ВВЕДЕНИЕ
Первое строгое аналитическое исследование устойчивости заряженной капли идеальной электропроводной жидкости по отношению к бесконечно малым тепловым искажениям ее формы было выполнено в XIX - веке и принадлежит Рэлею. С тех пор заряженная капля стала объектом пристальных теоретических и экспериментальных исследований, спектр которых определяется значительным списком технических, технологических, геофизических и академических приложений, в которых заряженная капля играют определяющую роль.
Теоретические исследования нелинейных капиллярных колебаний и устойчивости заряженной капли вязкой жидкости по отношению к деформации ее равновесной сферической формы, основаны на решении нелинейных уравнений электрогидродинамики, содержащих нелинейное уравнение Навье-Стокса и нелинейные граничные условия. Нелинейность задачи стала причиной того, что до настоящего момента времени, решить данную задачу в строгой постановке никому еще не удавалось. В связи с таким положением дел исторически выделились приближенные подходы к решению обсуждаемой задачи, содержащие ряд упрощающих допущений.
К простейшим решениям такой задачи следует отнести приближение идеальной жидкости, в котором векторное поле скоростей можно представить в виде градиента скалярного потенциала и отыскать точное общее решение гидродинамической части задачи. Однако форму свободной поверхности капли можно найти только из нелинейных граничных условий, которые представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения для функции,
5 определяющей форму поверхности капли. Решение этих уравнений связно с существенными
математическими трудностями, потому для их решения обычно используют методы возмущений. Использование этих методов позволяет исследовать устойчивость капли по отношению к бесконечно малым тепловым искажениям ее формы по первому приближению. Однако в этом приближении автономная система дифференциальных уравнений, описывающих капиллярные колебания капли идеальной жидкости, имеет чисто мнимые собственные числа при параметре Релея не превосходящем четырех и действительные положительные при параметре Рэлея превышающем четыре. Согласно теореме Ляпунова об исследовании устойчивости автономных систем по первому приближению можно утверждать, что при параметре Рэлея, превышающем четыре и нелинейная система будет так же неустойчивой. Однако в том случае, когда параметр Рэлея меньше четырех об устойчивости или неустойчивости нелинейной системы сказать нечего нельзя. В связи с этим в конце XX века появились работы, исследующие нелинейную динамику заряженной капли идеальной жидкости. Наиболее первыми работами в этой области явились работы, выполненные Tsamopolous & Brown, в которых авторы рассмотрели решение задачи о капиллярных колебаниях заряженной капли идеальной жидкости во втором порядке малости и выделили сдвиг частот, который появляется только в третьем порядке малости по величине начальной деформации капли. Как и следовало ожидать, они обнаружили уменьшение критического значения параметра Рэлея, при котором капля идеальной жидкости становится неустойчивой. Однако их работы были выполнены для начального возбуждения одной из мод: второй, третьей, четвертой капиллярных колебаний поверхности свободной капли идеальной жидкости, находящейся в вакууме.
Теоретическое исследование капиллярных колебаний и устойчивости заряженной капли вязкой жидкости по отношению к бесконечно малым искажениям ее формы в случае учета вязкости жидкости наталкиваются на еще большие трудности математического плана, чем в случае идеальной жидкости. Для преодоления которых был разработан метод скаляри-зации векторных краевых задач. Идея этого метода основана на известной теореме Гельм-гольца о возможности разделения векторного поля на потенциальную и вихревую компоненты. Данный метод хорошо применим к исследованию устойчивости нелинейной гидродинамической задачи о капиллярных колебания заряженной капли вязкой жидкости по первому приближению. Чисто теоретически, данный метод, дополненный методами интегральных преобразований (преобразования Лапласа, Фурье и т.д.) и методами теории возмущений, позволяет решить начальную краевую задачу о капиллярных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости, то есть отыскать явный вид полей скоростей, давлений, а,так же образующей капли. Однако, не смотря на это, теоретических работ, в которых найдены конкретные выражения для физических величин, исследуемой задачи нет. Содержание же большинства работ, использующих метод скаляризации, ограничивается исследование дисперсионного
6
соотношения. Исследование же нелинейной стадии развития неустойчивости заряженной капли вязкой жидкости на основе метода скаляризации наталкивается на математические затруднения, которые до настоящего времени никому из исследователей преодолеть не удалось.
Цель работы состояла в исследовании влияния вязкости жидкости и величины начальной деформации заряженных капель и пузырьков в жидкости на нелинейные осцилляции их формы. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
- выделение нелинейного сдвига частот при нелинейных осцилляциях заряженной капли идеальной жидкости, находящейся в вакууме, при начальной произвольной одномодовой деформации ее формы и определение формы ее образующей;
- выделение сдвига частот свободной заряженной капли идеальной жидкости при многомодовой начальной деформации ее формы;
- исследование влияния внешней среды на нелинейные поправки к частотам осцилляции заряженной капли и на форму ее образующей;
- исследование четырехмодовых внутренних нелинейных резонансных взаимодействий мод капли идеальной жидкости;
- разработка метода решения нелинейной задачи о капиллярных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости;
- исследование влияния вязкости на закономерности линейных колебаний заряженной капли;
- исследование влияния вязкости на особенности нелинейных осцилляции заряженной , капли;
- изучение влияния вязкости на условия резонансного взаимодействия мод в задаче второго порядка малости по величине начальной ее деформации;
- изучение влияния движения газа внутри газового пузырька на закономерности его осцилляции в жидкости;
- исследование влияния вязкости на устойчивость газового пузырька в жидкости;
- исследование влияния вязкости жидкости на закономерности нелинейных осцилляции газового пузырька в ней;
- изучение закономерностей диспергирования заряженной капли и заряженного пузырька во внешнем электростатическом поле.
Научная новизна работы состоит в том, что в ней:
- разработан асимптотический метод решения задачи о нелинейных капиллярных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости, основанный на теории возмущений и преобразовании Лапласа;
7
- впервые найдено решение задачи о нелинейных капиллярных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости во втором порядке малости по величине начальное ее деформации;
- исследовано влияние вязкости жидкости на форму образующей капли при линейных и нелинейных ее осцилляциях;
- изучено влияние вязкости жидкости на положение нелинейных трехмодовых резо-нансов, которые имеют место в задаче второго порядка малости по величине начального возмущения капли;
- впервые найдены поправки к частоте капиллярных колебаний заряженной капли идеальной жидкости, совершающей нелинейные колебания для случая произвольного мно-гомодового начального искажения ее формы;
- впервые изучено влияние внешней среды на нелинейные осцилляции заряженной капли идеальной жидкости в третьем порядке малости по величине многомодовой начальной деформации капли и на нелинейную поправку к частоте ее колебаний;
- выяснено влияние вязкости жидкости на устойчивость линейных и нелинейных осцилляции пузырька в жидкости.
Научная и практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты существенно расширяют фундаментальные представления о роли нелинейных эффектов и вязкости жидкости на эволюцию жидко-капельных систем искусственного и естественного происхождения.
На защиту выносятся
- асимптотический метод решения задачи о нелинейных колебаниях заряженной капли вязкой жидкости;
- теоретический анализ влияния вязкости жидкости на форму образующей нелинейно осциллирующей заряженной капли;
- исследование влияния вязкости на положение внутренних нелинейных трехмодовых резонансов при осцилляциях заряженной капли;
- анализ влияния формы начальной деформации заряженной капли идеальной жидкости на нелинейные поправки к частоте капиллярных колебаний ее поверхности;
- теоретический анализ влияния внешней среды на нелинейные поправки к частотам осцилляции заряженной капли идеальной жидкости;
- теоретическое исследование внутреннего нелинейного четырехмодового резонанса, между модами капли идеальной жидкости, совершающей нелинейные колебания;
- анализ влияния вязкости жидкости на устойчивость газового пузырька в диэлектрической жидкости;
8 Апробация работы: Результаты работы докладывались на: VII Четаевской научной
конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань. 1997); молодежной научно-практической конференции «Проблемы моделирования в естествознании» (Волжский. [1997]); I, II, III и IV Всероссийских конференциях «Математика и математическое образование» (Ярославль. [1999; 2001; 2002, 2004]); на международной конференции "Annual Conference on liquid atomization & spray systems" (Zurich) [2001]; 3-ей областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых вузов "Ярославский край. Наше общество в третьем тысячелетии" (Ярославль) [2002]; IX, X, XI Международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва. [2002, 2003, 2005]); XVIII - XXI научных конференциях Стран СНГ "Дисперсные системы" (Одесса) [1998, 2000, 2002; 2004]; V, VI и VII-ой международных научных конференциях "Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики" (С-Петербург) [1998, 2000, 2003]; Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского государственного университета (Ярославль) [2003]; IX Всероссийской конференции молодых ученых "Состав атмосферы и электрические процессы" САтЭП-2005 (Борок) [2005].
Структура и объем работы. Диссертация общим объемом 285 страниц, содержит 73 рисунка, 10 таблиц, состоит из введения, пяти глав, приложений, заключения, и списка литературы из 312 наименования.
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЗАРЯЖЕННЫХ КАПЕЛЬ И ПУЗЫРЬКОВ В ЖИДКОСТИ
1.1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ ЗАРЯЖЕННЫХ КАПЕЛЬ
Исследование осцилляции заряженной капли в окрестности равновесной формы и их устойчивости представляет значительный интерес для различных разделов технической физики, научного приборостроения, геофизики и химической технологии (см., например, обзоры [Baily 1974; Коженков и Фукс 1976; Bogy 1979; Гонор и Ривкинд 1982; Габович 1983; Блаженков, Дмитриев и Шишов 1983; Bailey 1986; Дудников и Шабалин 1987; Ширяева, Григорьев и Сыщиков 1989; Fenn et al. 1989; Григорьев 1990; Григорьев, Ширяева и Шевченко 1991; Шевченко, Григорьев и Ширяева 1991; Ширяева, Григорьев и Святченко 1993; Григорьев и Ширяева 1994; Белоножко и Григорьев 2000 а] и указанную в них литературу). В этой связи, она неоднократно решалась, как теоретически, так и экспериментально, в линейной и нелинейной постановках различной строгости. Большая часть исследований, прове-
9
денных к настоящему времени, выполнена в линейной постановке, а соответствующие работы достаточно подробно описаны в процитированных обзорах. В этой связи в нижеследующем изложении основное внимание будет уделено исследованиям осцилляции капель в нелинейных постановках.
1.1.1. Исследование нелинейных осесимметричных осцилляции капли и ее устойчивости по отношению к собственному заряду
Первое аналитическое исследование нелинейных осцилляции капель идеальной несжимаемой жидкости и пузырей в идеальной несжимаемой жидкости выполнено в 1983 году Тсамопулосом и Брауном [Tsamopolous & Brown 1983] асимптотическим методом Линдш-тедта-Пуанкаре с использованием пакета символьных компьютерных вычислений «МАС-SYMA 1977». Следует отметить, что успешно проведенные аналитические асимптотические анализы нелинейных осцилляции капель стали появляться только после широкого внедрения компьютерных пакетов аналитических символьных вычислений: в виду большой громоздкости расчетов только проверка расчетов на компьютерах позволила приобрести уверенность в их справедливости.
Сами расчеты проводились по обычной схеме асимптотического анализа: исходная нелинейная задача после разложения по малому параметру сводилась к нескольким неоднородным линейным задачам различных порядков малости, а искомое решение представлялось в виде асимптотического разложения по малому параметру с коэффициентами, найденными, при решении задач соответствующих порядков малости.
В работе [Tsamopolous & Brown 1983] все расчеты проводились для одномодовой осе-симметричной начальной деформации формы капли (пузыря), определяющейся вторым, третьим и четвертым полиномами Лежандра соответственно, начальное же распределение поля скоростей принималось нулевым. Центрально симметричные осцилляции пузыря не рассматривались. Аналитические выражения для формы капли (пузыря), потенциала поля скоростей течения жидкости для трех указанных видов начальной деформации выписаны с учетом слагаемых второго порядка малости по малому параметру s, в качестве которого принималось отношение амплитуды начальной деформации к радиусу капли. В работе приведены рассчитанные контуры образующих, линейно и нелинейно осциллирующих капель, для вышеуказанных трех видов начальной деформации ее формы.
Поправка к частоте осцилляции, квадратичная по амплитуде осцилляции (по параметру 8), искалась (в трех частных случаях, когда начальное возмущение поверхности содержит только одну моду: вторую, третью, или четвертую) в расчетах третьего порядка малости и учитывалась лишь в основном (~8) слагаемом асимптотического разложения. Речь идет о
10
выражении вида: ~?• cos[(co — b-s )t]. Несложно видеть, что, если разложить такое выражение в ряд по Б, то слагаемое ~6/, будет содержать малый параметр е в третьей степени. Такая не совсем корректная форма записи результатов нелинейных асимптотических анализов, когда деформация поверхности и потенциал поля скоростей выписываются лишь во втором порядке по малому параметру, а нелинейная поправка к частоте - в третьем, является традиционной и используется также в задачах о нелинейных осцилляциях жидких струй [Nayfeh 1970 b] и нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волнах (волнах Стокса) [Nayfeh 1970 а]. Кроме того, в расчетах [Tsamopolous & Brown 1983] выяснилось, что
поправка к частоте осцилляции капли ~ 8 , отсутствует.
Найденное в работе [Tsamopolous & Brown 1983] снижение частоты осцилляции капли (пузыря) с увеличением их амплитуды хорошо согласовалось с ранее полученными результатами численного моделирования осцилляции капли вязкой жидкости [Foote 1973], а также с результатами экспериментальных измерений [Trinch & Wang 1982 а]. Естественно, что сравнение теоретических результатов работы [Tsamopolous & Brown 1983], полученных для идеальной жидкости, с результатами численных расчетов работы [Foote 1973] проводилось в
асимптотике малой вязкости, когда l)^/(p/cj/?) « 1 (р - плотность жидкости; v- коэффициент ее кинематической вязкости; о - коэффициент поверхностного натяжения; R — радиус капли). В работе [Tsamopolous & Brown 1983] был также подтвержден ранее отмеченный в работах [Foote 1973; Trinch & Wang 1982 а] факт временной асимметрии осцилляции: при начальном возбуждении основной моды, когда форма капли осциллирует между вытянутым и сплюснутым сфероидами, время нахождения капли (пузыря) в состоянии вытянутого сфероида превышает время ее нахождения в сплюснутом состоянии, и эта тенденция усиливается с увеличением амплитуды осцилляции.
Приведенные выражения для потенциальной и кинетической энергии осциллирующей капли во втором порядке малости в силу их квадратичности по амплитуде деформации равновесной формы и скорости течения жидкости, соответственно, целиком определились решениями линейного приближения, квадратичные поправки к величине деформации капли и полю скоростей течения жидкости в выписанные выражения не вошли т.к. приводят к поправкам не ниже третьего порядка малости.
В работе [Tsamopolous & Brown 1984] результаты, полученные в исследовании [Tsamopolous & Brown 1983], были обобщены на случай наличия на капле электрического заряда. Жидкость же принималась электропроводной. Математическая формулировка задачи о нелинейных осцилляциях капли, использованная в работе [Tsamopolous & Brown 1983], пополнена электростатической задачей расчета давления электрического поля собственного заряда нелинейно осциллирующей капли, связанной с чисто гидродинамической задачей
11
[Tsamopolous & Brown 1983] через динамическое граничное условие на свободной поверхности капли. Условие применимости электростатического приближения к расчету электрического поля у свободной поверхности, совершающей нелинейные осцилляции выписано в виде требования малости характерного времени электропроводности в капле по сравнению с гидродинамическим временем (с характерным масштабом обезразмеривания времени):
¦\][р' R /а) » (x/4tis* • R ), здесь ^-удельное сопротивление жидкости, е, - диэлектрическая проницаемость воздуха (размерная). При расчетах использовался асимптотический метод многих временных масштабов [Найфе 1976], что позволило по сравнению с исследованием [Tsamopolous & Brown 1983] найти положения внутренних нелинейных гармонических резонансов для взаимодействия мод осцилляции, возбуждающихся в заряженной капле во втором и третьем порядках малости, и построить решения, пригодные в окрестности резонанса четвертой и шестой мод. Сами расчеты проводились с использованием пакета символьных компьютерных вычислений «MACSYMA».
Найденные в работе [Tsamopolous & Brown 1984] в расчетах второго порядка малости квадратичные по малому параметру компоненты решений (деформации формы капли, потенциала поля скоростей течения жидкости в ней и электростатического потенциала в окрестности капли), а также поправки к частотам осцилляции, определяемые в расчетах третьего
порядка малости, содержали в знаменателях множители вида: \pm—j *С0и], где (йт и (Оп
- частоты различных мод осцилляции капли; j - целое число. В некоторых ситуациях (при некоторых значениях собственного заряда капли Q, ее радиуса и величины коэффициента
поверхностно натяжения) может выполниться соотношение \pm~j •В исследовании [Tsamopolous & Brown 1984] в расчетах второго порядка малости был обнаружен резонанс между четвертой (п=4) и шестой (и=б) модами при некотором заряде капли Qr, докритическом в смысле линейной устойчивости заряженной капли по отношению к собственному заряду (в смысле анализа устойчивости, проведенного Рэлеем [Rayleigh, Lord. 1882]) Qr12
стройки на основе варьирования заряда капли Q в малой окрестности Qr и построили решение справедливое в самой точке резонанса и в его окрестности. Они показали, что в точке резонанса энергия полностью перекачивается из изначально возбужденной четвертой моды в шестую меньше чем за три периода осцилляции четвертой моды. Они показали, что максимальная амплитуда шестой моды достигается в положении точного резонанса (при равной нулю величине параметра расстройки) и что амплитуда шестой моды убывает по гиперболическому закону при увеличении абсолютной величины параметра расстройки.
В работе [Tsamopolous & Brown 1984] также показано, что резонансные ситуации между модами осцилляции реализуются и для незаряженной капли. В частности, такое взаимодействие для основной (и=2) и четвертой (п=4) мод обнаруживается в расчетах третьего порядка малости. Указанная степень малости приводит к существенному увеличению (на порядок) характерного времени обмена энергией между резонансно взаимодействующими модами.
В заключении Тсамопулос и Браун [Tsamopolous & Brown 1984] качественно оценивают возможное влияние малой вязкости на характерные черты нелинейных осцилляции. Так они полагают, что результаты их расчетов можно сравнивать с данными экспериментов с маловязкими каплями, когда характерное время затухания осцилляции, обусловленное вязкостью, много больше характерного временного масштаба осцилляции капли идеальной жидкости. Говоря о влиянии вязкости на резонансное взаимодействие, они полагают, что для ре-зонансов второго порядка малости малая вязкость должна влиять на обе взаимодействующие моды одинаковым образом независимо от факта их взаимодействия. Это представляется неверным, ибо хорошо известно [Ламб 1947], что декременты вязкого затухания осцилляции капель существенно зависят от номеров мод и не могут быть одинаковы для разных мод. Для резонансов, обнаруживаемых в расчетах третьего порядка малости, влияние даже малой вязкости вполне справедливо полагается весьма существенным ввиду большой длительности характерного времени обмена энергией между резонансно взаимодействующими модами.
Для сравнения результатов проведенного анализа с экспериментальными данными Тсамопулос и Браун [Tsamopolous & Brown 1984] предлагают воспользоваться результатами экспериментов с электростатическим подвесом заряженных капель в поле сил тяжести, ссылаясь при этом на результаты расчета равновесной формы заряженной капли [Adornato & Brown 1983]. В работе [Adornato & Brown 1983] было получено, что отклонение равновесной формы заряженной капли во внешнем электростатическом поле от сферической невелико. Такое предложение представляется излишне поспешным, ибо согласно результатам работ [Cheng 1985; Григорьев 1985; Григорьев и Синкевич 1985] поправки к частотам осцилляции капель во внешних электрических полях, связанные с отклонением формы капли от сферической (со сфероидальной деформацией), достаточно велики и имеют тот же порядок величи-
13 ны, что и поправки, связанные с нелинейностью осцилляции. Вопрос о нелинейных осцилля-
циях заряженной капли во внешнем электростатическом поле нуждается в отдельном исследовании, которое представляется весьма сложным даже по прошествии двух десятков лет со времени появления цитируемых работ Тсамопулоса и Брауна.
Следующей в порядке появления в свет и накопления информации о нелинейных ос-цилляциях капель и методах анализа подобных задач явилась работа Тсамопулоса, Акиласа, Брауна [Tsamopolous, Akylas & Brown 1985], в которой были проанализированы особенности нелинейных движений заряженной капли идеальной несжимаемой электропроводной жидкости, несущей заряд весьма близкий к критическому в смысле устойчивости капли по отношению к собственному заряду. В отличие от цитированных выше работ Тсамопулоса и Брауна в работе [Tsamopolous, Akylas & Brown 1985] использовались начальные условия двух типов: 1) начальное распределение поля скоростей принималось нулевым, а исходная деформация задавалась виртуальным возмущением основной (п=2) моды; 2) в начальный момент времени величины поля скоростей и деформаций поверхности принимались отличными от нуля. Показано, что переход от устойчивых осцилляции в окрестности равновесной сферической формы при заряде близком к критическому в смысле линейной устойчивости к неустойчивым движениям, связанным с нарастанием амплитуды основной моды (с деформацией к семейству сплюснутых и вытянутых сфероидов) является транскритической бифуркацией.
Следует отметить, что некоторые компоненты решений, полученных в исследовании
[Tsamopolous & Brown 1984], содержат квадрат частоты й)2 осцилляции основной моды (п=2) в знаменателях в качестве сомножителя, а т.к. при приближении заряда капли Q к критическому значению Q* частота СО2 —> 0, то соответствующие решения расходятся и становятся непригодными. В этой связи построение решений, пригодных в пределе Q —> Q*, требует устранения возникающих расходимостей. В иследовании [Tsamopolous, Akylas & Brown 1985] эта цель достигается путем введения зависимости Q* от малого параметра 6, характеризующего начальную сфероидальную деформацию, по аналогии с тем как в работе [Nayfeh 1970 b] исследовалась нелинейная устойчивость жидкой струи в окрестности критического волнового числа. Сама идея зависимости величины собственного заряда, критической для начала распада заряженной капли, от степени сфероидальной деформации была высказана еще Бором и Вилером [Bohr & Wheeler 1939] в связи с разработкой капельной модели ядра атома (одновременно с работой [Tsamopolous, Akylas & Brown 1985] эта идея была положена в основу анализа физического механизма реализации неустойчивости капли по отношению к собственному заряду в исследовании [Григорьев 1985] и неустойчивости незаряженной капли в однородном внешнем электростатическом поле в работе [Григорьев и Синкевич 1985]).
14
В работе [Tsamopolous, Akylas & Brown 1985] весь анализ проводился как асимптотическими методами, так и численными (методом конечных элементов). Результаты асимптотического и численного анализа исследования [Tsamopolous, Akylas & Brown 1985] хорошо согласуются между собой. Устойчивость нелинейных осцилляции капли, имеющий заряд близкий к критическому (отличающийся от критического на величину первого порядка малости), исследуется в терминах теории бифуркаций. При отыскании решения второго порядка малости, когда начальная деформация определяется основной модой, в получающихся функциях неоднородностей приравниваются нулю слагаемые, приводящие к появлению се-кулярных членов. Суперпозиция таких слагаемых дает так называемое «условие разрешимости»: обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее временную эволюцию амплитуды основной моды осцилляции. Бифуркационный анализ такого уравнения показал, что при докритических в смысле линейной устойчивости величинах собственного заряда нелинейные осцилляции основной моды капли остаются устойчивыми, если их амплитуда не превышает определенного значения, зависящего от отклонения величины заряда капли от критической. В противном случае капля претерпевает неустойчивость. Точка бифуркации при выполнении условия Q < Q* является устойчивой (центром),
при Q > Q* - неустойчивой (седлом).
В работе [Tsamopolous, Akylas & Brown 1985] показано, что начальная деформация заряженной сферической капли к вытянутому сфероиду снижает величину критического для распада капли заряда. Деформация капли к сплюснутому сфероиду увеличивает ее устойчивость по отношению к собственному заряду, если ограничивать рассмотрение осесиммет-ричными виртуальными осцилляциями (этот результат в последствии будет подтвержден в численных анализах Басарана и Скривена [Basaran & Scriven 1989 a; Basaran & Scriven 1989 b]). Дальнейшая судьба неустойчивой по отношению к собственному заряду вытянутой сфероидальной капли в исследовании [Tsamopolous, Akylas & Brown 1985] трактуется в рамках представлений о ее делении на части сравнимых размеров, и численно рассчитываются формы делящейся капли в различные моменты времени. Однако построенная в данной работе [Tsamopolous, Akylas & Brown 1985] картина распада не согласуется с многочисленными экспериментами по проверке справедливости критерия Рэлея (см., например, обзоры [Григорьев 1990; Григорьев, Ширяева и Шевченко 1991; Григорьев и Ширяева 1994]), в которых утверждается, что неустойчивая капля, сбросив заметную часть своего заряда, сохраняет практически неизменной свою массу (точнее говоря, изменение массы капли находится в пределах погрешности измерений [Schweizer & Hanson 1971]). В этой связи предлагаемый в работе [Grigor'ev & Shiryaeva 1994] распад неустойчивой капли путем сброса с ее вершин серии высокодисперсных сильно заряженных капелек представляется более адекватным экспериментальным данным. Вопрос об устойчивости сплюснутой сфероидальной капли по от-
15 ношению к неосесимметричным деформациям в исследовании [Tsamopolous, Akylas &
Brown 1985] поднимается, но ответа на него не дается в виду сложности предполагаемого анализа.
1.1.2. Устойчивость заряженной капли по отношению к неосесимметричным ос-
цилляциям
Устойчивость заряженной капли, имеющей форму сплюснутого сфероида, по отношению к неосесимметричным деформациям был исследован позднее в работах [Григорьев и Фирстов 1992; Григорьев и Ширяева 1999; Щукин и Григорьев 1998]. Так в работах [Григорьев и Фирстов 1992; Григорьев и Ширяева 1999] в рамках линейного анализа показано, что по достижении зарядом сплюснутой капли рэлеевского предела она становится неустойчивой по отношению к неосесимметричным деформациям ~.P22(cos#). В исследовании
[Щукин и Григорьев 1998] выписано выражение для потенциальной энергии заряженной капли, имеющей форму трехосного эллипсоида и показано, что потенциальная энергия сплюснутой сфероидальной капли больше энергии трехосной эллипсоидальной капли, которая в свою очередь больше энергии вытянутой сфероидальной капли. Таким образом, заряженной до рэлеевского предела сплюснутой сфероидальной капле, энергетически выгодно деформироваться к форме трехосного эллипсоида, которому в свою очередь энергетически выгодно деформироваться к неустойчивой вытянутой сфероидальной форме.
Нелинейное резонансное взаимодействие пятой (л=5) и восьмой (п=8), а также десятой (п=10) и шестнадцатой (п=16) мод в незаряженной капле идеальной несжимаемой жидкости рассмотрено Натараньяном и Брауном в своем исследовании [Natarajan & Brown 1986]. Само исследование проведено в рамках Лагранжева подхода, ранее использованного при изучении капиллярно гравитационных волн на поверхности воды. В выписываемый лагранжиан вводятся в соответствии с идеей метода разных временных масштабов быстрое (характеризующее решения первого порядка малости) и медленное (характеризующее решения второго порядка малости и в том числе нелинейное взаимодействие мод) времена. Начальная деформация задается суперпозицией пары взаимодействующих мод: 5-ой и 8-ой или 10-ой и 16-ой. Затем лагранжиан усредняется по быстрому времени. Уравнения Эйлера-Лагража, соответствующие оставшейся после усреднения части Лагранжиана, содержат лишь медленное время и описывают квадратичное по малому параметру взаимодействие мод, определяющих начальную деформацию. Результаты расчетов резонансного обмена энергией между взаимодействующими модами в случае осесимметричных осцилляции зависят от парциального вклада взаимодействующих мод в начальную деформацию.
16
В работе [Natarajan & Brown 1986] показано, что если не ограничивать рассмотрение осесимметричными модами осцилляции, то следует учесть, что с /я-ой осесимметричной модой связаны (2т+1) неосесимметричных мод с одинаковыми частотами и близкими величинами энергии их возбуждения, и осесимметричные моды неустойчивы в смысле передачи своей энергии в связанные с ними неосесимметричные моды. В итоге энергия, изначально заключенная в виртуально возбужденной в начальный момент времени осесимметричной т-ой моде, «размазывается» по (2т+1) неосесимметричным модам. При возбуждении в начальный момент двух резонансно взаимодействующих мод с высокими номерами количество связанных с ними неосесимметричных мод оказывается весьма большим и обмен энергией между взаимодействующими неосесимметричньши модами носит стохастический характер.
Внутреннее резонансное взаимодействие мод, реализующееся в третьем порядке малости, выполненное с использованием Лагранжева формализма, исследовано Натараньяном и Брауном в их работе [Natarajan & Brown 1987 а]. В экспериментах Тринча и Ванга [Trinch & Wang 1982 b], которые исследовали возбуждаемые акустическим полем осцилляции большой амплитуды капель, подвешенных в акустическом подвесе, оказалось, что осцилляции большой амплитуды весьма трудно возбудить вследствие появления на поверхности капли неосесимметричной бегущей волны, которая, в конце концов, приводила к вращению капли как целого. Такой же эффект проявлялся и в экспериментах Якоби и др. [Jakobi et al. 1982] со свободно висящими в условиях невесомости каплями, осцилляции которых генерировались акустическим полем. Натараньян и Браун предположили, что такое поведение акустически возбуждаемых левитирующих капель связано с реализацией в каплях резонанса третьего порядка с участием неосесиметричных мод. Они указали, что кроме резонанса третьего порядка между второй (п=2) и четвертой (п=4) модами, для которых выполняется условие С04 +3'С02 = 0, о котором сообщалось ранее в работе [Tsamopolous & Brown 1984], существуют резонансы третьего порядка между (2т+1) неосесиммтеричными модами, связанными с т-ой осесимметричной модой. Возбуждение таких резонансов и может привести к вращению капли как целого. В работе [Natarajan & Brown 1987 а] исследованы в рамках Лагранжева метода резонансное взаимодействие между неосесиммтеричными модами, связанными с третьей модой (т=3), также между второй (п=2) и четвертой {п=4) модами с учетом влияния связанных с ними неосесимметричных мод. Показано, что при начальном возбуждении третьей осесимметричной моды (л=5, т=0), неосесимметричная тессеральная мода ~
Р3 (9,ф) , (т.е. п=3, т=2) претерпевает неустойчивость, что в итоге может привести к вращению капли как целого. Для ситуации начального возбуждения второй (п=2) и четвертой (п=4) мод, резонансно между собой взаимодействующих, претерпевает неустойчивость не-
17 осесимметричная тессеральная мода ~ Р4 (0,ф), (т.е. п=4, т=2), что также может привести
к вращению капли как целого. Тем не менее, результаты исследования [Natarajan & Brown 1987 а] вызывают сомнение, поскольку нелинейная поправка к частоте третьей моды, полученная в работе [Natarajan & Brown 1987 а], отличается от найденной ранее в строгом гидродинамическом анализе [Tsamopolous & Brown 1984], и сами авторы [Natarajan & Brown 1987 а] говорят, что результаты их последнего расчета нуждаются в независимой проверке на предмет наличия ошибок. Сама идея возможности перекачки без постороннего силового воздействия энергии из осесимметричных мод капли в неосесимметричные, сопровождающаяся понижением порядка симметрии реализующихся осцилляции, представляется сомнительной, хотя для системы взаимодействующих точечных осцилляторов перекачка энергии из высоких мод в низкие имеет место и даже получило специальное название «распадная неустойчивость» [Рабинович и Трубецков 1984]. В экспериментах [Trinch & Wang 1982 b; Jakobi et al. 1982] направленное силовое воздействие на каплю со стороны акустического поля имело место, и возникновение в итоге вращения капли как целого не представляется необычным, чего нельзя сказать о проводимом в работе [Natarajan & Brown 1987 а] анализе.
Следует отметить, что сама идея возможности внутреннего резонансного взаимодействия мод осцилляции с различной симметрией не вызывает никаких возражений. Тщательного рассмотрения требует вопрос о направлении перекачки энергии при реализации внутреннего резонансного взаимодействия. Во всех выше цитированных работах, при упоминании о нелинейном внутреннем резонансном взаимодействии мод речь шла о так называемом вырожденном трехмодовом резонансе, когда одна мода дважды взаимодействует с другой и лишь о факте существования такого взаимодействия. В реальности вырожденное внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие мод обладает асимметрией [Ширяева 2000 с; Ширяева 2003 с; Ширяева, Григорьев и Левчук 2004] и энергия, запасенная в модах, определяющих начальную деформацию капли, перекачивается только из мод с малыми номерами в моды с большими намерами. Обратная перекачка энергии из высоких мод в низкие идет лишь в рамках той доли энергии, которая поступила из низких мод в высокие. Если же в реальности взаимодействуют три моды с различными номерами, то говорят уже о вторичном комбинационном резонансе, при котором возможна перекачка энергии из определяющих начальную деформацию капли мод с высокими номерами в моду с низким номером, отсутствующую в спектре мод, определяющих начальную деформацию [Ширяева 2003 с].
Вопрос о направлении перекачки энергии между резонансно взаимодействующими модами осцилляции капли с различной симметрией до настоящего времени не исследовался, но такое исследование выполнено для волн на поверхности заряженной струи идеальной несжимаемой жидкости [Ширяева, Григорьев и Левчук 2004]. Выяснилось, что перекачка энер-

 Часть из работы     Получить работу