^- Введение
Исследование эффектов взаимодействия квантованных полей в искривленном пространстве-времени представляет большой общетеоретический интерес по нескольким причинам. Во-первых, изучение квантовых процессов взаимодействия полей дает возможность оценить в какой мере это взаимодействие стимулирует или подавляет рождение частиц гравитационным по-
'^ лем по сравнению со случаем свободных полей [1-3]. Во-вторых, неинвари-
антность теории относительно преобразований группы Пуанкаре приводит к появлению эффектов взаимодействия, запрещенных в пространстве Мин-ковского законами сохранения [4-8]. Наконец, в-третьих, сильное внешнее гравитационное поле модифицирует выражения для сечений и вероятностей процессов, разрешенных в плоском пространстве, в них возникают дополнительные члены, обусловленные влиянием внешнего гравитационного поля,
ц вклад которых при определённых условиях становится доминирующим [1-3].
Результаты исследований эффектов взаимодействия полей в искривленном пространстве-времени имеют важное значение для космологии и астрофизики [9]. .
Для исследования эффектов взаимодействия используется квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени [10,11]. В рамках этой теории материальные поля рассматриваются как квантованные, а гравитацион-
I, нос поле описывается классической метрикой искривленного пространства-
времени. Расчет вероятностей различных переходов системы квантованных полей, происходящих в результате взаимодействия между квантованными полями, проводится по теории возмущений с помощью точных решений релятивистских волновых уравнений во внешнем гравитационном поле. При таком подходе взаимодействие материальных полей с внешним гравитационным полем учитывается точно.
(л Одним из основных результатов квантовой теории поля в искривленном
пространстве-времени является вывод о том, что определение одночастично-чЧ- го состояния квантованного массивного поля существенным образом зависит
от выбора системы отсчета. Неоднозначность в определении одночастичных состояний в искривленном пространстве-времени приводит к неоднозначности в определении начального и конечного вакуумных состояний квантованного массивного поля. Указанная неоднозначность присуща не только квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени, но имеет место и , в плоском пространстве-времени Минковского. Однако, в плоском простран-
стве существуют предпочтительные, инерциальные системы отсчета, связанные с естественной ортогональной системой координат (t, x, y,z). В этих системах отсчета определение понятия частицы опирается на инвариантность теории относительно группы Пуанкаре [10]. Времениподобный вектор d/dt, определяющий инерциальную систему отсчета, ортогонален пространствен-ноподобным гиперповерхностям t = const и является генератором группы движений пространства (вектором Киллинга [12]). В плоском пространстве, в качестве одночастичных волновых функций выбираются решения волновых уравнений, являющиеся собственными для вектора Киллинга d/dt с собственным значением —ги (и > 0). При таком определении понятие частицы не зависит от времени и инвариантно, как относительно точечных преобразований пространственных координат, так и относительно преобразований Лоренца. Однако, уже в пространстве Минковского определение понятия частицы не инвариантно относительно произвольных точечных преоб-^" разований координат. Например, для взаимно неинерциальных наблюдате-
лей определение понятия частицы будет существенно различным. Впервые это явление было продемонстрировано в работах [13,14] при квантовании скалярного поля в пространстве Минковского в риндлеровских координатах (эффект Фуллинга-Унру)
В произвольном искривленном пространстве-времени группа Пуанкаре уже не является группой изометрий. В общем случае векторы Киллинга, с помощью которых можно было бы определить положительно-частотные ре-
7 шения, могут не существовать. В таком пространстве вообще невозможно
^ определить понятие частицы естественным образом. Однако, если в искрив-
ленном пространстве существует группа движений, то в нем выбор координат, ассоциируемых с векторами Киллинга, становится предпочтительным. Но даже в том случае, когда естественные координаты существуют, они не имеют в квантовой теории поля того решающего значения, какое имеют в пространстве Минковского галилеевы координаты [11].
4 Примером пространств, в которых существуют предпочтительные систе-
мы отсчета, служат пространства Робертсона-Уокера, описывающие однородные и изотропные модели Вселенной [15]. Изучение квантовых эффектов в пространствах Робертсона-Уокера является одним из наиболее важных приложений квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени. Как правило, при исследовании квантовых процессов в пространствах Робертсона-Уокера используются синхронные системы координат, сопутствующие движению космологической жидкости, моделирующей крупномасштабную структуру Вселенной [16]. Времениподобное векторное поле, определяющее в пространстве Робертсона-Уокера сопутствующую систему координат, является лишь конформным полем Киллинга [10], что приводит к зависимости понятия частицы от времени.
В виду того, что инвариантная корпускулярная интерпретация квантовой теории с внешним гравитационным полем, зависящим от времени, оказалась невозможной, в литературе, посвященной квантованию полей в ис-
^* кривленном пространстве-времени, был предложен ряд методов и критериев
для определения положительно-частотных состояний. В частности, в работах Л. Паркера [17-19,21] было предложено определять начальные и конечные одночастичные состояния с помощью WKB-решений соответствующих уравнений движения. Определённые таким образом начальное и конечное вакуумные состояния квантованного поля называют адиабатическими [11, гл. 3.5]. В пределе бесконечно медленного изменения масштабного фактора адиабатический вакуум совпадает с вакуумом статического пространства-
8 времени. Понятие адиабатического вакуума получило развитие в работах
^ [22-30]. Иная корпускулярная интерпретация квантованного поля во внеш-
нем гравитационном поле, основанная на методе диагонализации мгновенного гамильтониана преобразованиями Боголюбова, была предложена в работах А. А. Гриба, С. Г. Мамаева, В. М. Мостепаненко и некоторых других авторов [31-37]. В рамках этой интерпретации операторами рождения-уничтожения частиц (квазичастиц) в момент времени 770 называются опера-
j торы, которые диагонализируют мгновенный гамильтониан квантованного
поля в момент щ [10, гл. 9.3]. В работах [38-43] вакуумное состояние квантованного поля в искривленном пространстве-времени определялось как состояние, минимизирующее полную энергию поля. Как было отмечено в [38], данный метод эквивалентен методу диагонализации мгновенного гамильтониана.
Общие принципы построения теории возмущений по взаимодействию между квантованными полями изложены, например, в [11]. Формализм S-m&t-рицы в квантовой электродинамике с внешним гравитационным полем, рождающим пары, был подробно исследован в работах И. JI. Бухбиндера, Д. М. Гитмана и Е. С. Фрадкина [44-47] и монографии [48]. Он основан -на обобщении обычной техники 5-матрицы на случай искривленного пространства-времени и имеет ряд сходных моментов с методами расчётов квантовых процессов в КЭД с внешним электромагнитным полем [49-52]. Изучение квантовых эффектов в КЭД с внешним гравитационным полем являют-
^ ся естественным продолжением исследований квантовых процессов в КЭД с
внешним электромагнитным полем (см., например, [53-57]).
Исследование квантовых эффектов в искривленном пространстве-времени было начато в работах Л. Паркера, А. А. Гриба и С. Г. Мамаева [17-20, 31, 32], в которых был рассмотрен эффект рождения пар из вакуума свободного квантованного поля зависящими от времени гравитационными полями. В настоящее время детально исследованы процессы рождения пар
к
из вакуума в различных космологических моделях, описываемых метрикой
9 пространства Робертсона-Уокера. Современные достижения в изучении эф-
^ фектов нулевого порядка по взаимодействию квантованных полей в искрив-
ленном пространстве-времени отражены в монографиях [10,11].
Результаты, полученные при исследовании эффекта рождения пар из вакуума и вычислении вакуумных средних тензора энергии-импульса свободного квантованного поля, инициировали, исследования квантовых эффектов в искривленном пространстве-времени в первом порядке по взаимодей-
^ ствию [1-8,58-60].
Вакуумные эффекты взаимодействия квантованных полей в искривленном пространстве-времени впервые были рассмотрены в [4,5] (см. также [6]). В [4] исследовался эффект рождения частиц из вакуума в теории скалярного поля с самодействием ?/ = — А4, а также процесс рождения фотонов из вакуума в теории электромагнитного поля с самодействием ?/ = bi(FfiUF'w)2 + b2(*Ffll/Flll/)2. В [5] был изучен процесс рождения частиц из вакуума в скалярной теории с взаимодействием -С/ = А7?(Ф*ЛФ + Ф*Л*Ф). Ав-торы работ [4,5] пришли к заключению, что в ряде случаев рождение частиц за счет взаимодействия полей может давать заметный вклад в полное число частиц, рожденных из вакуума. Процесс рождения 7г°-мезона и двух фотонов из вакуума в рамках (7г° — 27)-модели с взаимодействием -С/ = ^F^vF^Q рассматривался в [7], где был сделан вывод о том, что при определенных условиях рождение частиц вследствие взаимодействия полей может доминировать над их рождением из вакуума свободного квантованного поля. В [8]
*^~ и [2] изучался процесс рождения частиц в скалярной теории с взаимодей-
ствием Я>1 = Хф2ф и Li — Хф2ф соответственно (фиф- два различных скалярных поля). Во всех этих работах искривленное пространство-время описывалось конформно-плоской метрикой Робертсона-Уокера с заданным масштабным фактором.
Процесс распада частиц в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера впервые был рассмотрен Фордом [58] на примере распада массивной скалярной частицы в п безмассовых скалярных частиц. Форд показал, что
10
процесс распада частиц в искривленном пространстве-времени в общем случае не инвариантен относительно СРТ - преобразований. Распад массивной частицы () в две безмассовые (ф) нейтральные скалярные частицы вследствие взаимодействия L\ = Хфф2 изучался также в [1,3,59]. Этот процесс разрешен в пространстве Минковского. В [1,3] было установлено, что сильное внешнее гравитационное поле модифицирует выражение для сечения процесса, (в нём появляются дополнительные члены, обусловленные влиянием внешнего гравитационного поля, вклад которых при определённых условиях становится доминирующим). Распад массивной скалярной частицы на два фотона в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера рассматривался в [60] на примере модели тг° —> 2^. Общей чертой всех перечисленных работ является то, что рассмотренные в них теории носят исключительно модельный характер.
Изучение эффектов взаимодействия первого порядка в рамках квантовой электродинамики в искривленном пространстве-времени было начато в работах Д. В. Гальцова с сотрудниками [61], К. X. Лоце [62-67], И. Л. Бух-биндера и Л. И. Царегородцева [68-74]. Именно, в [61] был исследован процесс поглощения фотона электроном в поле классической плоской гравитационной волны, в остальных работах рассматривались квантовые эффекты в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера, метрика которого отвечает квазиевклидовой модели радиационно-доминированной Вселенной.
Рассматривая квантовые эффекты в радиационно-доминированной модели Вселенной, следует отметить, что, вследствие нестабильности вакуума квантованного массивного поля, квантовые процессы в этом искривленном пространстве-времени сопровождаются рождением пар из вакуума. В квантовой электродинамике с нестабильным вакуумом можно, с одной стороны, рассчитывать вероятности переходов системы полей в состояния с фиксированным числом частиц, а с другой - исследовать переходы, сопровождающиеся рождением произвольного числа пар из вакуума. К процессам первого типа относятся, например, эффект рождения фотона и одной электрон-по-
11
зитронной пары из вакуума и эффект излучения фотона электроном, вероятности которых были рассчитаны и исследованы в [69-72].
Процесс излучения фотона из вакуума с учетом рождения произвольного числа электрон-позитронных пар рассматривался в [62,63,73], где было, в частности, показано, что среднее число электрон-позитронных пар, рожденных в указанном процессе, составляет около одного процента от среднего числа пар, рождающихся в радиационно-доминированной Вселенной из вакуума свободного квантованного поля. Там же были получены оценки для числа рожденных фотонов.
Другим эффектом, детально исследованным в квазиевклидовой модели радиационно-доминированной Вселенной, является процесс рождения произвольного числа электрон-позитронных пар фотоном [65,74,75]. Из результатов работ [65,74, 75] следует, что что данный процесс является СРТ -инвариантным, а также то, что в ранней Вселенной эффект рождения пар вследствие распада фотонов доминировал над эффектом рождения пар из вакуума свободного квантованного поля.
Процесс излучения фотона электроном в радиационно-доминированной Вселенной с учетом рождения пар из вакуума впервые рассматривался в [64]. В этой работе была вычислена суммарная вероятности процесса, учитывающая, как спонтанное излучение фотонов в процессе рассеяния электрона, так и их рождение из вакуума, индуцированное начальным электроном. Там же была дана оценка полной суммарной вероятности в предположении, что начальный электрон имеет нерелятивистский импульс, а главный вклад в полную вероятность дают мягкие фотоны.
Следует отметить, что эффекты взаимодействия заряженных скалярных частиц с фотонами в искривленном пространстве-времени радиационно-доминированной модели Вселенной остались за рамками цитированных выше работ. В то же время, как было показано в [2,3], спин квантованных полей, взаимодействующих во внешнем гравитационном поле, оказывает существенное влияние на процессы рождения пар в этом поле. Гравитационное поле
12
усиливает рождение бозонных пар и подавляет рождение фермионных пар в процессах взаимодействия.
Научная цель данной диссертационной работы заключается в систематическом изучении квантовых эффектов электромагнитного взаимодействия полей в радиационно-доминированной Вселенной. Задачи научного исследования определены в соответствии с целью работы и заключаются в следующем:
Иг - изучить процессы излучения и поглощения фотона электроном в радиаци-
онно-доминированной Вселенной с учетом рождения произвольного числа электрон-позитронных пар из вакуума; рассчитать и детально исследовать суммарные вероятности этих процессов, а также найти точные выражения и получить численные оценки для среднего числа пар, рождающихся из вакуума в указанных процессах;
- рассчитать и исследовать спектр излучения классической заряженной ча-^ стицы, движущейся в квазиевклидовой модели радиационно-доминированной Вселенной с целью сравнения результатов классического и кван-товомеханического расчетов;
- изучить основные квантовые эффекты первого порядка в скалярной электродинамике в квазиевклидовой модели радиационно-доминированной Вселенной; рассчитать и исследовать суммарные вероятности процесса рождения фотона и произвольного числа бозонных пар из вакуума, процесса
^ рождения произвольного числа бозонных пар фотоном и процесса излу-
чения фотона заряженной скалярной частицей с учетом рождения пар из вакуума;
- рассчитать среднее число бозонных пар, рождающихся в процессе излучения фотона из вакуума, в процессе распада фотона, а также в процессе излучения фотона скалярной частицей в искривленном пространстве-времени радиационно-доминированной Вселенной; исследовать найденные вы-
13 ражения и получить численные оценки для числа рожденных частиц.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
1. Изучен процесс тормозного излучения классической заряженной частицы во внешнем гравитационном поле, отвечающем квазиевклидовой модели радиациоино-доминированной Вселенной, найдены и исследованы спектр излучения и интервал когерентности.
2. Развита скалярная теория радиационных процессов первого порядка в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера с нестабильным вакуумом. Получены общие выражения для суммарных вероятностей трех радиационных процессов, сопровождающихся рождением произвольного числа пар из вакуума: процесса излучения фотона из вакуума, процесса распада фотона и процесса излучения фотона заряженной скалярной частицей.
^ 3. В рамках скалярной электродинамики в радиационно-доминированной
Вселенной исследован процесс излучения фотона из вакуума, сопровождающийся рождением произвольного числа пар; вычислена суммарная вероятность рождения фотона и произвольного числа бозонных пар из вакуума, а также среднее число пар, рождающихся в данном процессе; получено интегральное представление для полной вероятности процесса.
^ 4. В рамках скалярной теории исследован процесс распада фотона в произ-
вольное число пар в радиационно-доминированной Вселенной; вычислена суммарная вероятность процесса и найдены асимптотические представления суммарной вероятности распада мягкого и жесткого фотона; получены точные выражения для среднего числа бозонных пар, рождающихся в процессе распада фотона.
5. Исследован процесс излучения фотона заряженным бозоном в радиа-ционно-доминированной Вселенной с учетом рождения произвольного
14
числа пар из вакуума; вычислена суммарная вероятность спонтанно- го излучения фотона заряженной скалярной частицей и изучена зависимость вероятности от импульса начального бозона; найдено среднее число пар, рождающихся из вакуума в процессе рассеяния скалярной частицы; изучен классический предел суммарной вероятности спонтанного излучения фотона бозоном.
6. В рамках спинорной электродинамики в радиационно-доминированной * Вселенной исследованы процессы излучения и поглощения фотона элек-
троном с учетом рождения произвольного числа пар из вакуума; вычислены точные выражения для суммарных вероятностей спонтанного излучения и спонтанного поглощения фотона электроном и изучена их зависимость от импульса начальной частицы; получены оценки для среднего числа фотонов, излучаемых из одноэлектронного состояния; найдено среднее число электрон-позитронных пар, рождающихся из ва-#• куума в процессе рассеяния электрона.
Научная новизна основных результатов исследования заключается в том, что в работе впервые:
- в рамках скалярной КЭД получены общие выражения для суммарных вероятностей трех процессов первого порядка в произвольном конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера с нестабильным вакуумом,
/х а именно: процесса рождения фотона и произвольного числа пар из ва-
куума, процесса рождения произвольного числа массивных пар фотоном и процесса излучения фотона заряженным бозоном учетом рождения пар из вакуума;
- в рамках скалярной КЭД рассчитаны и исследованы суммарные вероятности трех процессов первого порядка в радиационно-доминированной Вселенной, а именно: процесса рождения фотона и произвольного числа пар из вакуума, процесса рождения произвольного числа массивных пар
15
фотоном и процесса излучения фотона заряженным бозоном с учетом ^ рождения пар из вакуума;
- в рамках скалярной теории получены и исследованы точные выражения для среднего числа пар, рождающихся в радиационно-доминированной Вселенной в процессах излучения фотона из вакуума, распада фотона и неупругого рассеяния заряженного бозона во внешнем гравитационном
поле;
Я*
- в рамках спинорной КЭД в радиационно-доминированной Вселенной
рассчитана и исследована суммарная вероятность процесса поглощения фотона электроном с учетом рождения произвольного числа электрон-позитронных пар из вакуума; вычислено среднее число электрон-позит-ронных пар, рождающихся в радиационно-доминированной Вселенной в процессе неупругого рассеяния электрона;
и - вычислен спектр излучения классической заряженной частицы в ради-
ационно-доминированной Вселенной и исследован классический предел процесса излучения фотона электроном в квантовой электродинамике в радиационно-доминированной Вселенной.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы из 105 наименований. Общий объем составляет 120 страниц, включая 7 рисунков.
^ Сведения о геометрии пространства, краткое изложение метода 5-мат-
рицы в скалярной и спинорной КЭД в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера приводятся в первой главе. Там же рассматриваются WKB-решения уравнений Клейна-Гордона и Дирака, с помощью которых проводится классификация одночастичных состояний; обсуждается структура WKB-решений в конформно-плоском пространстве Робертсона-Уокера; приводятся точные решения уравнений Клейна-Гордона и Дирака в радиа-ционно-доминированной Вселенной.
16
Во второй главе рассмотрен процесс рождения фотона и произвольного числа скалярных массивных пар из вакуума. В § 1 и § 2 получены выражения суммарной вероятности процесса в пространстве Робертсона-Уокера и в радиационно-доминированной Вселенной соответственно. В § 2 проведён также анализ зависимости вероятности процесса от энергии излученного фотона и осуществлена оценка среднего числа фотонов, рождённых из вакуума в процессе взаимодействия заряженного скалярного и электромагнитного полей.
В § 3 главы определён промежуток времени в течении которого формировался рассматриваемый процесс в радиационно-доминированной Вселенной. В § 4 найдены выражения для расчёта полного числа бозонов рождённых в результате излучения фотона из вакуума и осуществлено вычисление этого числа.
Глава 3 посвящена эффекту рождения бозонных пар в результате распада фотона. Вывод выражения вероятности процесса в пространстве Робертсона-Уокера приведён в § 1. В § 2 эффект рассматривался в радиационно-доминированной Вселенной. Были получены - точное выражение суммарной вероятности процесса, а также приближённые формулы для вычисления вероятности для случаев рождения бозонных пар мягким и жёстким фотонами. В § 3 найдены интервалы времени 77, в течение которых происходило формирование процесса рождения бозонных пар мягким и жёстким фотонами в радиационно-доминированной Вселенной.
В § 4 определено точное выражение для среднего числа пар бозонов, рожденных при распаде фотона; вычислены приближённые формулы для расчёта числа бозонов рождённых при распаде мягкого и жёсткого фотонов; осуществлена оценка вклада эффекта рождения пар фотоном в полное число частиц, рожденных в процессе взаимодействия полей в ранней Вселенной.
В четвёртой главе исследуются - эффект излучения фотона скалярным бозоном и эффект излучения фотона электроном. Получены выражения вероятностей процессов в пространстве Робертсона-Уокера (§ 2) и выражения вероятностей в радиационно-доминированной Вселенной, точные и прибли-
17
жённые в зависимости от импульса начальной частицы (§ 3). Вывод формул для вычисления числа пар рождённых в результате излучения фотона заряженным бозоном (электроном) приводится в § 4. В § 5 рассматривается процесс поглощения фотона электроном.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на на научных семинарах кафедры общей физики Бийского госу- дарственного педагогического университета; на научных семинарах кафед-ры математики Бийского технологического института Алтайского государственного технического университета; на П-ой международной конференции "Quantum Field Theory and Gravity" (Томск, 1997); на 11-ой международной конференции Российского гравитационного общества "Theoretical and Experimental Problems of General Relativity and Gravitation" (Томск, 2002); на 4-ой международной научно-практической конференции "Природные и интеллектуальные ресурсы Сибири (СибРесурс-4-98)" (Барнаул, 1998); на Ш-ей юбилейной научно-практической конференции Алтайского государственного технического университета (Бийск, 1994).
Основные материалы диссертации опубликованы в работах [77-85] |
