Введение
В последние несколько лет значительно усилился интерес исследователей к расходящимся течениям, вызванным поверхностными силами. Это объясняется важной ролью таких течений в биологических системах [128], возможностью использования результатов исследований в медицине [140] и промышленности.
В ряде экспериментальных [128, 170] и теоретических [147, 162] работ показано, что при точечном нанесении на свободную поверхность жидкости поверхностно-активного
Рис. 1. Схематическое изображение /rr4nN , , Л х
, с- „ вещества (ПАВ), вследствие эффекта Маран-
деформации свободной поверхности v 7' ^^ в
вследствие движения тонкого слоя гони, возникает осесимметричное течение жидкости под действием поверхностных сил жидкой подложки приводящее к ее деформации и появлению некоторой устойчивой области в форме «ямки» (рис. 1). Подобная деформация свободной поверхности жидкости возникает и при ее локальном нагреве [117, 118, 161, 163]. В некоторых случаях деформация свободной поверхности столь существенна, что приводит к образованию сухого участка («сухого пятна»).
Существующие математические модели движения тонкого слоя жидкости под действием поверхностных сил [117, 147, 161-163] разработаны для движения пленки толщиной порядка 0,01 - 1 мкм. В этом приближении не учитываются силы тяжести, а иногда и вертикальное движение жидкости.
Экспериментально была обнаружена деформация [170] и образование сухих пятен в слоях жидкости значительно большей толщины, составляющей 1 -2,5 мм. Эти процессы не могут удовлетворительно описываться существующими теоретическими моделями пленочного течения.
Поэтому возникает необходимость разработки и исследования математической модели движения тонкого слоя жидкости конечной толщины, учиты-
6
6
вающей влияние силы тяжести, возможность движения жидкости в вертикальном направлении и деформацию свободной поверхности. Такая модель будет иметь нелинейный характер, поскольку она описывает гидродинамические процессы в системе со свободной границей.
Нелинейность математической модели и сложность протекающих физико-химических процессов требуют разработки специальных методов ее исследования. Нами предложено применить известный метод математического моделирования - метод эталонных уравнений [21, 35, 47]. Существенным достоинством этого метода является возможность [47] моделирования многомерных систем, не допускающих разделения переменных, системами, допускающими такое разделение. Это создает предпосылки к его использованию при исследовании математических моделей нелинейных систем.
Основная идея метода заключается в выражении искомого решения дифференциального уравнения через известное (эталонное) решение. Классический метод эталонных уравнений разработан для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, их систем, а также дифференциальных уравнений в частных производных со скалярным аргументом. Этот метод успешно применяется в квантовой теории и теории распространения волн. Однако непосредственное использование его в гидродинамике невозможно, поскольку уравнения движения жидкости являются векторными.
По этой причине использование метода эталонных уравнений для моделирования движения жидкости требует его предварительной модификации.
Целью диссертации является исследование математической модели движения тонкого слоя жидкости конечной толщины при нанесении на ее поверхность капли поверхностно-активного вещества.
Методы исследования. В процессе выполнения диссертационного исследования использованы: стандартные методы теории операторов; методы решения дифференциальных уравнений в частных производных; вариационный метод Ритца при численном анализе полученных результатов.
7
7
8
С использованием указанных выше методов осуществлена модификация известного метода эталонных уравнений для исследования некоторых гидродинамических систем, его апробация при решении классических задач движения жидкости и применение для изучения движения тонкого слоя жидкости под действием поверхностных сил.
Научная новизна диссертации заключается в следующем:
1. Известный метод эталонных уравнений модифицирован применительно к моделированию гидродинамических процессов и апробирован при решении известных задач течения жидкости.
2. С использованием модифицированного метода эталонных уравнений получено приближенное решение нелинейной задачи движения тонкого слоя жидкости конечной толщины.
3. Теоретически исследована динамика роста экспериментально обнаруженных ранее сухих пятен, образующихся при растекании тонкого слоя жидкости конечной толщины, и определен максимальный радиус этих образований. Показана зависимость их радиуса от толщины слоя жидкости, количества наносимого на ее поверхность ПАВ, коэффициентов поверхностного натяжения жидкости и ПАВ.
4. На примере движения тонкого слоя магнитной жидкости под действием поверхностных сил теоретически исследовано анизотропное течение и показано, что общий характер течения в этом случае сходен с движением обычной жидкости, а образующиеся сухие участки при некоторых условиях принимают эллиптическую форму.
Практическая ценность полученных в работе результатов заключается в следующем:
1. Предложенный модифицированный метод эталонных уравнений может быть применен к моделированию процессов диффузии и теплопроводности, уравнения для которых аналогичны уравнению Навье-Стокса [20].
2. Имеется принципиальная возможность использования разработанного мето-
да при решении нелинейных уравнений параболического типа [82] (уравнение Зельдовича, уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова), описывающих распространение пламени, рост биологических популяций и т.д.
3. Результаты моделирования движения тонкого слоя жидкости конечной толщины могут использоваться в медицине при разработке новых способов доставки жидких лекарственных препаратов [140].
4. Результаты исследования анизотропных течений могут использоваться для разработки динамических методов исследования характеристик анизотропных сред, в частности, поверхностного натяжения магнитных жидкостей.
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений.
На защиту выносятся следующие основные положения:
1. Математическая модель движения тонкого слоя жидкости под действием поверхностных сил, учитывающая влияние гравитационных сил и деформацию свободной поверхности.
2. Модифицированный метод эталонных уравнений (ММЭУ) для моделирования гидродинамических систем и его апробация.
3. Результаты исследования математической модели движения тонкого слоя жидкости: собственные функции скорости, анализ условий на границе, переход от эталонной системы к исследуемой.
4. Построенная на основе полученных выражений динамическая компьютерная модель движения тонкого слоя жидкости. Выводы о характере течения жидкости, размерах образующихся сухих участков, зависимости характера протекания процесса от внешних факторов. Сравнение полученных результатов с данными независимого эксперимента.
5. Исследование анизотропных течений на примере движения тонкого слоя магнитной жидкости во внешнем однородном горизонтальном магнитном поле: математическая модель, анализ частных случаев и результаты исследования модели.
9
9
10
Глава I. Математические модели движения тонкого слоя жидкости и некоторые методы их исследования
§ 1.1. Моделирование расходящихся течений на поверхности жидкости
Движение жидкости под действием поверхностных сил возникает либо вследствие неравномерного нагрева ее свободной поверхности (термокапиллярный эффект Марангони, термокапиллярная конвекция, конвекция Бенара Марангони), либо при неоднородном распределении на поверхности других веществ, в частности, ПАВ (концентрационно-капиллярный эффект Марангони). Оба фактора приводят к неоднородности поверхностного натяжения вдоль свободной или межфазной поверхности, следствием которой являются возникающие течения.
Термокапиллярная конвекция Марангони исследована в работах [116— 118, 121, 133, 141, 144, 151, 154, 155, 159-161, 163, 164, 166] и т.д. Расходящиеся течения в этом случае возникают в результате локального нагрева свободной поверхности жидкости. Экспериментальное теоретическое исследование такого процесса осуществлено К. Огавой и соавт. [152]. Нагрев свободной поверхности жидкости пучком лазера привело к уменьшению поверх-
Рис. 2. Схема эксперимента и профиль скоростей движения жидкости вследствие локального нагрева ее поверхности [152]
ностного натяжения в области нагрева и возникновению радиального течения,
11
изображенного на рис. 2.
Математическая модель движения жидкости этого течения основана на системе уравнения Навье-Стокса [76]
= -\p + r\Av + j, С1-1)
р—
ОТ
уравнения неразрывности
и уравнения теплопроводности
дТ_ dt +
divv = 0
(1.2)
(1.3)
при соответствующих начальных и граничных условиях. Здесь T - температура X - коэффициент температуропроводности. Также учитывается зависимость коэффициента поверхностного натяжения жидкости от температуры
(1.4)
имеющая линейный характер.
В [152] предполагается наличие цилиндрической симметрии и отсутствие деформации свободной поверхности. Последнее обосновывается тем, что деформация поверхности значительно меньше глубины жидкого слоя. Кроме того, вследствие нагрева, коэффициент поверхностного натяжения изменяется незначительно и возникающие течения достаточно слабы.
В результате непосредственного численного моделирования получены профили скорости
„ „ „ движения жидкости, изображен-
Рис. 3. Зависимость скорости от радиальной
координаты [152] ные на рИС з. Как видно из ри-
сунка, максимум скорости на границе нагреваемой области с течением времени
12
перемещается в область большего радиуса, величина максимальной скорости при этом уменьшается.
В статье Г.З. Гершуни, А.А. Непомнящего и М.Г. Веларде [131] моделируется движение полубесконечного слоя жидкости при наличии источника тепла, включающегося по гармоническому закону. Математическая модель также основана на системе уравнений Навье-Стокса, неразрывности и уравнении теплопроводности.
Как и в [152], предполагается отсутствие деформации свободной поверхности жидкости и, кроме того, введено дополнительное предположение об отсутствии вертикальных течений. Исследование построенной модели основано на линейном анализе устойчивости в первом приближении и применении численных методов в более высоких приближениях. В результате исследования получены условия возникновения осцилляторной неустойчивости.
Линейный анализ устойчивости достаточно широко используется при исследовании термокапиллярной конвекции как в первых исследованиях Дж. Пирсона [154], Д. Ниелда [151], М. Такашимы [159], так и в современных работах [114, 116, 121, 133, 155].
Исследование расходящихся течений, возникающих вследствие термокапиллярной конвекции в тонком слое жидкости, выполнено в [117, 118, 161, 163]. Толщина рассматриваемого слоя жидкости имеет величину порядка долей микрометра. Это позволяет пренебречь влиянием гравитации, а в некоторых случаях и градиентом давления.
Математическая модель движения тонкой пленки основана на уравнении неразрывности (1.2), теплопроводности (1.3) и эволюционном уравнении свободной поверхности
dh dh (л -.
at дх
Уравнение Навье-Стокса (1.1) принимает вид
d2v.
dz2
= 0. (1.6)
13
Построенные математические модели исследуются в различных приближениях. В [117] выполняется непосредственное численное решение построенной начально-краевой задачи, в [161] при анализе учитываются только Ван-дер-Ваальсовы силы, в [163] математическая модель движения пленки исследуется в приближении смазки.
Одним из результатов исследования [117, 118, 161, 163] явился вывод об образовании «ямки» на свободной поверхности жидкости вплоть до сухого участка. Этот вывод подтвержден экспериментально в статье [118].
Как указано в [117, 163], результаты исследований растекания жидкости вследствие термокапиллярной конвекции применяются в промышленности при осушении полупроводниковых пластин.
Перейдем к анализу концентрационно-капиллярной конвекции Маранго-ни, исследованной в работах [96, 112, 121-124, 126, 127, 129, 132, 145, 146, 149, 150, 153, 156, 158, 167].
Математическая модель этого процесса, также как и при термокапиллярной конвекции, в большинстве случаев основана на уравнениях Навье-Стокса (1.1), неразрывности (1.2) и дополнена уравнением диффузии
— + (vV)c-DAc = 0. (1.7)
Здесь с - концентрация растворенного вещества, D - коэффициент диффузии.
В некоторых случаях [78] уравнение диффузии заменяют уравнением баланса концентрации Г поверхностно-активного вещества в поверхностном слое:
^ + div(YvT -DsgradT) + jn=0. (1.8)
При одновременном существовании термокапиллярного и концентрационно-капиллярного механизмов конвекции математическая модель движения жидкости под действием поверхностных сил включает как уравнение теплопроводности (1.3), так и уравнение диффузии (1.7) (или уравнение баланса ПАВ (1.8)).
Зависимость коэффициента поверхностного натяжения от концентрации
14
ПАВ а ()с имеет более сложный характер, чем определяемая (1.4) зависимость от температуры ос(Г) в общем случае носит нелинейный характер и при исследовании поверхностных явлений предполагается известной из физико-химических исследований [1].
Отдельно рассмотрим растекающиеся течения, возникающие вследствие
концентрационно-капиллярной конвекции Марангони. В исследовании [153] получено схематическое изображение возникающих при движении жидкости структур и конвективных валов (рис. 4). Авторами использо-
„ . „ г вана специальная техника визуализации
Рис. 4. Схематическое изображение
валов, образующихся вследствие конвективных течений. На рисунке отчет-движения жидкости под действие поверхностных сил [153] ливо видны конвективные валы и области
локального уменьшения толщины жидкой подложки.
Подробный обзор исследований движения тонких жидких пленок, на которые наносится ПАВ, приведен в [140, 165]. В [140] рассматривается также влияние на движение жидкости растворимого ПАВ. Математическая модель, основанная на системе уравнений (1.2), (1.5), (1.6), построена в Рис. 5. Эволюция поверхности тонкого слоя жидкости, на поверхность пренебрежении силой тяготения и градиен-
которого наносится ПАВ [140]
том давления. Исходя из этого авторами по-
лучено нелинейное эволюционное уравнение для толщины слоя htx()
(1.9) и концентрации T(t\x) монослоя ПАВ. Здесь vx — среднее значение горизон-
dh д ,, _ ч . — + — ()hv ) = 0 dt дхУ х)
тальной составляющей скорости.
Результаты численного решения уравнения (1.9) для профилей свободной поверхности приведены на рис. 5. Отчетливо деформация свободной поверхно-
15
сти и распространение возмущения с течением времени.
В работе А.Л. Бертоцци, А. Мюнха и М. Ширера [115] рассмотрена задача движения жидкой пленки под действием поверхностных сил на наклонной плоскости (рис. 6). В результате преобразования стандартных гидродинамических уравнений получено эволюционное уравнение формы поверхности:
^ д 111 ;3\ зд|;3 дЪП
— + — /г - /г = -s — /г —-
Ы дху ' дх{ дх3
(1.10)
Предполагается, что движение жидкости носит в данном случае характер ударной волны. В отмеченной работе выполнен качественный анализ полученного уравнения и его численное решение. Кроме того, исследуются имеющиеся в поведении системы бифуркации.
Нелинейный анализ эволюции свободной поверхности тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости, стратифицированной вследствие неоднородной температуры, выполнен А.В. Порубовым [96]. В частности, им исследована эволю-
Рис. 6
ция нелинейных длинных волн с учетом эффекта Марангони на свободной поверхности. Решение задачи сведено к решению нелинейного уравнения второго порядка по времени типа Буссинеска-Бюргерса для функции, описывающей возмущение свободной поверхности. Показано, что существуют интервалы таких значений чисел Рэлея и Марангони, при которых это решение может быть сведено к уравнению Кортевега-де-Фриза-Бюргерса. Путем качественного анализа математической модели определен характер изменения параметров образующихся волн вследствие вязкости, теплопроводности и термокапиллярности. Определен порог значений чисел Рэлея и Марангони, при которых солитон и периодические волны распространяются без искажений.
Исследование нелинейных уравнений Кортевега-де-Фриза (КдФ), Кура-мото-Сивашинского (КС), Бюргерса и т.д. эволюции свободной поверхности жидкости вследствие термокапиллярной и концентрационно-капиллярной не-
16
устойчивости выполнено также в работах [72, 130, 134, 144, 168, 169]. Обширный обзор данного направления представлен в статье Р.Х. Зейтуняна [169].
Пленочные течения также исследуются в [123, 126, 127, 132].
Отдельно отметим исследования [147, 162], в которых предсказано образование сухого участка в результате расходящегося течения жидкости. В статье [162] поверхность жидкости описывается уравнением Ландау-Левича, которое в безразмерной форме имеет вид
^ Г2-/Г3. (1.11)
dr
Уравнение вида (1.7) и его модификации весьма часто используются при моделировании течений жидкости в пленках [171].
В работе [147] математическая модель строится на уравнении (1.5) и уравнениях концентрации поверхностно-активного вещества в поверхностном слое, объеме жидкости и в воздухе над поверхностью жидкости. Исследование построенной модели осуществляется в приближении тонкого слоя (пренебрега-ется влияние гравитации и вертикальных течений) с учетом испарения ПАВ и его растворения в объеме жидкости.
Результатом исследований [147, 162] является вывод о деформации свободной поверхности вплоть до образования сухого участка («осушение Маран-гони»).
Таким образом, существует ряд теоретических исследований [117, 147, 167-163], предсказывающих деформацию тонкого слоя жидкости вследствие поверхностных сил и образование сухого участка. Поверхностные силы в этом случае образуются как в результате неоднородного нагрева свободной поверхности [117, 161, 163], так и вследствие нанесения на нее незначительного количества ПАВ [147, 162]. Используемые в перечисленных работах математические модели построены в приближении тонкой пленки толщиной до 0,01-1 мкм. По этой причине не учитывается сила тяжести, а в ряде случаев и градиент давления, что позволило авторам существенно упростить анализ.
Имеющиеся исследования растекающихся течений в более глубоких сло-
17
ях [152], учитывающие влияние гравитационных сил и вертикальные течения, не учитывают деформации свободной поверхности жидкости.
§ 1.2. Экспериментальные исследования расходящихся течений на поверхности жидкости
Экспериментальное исследование расходящихся течений вследствие концентрационного эффекта Марангони выполнено в работах С. Трояна и соавт [128], А.Л. Зуева [170], М. Вонга и Н. Минга [167]. Кроме того, концентраци-онно-капиллярная конвекция экспериментально исследовалась в [112, 121, 129, 145, 149, 150, 153].
В работе [128] изучено движение фронта тонкой жидкой пленки, растекающейся по поверхности другой жидкости вследствие поверхностных сил. Показано, что при наличии источника постоянной концентрации растекание происходит пропорционально t34, а для легкоиспаряющихся жидкостей - по закону t12.
В [167] выполнено экспериментальное исследование движения водной пленки в процессе растворения кристалла Ba(NO3)2. Авторы обнаружили колебания поверхности раствора и периодический отток жидкости от кристалла с образованием сухого участка. В результате такого процесса поверхность кристалла приобретала волнообразную форму. Объяснение авторов основано на эффекте Марангони. Поверхностное натяжение раствора увеличивается с ростом концентрации соли. Рост кристалла вызывает уменьшение концентрации раствора вблизи его поверхности. Это приводит к оттоку жидкости от кристалла. После этого концентрация становится однородной, жидкость возвращается к кристаллу и процесс продолжается.
В [170] исследовано локальное уменьшение толщины подложки вследствие поверхностных сил, приводящее к осушению. В качестве подложки использовалась вода, а в качестве ПАВ - различные растворимые жидкости, а также пары спирт - предельный углеводород (гексан, гептан, декан и т.д.). В результате эксперимента наблюдалось растекание нанесенной капли ПАВ и почти од-
18
новременное возникновение сухого пятна. Обнаружено уменьшение радиуса «сухого пятна» с ростом толщины жидкой подложки, а также найдено критическое значение толщины, при которой происходит осушение твердого основания. В зависимости от химического состава жидкостей ее толщина варьируется от 1,2 до 2,5 мм.
Очевидно, в этом случае приближение пленки является несправедливым и требуется создание более общей математической модели, которая учитывает действие силы тяготения, движение в вертикальном направлении и т.д. Таким образом, возникает необходимость разработки и исследования математической модели движения слоя жидкости, на поверхность которой наносится небольшое количество (капля) поверхностно-активного вещества.
Представляется интересным исследование особенностей течения тонкого слоя магнитной жидкости под действием поверхностных сил, экспериментальные исследования которого в настоящее время отсутствуют.
§ 1.3. Анализ возможности использования метода эталонных уравнений при моделировании гидродинамических систем
Предложенная в предыдущем параграфе математическая модель движения тонкого слоя жидкости под действием поверхностных сил с учетом силы тяжести, вертикальных течений и деформации свободной поверхности описывает процессы в системе со свободной границей, что делает ее нелинейной. Поскольку непосредственное исследование таких систем чрезвычайно затруднено, необходимо рассмотреть ряд специальных методов моделирования.
Рассмотрим более подробно один из методов математического моделирования - метод эталонных уравнений. Интерес автора к данному методу связан с возможностью (в соответствии с основной идеей метода) выражать искомое решение математической модели некоторой гидродинамической системы через известное решение другой гидродинамической системы, обладающей сходным характером течения.
Как уже отмечалось выше, основная идея данного метода состоит в вы-
19
ражении искомого решения дифференциального уравнения через решение другого, эталонного уравнения. Впервые такой способ для решения уравнения
= 0 (1.12)
при kx()>0, rx()>0, а<х<Ь был использован Дж. Горном [21]. В результате
были получены асимптотические представления решений при больших X и асимптотические выражения n-го собственного значения для краевых задач Штурма-Лиувилля.
Метод эталонных уравнений был впоследствии развит в работах М.И. Петрашень [94] и Р. Лангера [21], которыми были получены асимптотические представления решений уравнения (1.12) для случая, когда rx() имеет нуль
первого порядка в замкнутом интервале [ab,]. Во всех перечисленных работах
роль «эталонного» (в [94] - «присоединенного») уравнения играло уравнение вида (1.12) с постоянными коэффициентами.
Обобщение результатов указанных выше работ, исследование природы метода эталонных уравнений и обоснование его справедливости при решении уравнения (1.12), а также ряда частных случаев:
= (х-хо).ф) (га(х)>0);
(1.13) (rx()>0) (1.14)
выполнено в 50-е гг. прошлого века академиком А.А. Дородницыным [21].
Уравнению (1.14) в работе [21] уделяется особое внимание, так как к нему относится ряд классических дифференциальных уравнений (уравнение Ле-жандра, уравнение полиномов Чебышева, Якоби и т.д.), к которым приводит множество задач математической физики.
В качестве эталонного уравнения для (1.13) выбрано уравнение Эйри
dU
ds2
(1.15)
20
либо, в более общем случае, уравнение вида
— + saU = 0 ds2
(1.16)
Для уравнения (1.14), которое после замены p( = р{0) +хр{1) [х] и преобразования
у(х) = х-р(")/2 ехр|--}/) (x)dx)z(x)
принимает вид
d2:
х 2
'W
•2 = 0,
эталонное уравнение выбрано в виде
dU
dss2
U+
2 )s2 s
U = 0.
(1.17)
Здесь
+ 2x() —хр^. Во всех перечисленных случаях решение исследуемого уравнения выражается через решение соответствующего эталонного посредством соотношения:
у = A(x)-U^' \q>(x)\ + B(x)-U^2' [ф(х)1. (1.18)
Дальнейшая задача сводится к определению вида зависимости Ax(), B(x) и ф(х). Для этого выражение (1.18) подставляют в исследуемое уравнение
(1.13) или (1.14) с учетом соответствующего эталонного уравнения (1.15), (1.16) или (1.17). Наличие в (1.13) и (1.14) большого параметра X позволяет потребовать отдельного равенства нулю членов, имеющие различный порядок малости. Последнее требование позволяет записать следующее уравнение для ф(х) :
= Х2г(х). (1.19)
Коэффициенты Ax() и B()x в этом случае определяются из соотношений:
Ax() = -
Bx() = -
(1.20)
+
+
х
х
2
2
?
?

Получить работу