ВВЕДЕНИЕ
Практически все современные технические сооружения и аппараты - ракеты и космические станции, самолеты, корабли, автомобили, строительные и гидротехнические сооружения - представляют собой сложные системы, состоящие из совместно функционирующих подсистем. Условия взаимодействия этих подсистем, выделяемых либо пространственно, как часть конструкции, либо в плане выполняемой функции, определяют успешность выполнения главной задачи разрабатываемой системы. Как правило, понятие "сложность" связывается именно с наличием в системе многих компонент, взаимное влияние которых создает проблемы при проведении теоретических исследований, необходимых для ее проектирования.
Физическую основу рассматриваемых систем, несущую все прочие подсистемы, представляет конструкция, скомпонованная из стержневых, тонкостенных или иных элементов, изготовленных из материалов, которые в пределах достаточно малых деформаций могут рассматриваться как упругие. Результатом взаимодействия упругой конструкции с прочими подсистемами и с внешней средой являются ее колебания - периодические или же переходный процесс. Параметры этих колебаний определяют пригодность конструкции к эксплуатации по критериям прочности, амплитудным значениям перемещений, уровням перегрузок или иным конкретным для каждой системы показателям.
Важным этапом исследования динамического поведения разрабатываемой системы является определение динамических характеристик входящей в ее состав упругой конструкции, к числу которых относятся собственные частоты и формы колебаний, амплитудно-фазовые частотные характеристики, динамические коэффициенты влияния (динамические жесткости и динамические
- 7 -податливости) и т.д. Эта информация является исходной для последующего
анализа вибраций конструкции.
Обычно упругая конструкция сама представляет собой сложную систему, составленную из относительно более простых подконструкций, механически соединенных между собой и взаимодействующих в процессе совместных колебаний. Это существенно осложняет задачу исследования ее динамических характеристик как экспериментальными, так и расчетными методами. При этом возникающие трудности могут иметь как технический, так и организационный характер:
- размерность математической модели всей конструкции в целом может превышать возможности используемой для расчета вычислительной системы (либо ограничен объем памяти, либо потребное время счета делает задачу невыполнимой);
- конструкция может оказаться слишком велика для проведения вибрационных испытаний (в особенности это относится к летательным и космическим аппаратам, динамические характеристики которых должны определяться при отсутствии какого-либо закрепления);
- многие крупные системы (например, космические станции) обычно формируются из фрагментов, разрабатываемых разными фирмами, находящимися в разных странах на значительном удалении друг от друга, когда сборка всех компонент для проведения испытаний оказывается весьма дорогостоящим и трудновыполнимым мероприятием.
Естественным направлением мысли на пути преодоления указанных проблем является анализ расчлененной на подсистемы конструкции по частям и последующий синтез результатов, полученных для каждой части в отдельности теоретически или экспериментально. Развитие электронной вычислительной техники с середины 1960-х годов придало актуальность разработке универсальных алгоритмов, позволяющих автоматизировать процедуру синтеза
- 8 -
при исследовании динамических характеристик сложных механических систем.
Считается, что впервые четко оформленный тензорно-матричный подход к этой проблеме изложен в работах Г.Крона [65]. Предложенная им методология преимущественно ориентирована на анализ электрических сетей и оказалась мало приспособленной к специфике механических задач. Тем не менее, имеются немногочисленные последователи, развивающие это направление [183, 185, 86].
Основные же пути развития теории синтеза динамических характеристик подконструкций определялись с учетом особенностей задач динамики упругих систем. Значительный вклад в этот раздел науки внесли отечественные исследователи, и здесь следует отметить работы Постнова В.А. [70, 89, 90, 85] , Вольмира А.С. [28, 29, 30, 79], Шклярчука Ф.Н. [101], Шмакова В.П. [103, 104, 105], Лиходеда А.И. [68, 4, 5], Бурмана З.И. [24]. Среди зарубежных исследователей наиболее заметны работы таких авторов, как Craig R.R. [126, 127, 128, 129, 130], MacNeal R.H. [168].
Среди многообразия подходов к синтезу динамических характеристик выделим, как наиболее физически обоснованный, метод модального синтеза, когда в качестве исходной информации о свойствах подконструкций используются данные об их собственных частотах и формах колебаний. Основой для построения математической модели всей системы в этом случае служит представление колебаний каждой подконструкции в виде ряда, содержащего ее собственные формы (в дальнейшем - модального разложения колебаний). Т.е. собственные формы играют роль координатных функций в описании движения подконструкции.
Заметим, что существуют подходы к решению данной задачи, не основанные на предварительном вычислении динамических характеристик подконструкций. Это, например, работа [113], в которой разбиение дискретной модели упругой системы на подконструкции используется, фактически, лишь для
- 9 -
более эффективной реализации метода итерирования подпространства при вычислении собственных частот и форм системы. Здесь же упомянем работы [140, 169], в которых предлагается для аппроксимации колебаний подконст-рукций использовать произвольные полные системы базисных функций, а также работы [117, 141, 142], где с помощью специальных итерационных алгоритмов эти базисные функции улучшаются (итерация подпространств на уровне подконструкций).
Тем не менее, наибольшее количество работ посвящено модальному синтезу, поскольку в этом случае удается эффективно сокращать объем исходной информации о подконструкциях и, что самое важное, уменьшать размерность решаемой в процессе синтеза динамических характеристик задачи, основываясь на ограничении исследуемого частотного диапазона.
Важное значение при исследовании сложной системы имеет способ соединения ее компонент (интерфейс системы). Как правило, соединение подконструкций осуществляется посредством специальных пространственно локализованных узлов, работающих таким образом, что в рамках принимаемой математической модели подконструкции воздействие со стороны этого узла представляет совокупность сосредоточенных обобщенных сил, связанных с соответствующими обобщенными перемещениями в точке. Обычно входящие в узел степени свободы связаны линейными соотношениями, входящими в получаемую при синтезе математическую модель системы непосредственно либо с помощью множителей Лагранжа, как в работе [132].
Сопряжение подконструкций по одномерным и двумерным многообразиям обычно имеет место при искусственном рассечении крупногабаритной конструкции. При использовании в расчетах дискретных моделей подконструкций (как правило, построенных на основе метода конечных элементов) здесь не возникает принципиальных затруднений, поскольку соединение осуществляется посредством коллокации в узлах модели. В работах [140, 169] предлагается метод, основанный на введении специальных весовых функций,
- 10 -
связанных с континуальным интерфейсом, что практически означает его дискретизацию (хотя и не пространственную). В работе [155] с этой целью введены граничные обобщенные координаты. Такой подход может быть полезен при использовании аналитических моделей подконструкций. Отметим также работу [174], где в вариационной постановке задачи синтеза используются определенные на границе сопряжения множители Лагранжа, а решение дискре-тизированных по методу Ритца уравнений осуществляется с использованием сингулярного разложения подматриц, соответствующих интерфейсу системы.
Ключевым вопросом при реализации модального синтеза подконструкций является выбор граничных условий, при которых определяются собственные частоты и формы компонент системы (парциальные динамические характеристики). При этом, естественно, не могут варьироваться наложенные на подконструкцию кинематические ограничения, не относящиеся к интерфейсу системы. Свобода выбора существует только для обобщенных перемещений, связанных с соединительными узлами, которые в дальнейшем будем называть внешними степенями свободы подконструкции. Существующие методы модального синтеза можно классифицировать по этому признаку следующим образом:
- методы жестких границ, когда парциальные характеристики подконструкций определяются при условии закрепления внешних степеней свободы;
- методы свободных границ, когда парциальные характеристики подконструкций определяются при не закрепленных внешних степенях свободы;
- гибридные методы, если возможно частичное закрепление внешних степеней свободы подконструкции при определении ее парциальных характеристик.
В дополнение к перечисленным, существует еще метод, названный в работе [131] методом «нагруженных границ», когда расчет форм колебаний подконструкции осуществляется не изолированно от остальных компонент системы, а при дополнительных жесткостных и инерционных нагрузках, добавляе-
- 11 -
мых к внешним степеням свободы с целью приблизить эти формы к виду собственных колебаний системы в целом на данной подконструкции. При правильном выборе этих нагрузок решение задачи о собственных значениях при синтезе подконструкций может дать более точный результат. Варианты такого подхода под названием «метода ветвей» описаны в работах [135, 116]. Нагруженные собственные формы используются также в работе [156].
Неудобство этого метода по сравнению с тремя перечисленными выше очевидно ввиду того, что модификация одной из составляющих систему подконструкций при таком подходе вызывает необходимость пересчета парциальных характеристик остальных подконструкций и внесения изменений в соответствующие им базы данных. При этом интуитивность подбора дополнительных нагрузок не гарантирует существенного повышения точности результата.
Варианты метода жестких границ представлены в работах [149, 150, 151, 128, 126, 130, 61]. Отметим, что вариант в форме Крейга-Бэмптона [128] послужил основой распространенного в настоящее время формата обмена данными по динамике подконструкций между кооперированными разработчиками сложных конструкций. В работе [144] описан метод жестких границ применительно к системам с демпфированием, позволяющий учитывать несимметричность, связанную с кориолисовыми силами и взаимодействием системы с внешней средой. В работе [5] описан метод выделения квазистатических составляющих кинематического и силового типов как дополнительных членов модального разложения колебаний подконструции, обеспечивающий существенное повышение точности решения. При этом вычисляемая на первом шаге квазистатическая составляющая кинематического типа представляет собой аналог введенных в методе Крейга-Бэмптона «граничных форм» («constraint modes»), дополняющих модальное разложение.
Методы свободных границ представлены в работах [136, 146, 129, 126, 181]. Отметим, что в работе [129] введено понятие остаточной податливости для приближенного учета влияния в низкочастотном диапазоне не включен-
- 12 -
ных в модальное разложение высших тонов подконструкции, с которым связано понятие «соединительных форм» («attachment modes»), как дополнительных членов этого разложения [126]. Метод учета остаточных эффектов второго порядка предложен в работе [181]. В работе [154] для построения матриц остаточной податливости балочных подсистем используются аналитические выражения для собственных форм и частот.
Гибридный метод описан в работе [168], где также предложены методы учета остаточных эффектов для повышения точности решения.
В отечественной практике получили распространение многоуровневые методы синтеза, в которых допускается поэтапное укрупнение фрагментов сложной системы. При этом синтез группы подконструкций на более низком уровне дает информацию о подконструкции следующего уровня, получаемой посредством их соединения. Метод суперэлементов, представленный в работах [28, 29], ориентирован на использование собственных форм, определяемых с учетом влияния соседних суперэлементов вдоль общих границ, чем сходен с методом работы [116]. Предложенный в работе [57] метод многоуровневой динамической конденсации может быть отнесен к методам жестких границ и на низшем уровне соответствует идеологии работы [128]. При этом, как и в работе [115], подконструкция рассматривается как суперэлемент с внутренними обобщенными неизвестными, соответствующими ее собственным формам.
Отметим как предельный («вырожденный») случай модального синтеза метод, основанный на статической конденсации подконструкции [153, 139, 70], когда вводится жесткая связь внешних степеней свободы с внутренними и последние исключаются из уравнений колебаний. Такой подход весьма прост в реализации, т.к. не требует предварительного определения собственных частот и форм, но имеет весьма ограниченную сферу применения ввиду невысокой точности, поскольку в уравнениях полностью исключается внутренняя динамика подконструкции. Как промежуточный можно рассматривать предложенный в работе [167] вариант упрощенной динамической конденсации, когда вы-
- 13 -численные при фиксированных границах собственные формы используются
для приближенного учета внутренней динамики подконструкции посредством линеаризации в окрестности заданного значения частоты.
Заметим, что все упомянутые выше методы направлены на обеспечение удовлетворительной точности результатов синтеза в диапазоне низких частот колебаний, для чего в модальных разложениях удерживаются формы, соответствующие низшим собственным частотам подконструкций. В работах [152, 162] предложены методы учета остаточных эффектов не только высших, но и низших отсекаемых в модальных разложениях тонов, когда интервал исследуемых частот для системы ограничен снизу ненулевым значением.
Подавляющая часть методик синтеза динамических характеристик разрабатывалась таким образом, чтобы в результате синтеза формировались линейные алгебраические системы или системы дифференциальных уравнений. В этом случае на завершающем этапе расчета динамических характеристик системы формулируется линейная задача о собственных значениях, методы решения которой хорошо разработаны. Ради этого при выводе соотношений отбрасываются нелинейные члены и вводятся иные допущения, приводящие к погрешностям, оценка которых представляет собой непростую задачу.
В случае метода жестких границ результирующая система обычно синтезируется аналогично процедуре объединения конечных элементов с внутренними степенями свободы [56] в соответствии с методом перемещений. В случае методов свободных границ процедура синтеза несколько более сложная. В работе [53] описан алгоритм формирования уравнений задачи о собственных значениях для метода остаточных податливостей.
Однако, следует отметить, что для решения многих задач, связанных с разработкой технических систем, включающих сложную упругую конструкцию, определение в чистом виде ее собственных частот и форм колебаний является лишь промежуточной задачей. Непосредственно важными часто оказываются данные, получаемые с использованием этих характеристик, - это ам-
- 14 -плитудно-фазовые частотные характеристики, передаточные функции, импе-
дансы, динамические коэффициенты влияния (динамические жесткости и динамические податливости) и т.д. Характерными примерами здесь могут быть задачи исследования устойчивости систем управления упругими объектами, задачи акустики. Все перечисленные выше величины, являющиеся функциями частоты, относятся в широком смысле к динамическим характеристикам упругой системы. Непосредственное их получение из соотношений синтезированной математической модели упругой системы без промежуточной стадии вычисления ее собственных частот и форм обеспечивает в указанных случаях решение основной задачи.
Подход, представленный в работе Крона [65] и его последователей [183, 185], фактически направлен на вычисление матриц динамических податливо-стей как нелинейных функций частоты с последующим синтезом по методу сил. Получаемая система линейных алгебраических уравнений содержит зависящие от частоты коэффициенты. Это дает возможность построения различного рода амплитудно-фазовых частотных характеристик и прочих перечисленных выше зависимостей. Определение собственных частот и форм колебаний системы здесь также возможно с использованием общих методов поиска решений нелинейных уравнений, разработаны и специализированные методы для рассматриваемого класса задач (см., например, [183, 185]).
Заметим, что достаточно точная информация о динамических коэффициентах влияния упругой системы может эффективно использоваться и для расчета переходных процессов при исследовании динамических нагрузок при помощи численных интегральных преобразований, как, например, в работе [184].
Аналогичный подход представлен в работах [164, 165], но с использованием матриц динамических жесткостей подконструкций. Он проще в реализации, поскольку основан на синтезе систем уравнений по методу перемещений, что ближе исследователям, традиционно работающим с методом конечных элементов. Здесь, как и в работах [65, 183, 185], для построения динамических
- 15 -матриц подконструкций используются данные об их собственных частотах и
формах колебаний.
Отметим также работу [2], в которой для формирования нелинейных характеристических уравнений сложных упругих систем предлагается использовать математический аппарат метода факторизованных возмущений, предназначенного для анализа линейных физических систем с взаимодействием. Каждая налагаемая в процессе соединения подсистем связь при этом представляется возмущающим оператором, действующим на исходную совокупность не взаимодействующих подсистем. Существенной составляющей в предлагаемых математических построениях являются выражения для частотных гриновских функций изолированных подсистем. Это весьма жесткое для практического использования метода условие, поскольку построение соответствующих аналитических выражений возможно для ограниченного класса подсистем.
Общей для всех описанных подходов является проблема точности представления динамических свойств подконструкции в синтезированной системе в условиях, когда в модальном разложении может присутствовать ограниченное число собственных форм, - проблема усечения модального разложения. Этот вопрос принципиален, поскольку лежит в основе метода модального синтеза, обеспечивающего снижение размерности решаемых задач и вычислительных затрат за счет ограничения спектра подконструкций.
Очевидно, что если ставится задача исследования динамических свойств системы в диапазоне частот, ограниченных сверху некоторой частотой среза, то в модальных разложениях подконструкций должны учитываться все собственные формы, частоты которых не превосходят эту границу. Отбрасывание форм с более высокими частотами вносит погрешность в математическую модель и приводит к ошибкам в получаемых результатах. Как показывают исследования, в зависимости от способа соединения подконструкций и локальных особенностей их собственных форм влияние высших тонов на низкочастотную динамику системы меняется существенно не монотонно с возрастанием их
- 16 -
собственных частот. Вопросам выбора критериев оценки и исследованию величины вносимой погрешности посвящены работы [171, 163, 145, 114, 52]. Предлагаемые критерии предназначены для автоматизации процесса выбора удерживаемых в модальных разложениях собственных форм подконструкций. Однако на практике наиболее употребителен подход, представленный в работах [181, 57] рекомендацией удерживать в модальных разложениях все собственные формы, частоты которых превосходят обусловленную частоту среза в 1,5 - 2 раза.
Подчеркнем, что несмотря на актуальность вопроса, ни один из рассмотренных выше методов модального синтеза не позволяет сформулировать априорную оценку погрешности получаемых результатов. Причина этого в том, что единственным варьируемым параметром, влияющим на точность получаемого результата, остается во всех методах количество удерживаемых собственных форм в модальном разложении колебаний подконструкции. Изначально не предсказуемая в общем случае сложность спектров подконструкций и структура их собственных форм не позволяет делать предварительные оценки погрешности синтеза.
В настоящей работе предлагается принципиально иной подход к оценке погрешности синтеза, основанный на отказе от идеи наращивания числа учитываемых собственных форм сверх минимально необходимого, определяемого количеством тонов с частотами, попадающими в исследуемый интервал. Повышение точности представления динамических свойств подконструкции в ограниченном частотном диапазоне достигается с помощью конструктивного алгоритма формирования вспомогательных членов модального разложения при неизменном наборе сохраняемых собственных форм.
В работе В.П.Шмакова [103] предложено строить решение задачи о гармонических колебаниях одномерной подконструкции в виде разложения по собственным формам базовой задачи, дополненного корректирующей составляющей. Эта корректирующая составляющая строится в виде многочлена от-
- 17 -
носительно квадрата частоты колебаний, коэффициенты которого определяются как решения рекуррентной последовательности статических краевых задач. Поэтому степень многочлена может неограниченно наращиваться. При этом коэффициенты модальных членов разложения изменяются таким образом, что вклад тонов с высокими собственными частотами в области низких частот колебаний уменьшается с ростом порядка корректирующего многочлена. Это является основой для повышения точности получаемых при синтезе подконст-рукций решений частотного уравнения в условиях ограниченного числа учтенных собственных форм.
Аналогичный подход использован в работе А.И.Лиходеда [68] для повышения точности при расчетах нестационарного динамического нагружения упругих систем, а также при синтезе подконструкций методом жестких границ [5], где он трактуется как многократное выделение квазистатической составляющей.
Неограниченное наращивание порядка корректирующего многочлена не приводит к построению сходящегося степенного ряда. Однако, если выделить некоторое количество собственных форм и строить корректирующий многочлен в подпространстве, ортогональном к линейной оболочке этих форм, то соответствующие им (формам) коэффициенты имеют вид, не зависящий от порядка корректирующего многочлена. В таком случае получающийся степенной ряд оказывается сходящимся в ограниченном частотном интервале, если в модальное разложение включены все собственные формы, частоты которых лежат в этом интервале. С учетом этого обстоятельства автором настоящей работы был введен термин «корректирующий ряд» [37, 38, 39]. Коэффициенты этого ряда можно называть корректирующими функциями.
В настоящей работе методика синтеза динамических характеристик строится на основе гибридного подхода, когда собственные формы подконструкции определяются при условии частичного закрепления внешних степеней свободы. Метод жестких границ и метод свободных границ рассматриваются
- 18 -как частные случаи. Соединение подконструкций предполагается дискретным,
т.е. интерфейс системы конечномерный.
Теоретической основой разработанного здесь метода корректирующих рядов служат две сформулированные автором основные теоремы. Суть первой из них в том, что гармонический отклик подконструкции в ограниченном частотном интервале может быть точно представлен в виде модального разложения, включающего лишь те тона колебаний, собственные частоты которых не превосходят верхней границы этого интервала, и дополненного равномерно сходящимся на этом интервале корректирующим рядом. Вторая теорема утверждает то же самое относительно ограниченного частотного интервала с ненулевой нижней границей, причем в модальном разложении должны присутствовать лишь те собственные формы, частоты которых лежат в этом интервале. В этом случае строятся корректирующие ряды относительно смещенного значения частотного параметра.
Использование этих теорем позволяет принципиально изменить идеологию модального синтеза. Усечение модальных разложений путем отбрасывания высших тонов подконструкций заменяется усечением корректирующего ряда. В процессе доказательства теорем строится алгоритм вычисления коэффициентов корректирующего ряда и, что весьма важно, выводится асимптотическая оценка погрешности его усечения. Использование этой оценки в качестве априорной при проведении пробных расчетов дает возможность реально оценивать точность получаемых результатов.
В настоящей работе принята терминология, в соответствии с которой усеченный корректирующий ряд, содержащий m членов, (фактически, корректирующий многочлен) называется корректирующим рядом m-го порядка. Упомянутая асимптотическая оценка содержит порядок корректирующего ряда в показателе степени, основание которой меньше единицы. Таким образом, наблюдается экспоненциальная сходимость решения с ростом порядка корректирующего ряда.
- 19 -На основе предложенного вида модального разложения для подконст-
рукции формулируются соотношения между внешними обобщенными силами и перемещениями в виде системы уравнений, содержащих набор динамических коэффициентов влияния. Эти коэффициенты могут использоваться для формирования матрицы динамических жесткостей или матрицы динамических податливостей подконструкции. Синтез системы в зависимости от этого можно осуществлять либо по методу перемещений (метод динамических жесткостей), либо по методу сил (метод динамических податливостей).
Получаемая система уравнений может быть использована для определения собственных частот и форм упругой системы, однако наиболее удобно ее применение для непосредственного вычисления амплитудно-фазовых частотных характеристик, передаточных функций и других характеристик в решении тех задач, где такие данные используются. Следует отметить, что разработанная методика обеспечивает чрезвычайно быстрый расчет частотных характеристик системы при гарантированной высокой точности в заданном частотном диапазоне.
Основные соотношения и теоремы метода сформулированы применительно к обобщенной операторной постановке задачи для континуальных моделей упругих систем. Аналогичные результаты формулируются для дискретных моделей подконструкций, получаемых, например, методом конечных элементов. Векторные коэффициенты корректирующих рядов в этом случае называются корректирующими векторами.
Полученные формулы легко обобщаются на случай пропорционально демпфированных подконструкций. При этом предоставляется возможность задания различных коэффициентов демпфирования в подконструкциях, что существенно расширяет возможности моделирования демпфированных упругих систем.
Для проведения численных исследований и расчетов разработан программный комплекс, содержащий:
- 20 -
- программы расчета динамических характеристик конечноэлементных
моделей упругих подконструкций с препроцессором;
- постпроцессорные программы формирования баз данных о подконст-рукциях, содержащих информацию о динамических характеристиках и корректирующих векторах;
- программы исследования спектра составной упругой системы и построения ее частотных характеристик с учетом демпфирования.
Сформированные предварительно базы данных о подконструкциях используются в алгоритме синтеза для определения динамических и частотных характеристик составной системы. Замена или модификация какой-либо компоненты системы отражается лишь в изменении соответствующей ей базы данных. Разработана универсальная структура баз данных для конечноэлементных моделей подконструкций.
Программный комплекс строится на основе общих принципов и может дополняться программами расчета необходимых для синтеза данных о подконструкциях различного типа. В настоящее время разработаны версии для пространственных стержневых конструкций и осесимметричных оболочечных конструкций, содержащих жидкость. Могут использоваться и аналитические соотношения для континуальных моделей подконструкций. В частности, выведены формулы для изгибных колебаний однородных стержней, соединяемых в концевых сечениях.
В процессе исследований автором настоящей работы обнаружено, что рекуррентному алгоритму построения корректирующих векторов присуще свойство неустойчивости, приводящее к быстрому накоплению погрешностей и распаду решения уже при учете 5-6 членов корректирующего ряда [37]. Эффективным средством подавления этой неустойчивости оказалась ортогонали-зация вычисляемых векторов на каждом шаге рекуррентного процесса к учтенным собственным формам подконструкции. Это обстоятельство свидетельствует о том, что формулировки работ [103, 104, 105, 5] не достаточны для по-

Получить работу