Введение
Теоретические и экспериментальные исследования транспортных и термодинамических свойств сверхпроводящих соединений являются важными для понимания природы сверхпроводящего состояния в этих веществах. Многие экспериментальные факты, в том числе и фазочувствительные исследования, свидетельствуют в пользу того, что параметр порядка в купратных высокотемпературных сверхпроводниках, сверхпроводниках с тяжёлыми фермиона-ми и в соединении Sr2RuO4 является сильно анизотропным, принимая различные значения в зависимости от направления распространения квазичастицы [1,2,3,4] (а также литература указанная в этих обзорах). Наличие в сверхпроводнике параметра порядка с анизотропным спариванием может существенно повлиять на их физические свойства, по сравнению с аналогичными свойствами изотропных s-волновых сверхпроводников. В частности, анизотропный параметр порядка подавляется в окрестностях примесей, границ разделов, поверхностей и других неоднородностей, тогда как в s сверхпроводниках параметр порядка нечувствителен к примесям и границе с вакуумом или диэлектриком. Также, теорема Андерсона о нечувствительности критической температуры к немагнитным примесям оказывается неприменимой к сверхпроводникам с анизотропным спариванием.
Те сверхпроводящие фазы, для которых параметр порядка обращается в ноль вдоль некоторых направлений импульса на поверхности Ферми обладают степенной зависимостью плотности состояний при малых энергиях. Показатель степени зависит от закона обращения в ноль параметра порядка. В случае линий нулей показатель степени равен единице. При низких температурах такое поведение плотности состояний приводит к степенной зависимости объёмных значений глубины проникновения магнитного поля,
теплоёмкости, теплопроводности от температуры, в отличие от экспоненциальной зависимости соответствующих величин в сверхпроводниках без нулей параметра порядка [1,2,3,4].
Примеси, границы раздела, поверхности и другие неоднородности могут приводить к формированию специфических для сверхпроводящего состояния энергетических уровней, называемых андреевскими связанными состояниями. Важную роль в их формировании играет андреевское отражение от неоднородностей амплитуды параметра порядка или его фазы. Эти состояния существуют только при наличии сверхпроводящего параметра порядка и отсутствуют выше критической температуры. Критерии формирования таких состояний существенно отличаются в случае изотропных s-волновых сверх-проводников и сверхпроводников с анизотропным спариванием. Связанное состояние на примеси в s сверхпроводнике образуется только на магнитных примесях [5,6], тогда как в сверхпроводнике с dxi_y2 спариванием на изолированной примеси с достаточно сильным потенциалом рассеяния образуется виртуальное связанное состояние с малой энергией [7,8]. Аналогичные состояния формируются в сверхтекучем 3Не [9], который является представителем сверхтекучей Ферми системы с р-волновым типом спаривания.
Аналогично примесному рассеянию, зеркальное отражение квазичастиц от непроницаемой отражающей стенки или границы раздела подавляет пара- метр порядка в сверхпроводниках с анизотропным спариванием в прилегающей области. Кроме того, вблизи таких границ на масштабе длины когерентности образуются связанные андреевские состояния [10,11,12,13,14,15,16,17]. Их энергия определяется анизотропной структурой параметра порядка и его пространственной зависимостью около поверхности, а также в случае контакта двух сверхпроводников - разностью фаз параметра порядка по разные стороны границы. Одними из наиболее обсуждаемых в литературе связанных состояний в с^г^-волновом сверхпроводнике являются андреевские связанные состояния на непроницаемой границе с нулевой энергией [10,11,12,13,14,15,16,17]. Они возникают благодаря андреевскому отражению квазичастиц от изменения фазы параметра порядка на 7Г вдоль траектории квазичастиц. Формирование таких состояний можно описывать, в частности, в модели несамосогласованного пространственно однородного рас-
«> пределения параметра порядка. Учёт андреевских состояний с малой энерги-
ей важен при вычислении различных физических величин при низких температурах. В частности, предполагается, что эти состояния ответственны за формирование пика в дифференциальном кондактансе при нулевом напряжении [11,12,15], аномальное поведение критического джозефсоновского тока [18] и за появление минимума в температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля [19,20,94,21].
Связанные поверхностные состояния чувствительны к различным случайным неоднородностям, в том числе и к шероховатости самой поверхности. При низких температурах основной вклад в амплитуду рассеяния квазичастиц дают статические дефекты, такие как примеси, дефекты структуры и случайная неровность поверхности. Существует несколько теоретических методов описания шероховатых поверхностей. Один из подходов основан на представлении шероховатой поверхности в виде непроницаемой стенки со случайным профилем. В работах [23,22] сделан обзор этой модели в приближении слабой вариации профиля в применении к нормальным металлам. Обобщение этой модели на сверхпроводящее состояние проделано в работах [24,25,26,27]. Некоторые возможные обобщения модели случайно взволнованной поверхности на случай шероховатости произвольной силы изложены в работах [28,29]. Одной из разновидностей этой модели, учитывающей только крупномасштаб-
ф ные неоднородности поверхности является, так называемая, „модель случайно
ориентированных зеркал" [30,15]. Другой подход к рассмотрению беспорядка в сверхпроводнике состоит в моделировании его потенциалом хаотично распределённых примесей. Шероховатость поверхности в этом случае описывается введением тонкого приповерхностного слоя примесей. Большей поверхностной концентрации рассеивателей соответствует большая шероховатость поверхности. Так как вблизи поверхности неупорядоченности обычно больше, чем в объёме, то поверхностный примесный слой может также рассматриваться как реально существующий беспорядок в сверхпроводнике, а не модель шероховатой поверхности. Широко также используются микроскопические подходы, пытающиеся описать шероховатость поверхности в рамках решёточных моделей со случайным потенциалом на узле (см. например [31]). f) Существует множество экспериментов, которые указывают на необычный
характер спаривания в таких высокотемпературных сверхпроводниках, как УВагСизО7_й, Bi2Sr2CaCu2O8 и Sr2RuO4 [1,2,3,4] . Часть этих экспериментов основана на исследовании объёмных свойств сверхпроводников. Сюда можно отнести измерения теплоёмкости, теплопроводности и глубины проникновения магнитного поля при ориентациях не допускающих формирование поверхностных андреевских уровней. В экстра чистых образцах УВагСизОт-а при низких температурах наблюдается линейная зависимость глубины проникновения от температуры [32, 33, 34], что согласуется с моделью dx2-y2 параметра порядка. Квадратичную зависимость, измеренную в некоторых экспериментах, связывают с влиянием резонансных объёмных примесей [35]. При низких температурах и некоторых ориентациях dxi_yi вклад андреевских поверхностных состояний в глубину проникновения может быть существенным [19,94,21]. В отличие от диамагнитного отклика массива сверхпроводника, отклик поверхностных состояний на внешнее магнитное поле является парамагнитным, а в случае нулевых поверхностных уровней усиливается с понижением температуры. Это приводит к появлению минимума в температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля.
Другой особенностью магнитного отклика сверхпроводников с нулями параметра порядка, является нелокальность воздействия магнитного поля на квазичастицы с импульсами вблизи нулей параметра порядка, даже в сверх- проводниках сильно второго рода [36]. Это обстоятельство особенно важно при низких температурах, когда возбуждены только эти квазичастицы. Такое проявление нелокальности существенно, в частности, при вычислении низкотемпературного поведения глубины проникновения [36, 37, 95] и геометрии вихревой решётки [38,39].
Изложение материала построено следующим образом. В главе 1 выписаны уравнения квазиклассической теории сверхпроводимости, использующиеся в аналитических и численных расчётах данной работы. Глава 2 посвящена нахождению линейного отклика андреевских связанных поверхностных состояний в сверхпроводниках с анизотропным параметром порядка. Найдено выражение для глубины проникновения магнитного поля в зависимости от температуры, учитывающее как вклад объёма, так и поверхностных состо- яний. Найдены ограничения на длину свободного пробега квазичастиц при
8
*> которых существует низкотемпературная аномалия глубины проникновения
и спонтанный поверхностный ток. В главе 3 исследовалась зависимость глубины проникновения от магнитного поля (нелинейный эффект Мейсснера). Выведены формулы для нелинейной поправки появляющейся при наличии андреевских поверхностных уровней с малой энергией. Также получено аналитическое выражение для нелинейной поправки к глубине проникновения в нелокальном пределе при ориентациях не допускающих формирование поверхностных уровней. Глава 4 посвящена исследованию влияния приповерхностной неупорядоченности на андреевские поверхностные уровни и транспорт квазичастиц через них. Получено выражение для энергии примесного уровня в случае примеси лежащей вблизи поверхности. Найдена значитель-
^ ная пороговая поверхностная концентрация примесей разделяющая два ре-
жима влияния примесей на андреевский поверхностный уровень с нулевой энергией. Представлены результаты численного расчёта туннельного дифференциального кондактанса при разных поверхностных концентрациях примесей и силы их рассеивающего потенциала.
Глава 1
Основные уравнения
На сегодняшний день не существует общепризнанного микроскопического объяснения явления сверхпроводимости в высокотемпературных соединениях. Однако эксперименты по квантованию магнитного потока показывают, что сверхпроводимость в этих материалах обеспечивается за счёт образования куперовских пар. Не касаясь микроскопической причины притяжения между электронами в высокотемпературных сверхпроводниках, будем описывать состояние сверхпроводника в приближении слабой связи с анизотропным спаривательным взаимодействием приводящим к dx2_y2 симметрии параметра порядка. Существует несколько моделей объясняющих возникновение эффективного взаимодействия между квазичастицами именно такой симметрии. В этой работе микроскопическая природа спаривательного взаимодействия не обсуждается, а задаётся феноменологически.
1.1 Квазиклассическая теория сверхпроводимости
Существует несколько более или менее эквивалентных способов описания сверхпроводящего состояния. Все они основываются на идее существования куперовских пар или, что тоже самое, отличных от нуля аномальных средних. Детальное описание сверхпроводимости основывается или на уравнениях Боголюбова на квазичастичную волновую функцию или уравнений Горькова
10
«• на матричную гриновскую функцию [40]. В обоих этих подходах учитывают-
ся быстрые осцилляции на масштабе длины волны квазичастицы (~ 1/Р/)5 хотя во многих наблюдаемых величинах эти быстрые изменения оказываются заинтегрированными. Оказывается, что можно получить уравнения на, так называемую, квазиклассическую гриновскую функцию, которые уже не будут содержать быстро осциллирующих величин. Такое преобразование использует малость параметров (Т,Тс,ш)/Ер и медленность изменения внешних полей на фермиевской длине (1/р/) в рассматриваемых сверхтекучих ферми системах. Здесь Тс - критическая температура сверхпроводящего перехода, и и Ер - частота внешнего поля и энергия Ферми соответственно. Уравнения на квазиклассическую гриновскую функцию были впервые выведены в рабо-_ тах [41,42]. Современный обзор квазиклассической теории сверхпроводимости
можно найти в [43].
Вычисление отклика сверхпроводника и его туннельных характеристик, проделанное в следующих главах, будет основываться на квазиклассических уравнениях сверхпроводимости. В рамках этого подхода равновесная запаздывающая матричная гриновская функция удовлетворяет следующему урав-нению
[(е + ~Vf(pf) • A(r)J f3 - A(p/,r) - ?(p/, г; ?),?(?/, г; г)] +
• +Л/(р/)-^^-0, (1.1)
и условию нормировки
g2(pf,г; е) = -тг21 (1.2)
где е - энергия квазичастицы, р/ - импульс квазичастицы на поверхности Ферми, Vf(pf) - скорость Ферми, А(г) - векторный потенциал, А(р/, г) - матрица параметра порядка, <т(р/,г;е) - примесная собственно энергетическая часть. Символ со „шляпкой" обозначает матрицу 2 х 2 в Намбу пространстве. Записанные покомпонентно, пропагатор д, матрица параметра порядка Д и собственно-энергетическая часть в случае синглетного спаривания имеют
11
•' вид:
»-(A/f). *-(it) " '"fe^J- "3>
Для замыкания уравнения (1.1) необходимо выразить матрицы параметра порядка А и собственно-энергетической части а каким-либо образом через квазиклассическую гриновскую функцию д. В модели слабого спариватель-ного взаимодействия параметр порядка определяется из следующего условия самосогласования
Здесь V(pf,p'j) - спаривательное взаимодействие, ес - параметр обрезания. Сила спаривательного потенциала и энергия обрезания в окончательных ответах всегда входят в комбинации, выражающейся через критическую температуру сверхпроводящего перехода. В задачах, рассмотренных далее, предполагается, что спаривательное взаимодействие представимо в виде V(p/,p'y) = Уф(р/)ф*(р';). Здесь V - константа связи, соответствующая максимальной критической температуре, ^(р/) ~ нормированная функция описывающая симметрию сверхпроводящей фазы.
Рассеяние на точечных дефектах, случайно распределённых в сверхпроводнике, может быть включено в квазиклассическую теорию сверхпроводимости. Соответствующая собственно-энергетическая часть имеет следующий вид
a(pf,r;e) = nimp \i{pf,Pf\e) - -Tri(pf,pf;?)\ . (1.5)
Здесь riimp - объёмная концентрация примесей, i(pf,p'f',e) - it-матрица рассеяния, которая удовлетворяет уравнению
i{pf,p'f;e) = uo(pf,p'f) + Nf (noCP/.P/^CP/.rjc^V/.P/'.e))^ • (1-6)
Здесь uo(pf,p'f) - потенциал рассеяния на изолированной примеси. В квазиклассические уравнения сверхпроводимости (1.1) собственно-энергетическая часть входит под знаком коммутатора, поэтому к собственно-энергетической
12
«> части можно прибавить любую матрицу пропорциональную tq. Этот произ-
вол в определении использован в (1.5), чтобы обратить след и в ноль.
В модели изотропного примесного рассеяния uo(pfyp'f) = щ уравнение на i-матрицу решается явно, что позволяет выразить примесную собственно-энергетическую часть через гриновскую функцию
и2 тг2
Здесь через и обозначен обезразмеренный потенциал рассеяния на примеси й = ixNfiiQ.
Квазиклассическая гриновская функция, примесная собственно-энергетическая часть и матрица параметра порядка обладают некоторыми общими соотношениями симметрии, связывающими величины при различных значениях импульса и энергии
я(р/,г;е) = т2ОЕ(-р/,г,-е))*Т2 . (1.8)
Здесь под х понимается или матричная гриновская функция g(pf,r;e), или собственно энергетическая часть а(р/,г;е), или матрица параметра порядка A(pf,r). Записанное покомпонентно, соотношение (1.8) принимает вид
. г; е) = -x*g(-pf, r,-e), ,= {х9 xf\
-xgj
Зная квазиклассическую гриновскую функцию, несложно найти такую величину как локальную плотность состояний
(1.10)
Из соотношения (1.9) следует, что усреднённая по поверхности Ферми плотность состояний v(r\e) = (y{pf,r\e)) является чётной функцией энергии. Это обстоятельство отражает тот факт, что в квазиклассическом приближении нет различия между спектром электронно-подобных и дырочно-подоб-ных возбуждений.
13
«•> Плотность электрического тока выражается через гриновскую функцию
следующим образом
00
j(r) = 2eNfRe J ^ tanh (^) (vf(pf)g(pf,r;e)). (1.11)
—оо
В некоторых случаях удобнее пользоваться мацубаровской гриновской функцией, которая является аналитическим продолжением запаздывающей гриновской функции с действительной оси на верхнюю мнимую полуось
,r;u;n) = g(pf,r;e)\ n > 0. (1.12)
Здесь и>п = 7гТ(2п + 1) - фермиевская мацубаровская частота. Значение мацубаровской гриновской функции при отрицательных частотах можно найти из аналитического продолжения опережающей гриновской функции на отрицательную мнимую полуось. Мацубаровская гриновская функция и собственно-энергетическая часть обладает следующими симметриями
,r]ujn) =f3 {xM{pf,r,-ujn))+t3, ,r;wn) =fi (xM(-ps,r,-wn))
(1.13)
Записанные покомпонентно, соотношения (1.13) выглядят следующим образом
,r;Lon) = -(xf (pf,r, -u>n))*,
(1.14) f f,r;ujn) = xf{-pf,r,-ujn). (1.15)
Для перехода в формулах подобной (1.4) от запаздывающих к мацубаров-ским гриновским функциям удобно использовать следующее соотношение, связывающее интегрирование по действительной оси энергий с суммированием по положительным мацубаровским частотам
оо
-00 П>0 П>0
14
Здесь учтено то, что функция FR(e) аналитична в верхней полуплоскости.
Уравнения Эйленбергера (1.1) являются системой линейных уравнений, определяющих изменение гриновских функций вдоль классической траектории квазичастицы. Если ввести две новые функции, связанные с гриновскими функциями соотношениями
то функции a(pf,r;e) и a+(pf,r;e) будут удовлетворять независимым уравнениям типа Риккати [44]. В данной работе такая параметризация использовалась при численном самосогласованном решении уравнений Эйленбергера (1.1). В некоторых случаях удобна другая, но эквивалентная параметризация [45]
f{pf,r;s) = (-i7rsgn[xvftX{p)] - g(pf,r]?))exp(irj{pf,r;e)), (1.18)
f+(pf,r;e) = (-Шsgn[xvfiX{p)} + g(pf,r;e)) exp {-iT]{pf)r]e)). (1.19)
Уравнение нормировки (1.2) выполняется тогда тождественно, а функция 77 удовлетворяет уравнению
Vrdrj(pf,r\e) e . s .. .
+e + Vf{Pf)(Г) "
2 дг +e + c
- \&(pf,r)\cos{r}(pf,r;e) - ф(рг,г)) = 0. (1.20)
Здесь ф(р/,г) - фаза параметра порядка A(pf,r) = \A(pf,r)\e^pf>r\ a a(pj,r\e) - эффективная собственно-энергетическая часть
^^;''';е). (1.21) На функцию 7] также необходимо наложить асимптотическое условие
sgn[xvf
0, |а;| -* оо, (1.22)
которое гарантирует правильное поведение гриновской функции в глубине сверхпроводника.
15
Нормальная гриновская функция д(р/, г; е) после подстановки параметризации (1.18) в уравнения Эйленбергера (1.1) будет удовлетворять обыкновенному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. Его решение можно записать в виде
g(pf, х; е) = g(pf, 0; e)E(pf, 0, х; е)-
X О Р
- | ^ ,П V. \A(pf),x'\cos(r](pf,x';e)-(t)(pf,xf))E(pf,x',x;e)dx') (1.23)
о где через Е(р/,х,х';е) обозначена следующая комбинация
E(pf,x,x';e) = ехр -—— / lA^^'Olsin^^/,^';^ - (1.24)
Первое слагаемое в правой части (1.23) затухает при удалении от поверхности благодаря асимптотическому условию (1.22), а второе слагаемое обращается в ноль на поверхности и переходит в объёмную гриновскую функцию вдали от поверхности. Выражение (1.23) написано, для простоты, в пределе чистого сверхпроводника. Наличие примесного рассеяния можно учесть в (1.23) с помощью замены Л —¦* Л — а/ Величина д{р/,0\?) в (1.23) во всех рассмотренных случаях далее выражается через функцию г] на поверхности х — 0.
Квазиклассическое приближение неприменимо вблизи быстроменяющегося потенциала, создаваемого примесью, поверхностью или границей раздела. Однако существуют методы позволяющие описать влияние таких потенциалов не выходя из рамок квазиклассического приближения [43]. Метод описания рассеяния на изолированной примеси рассмотрен в разделе 4.1. Наличие поверхностей и границ раздела можно учесть дополнив квазиклассические уравнения соответствующими граничными условиями. В наиболее простом случае зеркально отражающей полностью непрозрачной поверхности граничное условие выглядит следующим образом
g{Pf,rsurf;e) - g(pf,rsurf\e). (1.25)
Здесь Pf и р - падающий и отражённый импульс квазичастицы, rsurf - точка отражения квазичастицы от поверхности. Аналогичное граничное условие, связывающее квазиклассические гриновские функции для падающего и
16
отражённого направления импульса можно вывести и для гладкой поверхности раздела произвольной прозрачности, разделяющей два сверхпроводника [46,47]. Необходимо отметить, что граничное условие (1.25) выведено, фактически, только для цилиндрической и сферической поверхностей Ферми. Подставляя в уравнение (1.25) параметризацию (1.18), находим
/ v(Pf^surf,e) -г](р rsurf\e)\ g{Pf,rsurf;?) = —гтгcth I -г-------------------------J------------- I . (1.26)
Это соотношение на границе между функцией ту и гриновской функцией даёт недостающее соотношение для вычисления гриновской функции по формуле (1.23).
1.2 Поверхностные состояния
Связанным андреевским состояниям локализованным вблизи поверхности сверхпроводника с законом дисперсии ?в(р/) соответствуют полюса квазиклассической гриновской функции при энергии с = ев(Р/)- На гладкой поверхности или границе раздела сверхпроводников могут формироваться связанные состояния (см. например работу [17] и указанную там литературу). В случае зеркально отражающей непрозрачной поверхности х = 0 из уравнения (1.26) видно, что полюса гриновской функции совпадают с решением следующего уравнения
T7(p/,0;e) = i7(p/J0;e). (1.27)
Из уравнения (1.20) несложно найти поведение функции ту вблизи энергии связанного состояния
±оо
2 Г
7]{pf,x;e) =7]{pf,x;eB(pf)) - -——-(е - ев(р/)) / E(pf,x,x';eB{Pf))dx'.
vf,x{Pf) J
X
(1.28)
Знак верхнего предела в интеграле в (1.28) выбирается таким образом, чтобы он совпадал со знаком х. В результате из уравнений (1.26) и (1.28) находим,
17
что гриновская функция вблизи энергии связанного состояния ведёт себя следующим образом [17]
2\A(pf)\\A(pf)\
J \A(pf,x')\Sm(r](pf,x/;e(pf)) - ф(р/,х'))(1х/) . (1.29)
Vf,x(Pf)
Здесь |Д(р/)| - эффективный поверхностный параметр порядка 1 2
'x о
X \
I \A{pf,x')\sm(r)(pf,x')e(pf)) - (pf,x'))dx' I dx.
У
(1.30)
Удобно также ввести следующее обозначение
|Д(р )| f)\
Важным случаем, который понадобится в дальнейшем, является формирование поверхностного уровня с нулевой энергией в сверхпроводнике с анизотропным спариванием. Решение уравнения (1.20) при малых энергиях и не зависящей от координат фазе параметра порядка имеет вид
?7(р/,х;е) = (j>{pf) + ?sgn.[vf,x(pf)x] - ~? sgn[vf2 \ЩРх)\
Из уравнения (1.32) видно, что поверхностный уровень с нулевой энергией существует в том случае, если параметр порядка меняет свой знак при отражении квазичастицы от поверхности ф(р/) = 4>(pf) + тг. В этом важном случае, поверхностного уровня с нулевой энергией выражение для полюсной части гриновской функции (1.29) и эффективного поверхностного параметра 
