описанию трех математических моделей двухфазной фильтрации. Приведены выводы систем дифференциальных уравнений для водонасыщенности s(x,t), среднего давления p(x,i) и температуры 9(х, t) на основе базовых гипотез для МЛ модели и ФП модели (модели с относительными фазовыми подвижностями) в изотермическом случае и вывод неизотермической модели фильтрации (МЛТ) с постоянными остаточными насыщенностями. Отдельно выписаны постановки в автомодельных переменных и в одномерном случае. Для этих постановок проведено обезразмеривание. Формулируются начально-краевые условия. Обсуждаются особенности этих моделей, обусловленные свойствами функциональных параметров.
Глава II посвящена изучению численных методов для изотермических задач двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей.
11
В параграфе 2.1 исследуется начально-краевая задача для уравнения Баклея-Леверетта. Исследуются три классические разностные схемы: явная с центральной разностью, схема Лакса, схема Лакса-Вендроффа. Показывается, что все три схемы в задачах фильтрации дают неудовлетворительные решения. Каждая схема модифицируется, первая введением регу-ляризатора, вторая специальными усреднениями, а третья с использованием TVD-технологий монотонизации разностных схем. Исследуется несколько TVD-модификаций схемы Лакса-Вендроффа.
В параграфе 2.2 для изотермического случая МЛ и Б Л моделей построены тесты разностных схем. Приведены примеры разнообразных тестов.
В параграфе 2.3 строится ряд точных решений для Б Л модели. Начальный профиль s(x,0) трансформируется на момент времени t и строится график функции x(s, t). Следуя физике, в каждой точке можно иметь только одну насыщенность, возникающие неоднозначности убираются введением разрывов в соответствии с законом сохранения массы.
В параграфе 2.4, используя точные решения из п.2.3, тестируются явная противопотоковая схема и TVD-модификация схемы Лакса-Вендроффа.
В параграфе 2.5 сравниваются решения по модели Маскета-Леверетта и по модели с фазовыми подвижностями. Сравнивается экономичность расчетов, разница интегральных показателей, структура решений.
В главе III численно анализируются решения неизотермической модели Маскета-Леверетта в одномерном случае при закачке горячей и холодной воды.
В параграфе 3.1 исследуется как температурное воздействие на капиллярные силы и на вязкости фаз влияет на процесс вытеснения, без учета гравитации.
В параграфе 3.2 численно изучается гравитационное влияние на распределение насыщенности в неизотермическом случае. Рассматриваются задачи вытеснения горячей и холодной водой при закачке сверху и снизу.
В параграфе 3.3 исследуется неизотермическая задача о гравитационной ловушке. В качестве примеров рассматривается нагнетание воды в выпуклый верх пласт и в выпуклый вниз пласт.
В параграфе 3.4 рассматривается задача о противоточной капиллярной пропитке в неизотермическом случае. Отдельно изучается влияние гравитации на решение.
В главе IV численно исследуются задачи сопряжения моделей фильтрации Маскета-Леверетта и Баклея-Леверетта в физических и автомодельных переменных.
В параграфе 4.1 приводится постановка задачи сопряжения для изотер-
12
мических МЛ и БЛ моделей. Ставится задача г;-склейки и s-склейки.
В параграфе 4.2 проводится численное исследование особенностей v-склейки. Анализируются два семейства разностных схем. Изучается влияние параметров на решение задачи сопряжения.
В параграфе 4.3, в связи с наличием недостатков у v-склейки, численно исследуются три метода решения задачи s-склейки. Приводится пример решения задачи сопряжения БЛ и МЛ моделей.
В параграфе 4.4 анализируется неизотермическая s-склейка. Исследуется влияние температуры через капиллярное давление и вязкости фаз на решение задачи сопряжения. Проводится анализ гидродинамических характеристик.
Параграф 4.5 посвящен изучению задачи сопряжения в автомодельных переменных параболического типа.
В параграфе 4.6 рассматривается задача сопряжения на элементе симметрии при 5-ти точечной схеме заводнения пласта. Изучаются три метода решения задачи сопряжения. Методы анализируются с точки зрения простоты реализации и экономичности. Проводится анализ особенностей решения задачи сопряжения.
Автор выражает глубокую благодарность за научное руководство и помощь в работе к.ф.-м.н., доценту О.Б.Бочарову, академику РАН, профессору В.Н.Монахову за предложенную тематику исследований и ценные предложения, д.ф.-м.н., профессору В.В.Остапенко за ценные консультации, ч л .-корр. РАН, профессору А.Н.Коновалову за плодотворное обсуждение работы.
13
СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Индексы: г — 1 - вода; г = 2 - нефть; г = 3 - скелет (по умолчанию подразумевается смачивающая фаза (вода)).
Обозначения:
Si - истинная насыщенность i-фазы; s - динамическая водонасыщенность; 9 - температура;
х - пространственная координата; t - время;
Pi - фазовое давление i-фазы; ki - относительная фазовая проницаемость; fcj - фазовая проницаемость; М - вязкость i-фазы; Pi - плотность;
Рс ~ функция капиллярного давления; j - функция Леверетта; р - "эффективное" давление смеси; Vi - скорость фильтрации i-фазы; v - скорость фильтрации смеси; к (ко) - проницаемость пористой среды; Sf - остаточная насыщенность; то - пористость; т - эффективная пористость; 7 - коэффициент поверхностного натяжения; е; - фазовая внутренняя энергия i-фазы; А; - коэффициент теплопроводности i-фазы; Cpi - теплоемкость i-фазы; Д - коэффициент теплоотдачи i-фазы; у - автомодельная переменная параболического типа;
—*
Gi - функции фазовых подвижностей; д - ускорение свободного падения.
Сокращения:
БЛ - модель Баклея-Леверетта; БЛТ - температурная модель Баклея-Леверетта;
14
МЛ - модель Маскета-Леверетта;
МЛТ - температурная модель Маскета-Леверетта;
ФП - модель с фазовыми подвижностями;
v-склейка - метод сопряжения со сменой эволюционной переменной;
s-склейка — метод сопряжения без смены эволюционной переменной.
Примечание:
В 4-ой главе через v обозначается v\ - скорость фильтрации вытесняющей фазы.
15
ГЛАВА I
О НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЯХ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ
В этой главе описываются три математические модели фильтрации. Для неизотермической модели выписывается автомодельная постановка задачи. Формулируются, используемые в работе, начально-краевые условия. Обсуждаются особенности этих моделей, обусловленные свойствами функциональных параметров. Отдельно выписываются одномерные постановки задач в безразмерных переменных.
1.1 Модель Маскета-Леверетта
Математическая модель. Основная количественная характеристика пористого материала - пористость (эффективная) определяется соотношением то = Vc/Vo, где Vc - объем сообщающихся пор, aVo- общий объем пористой среды, таким образом пористость величина безразмерная.
С учетом пористости уравнение неразрывности для потока однородной жидкости имеет вид
() + div{pv) = О, (1.1)
где р - плотность, v — вектор скорости фильтрации, t - время, а действие
о
оператора дивергенции производится ио х = (xi,X2,x^), div v=J2 J^;.
В качестве феноменологического закона течения в теории фильтрации принимается закон Дарси
Z=--(Vp-P9), (1-2)
А*
где к(х) - проницаемость пористой среды, р. - динамическая вязкость, р -давление в жидкости, g - вектор ускорения свободного падения. Предполагается, что а?з ~ убывает в направлении д.
Система уравнений (1.1) - (1.2) замыкается заданием уравнения состояния жидкости р = р(р).
Для описания двухфазного течения несмешивающихся жидкостей вводится ряд новых понятий. При двухфазном течении % - ой фазой занимается часть порового пространства: S{ = Vi/Vc - насыщенность i - ой фазы,
16
где V{ - объем пор заполненных i - ой фазой. Очевидно, что
51 + S2 = 1. (1.3)
В дальнейшем будем полагать индекс г = 1 отнесенным к смачивающей фазе (воде), i = 2 к несмачивающей фазе (нефти). Индекс г = 3 в неизотермическом случае будет относится к поровому скелету.
Фазовые насыщенности меняются в пределах 0 < SfО, ^
- 5? - SJ), SlG[S?, I " SZl (1-4)
называемую динамической (приведенной) насыщенностью смачивающей фазы, s € [0,1].
При учете сил, действующих на поверхностях раздела несмешивающих-ся жидкостей и скелета пористой породы, необходимо рассматривать скачок фазовых давлений, который называется капиллярным давлением:
pc(x,s)=p2-pi. (1.5)
Здесь рс(х, s) - функция капиллярного давления, pi - давления в соответствующих фазах. Капиллярное давление определяется соотношением Лапласа:
рс{х, а) = {mo{x)/det Цх))1*2^), (1.6)
где 7 = ycosa - коэффициент поверхностного натяжения, 7 ~ удельная свободная энергия поверхности раздела между фазами, a - контактный угол, под которым подходит к стенке пористой среды граница раздела фаз, j(s) - безразмерная функция Леверетта определяемая экспериментально [43, 50, 101, 110]. Функция капиллярного давления имеет следующие свойства при фиксированном х:
pc(s) > 0, Pas < 0, \pcs\где М - некоторая константа.
Для описания многофазного течения несмешивающихся жидкостей используются обобщенные законы Дарси в виде:
(1.7)
17

 Часть из работы     Получить работу