Обозначения и терминология
1. Системой с бесконечным числом степеней свободы называется материальная система, состояние которой не может быть определено конечным числом обобщенных координат.
2. Системами Гельмгольца называются системы, уравнения движения которых непосредственно или с помощью множителей представляются в форме уравнений Эйлера-Лагранжа или Гамильтона.
3. R — поле действительных чисел.
4. Rm — m-мерное евклидово пространство точек (ж1, ...,хт).
5. Знак V означает "для всякого", "для любого".
6. Запись i = l,n означает, что величина г принимает целые значения от 1 до п.
7. и - функция или вектор-функция с составляющими иг (г = 1, п). Из текста будет ясно, о чем идет речь в том или ином случае.
8. D(N) - область определения, R(N) - область значений оператора N. Линейность оператора iV означает, что
N{XlUl + A2u2) = XxNu1 + \2Nu2 VAbA2 ЕЕ, \fu\u2 eD(N).
9. D(N, В) = {и : и G D(N) П D(B)}, RN{B) = {Bu : u? D(N,B)}.
10. N* ~ сопряженный относительно заданной билинейной формы оператор, iY"1 - обратный оператор, / - единичный оператор.
11. N'u ~ производная Гато оператора N в точке и ? D(N).
12. Puh - линейный по h оператор, произвольным образом зависящий от и.
3
13. Dt — полная производная по переменной t.
14. д - оператор взятия частной производной (частная производная).
15. дп = д^ / (dxl)ai ...(дхт)°т - частная производная, соответствующая мультииндексу а; |а| = Y^Li ai-
иа(х) = даи(х).
16. U — область, открытое связное множество в Rm с кусочно гладкой границей Ш, О — замыкание Q в IRm.
17. Ф(-, •) : V х U —> R - билинейная форма.
Классические билинейные формы - это билинейные формы вида
} г п
Ф(и,у) = / / У^ иг(х, t) • уг(х, t) dx dt.
to ft i=l
18. Ck(Q) (Ск(п)) — множество функций, непрерывных в области Q (12) вместе со всеми частными производными до к-ro порядка.
19. Запись и G Cs([to,t\],Ui) означает, что функция и : [^o^i] —> U\ непрерывна со всеми производными до 5-го порядка включительно.
20. Если Qt - некоторая область в пространстве переменных (я1, ...,#'",?), то Cp'4(Qt) ~ это класс функций, которые на множестве Qt имеют все непрерывные производные по х1, ...,хт порядка < р и непрерывные производные по t порядка < q.
21. Класс функционалов Эйлера-Лагранжа, или эйлеров класс функционалов, Em'n's - это множество интегральных функционалов, определенных формулами вида
F[u] = / f(x,ua(x))dx,
п
где х = (х1, ...,хт), и(х) = (u1(x),...,un(x)), a E Z^; s - наивысший порядок производных, входящих в подынтегральное выражение.
22. В работе принято стандартное правило тензорного исчисления: по повторяющимся индексам сомножителей, расположенных на разных уровнях, подразумевается суммирование. Пределы изменения индексов будут ясны из текста.
23. Работа состоит из трех глав, главы состоят из параграфов, некоторые параграфы - из пунктов.
В номере формулы {М.К) первое число (М) означает номер главы, второе (Л") - номер этой формулы в главе М.
Аналогично "параграф М.К" (или "теорема М.К") означает, что это -параграф (или теорема) с порядковым номером К из главы М.
Введение
Системы Гельмгольца являются обобщениями гамильтоновых и лагран-жевых систем и возникли в результате распространения методов гамильто-новой механики на случай механических систем при более широких предположениях относительно сил и связей, а также систем различной физической природы.
В 1886 г. Г. Гельмгольц [18] получил необходимые условия представимости обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка в форме уравнений Эйлера - Лагранжа, а Г.К. Суслов [52] и А. Майер [G2] доказали, что эти условия являются также и достаточными.
В работе P.M. Сантилли [64] изложены способы построения обобщенного лагранжиана для уравнений движения достаточно общего вида
, q,t)=Q (//, v = 1,..., n).
Изучению систем Гельмгольца с конечным числом степеней свободы посвящены работы А.С. Галиуллина [15, 16].
Вопросы представления уравнений движения механических систем в виде уравнений Эйлера-Лагранжа тесно связаны с обратными задачами вариационного исчисления, две ветви которых на протяжении длительного периода времени развивались независимо. Первая из них связана с именем Г. Гельмгольца и была направлена на решение задач классической механики. Начало второй ветви было положено В. Вольтерра и в дальнейшем составило основу теории потенциальных операторов.
В рамках современного вариационного исчисления классической обратной задачей вариационного исчисления (ОЗВИ) считается задача о построении интегрального функционала, уравнения экстремалей которого совпадают с заданными уравнениями движения.
Рассматриваемые в настоящей работе вопросы тесно связаны со следующей постановкой ОЗВИ, обобщающей ее классическую постановку.
Дано уравнение движения системы с бесконечным числом степеней свободы со второй производной по времени и краевые условия. Требуется построить действие по Гамильтону, множество стационарных точек которого совпадает с множеством решений исходной задачи.
Под задачей построения действия по Гамильтону для уравнения некоторой заданной модели в общем случае имеют в виду построение функционала, содержащего производные от неизвестной функции более низкого порядка, чем в исходном уравнении. В практическом плане это повышает устойчивость численных методов, сокращает объем вычислений (молено выбирать более короткий ряд Ритца (см. [39])).
Эта постановка ОЗВИ, в свою очередь, обобщает известную в классической механике обратную задачу Гельмгольца. Последняя состоит в том, чтобы построить функцию Лагранжа (лагранжиан) по заданным уравнениям движения, являющимся ОДУ второго порядка.
В работе В. Вольтерра [70] были найдены условия потенциальности операторов, а в дальнейшем [71] получена и формула для построения интегрального функционала. Изложение этого подхода в рамках теории потенциальных операторов имеется в монографии М.М. Вайнберга [10].
Условия потенциальности для уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы, являющихся дифференциальными уравнениями с частными производными (ДУЧП) были получены рядом исследователей. Для общего нелинейного ДУЧП второго порядка аналог условий Гельмгольца был получен И.М. Рапопортом [38]. Соответствующее обобщение на случай нелинейного ДУЧП четвертого порядка дано В.И. Заплатным [21], а для общей системы ДУЧП произвольного конечного порядка- В.Л. Бердичевским [3, 4].
В последующем Э. Тонти [67], используя подход В. Вольтерра, получил аналог условий потенциальности Гельмгольца для различных классов дифференциальных уравнений и этим установил связь между двумя ветвями исследований по классической ОЗВИ.
Общим для перечисленных работ является то, что в них исследуется потенциальность дифференциальных операторов с частными производными только относительно классической билинейной формы вида
Г п
и, следовательно, полученные в них аналоги условий Гельмгольца соответствуют этому частному случаю.
В случае невыполнения условий потенциальности Гельмгольца получили развитие методы построения действий по Гамильтону, не принадлежащих эйлерову классу функционалов, и эквивалентных уравнений, допускающих представление в виде уравнений Эйлера-Лагранжа.
Например, в работе Ф. Бампи и А. Морро [57] получен аналог условий Гельмгольца для системы ДУЧП второго порядка при исследовании на потенциальность относительно билинейной формы
т
= / v(x,t) ¦ д(х,Т — t)dxdt. о a
М.З. Нэшд [63] и А.Д. Ляшко [28] независимо предложили обобщение операторного критерия потенциальности Вайнберга, введя симметризующий оператор В. В дальнейшем метод исследования операторов на В - потенциальность относительно локальных билинейных форм был развит в работах Ф. Мэгри [61], В.М. Савчина [41] и Э. Тонти [69].
В монографии В.М. Филиппова [54] в случае нелокальных билинейных
форм вспомогательный оператор В строится в виде В = (iV^)"1 С, где С - произвольный линейный симметрический оператор, определенный на D{C) Э D{N).
Еще одним способом построения косвенных вариационных формулировок является нахождение для заданного непотенциального оператора N вспомогательного оператора Ми такого, что уравнение MuN{u) = 0 допускает представление в форме уравнения Эйлера-Лагранжа.
В случае нелокальных билинейных форм Э. Тонти [68] предложил искать вариационный множитель в виде Ми = (N'U)*C, где С - произвольный линейный обратимый оператор, заданный на D(C) Э R(N).
В монографии В.М. Савчина [41] найдены условия, которым должен удовлетворять вариационный интегрирующий оператор Ми. Показано также, что Ми может иметь вид обычного множителя (для системы уравнений это будет матричный множитель), для отыскания которого в случаях интегро-дифференциальных уравнений в частных производных (ИДУЧП), ДУЧП могут быть использованы соответствующие аналоги условий потенциальности Гельмгольца.
Широкое распространение и систематическое использование вариационных принципов в математике, механике, теоретической физике обусловлено рядом замечательных последствий вариационных формулировок [55]:
• в теоретических исследованиях экстремальные вариационные принципы позволяют установить существование решения исходного уравнения;
• в приложениях важной является возможность получения устойчивого приближения решения рассматриваемого уравнения так называемыми вариационными методами;
• на основе вариационных формулировок возможно получение интегралов эволюционных уравнений, в том числе законов сохранения.
В связи с этим большое внимание уделяется отысканию симметрии действия по Гамильтону, их взаимосвязи с симметриями соответствующих уравнений Эйлера - Лагранжа и их первыми интегралами.
Для функционалов из общепринятых классов Эйлера - Лагранжа связь симметрии с законами сохранения была установлена в работе Э. Нетер [31]. Хотя классическая теория симметрии была создана еще Софусом Ли, ее широкое применение началось относительно недавно. В то время как основополагающие идеи и результаты С. Ли, касающиеся групп преобразований, были впоследствии разработаны в многочисленных работах, дифференциальные уравнения остались практически позади от этого развития. Первые после работ Ли систематические попытки применить теорию Ли к механике сплошной среды были сделаны Л.В. Овсянниковым [34] и Н.Х. Ибрагимовым
[22].
Интегралы уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы имеют многочисленные применения. Например, они используются для доказательства единственности классических решений ДУЧП (см. [53]). В работе П. Лакса [60] законы сохранения применены для доказательства существования волновых решений уравнения Кортевега-де Фриза.
Известно [17], что если исходное ОДУ второго порядка является уравнением Эйлера - Лагранжа для некоторого интегрального функционала, то при условии невырожденности лагранжиана можно понизить порядок уравнения, а именно, представить его в виде канонических уравнений Гамильтона. Для систем с конечным числом степеней свободы А. Пуанкаре установил взаимосвязь первых интегралов и решений канонических уравнений Гамильтона, их
уравнении в вариациях и уравнении, сопряженных к уравнениям в вариациях. Аналогичные вопросы для систем с бесконечным числом степеней свободы были исследованы В.М. Савчиным [41].
В классической механике, теоретической физике гамильтонов формализм служит основой для анализа многочисленных систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Это отражено, в частности, в работах В.Г. Вильке [12], B.C. Новоселова [33], Ю.Г. Павленко [36] и др.
Многочисленные задачи с распределенными параметрами приводят к необходимости обобщения изложенных выше подходов на случай систем с бесконечным числом степеней свободы, состояние которых описывается ДУЧП, ИДУЧП и др. типами уравнений и систем уравнений. Этому и посвящена настоящая диссертация.
Первая глава посвящена исследованию задачи существования действий по Гамильтону для весьма общего класса уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы.
В первом параграфе данной главы сочтено целесообразным изложить основы вариационного исчисления в операторной форме.
Во втором параграфе найден аналог условий потенциальности Гельмгольца для общего эволюционного оператора со второй производной по времени. В случае, когда заданные уравнения движения систем с бесконечным числом степеней свободы допускают прямую вариационную формулировку, дается формула для построения соответствующего действия по Гамильтону. Определена общая структура уравнений движения потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы.
Особое внимание уделено косвенным подходам к интегральным вариационным формулировкам уравнений движения непотенциальных систем. В связи с этим в третьем параграфе настоящей главы получен аналог условий В-потенциальности при рассмотрении билинейной формы со сверткой. Как и в случае классической билинейной формы, построено действие по Гамильтону и определена структура уравнений движения Б-потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы. Изучен также вопрос о существовании вариационного множителя и дан конструктивный способ его построения.
Во второй главе рассмотрено применение групп преобразований для отыскания первых интегралов уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы со второй производной по времени.
ю
В связи с этим в первом параграфе данной главы установлена взаимосвязь между инвариантностью до дивергенции действия по Гамильтону и первыми интегралами соответствующего уравнения Эйлера-Лагранжа.
Во втором параграфе доказано, что генераторы симметрии до дивергенции функционала образуют алгебру Ли относительно коммутатора двух генераторов.
В третьем параграфе принцип стационарного действия Якоби сформулирован для случая потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы.
В четвертом параграфе показано, что в случае абсолютной инвариантности действия по Гамильтону симметрии функционала являются симметриями соответствующего уравнения Эйлера-Лагранжа.
Известно, что если уравнения движения допускают прямую вариационную формулировку, то в невырожденном случае с помощью преобразования Лежандра можно понизить порядок уравнений, то есть свести их к системе уравнений Гамильтона. Этот подход обобщен на случай уравнений движе- ния систем с бесконечным числом степеней свободы. В связи с этим третья глава диссертации посвящена исследованию уравнений движения с первой производной по времени.
В первом параграфе установлена взаимосвязь между решениями и первыми интегралами, в общем случае, неклассических уравнений Гамильтона, их уравнений в вариациях и уравнений, сопряженных к уравнениям в вариациях. Кроме того, во втором параграфе разработан метод, позволяющий находить частные решения уравнений первого порядка, что является распространением метода показателей Ковалевской (см. монографию В.В. Козлова [24]) на случай систем с бесконечным числом степеней свободы.
Следует отметить, что операторные подходы к различным вопросам, изложенным и получившим развитие в настоящей диссертации, позволили разработать единый подход к исследованию разнообразных типов уравнений движения, а также их систем.
И
Глава 1
О существовании действия по Гамильтону для уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы с производной второго порядка по времени
В настоящей главе получены необходимые и достаточные условия представимости достаточно общих уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы со второй производной по времени в форме уравнений Эйлсра-Лагранжа и построено соответствующее действие по Гамильтону. Кроме того, определена общая структура заданных уравнений движения потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы.
В случае уравнений движения непотенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы получены условия существования вариационного множителя.
Теоретические результаты данной главы проиллюстрированы на конкретных примерах.
§1.1 Необходимые сведения об основах вариационного исчисления в операторной форме
Дифференцируемость нелинейного оператора
Операторы, определенные на множествах числовой прямой, называются абстрактными функциями.
12
Пусть u(t)(to < t < ti) - абстрактная функция со значениями в линейном нормированном пространстве U\. Функция u{t) называется непрерывной в точке t Е (to,t\), если
\im{u(t) - u(t)) = 0. tt
Предел здесь рассматривается по норме пространства U\.
Множество всех непрерывных на [to, t{\ функций со значениями в линейном нормированном пространстве U\ образует линейное пространство, которое обозначается C([to,ti]; U\).
Теорема 1.1. [13] Формула u(t) = v(',t) Е С(п) Vt Е [?0^1] устанавливает биективное отображение v —У и между функциями v E C(Q x [io5^i]) и и € C{[tQ,ti];C(Q)). Кроме того, функция v Е С1^ X [to,t\]) имеет частную производщю |^ Е С(п х [to,ti])} когда ей соответствует функция u{t) E С{{[1цЛЛ]\С(й)). При этом §(-,i) = u'(t) Vt E [to,ti].
Пусть Лг — оператор, заданный в области D(N) линейного нормированного пространства U над полем действительных чисел М, а область значений R(N) принадлежит линейному нормированному пространству V над полем R, т. е.
N(u) =v, и eU, v E V.
Если в точке и Е D(N) существует предел
6N(u,h) = \\m-{N(u + eh) - N{u)} \fh E U, (1.1)
то он называется вариацией Гато оператора TV в точке и (или первой вариацией оператора iV в точке г*).
В формуле (1.1) выражение N(u + eh) определено при таких е, что (и + t/г) Е D(N). Вариация 8N(u,h) есть выражение, однородное по /г : 5N(u,\h) = \5N(u,h). Однако оператор 5N(u,-) : U —> V не всегда является аддитивным по h.
Если при фиксированном и Е D(N) вариация 6N(u,h) является линейным по h оператором, то говорят, что оператор Лг дифференцируем в точке и в смысле Гато. Выражение <5iV(w, h) называется дифференциалом Гато и обозначается через DN(u,h). В этом случае используют также запись DN(uJi) = N^h и говорят, что N'u есть производная Гато оператора N в точке и.
13
Если N — линейный оператор, то N'uh = Nh, т. е. производная Гато линейного оператора есть сам линейный оператор.
Отметим, что если N = (Nl,N2, ...,Nn) и и = (и1,и2, ...,ип), то
к=
т
(1.2)
В дальнейшем будем предполагать, что для всякого рассматриваемого оператора N : D(N) С U -> V в любой точке и G D(N) существует N'u. Область определения D(N'U) состоит из таких элементов h E U, что (и + ?h) E D(N) для любого достаточно малого значения е. Элемент h E D{N!V) будем называть допустимым элементом. Отметим, что в общем случае D(N) ф D(N'U).
При существовании производной Гато оператора N имеет место равенство
N(u + eh) = N(u) + sN'uh + r(u,eh), и Е D(N), где для любого фиксированного элемента h E D(Nli)
(1.3)
Если известна производная Гато оператора N, то [29]
(1.4)
т.е. при О Е D(N) (1.4) — формула восстановления оператора по его производной Гато.
Отметим, что если Nu — некоторый линейный оператор, произвольным образом зависящий от и, то производная Гато находится по формуле
- Nug
е-^0 ?
Вторая производная Гато оператора N вычисляется по формуле
(1.5)
14
Предполагается также, что
, Vhhh2eD(N'u).
Билинейные формы
С целью полноты изложения и ясности употребляемой терминологии приведем некоторые сведения о билинейных формах, которые будут использоваться в дальнейшем исследовании.
Определение 1.1. Отображение Ф(-,-) '¦ V х U -^ Ш, линейное по каждому аргументу, называется билинейной формой.
Определение 1.2. Билинейная форма Ф(-, •) : V х V -» симметрической, если
Ф(у,д) =
называется
Определение 1.3. Билинейная форма Ф(.,.) : V х U —> невырожденной, если:
1) из условия Ф(у, h) = О У у Е V следует, что h = 0;
2) из условия Ф(г>, /г) = 0 V/г G С/ следует, что v = 0.
Будем предполагать, что билинейная форма
называется
•,•> dt:VxU^
«о
(1.6)
такова, что билинейное отображение Ф^-,-) = <•,•> удовлетворяет следующим условиям:
А
= < Dtv{t),g(t)
v(t):Dtg(t)
,g G
(1.7) (1.8)
15
Если v = v(x,t),x G & С Rn,t Е (to,ti),Ui = V\ = C(0), то можно, например, рассмотреть
=Jv(X,t)gMdx. (1.9)
Замечание 1.1. Билинейное отображение Ф\, определяемое формулой
,g)= fv{x,t)c(t)g(x,T-t)dx (c(0 Jo.
не удовлетворяет условию (1.8). Б-потенциальные операторы
Приведем условия В-потенциальности операторов и дадим формулу для построения соответствующего интегрального функционала. Эти результаты будут применены для построения вариационных формулировок конкретных задач.
Определение 1.4. [41] Оператор N : D(N) С U —> V называется В-потенциальным на множестве D(N) относительно билинейной формы вида (1.G), если существуют линейный оператор В : D(B) С V —> V и дифференцируемый по Гато функционал F^ ' D(F^) = D(N) —>¦ R такие, что
5FN[u, h] = Ф(#(и), Bh) Уи e D(N), V/г G D(N'U, Б), где Z?№B) = {« : « G Z?(iVi) П D{B)}.
Функционал Fn называется В -потенциалом оператора N, a N — В-градиентом функционала F^. Записывают N = В — grad^F^. Оператор N называется В-потенциальным на множестве D(N) относительно Ф.
Если В = /—единичный оператор, то функционал Fn называется потенциалом оператора JV, а N — градиентом функционала F^. В этом случае говорят, что уравнение N(u) = 0 допускает прямую вариационную формулировку.
Будем предполагать, что для любых фиксированных элементов и G D(N), g, It G D(N'ui В) функция (р(е) = Ф(М(и-\-?п), Bg) принадлежит классу С^О, 1],
16 |
