Введение
Актуальность темы и цели исследования
Интерес к внутренним волнам в стратифицированной жидкости возник достаточно давно, в начале 20-го века после открытия явления «мертвой воды» (резкое увеличение сопротивления при движении надводных кораблей в море с неглубоким пикноклином). Очень быстро стало понятно, что внутренние волны являются неотъемлемой частью динамики всех естественных водоемов (морей, озер и водохранилищ) вследствие вертикальной стратификации бассейнов по температуре, солености или течению. Внутренние волны влияют на сверхдальнее распространение акустических сигналов, на движение подводных аппаратов, на размывы грунтов под нефтяными и газовыми платформами на шельфе, на продуктивность планктона, на процессы вертикального перемешивания. Многочисленные данные наблюдений внутренних волн в морях и озерах суммированы в ряде книг и обзорах [Краусс, 1968; Миропольский, 1981; Морозов, 1985; Сабинин, Коняев, 1991; Imberger, 1998]; здесь же можно найти основы теории распространения, генерации и затухания внутренних волн. Существует также большое количество работ по лабораторному и численному моделированию процессов генерации внутренних волн различными источниками, упомянем здесь только часть работ [Степанянц, Стурова, 1985; Стурова, 2001; Мотыгин, Стурова, 2002; Кистович, Чашечкин, 1990; Арабаджи и др., 1999; Богатырев и др., 1999].
Наиболее сильное влияние на перечисленные выше процессы оказывают внутренние волны большой амплитуды, достигающие порой 100 м. Особый интерес здесь вызывают одиночные волны - солитоны или группы солитонов (солиборы), которые могут распространяться на большие расстояния без потери энергии. Они повсеместно наблюдаются в прибрежной зоне морей, так что ответ на поставленный в 1989 году вопрос «существуют ли внутренние солитоны в океане?» [Ostrovsky, Stepanyants, 1989] к настоящему моменту стал утвердительным. Для детальных исследований свойств сильнонелинейных волн и их влияния на разнообразные процессы в океане в течение последних 10 лет были организованы специальные международные экспедиции и проведено несколько специализированных симпозиумов [Apel et al, 1985; Jeans, 1995; Duda and Farmer, 1999; Warn-Varnas et al, 2003; Small et al, 1999a,b]. За последние годы выполнен большой объем лабораторных исследований свойств нелинейных внутренних волн в стратифицированных бассейнах (см., например, [Michalet, Barthelemy, 1998; Maderich et al., 2001; Grue et al., 1999, 2000]). Отсюда становится ясным актуальность
5
развития гидродинамической теории для описания динамики внутренних волн большой амплитуды.
Наибольшую популярность в теории внутренних волн получило уравнение Кортевега - де Вриза, выведенное в приближении слабой нелинейности и дисперсии еще в 1966 году [Веппеу, 1966]. Подчеркнем, что уравнение Кортевега -де Вриза, будучи одномерным по форме, описывает двумерные волновые движения жидкости (одна из горизонтальных и вертикальная координаты). Трехмерность волновых движений приводит к модификации уравнения Кортевега - де Вриза - так называемому уравнению Кадомцева - Петвиашвили, впервые выведенному для внутренних волн в работе [Леонов, 1976]. Затем был проведен учет Кориолисовой силы, обусловленной вращением водного бассейна [Островский, 1978; Grimshaw et al, 1998]. Обобщение уравнения Кортевега - де Вриза для жидкости переменной глубины сделано в 1978 году [Djordjevich and Redekopp, 1978]. По существу, основные идеи здесь были взяты из теории поверхностных гравитационных волн в однородной жидкости, где уравнение Кортевега — де Вриза было получено еще в 1895 году [Korteweg, de Vries, 1895]. Однако в отличие от поверхностных волн, ситуация для внутренних волн оказалась существенно более сложной. Так, еще в 1975 году в работе [Kakutani, Yamasaki, 1978] для случая внутренних волн в двухслойной жидкости было получено, что коэффициент квадратичной нелинейности обращается в нуль, если толщины слоев оказываются близкими. В этом случае необходимо выйти за первое приближение в асимптотической процедуре и выводить обобщения уравнения Кортевега - де Вриза. Такие обобщения были сделаны только для двухслойной жидкости [Koop, Butler, 1981]. Учитывая, что в естественных водоемах стратификация не сводится к двухслойной, необходимость получения расширенных уравнений Кортевега - де Вриза для жидкости с произвольной непрерывной и/или многослойной стратификацией становится актуальной. Такие работы начали выполняться только за последние 10 лет, в том числе и с участием автора [Lamb, Yan, 1996; Пелиновский и др., 2000; Grimshaw et al., 2002;Т31,Т34].
Другим важным направлением в теории внутренних волн является исследование стационарных уединенных волн - солитонов произвольной амплитуды без использования приближения слабой нелинейности. Первая работа здесь, основанная на нелинейной краевой задаче для функции тока, была еще сделана до войны [Dubriel-Jacotin, 1932] и эта идея затем была развита в работах Лонга [Long, 1956, 1972]. В случае жидкости с почти экспоненциальной стратификацией нелинейная волна может содержать замкнутый вихрь [Derzho, Grimshaw, 1997]. Аналитические результаты получены для сильно нелинейных
6
внутренних волн в двухслойной жидкости [Choi, Camassa, 1999], в частности было доказано существование «столообразных» солитонов предельных амплитуд (в приближении Буссинеска вершина солитона находится на половине полной глубины). Недавно эта работа была обобщена для так называемой 2.5 стратификации, когда скачок плотности разделяет две жидкости с экспоненциальными стратификациями [Voronovich, 2002]. Следует, однако, сказать, что во всех перечисленных работах рассматриваются только установившиеся движения. Совсем недавно феноменологически выведено эволюционное уравнение для описания сильно нелинейных внутренних волн в двухслойной жидкости [Ostrovsky, Grue, 2003].
Естественно, что аналитические решения волновых задач механики стратифицированной жидкости в рамках исходных уравнений Эйлера или Навье - Стокса существуют только в нескольких идеализированных случаях. Благодаря растущим возможностям вычислительной техники в последние двадцать лет начали развиваться численные модели, основанные на прямом решении двумерных исходных уравнений гидродинамики (см., например, [Lamb, 1994; Vlasenko et al, 2003; Grue, et al, 1997; Канарская, 2004]). По существу, созданы численные лотки, в которых можно исследовать генерацию и распространение внутренних волн в бассейнах с произвольной стратификацией. Важно подчеркнуть, что в численных моделях сейчас учитывается переменность только глубины бассейна, а не ее стратификации по горизонтали. Следует отметить, что пока практические расчеты по этим моделям весьма трудоемки (недели непрерывного счета).
В теории внутренних волн стратификация жидкости обычно предполагается неизменной по горизонтали, что справедливо только для относительно малых экспериментальных лотков. Океанология и лимнология дает нам много примеров переменности температуры, солености и течений по горизонтали (и в диссертации частично приводятся такие данные). Их структура в теории описывается трехмерными уравнениями циркуляции океана и атмосферы, в которых внутренние волны игнорируются. «Включение» внутренних волн в такие модели пока еще дело будущего. Именно поэтому первой основной целью диссертации выбрана разработка приближенных моделей нелинейных внутренних волн в горизонтально неоднородной жидкости. Как будет показано далее, эта цель достигается при использовании обобщенного уравнения Кортевега - де Вриза. Второй основной целью диссертации является исследование динамики внутренних волн «большой» амплитуды, когда
7
необходимо учитывать в асимптотических разложениях члены высших порядков по нелинейности.
Научная новизна работы и основные результаты
Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:
1. Выведено уравнение Гарднера (расширенное уравнение Кортевега — де Вриза) с переменными коэффициентами для описания трансформации нелинейных двумерных внутренних волн в устойчиво стратифицированной жидкости переменной глубины с учетом плавной горизонтальной неоднородности полей плотности и течений. В общем случае трехмерных внутренних волн развит лучевой метод, включающий последовательность более простых задач: расчет лучевых траекторий в горизонтальной плоскости и решение обобщенного уравнения Гарднера вдоль лучей. Предложена численная реализация этой модели.
2. Доказано, что коэффициент кубической нелинейности в уравнении Гарднера может быть любого знака, а также равен нулю (ранее предполагалось, что он отрицателен). Приведен ряд аналитических моделей плотностной стратификации жидкости, в которых удалось рассчитать величину коэффициента кубической нелинейности в явном виде. Тем самым доказана возможность распространения в стратифицированной жидкости солитонов обеих полярностей, алгебраических солитонов и бризеров -нелинейных осцилляторных пакетов, не меняющих свои параметры при распространении.
3. Исследована начальная задача (задача Коши) генерации волн для уравнения Гарднера с положительным значением коэффициента нелинейности как с помощью метода обратной задачи рассеяния, так и с помощью прямого численного моделирования. Для трех выбранных типов начальных условий (потенциалов) различной топологии описано рождение только солитонов, рождение только бризеров, и рождение стационарных импульсов обоих классов, а также дисперсионного волнового цуга, соответствующего непрерывному спектру.
4. Исследовано затухание солитонов в рамках уравнения Гарднера с различными знаками коэффициента кубической нелинейности и различными аппроксимациями диссипативных механизмов внутренних волн (горизонтальная диффузия, линейное и квадратичное придонное трение, а также интегральная диссипация в ламинарном пограничном слое). Получено, что при отрицательном знаке коэффициента кубической нелинейности затухание «столообразных» солитонов существенно зависит от типа
диссипации. При положительном знаке кубической нелинейности и диссипации любого типа солитоны «положительной» полярности (совпадающие по знаку со знаком коэффициента квадратичной нелинейности) затухают, как и солитоны уравнения Кортевега - де Вриза, а солитоны «отрицательной» полярности разрушаются, образуя затухающий бризер.
5. Рассмотрена трансформация солитонов в рамках уравнения Гарднера с проходящим через ноль коэффициентом квадратичной нелинейности. В отличие от трансформации солитона Кортевега - де Вриза показано, что при больших отрицательных значениях коэффициента кубической нелинейности «столообразный» солитон одной полярности, разрушаясь в критической точке, преобразуется также в столообразный солитон противоположной полярности. Если коэффициент кубической нелинейности положительный, то существуют три возможных сценария. Волна большой амплитуды любой полярности проходит через критическую точку практически без изменения своей формы. Солитон средней амплитуды «положительной» полярности ведет себя практически как солитон уравнения Кортевега - де Вриза, преобразуясь в солитон противоположной полярности после критической точки, а солитон «отрицательной» полярности, проходя через стадию алгебраического солитона вблизи критической точки, преобразуется в бризер. Солитоны малой амплитуды трансформируются, как и солитоны уравнения Кортевега - де Вриза. Аналогичные режимы исследованы для изменяющейся по знаку кубической нелинейности.
6. Выведено нелинейное уравнение Шредингера для волновых групп в рамках модели Гарднера для длинных внутренних волн. Показано, что если кубический нелинейный коэффициент уравнения Гарднера отрицательный, то волновые группы всегда устойчивы, а при положительном кубическом коэффициенте устойчивость имеет место только для достаточно длинных волн. В области, где кубический нелинейный коэффициент уравнения Шредингера близок к нулю, то есть на границе области самомодуляционной неустойчивости, получено модифицированное уравнение Шредингера с точностью до следующего порядка, и найдены его стационарные решения в виде солитонов огибающих.
7. Ассоциированная спектральная задача для нелинейного уравнения Шредингера, используемая в методе обратной задачи, выведена с помощью асимптотического метода из ассоциированной спектральной задачи для «фокусирующего» уравнения Гарднера. Соответствие решений уравнения Гарднера и нелинейного уравнения Шредингера показано, как решением обратной задачи, так и прямым численным
9
моделированием исходных уравнений. На больших расстояниях (временах) результаты расчетов по разным моделям начинают расходиться между собой.
8. Динамика демодуляционных волновых пакетов рассмотрена как для уравнения Гарднера, так и для уравнения Кортевега - де Вриза. Показан существенно нелинейный характер трансформации волнового пакета: генерация свободных и вынужденных обертонов, среднего течения модулированным пакетом в воде, что сильно деформирует волновую группу, приводя к ее асимметрии и перекосу. При этом движение волнового пакета сопровождается излучением низкочастотных волн вперед и высокочастотных волн назад, так что средняя амплитуда волнового пакета уменьшается с расстоянием. Эти исследования (в рамках пространственной версии уравнения Кортевега - де Вриза) подтверждены результатами лабораторного моделирования распространения модулированных групп поверхностных волн в бассейне.
9. Создан атлас кинематических характеристик внутренних волн для Мирового океана, с помощью которого можно оценить горизонтальную изменчивость поля внутренних волн. Показано, что параметры линейной скорости распространения и дисперсии хорошо коррелируют с глубиной бассейна, в то время для параметров нелинейности такая корреляция отсутствует. Показано, что наличие сдвиговых течений может существенно изменять как линейные, так и нелинейные кинематические характеристики внутренних волн.
10. Исследован вклад нелинейности до второго порядка, вращения Земли и диссипации на распространение приливной внутренней волны на океанском шельфе. Результаты проведенных исследований показывают сопоставимую роль перечисленных выше эффектов на эволюцию приливной волны в прибрежной зоне, подтверждая практическую значимость перехода от моделей типа Кортевега - де Вриза к моделям типа Гарднера.
11. Исследовано влияние горизонтально неоднородной океанической стратификации на «время жизни» солитонов внутренних волн. Показано, что на каждом из исследуемых шельфов существуют участки, где возможна адиабатическая трансформация солитонов; длина этих участков составляет от 6 км до 140 км, а время «адиабатической жизни» солитонов - от 1.5 часа до нескольких суток. Тем самым, подтверждается гипотеза об эволюционном характере солитоноподобных импульсов, часто наблюдаемых на снимках морской поверхности из космоса. Выполнены расчеты трансформации внутренних волн на полигоне, хорошо обеспеченном натурными данными, и получено хорошее согласие между расчетными и наблюдаемыми данными.
10
12. Рассмотрена структура пограничного вязкого слоя, покрытого пленкой поверхностно -активных веществ, у поверхности раздела вода - воздух в поле внутренней волны. Показано, что предположение о том, что поверхностно - активная пленка не влияет на структуру поля скорости внутренних волн и может рассматриваться как пассивная примесь, справедливо только для натурных условий, когда скорости распространения внутренних волн достаточно велики, а упругость натурных пленок невелика. В условиях лабораторных лотков и бассейнов, поверхность которых обычно бывает покрыта пленкой с большим модулем упругости, а скорость распространения внутренних волн мала, поверхностно - активная пленка меняет поле течений внутренней волны в вязком погранслое, вплоть до изменения знака поверхностного течения.
13. Получены точные и приближенные аналитические решения уравнения баланса примеси в поле нестационарных течений и волн. Показано, что учет нестационарных эффектов приводит к иной картине распределения поверхностной пленки в поле волновых возмущений (даже если последние представляют собой стационарно движущиеся волны), чем в стационарном случае, а выход на стационарное состояние могут обеспечивать только процессы горизонтальной диффузии и релаксации. Получено, что прохождение дисперсионного пакета внутренних волн сопровождается долгоживущим длинноволновым «следом» в поле поверхностной концентрации.
14. Предложен механизм образования волн аномально большой амплитуды вследствие дисперсионного сжатия нелинейных волновых пакетов. Он демонстрируется в рамках аналитических и численных решений основных эволюционных уравнений теории внутренних волн. Показано, что экстремальная волна в рамках этого механизма почти линейная, несмотря на ее большую амплитуду. Механизм нелинейно — дисперсионного сжатия объясняет короткое время жизни аномальной волны. Показано, что аномальные волны могут генерироваться и на фоне «случайных» возмущений. Выполнено сопоставление эффективности механизмов модуляционной неустойчивости и дисперсионного схлопывания периодических модулированных волновых пакетов на генерацию аномальных волн. Показано, что из слабо модулированных волновых пакетов достаточно большой интенсивности могут генерироваться одиночные импульсы большой амплитуды, в то время как из пакетов слабой интенсивности - группы экстремальных волн.
и
Практическая значимость результатов работы
Практическая значимость проведенного исследования заключается в первую очередь в создании модели трансформации внутренних волн в морях и озерах с учетом реальной горизонтальной изменчивости гидрофизических полей. Предложенная модель использовалась в следующих исследовательских проектах, выполненных под научным руководством автора диссертации:
• «Исследование трансформации внутренних волн полусуточного приливного периода на Северо-Западном шельфе Австралии» - (двухсторонняя Программа сотрудничества в области науки и техники между Австралией и Россией) 1995 - 1997г.
• «Трансформация нелинейных внутренних волн в прибрежной зоне» - (РФФИ, № 96 -05 - 64108, № 00 - 05 - 64223), 1996 - 1998,2000 - 2002, г.;
• «Численное моделирование динамики поверхностно-активных пленок в поле неоднородных и нестационарных течений» - (МНТЦ, № 1775р), 2000 - 2001г.;
• «Extreme waves» - (INTAS-99-1637), 2000 - 2002г.;
• «Impact of waves and currents on oil and other surfactants transport in coastal areas» -(INTAS -01 - 0330), 2002 - 2004г.;
а также в следующих проектах, выполняемых в настоящее время
• «Нелинейная динамика стратифицированной прибрежной зоны» - (РФФИ, № 03-05-64978), 2003-2005г.,
• «Разработка рекомендаций по прогнозированию поля внутренних волн в Северном Ледовитом Океане и его морях на базе усовершенствованных математических моделей стратифицированной среды» - (подпрограмма «Исследование природы Мирового океана» федеральной целевой программы «Мировой океан»), 2003-2007г.;
• «Large amplitude Alfen waves in magnetic plasma» - (Royal Society, UK), 2003 - 2004г.;
• «Strongly nonlinear internal waves in lakes: generation, transformation and meromixis» -проект INTAS - 03-51-3728,2004 - 2006г.;
Результаты, полученные в диссертационной работе, также использовались при составлении серии международных учебных пособий в рамках образовательского проекта TEMPUS - TASIS № JEP-10460-98: «Физическое и численное моделирование в инженерной экологии», «Контроль и прогнозирование загрязняющих веществ в реках», «Разработка сценариев экологических катастроф» [Т11, Т52, Т61].
12 Апробация работы
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [Т4-Т8, Т10-Т20, Т22-Т27, Т29 - Т67] и докладывались на следующих международных конференциях: ежегодные сессии Научного Совета РАН по нелинейной динамике, Москва, Россия, 1994 - 2003; 18-й Международный конгресс по теоретической и прикладной механике (ШТАМ), Хайфа, Израиль, 1992; Международная рабочая группа "Лабораторное моделирование динамических процессов в океане», Москва, Россия, 1993; международный симпозиум "Взаимодействие океана и атмосферы", Марсель, Франция, 1993; вторая Европейская конференция по механике жидкости, Варшава, Польша, 1994; международная конференция "Динамика атмосферы и океана", Москва, Россия, 1995; международная конференция по прибрежной динамике' 95, Гданьск, Польша, 1995; конференция по динамике жидкости, Мельбурн, Австралия, 1995; Генеральная Ассамблея Европейского геофизического общества (Гаага, Нидерланды, 1996; Вена, Австрия, 1997; Ницца, Франция, 2000 - 2004); международная конференция «Методы вычислений и их приложение» (СТАС97), Аделаида, Австралия, 1997; IGARSS'97, Сингапур, 1997; Евромех: «Поверхностные слики и мониторинг взаимодействия между океаном и атмосферой», Ворвик, Великобритания, 1998; Генеральная ассамблея IUGG, (Мельбурн, Австралия, 1997; Бирмингем, Великобритания, 1999); международное совещание «Солитоны внутренних волн: физика и приложение в акустике, биологии и геологии», Сидней, Канада, 1998; международное совещание «Акустика и океанография на Малин шельфе», Великобритания, 1998; 43 ежегодная конференция австралийского математического общества, 1999 (Мельбурн, Австралия); международное совещание по моделированию Северного и Средиземного морей (JONSMOD), Тулон, Франция, 2000; международная конференция по поверхностным волнам в жидкости (Ньютоновский Математический институт), Кембридж, Великобритания, 2001; девятый международный симпозиум по природным и техногенным катастрофам, Анталья, Турция, 2002; международный симпозиум «Актуальные проблемы физики нелинейных волн», Нижний Новгород, Россия, 2003; международная конференция «Рубежи нелинейной науки», Нижний Новгород, Россия, 2001,2004;
Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах ИПФ РАН, Нижегородского государственного технического университета, научных школ академика РАН В.И, Таланова и член-корреспондента РАН Б.В. Левина, Института океанологии РАН, Арктического и Антарктического института, Монашевском университете и Университете Нью Саус Вейлс (Австралия), университетах Лафборо и Шеффильда (Англия). Они также докладывались на семинарах в Институте теплофизики СО РАН,
13
Институте водных проблем (Польша), Океанском университете (Китай), Институте неравновесных физических систем и Университете Гваделупы (Франция), Национальном Сеульском университете (Корея), Тель-авивском университете (Израиль).
Автор выражает благодарность, прежде всего, научному консультанту профессору, лауреату Государственной премии России Ефиму Наумовичу Пелиновскому за большую помощь и безграничное терпение, проявленные им при обсуждении настоящей диссертации. Также автор выражает благодарность своим соавторам, профессору университета Лафборо Р. Гримшоу, совместно с которым было решено много интересных задач по динамике солитонов и волновых групп, д-ру К. Лэмбу, благодаря работе с которым была прояснена ситуация с неоднозначностью форм асимпотических уравнений следующих порядков, группе молодых исследователей: к.ф.-м.н. A.B. Слюняеву, к.ф.-м.н. O.E. Полухиной, Н.В. Полухину, A.B. Кокориной и A.A. Красилыцикову, без которых не были бы написаны многие работы, д.ф.-м.н. Ю.А.Степанянцу, стоявшему у истоков развиваемой модели, к.ф.-м.н. Куркину A.A. за большой вклад в вычислительную работу, профессору Средиземноморского университета г. Марселя К. Харифу, совместно с которым были сделаны работы по генерации волн аномальной амплитуды, а также написаны учебные пособия, зам. директора Морского гидрофизического института Украины профессору Иванову В.А., благодаря которому автор принимал участие в двух океанских экспедициях, посвященных исследованию внутренних волн, д.ф.-м.н. И.В. Лавренову, благодаря которому арктические моря вошли в круг интересов автора, д.ф.-м.н. Е.Г. Морозову, совместно с которым была сделана работа по статистике внутренних волн, д-рам Дж. Смоллу и Дж. Скотту, а также д-ру Т. Шервину, благодаря работе с которыми была поведена верификация модели по натурным данным, д-ру Н. Заибо, благодаря сотрудничеству с которым автор вышел на новый круг проблем. Я не могу не вспомнить своего друга, соавтора многих научных работ, рано ушедшего из жизни д-ра Питера Холловея, совместно с которым было проведено первое моделирование реальной океанской ситуации по развиваемой модели.
Также автор благодарит коллектив отдела 230 Института прикладной физики РАН, академика РАН В.И. Таланова, д.ф.-м.н. А.Г.Лучинина, д.ф.-м.н. Ю.И.Троицкую, И.А. Соустову, к.ф.-м.н. А.И. Малеханова, В.Н. Ильину, Т.Г. Звереву за создание благожелательной, творческой атмосферы в отделе и отделении Гидрофизики ИПФ РАН, позволившей автору закончить диссертацию.
14
Глава 1. Нелинейные эволюционные уравнения волновых движений стратифицированной жидкости
Исследование нелинейной динамики стратифицированной жидкости со свободной поверхностью и с произвольным распределением плотности и сдвигового течения в общем случае является крайне трудной задачей. Поскольку аналитические решения волновых задач механики стратифицированной жидкости в рамках исходных уравнений Эйлера или Навье - Стокса возможны только при существенной идеализации проблемы, то основное внимание обычно отдается численным методам. В настоящее время эти методы активно разрабатываются и совершенствуются, хотя численное решение в рамках двумерной или трехмерной задачи для достаточно больших расчетных областей требует значительных компьютерных ресурсов. Сейчас в этом вопросе достигнут большой прогресс [Lamb, 1997; Sherwin et al, 2002], и, возможно, уже в ближайшее время не будет проблем с решениями исходных уравнений в полной постановке. Однако в течение последних 15 лет основные результаты (они будут далее цитироваться в тексте главы) были получены с применением асимптотических методов в рамках упрощенных нелинейных эволюционных уравнений (как правило, одномерных), и автор принимал в этих исследованиях активное участие. Эволюционные уравнения, как правило, включают в себя небольшое число коэффициентов, являющихся функционалами от вертикальных распределений плотности среды, горизонтальных сдвиговых течений и глубины бассейна. Это позволяет более ясно понимать роль отдельных параметров в формировании специфических свойств и форм нелинейных волновых движений. Автор убежден, что и с развитием компьютерных ресурсов методы исследования волн в стратифицированной жидкости на основе нелинейных эволюционных уравнений не потеряют своей актуальности, позволяя четко классифицировать возможные нелинейные волновые процессы, предугадывать и понимать физический смысл получаемых решений. В настоящей главе приведены результаты развития теоретической модели распространения внутренних волн, основанной на обобщении известного уравнения Кортевега - де Вриза для внутренних волн в жидкости с произвольной стратификацией по плотности и течению с учетом горизонтальной изменчивости параметров среды.
15
В параграфе 1.1, являющемся по существу вводным, дана известная схема вывода уравнения Кортевега - де Вриза, демонстрирующая основные приближения, применяемые в теории внутренних волн. Новым результатом здесь является объяснение существования различных форм нелинейного эволюционного уравнения в высших порядках (парадокс Лэмба-Яна), связанного с неоднозначностью выделения волновых переменных в высших приближениях. Здесь. же обсуждается необходимость использования различных обобщений уравнения Кортевега - де Вриза для решения задач нелинейных волновых движений стратифицированной жидкости. Специальная форма расширенного уравнения Кортевега - де Вриза, так называемое уравнение Гарднера обсуждается в параграфе 1.2. Подчеркивается, что для многих задач достаточно учитывать в членах высших приближений только кубическую нелинейность, имеющую тот же порядок, что и квадратичная нелинейность. Впервые вычислены значения коэффициента кубической нелинейности для ряда простых геометрий, демонстрирующие, что знак кубической нелинейности может быть любым, как отрицательным, так и положительным, а также равным нулю (ранее интуитивно предполагалось, что он всегда отрицателен). Учет неоднородности стратификации бассейна по горизонтали, а также переменности глубины сделан в параграфе 1.3, где выведено обобщенное уравнение Гарднера, в том числе и вдоль лучей, если исходное волновое поле является трехмерным. Численная реализация метода расчета нелинейных волновых полей в стратифицированной жидкости, основанная на решении совокупности краевых задач, лучевых траекторий и обобщенном уравнении Гарднера, обсуждается в параграфе 1.4. В заключении (параграф 1.5) суммированы полученные в этой главе выводы.
Основные результаты этой главы опубликованы в работах [Т12, Т20, Т31, Т34, Т37, Т44-Т48, Т50, Т60, Т64, Т67].
1.1. Уравнение Кортевега - де Вриза в теории волновых движений стратифицированной жидкости
Хорошо известно, что слабо нелинейные длинные внутренние волны могут быть описаны в первом приближении уравнением Кортевега - де Вриза. Поскольку это уравнение является базовым для последующих обобщений, сделанных в диссертации,
16
приведем кратко его вывод, обращая основное внимание на характер делаемых приближений, которые будут в дальнейшем уточнены. Уравнение Кортевега - де Вриза (КдВ) в теории внутренних волн, по крайней мере, в наиболее распространенной сейчас форме, было получено впервые в работе [Веппеу 1966], и затем уточнялось многими авторами [Lee and Beardsley, 1974; Леонов и Миропольский, 1975; Миропольский, 1981; Lamb & Yan, 1996; Пелиновский и др., 2000; Grimshaw et al. 2002]. В этих работах была применена асимптотическая процедура получения нелинейных эволюционных уравнений. Подчеркнем, что уравнение Кортевега -де Вриза, будучи одномерным по форме, описывает двумерные волновые движения жидкости (одна горизонтальная и вертикальная координаты). Трехмерность волновых движений приводит к модификации уравнения Кортевега — де Вриза — так называемому уравнению Кадомцева — Петвиашвили, впервые выведенному для внутренних волн в работе [Леонов, 1976]. В настоящей диссертации будут рассматриваться в основном двумерные волновые движения, а также слабо «трехмерные» движения, когда в той или иной форме можно использовать одномерное уравнение Кортевега — де Вриза, как вдоль одной горизонтальной координаты, так и вдоль лучевой координаты. Рассмотрим простой пример асимптотической процедуры вывода нелинейного эволюционного уравнения до второго порядка малости для двумерных движений стратифицированного потока идеальной несжимаемой жидкости, ограниченной жесткими непроницаемыми горизонтальными плоскостями (геометрия задачи приведена на рис. 1.1). Приведем основные шаги этой процедуры, следуя последним работам [Пелиновский и др., 2000; Grimshaw et al, 2002], где вся математическая процедура выполнена компактно.
Запишем исходные уравнения Эйлера в терминах функции тока у/и плавучести Ъ:
дх
dt дх
где и = ду//ск - горизонтальная и w = - дц//дх - вертикальная компоненты поля скорости течения, Ъ = p'/gpo - возмущения плотности, ось z направлена вверх, g - гравитационное ускорение, ро - невозмущенная плотность жидкости, J(A,B) = AXBZ - AZBX - якобиан. Здесь
N(z) = J-
podz
17
(1.1.3)
частота Вяйсяля - Брента или частота плавучести.
поверхность
¦>X
дно
Рис. 1.1. Геометрия задачи
Для простоты мы использовали здесь приближение Буссинеска, когда плотность жидкости считается постоянной всюду, где она не дифференцируется (это приближение хорошо работает для естественных стратифицированных водоемов: моря, озера). Естественно, что мы считаем жидкость устойчиво стратифицированной, так что частота Вяйсяля - Брента всегда действительна. На горизонтальных непроницаемых поверхностях выполняются условия непротекания:
ох
Вместо вертикальной координаты z удобно использовать Лагранжеву переменную
(1.1.4)
(1.1.5) |
