Введение
Интенсивное развитие полупроводниковых технологий в настоящее время требует поиска материалов с новыми физическими свойствами. В связи с этим особую актуальность приобретает понимание на фундаментальном уровне физических процессов, происходящих в этих материалах. Одной из важных проблем физики конденсированного состояния является исследование процессов электронного и фононного переноса в изотопически разупорядоченных кристаллах германия, кремния и алмаза. Интерес к этим исследованиям стимулируется потребностями современной микроэлектроники, в которой широко используются эти полупроводниковые материалы.
Хорошо известно, что большинство химических элементов имеют ряд своих изотопов. Согласно современным представлениям изотопы представляют собой атомы одного и того же химического элемента с разным количеством нейтронов. Тем самым изотопы данного элемента обладают одинаковыми химическими свойствами, но отличаются друг от друга массами атомов. Многие твердые тела состоят из нескольких изотопов, хаотически распределенных по узлам кристаллической решетки. В твердых телах параметры силового межатомного взаимодействия практически не зависят от композиции изотопов, поскольку конфигурация электронной оболочки атома очень слабо зависит от массы ядра: масштаб эффекта - порядка отношения массы электрона к массе ядра ~ 10"4. Зависимость от изотопического состава возникает из-за того, что движение атома в поле, созданном соседними атомами, определяется, помимо всего прочего, также его массой. Колебание атомов в узлах кристаллической решетки можно рассматривать, как движение в гармоническом потенциале, параметры которого зависят от объема элементарной ячейки кристалла, в квазигармоническом приближении частота колебаний атома пропорциональна М112. Поэтому, как правило, влияние изотопов на колебательные спектры кристаллов сравнительно слабое, однако некоторые характеристики кристаллов могут меняться существенным образом. Дело в том, что изотопический беспорядок нарушает трансляционную инвариантность решетки и приводит к рассеянию фононов. Влияние «примесных» изотопов на фононы можно описать в терминах температурно-независимого изотопического рассеяния фононов. Частота релаксации для этого механизма пропорциональна фактору изотопического беспорядка g и четвертой степени волнового вектора фононов. Физические свойства таких кристаллов могут в значительной степени различаться в зависимости от их изотопического состава. В последние десятилетия исследования в области изотопической инженерии [1] и изучения физических свойств изотопически обогащенных кристаллов [2] приобрели особую актуальность. В
первую очередь необходимо отметить давно уже известный факт - изменение величины энергии межзонных переходов Eg при изотопическом замещении. Если в Ge при
ф изотопическом замещении Eg изменяется на ~1мэВ, то в алмазе и в кристаллах LiHxD|.x -
на 13 и 104 мэВ соответственно. Это довольно большие величины, и они легко измеряются. Заметные эффекты наблюдаются при изотопическом замещении и в фононном спектре, особенно в спектральном диапазоне продольных оптических фононов (LO). Сдвиг LO линий в алмазе лежит в пределах 50 см"1, тогда как в кристаллах LiHxD|.x он превосходит 200 см'1. В 50-х годах были открыты такие изотопические эффекты, как сдвиг критической температуры сверхпроводящего перехода ртути [3,4] и значительный (в три раза) рост теплопроводности в изотопически обогащенном кристалле германия [5].
<# Первый из этих эффектов послужил решающим фактором для построения
микроскопической теории низкотемпературной сверхпроводимости [6]. В то же время изотопический эффект в теплопроводности Ge, наглядно продемонстрировал, сколь велико может быть влияние изотопического разупорядочения кристаллической решетки, и подтвердил теорию И.Я. Померанчука [7], согласно которой именно случайное распределение изотопов в решетке является причиной ограничения роста теплопроводности диэлектрических кристаллов при низких температурах. Исключительно высокая теплопроводность изотопически чистых кристаллов имеет хорошие перспективы использования в технике в тех случаях, когда имеются большие тепловые нагрузки.
Исследования изотопических эффектов в теплопроводности диэлектрических кристаллов, таких как Ge, Si, GaAs, LiF и т.п., начались еще в середине прошлого века с экспериментальной работы Джебала и Халла [5] и теоретических работ [8-9]. Вслед за работой [5] в 1959 г. вышла теоретическая работа Каллавея [10], в которой были проанализированы экспериментальные данные по теплопроводности кристаллов Ge с натуральным изотопическим составом и изотопически обогащенного 74Ge [5]. Интерес к этой работе связан с тем, что в ней впервые учтена нетривиальная роль нормальных процессов (//-процессов) рассеяния фононов. В работе [10] было показано, что N-процессы фонон-фононного рассеяния не дают непосредственного вклада в релаксацию импульса фононной системы, а приводят ее к дрейфовому локально равновесному состоянию. При этом был сделан ряд упрощающих предположений, а именно: была
Ь использована одномодовая дебаевская модель [11] фононного спектра без разделения
фононов на продольные и поперечные. Таким образом, неравновесная функция распределения фононов в теории [10] определялась тремя параметрами: частотами релаксации импульса фононов в резистивных и нормальных процессах рассеяния и средней скоростью дрейфа. Каллавею удалось описать экспериментальные данные
теплопроводности Ge в широком температурном диапазоне, однако, в области максимума теплопроводности результаты расчета значительно превосходили экспериментальные значения. По этой причине Холланд [12] отказался от модели Каллавея [10]. Он показал, что при расчете теплопроводности кристаллов Ge и Si необходимо выделять вклады продольных и поперечных фононов, поскольку поперечные фононы имеют сильную дисперсию, и дебаевские температуры для обеих колебательных ветвей существенно различаются. Однако он включил частоты релаксации нормальных процессов фонон-фононного рассеяния в резистивные частоты релаксации. Ему удалось удовлетворительно описать температурные зависимости теплопроводности Ge и Si с натуральным изотопическим составом в широком температурном интервале, однако при этом число подгоночных параметров теории увеличилось в два раза. Однако, теория Холланда [12] в определенном смысле является шагом назад по сравнению с теорией Каллавея [10]. поскольку она не учитывала особую роль нормальных процессов фонон-фононного рассеяния. Отметим, что в теории [12] неравновесная функция распределения фононов описывалась полными частотами релаксации продольных и поперечных фононов. В последующих работах [13-17] для описания экспериментальных данных по теплопроводности кристаллов Ge, Si, алмаза и т.п. использовались некоторые модификации теории Холланда и Каллавея.
Недавно были успешно выращены высококачественные монокристаллы германия с
различным изотопным составом, включая уникально чистый, как химически, так и изотопически, кристалл с обогащением 99.99% по изотопу 70Ge [18], обозначаемый далее как 70Ge(99.99%). Экспериментальные исследования теплопроводности [2,18] этих кристаллов показали, что для моиоизотопных образцов 70Ge(99.99%) максимальные значения теплопроводности на порядок выше, чем для кристаллов с природным изотопным составом. Авторы [18] для описания теплопроводности кристаллов Ge с различной степенью изотопического обогащения воспользовались обобщенной моделью Каллавея (ОМК), в которой кинетическое уравнение для фононной функции распределения не решалось, а выражение для теплопроводности постулировалось в виде аддитивной суммы вкладов от продольных и поперечных фононов. В рамках этой модели в работе [18] были определены параметры, характеризующие различные механизмы релаксации импульса фононов. Предложенная модель позволила удовлетворительно описать экспериментальные данные по теплопроводности кристаллов Ge с природным составом изотопов и со сравнительно невысокой степенью изотопического обогащения (до 70Ge 96.3%). Однако для изотопически чистых кристаллов 70Ge (99.99%) авторы [18] столкнулись с той же трудностью, что и Каллавей [10]. В области максимума
теплопроводности рассчитанные значения для ОМК превосходили экспериментальные данные более, чем в 1.5 раза. Авторы ввели дополнительный механизм рассеяния фононов на дислокациях. Однако, введение дополнительного механизма релаксации фононов, только для изотопически высокообогащенного образца 70Ge (99.99%) не могло исправить ситуацию, так как концентрация дислокаций, согласно [19], оказалась на четыре порядка меньше, чем требовалась в [18] для согласования экспериментальных данных и результатов расчета. Обобщенная модель Каллавея широко использовалась для описания экспериментальных данных по теплопроводности Ge, Si [2,20-24]. Дальнейшее развитие теории решеточной теплопроводности сдерживалось отсутствием корректного анализа роли /^-процессов рассеяния фононов, принадлежащих различным колебательным ветвям. Учет особой роли N-процессов фонон-фононного рассеяния необходим в условиях, когда частота релаксации фононов в нормальных процессах - ty/„v{<7) будет больше либо сравнима с частотой релаксации в резистивных процессах рассеяния vp/,R(q), которая обусловлена релаксацией фононов в процессах переброса, на границах, примесях и электронах проводимости. Хорошо известно [10,25-26], что в //-процессах импульс фононов, участвующих в столкновениях, сохраняется, и эти процессы рассеяния не дают непосредственного вклада в релаксацию импульса фононов и, соответственно, в теплосопротивление. Однако TV-процессы формируют неравновесную функцию распределения фононов и обеспечивают релаксацию фононной системы к локально-равновесному состоянию со средней скоростью дрейфа. Перераспределяя энергию и импульс между различными фононными модами, они препятствуют сильному отклонению от равновесного распределения каждой фононной моды. При этом изменяется относительная роль различных резистивных процессов релаксации импульса фононов (рассеяние на дефектах, границах образца и в процессах фонон-фононного переброса). Таким образом, этот механизм играет существенную роль в релаксации полного импульса фононной системы и оказывает значительное влияние на величины теплопроводности в изотопически чистых образцах Ge при низких температурах, когда процессы фонон-фононного переброса в значительной степени выморожены. Отметим, что двухпараметрическое приближение Холланда [12] является справедливым в случае, когда для каждой из ветвей фононного спектра Я частоты релаксации фононов в N-процессах {^pi,\{q)) гораздо меньше резистивных частот релаксации фононов {\^PhR(q)). В противоположном предельном случае, который, согласно данным [18], реализуется для продольных фононов в исследованных образцах германия, необходимо учитывать дрейф фононной системы, связанный с Л^-процессами фонон-фононного рассеяния. В этом случае неравновесность фононной подсистемы должна описываться шестью параметрами:
7
четырьмя частотами релаксации vphR{q) и vpi,x(q) и средними скоростями дрейфа ид для фононов различных поляризаций. Как будет показано в настоящей работе, описание неравновесности фононной системы в расширенном базисе позволяет более корректно рассмотреть процессы релаксации импульса фононов и теплопроводность в изотопически чистых образцах Ge и Si. Итак, одна из проблем, которая рассматривается в данной работе, заключается в исследовании механизмов релаксации фононов в нормальных процессах рассеяния и их влияния на теплопроводность кристаллов германия и кремния с различным изотопическим составом.
В данной работе решена система кинетических уравнений для фононов различных поляризаций. Рассмотрено два механизма релаксации фононов в УУ-ироцессах рассеяния, обеспечивающих перераспределение импульса фононов как внутри каждой колебательной ветви (механизм Саймоиса [27]), так и между различными колебательными ветвями фононов (механизм Херринга [28]). Проанализировано влияние нормальных процессов рассеяния фононов на теплопроводность кристаллов германия и кремния с различным изотопическим содержанием. Показано, что обобщенная модель Каллавея (ОМК) [18] фактически соответствует механизму Саймонса и не является корректной, поскольку основным механизмом релаксации импульса фоноиов в ^-процессах для кристаллов германия и кремния является механизм Херринга (MX) [28].
Показано, что проблема, поставленная Холландом [12], и те проблемы, которые возникли при обработке экспериментальных данных [18,24], снимаются, если корректно учесть //-процессы релаксации Херринга. В этом случае перераспределение импульса между продольными и поперечными фононами в нормальных процессах приводит к значительному подавлению дрейфового движения продольных фоноиов в изотопически чистых образцах Ge (99.99%) за счёт их взаимодействия с поперечными фононами. Этот механизм перекачки импульса обеспечивает существенное уменьшение вклада продольных фононов в теплопроводность. В результате, при тех же значениях подгоночных параметров, что и [18], максимальные значения полной теплопроводности изотопически чистых образцов Ge (99.99%) уменьшаются примерно в 1.5 раза по сравнению с величинами, полученными в [18] в рамках обобщённой модели Каллавея. Таким образом, отпадает необходимость введения дополнительного механизма рассеяния фононов на дислокациях [18] и ещё одного подгоночного параметра теории.
Другая проблема возникла в связи с интерпретацией экспериментальных данных термоэдс изотопически обогащенных кристаллов германия. Дело в том, что экспериментальные исследования [21] показали двукратное увеличение абсолютных значений термоэдс при низких температурах в изотопически чистых кристаллах германия
8
(70Ge 99.99%) по сравнению с кристаллами германия с природным составом изотопов. При низких температурах основной вклад в термоэдс вносит эффект электрон-фононного увлечения. Попытка объяснить изотопический эффект в термоэдс электрон-фононного увлечения api, в рамках теории Херринга [29] оказалась неудачной, поскольку расчеты этого эффекта согласно теории Херринга [29] давали очень слабую зависимость ари(Т) от изотопического состава кристаллов германия, что не соответствовало экспериментальным данным [21].
Очевидно, что эффект значительного увеличения решеточной теплопроводности в изотопически чистых кристаллов германия, кремния и алмаза [2,5,14-18,22-23] связан с увеличением длины свободного пробега тепловых фононов из-за уменьшения рассеяния на «примесных» изотопах. Поэтому изменение изотопного состава кристаллов должно сказываться и на таком термоэлектрическом явлении, как термоэдс электрон-фононного увлечения api,{T), которая явным образом зависит от длинны свободного пробега. Следовательно, уменьшение степени изотопического беспорядка должно приводить и к увеличению абсолютных значений термоэдс фононного увлечения. Однако теория Херринга [29] предсказывала очень слабую зависимость api,(T) от концентрации примесей в случае достаточно чистого полупроводника (см., также [30-32]). В этой теории релаксация импульса фононной системы рассматривалась в рамках стандартного однопараметрического приближения. В этом приближении частота релаксации фононов в нормальных процессах (Л^-процессах) фонон-фононного рассеяния включалась в полную частоту релаксации фононов, которая являлась единственным параметром, определяющим неравновесную функцию распределения фононов. Такой подход является оправданным для «грязных» полупроводников, когда частота релаксации фононов в //-процессах -Vpi„\{g) гораздо меньше частоты релаксации фононов в резистивных процессах рассеяния -VphR^q), обусловленной рассеянием фононов на фононах в процессах переброса, на дефектах и границах образца. В противоположном предельном случае достаточно чистых полупроводников, как это уже отмечалось (см. также [33-34]), необходимо учитывать дрейф фононной системы, обусловленный //-процессами фонон-фононного рассеяния, и его влияние на термоэдс электрон-фононного увлечения.
Следует отметить, что в невырожденных проводниках электроны взаимодействуют только с длинноволновыми фононами, волновой вектор которых существенно меньше волнового вектора тепловых фононов, дающих основной вклад в теплопроводность: zqX =hu)l?/kBT «1 (Ьа>чХ - энергия фонона с волновым вектором q и поляризацией Л). Поскольку вероятность изотопического рассеяния фонона пропорциональна четвертой
степени волнового вектора q, то термоэдс, рассчитанная в рамках однопараметрического приближения, оказалась нечувствительной к степени изотопического беспорядка. На аномалии термоэдс, возникающие в такой ситуации, обращали внимание Козлов и Нагаев еще 30 лет тому назад [35]. Они показали, что в случае совершенных кристаллов увлечение длинноволновых фононов тепловыми фононами может вызвать аномально высокие значения термоэдс. Эта термоэдс (термоэдс двухступенчатого увлечения) в отличие от херринговской обратно пропорциональна концентрации примесей [36] и связана с механизмом релаксации длинноволновых фононов на тепловых в нормальных процессах фонон-фононного рассеяния. Однако, авторы [36] использовали гидродинамическое описание для одномодовой дебаевской модели фононной системы. Эти приближения не позволяют воспользоваться теорией [36] для описания изотопического эффекта в термоэдс. Как следует из анализа теплопроводности [18], одномодовое приближение не является корректным для описания фононной системы в кристаллах германия и кремния.
Впервые попытка обнаружить влияние изотопического рассеяния фононов на термоэдс была предпринята Оскотским и др. [37], которые исследовали теплопроводность и термоэдс кристаллов Те с двумя разными изотопными составами, один из которых был обогащен до 92% по изотопу Те. Изотопическое обогащение приводило к трехкратному увеличению максимальных величин теплопроводности, однако авторы не обнаружили влияния изотопического беспорядка на термоэдс фононного увлечения при низких температурах. Этот негативный результат, возможно, обусловлен либо различной концентрацией заряженных примесей в исследованных образцах, либо сравнительно слабым вкладом /^-процессов в суммарную частоту релаксации фононов.
В отличие от результатов, полученных в работе [37], в выполненных недавно измерениях термоэдс на кристаллах германия с разным изотопным составом [21] было обнаружено почти двукратное увеличение термоэдс при низких температурах в моноизотопном образце 70Ge(99.99%) по сравнению с Ge природным составом изотопов [21]. Этот результат свидетельствует о важной роли //-процессов в релаксации фононной системы для изотопически обогащенных кристаллов германия. Поэтому в работе рассмотрено влияние дрейфового движения фононов, обусловленного нормальными процессами рассеяния фононов, на термоэдс электрон-фононного увлечения. В дрейфовую скорость фононов, как и в теплопроводность, основной вклад вносят тепловые фононы, рассеяние которых на изотопическом беспорядке играет важную роль. Таким образом, при учете дрейфа фононов термоэдс становится зависящей от степени изотопического беспорядка.
10
Третья проблема, которая решается в данной работе, заключается в расчете частот релаксации тепловых и высокочастотных фононов в ангармонических процессах рассеяния для кристаллов германия, кремния и алмаза, исходя из экспериментально определенных значений упругих модулей второго и третьего порядка. Дело в том что, при анализе теплопроводности и термоэде электрон-фононного увлечения в рамках релаксационного метода [2,15,18,22,25-26] обычно используются выражения для частот релаксации фононов в //-процессах рассеяния, полученные в длинноволновом приближении: z . =ha> .1квТ «1 {ТшцХ - энергия фоноиа с волновым вектором q и
поляризацией Л). Это приближение является вполне оправданным при расчете коэффициента поглощения длинноволнового ультразвука, а также термоэде электрои-фононного увлечения, так как в полупроводниковых кристаллах электроны могут взаимодействовать только с длинноволновыми фононами. Однако в решеточную теплопроводность кристаллов Ge и Si с природным составом изотопов основной вклад вносят тепловые фононы с zqX «1, а в изотопически обогащенных кристаллах - тепловые
фонолы с zifk =2-4. Поэтому длинноволновое приближение для частот релаксации
фононов не является корректным для расчета теплопроводности. В рамках этого метода параметры, определяющие интенсивность ангармонических процессов рассеяния, являлись подгоночными параметрами теории, которые определялись из сопоставления результатов расчета с экспериментальными данными [2,15,18,22,25-26]. Однако при этом возникает вопрос: «Насколько однозначна процедура нахождения параметров, определяющих частоты релаксации фононов в ангармонических процессах рассеяния из данных по теплопроводности при вариации четырех подгоночных параметров теории?» Для оценки вероятности ангармонических процессов рассеяния обычно использовалась модель изотропной среды. Эта модель не является адекватной для кристаллов германия, кремния и алмаза, а также таких популярных объектов исследования, как InSb, GaAs, CaF2 и т. д., имеющих кубическую симметрию с существенной анизотропией упругих модулей как второго, так и третьего порядков. Такие расчеты позволят, во-первых, определить эффективные механизмы релаксации тепловых фононов и избавиться от произвола, связанного с выбором подгоночных параметров теории при расчете теплопроводности этих кристаллов, а, во-вторых, найти коэффициенты поглощения как длинноволнового, так и коротковолнового ультразвука. Эти исследования являются особенно актуальными для структурно совершенных, химически чистых и изотопически высокообогащенных кристаллов, поскольку именно в этих кристаллах проявляются в полной мере особенности релаксации фононных мод в ангармонических процессах рассеяния.
11
Итак, цель работы заключается в следующем: а) исследовать влияние нормальных процессов фонон-фононного рассеяния, а также изотопического беспорядка на теплопроводность и термоэлектрические явления в кристаллах германия и кремния с различным изотопическим составом; б) проанализировать механизмы релаксации квазичастиц, определяющих зависимости кинетических эффектов в этих кристаллах от температуры и степени изотопического беспорядка; в) рассчитать частоты релаксации фононов в ангармонических процессах рассеяния для кристаллов кубической симметрии германия, кремния и алмаза, исходя из экспериментально определенных значений упругих модулей второго и третьего порядка.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. В первой главе диссертационной работы рассмотрено влияние нормальных процессов фонон-фононного рассеяния на теплопроводность кристаллов германия и кремния с различным изотопическим обогащением. Решена система кинетических уравнений для функций распределения фононов различных поляризаций. Рассмотрено два варианта релаксации импульса фононов в jV-процессах: 1) N-процессы рассеяния перераспределяют импульс фононов только внутри каждой колебательной ветви (механизм Саймонса [27])); 2) доминирует перераспределение импульса фононов между различными колебательными ветвями фононов (механизм Херринга [28]). Детально проанализированы вклады дрейфового движения продольных и поперечных фононов в теплопроводность. Отметим, что результаты расчёта теплопроводности кристаллов германия и кремния для двух вариантов релаксации импульса фононов в //-процессах отличаются не только количественно, но и качественно. Если значения теплопроводности в этих кристаллах в области максимума для обобщенной модели Каллавея [2,24] (механизм Саймонса) определяются главным образом продольными фононами, то для механизма Херринга - поперечными. Показано, что перераспределение импульса между продольными и поперечными фононами в jV-процессах Херринга приводит к существенному подавлению дрейфового движения продольных фононов и, соответственно, их вклада в теплопроводность. Рассчитана зависимость максимальных значений теплопроводности кристаллов германия и кремния от степени изотопического беспорядка. Показано, что оптимальным пределом обогащения кристаллов германия и кремния для получения максимальных значений теплопроводности является обогащение до 99.99% по изотопам 70Ge и 28Si. При дальнейшем увеличении степени изотопического совершенства кристаллов Ge и кремния максимальные значения теплопроводности увеличатся не более, чем на 1%, по сравнению с достигнутыми значениями.
12
Во второй главе развита теория увлечения электронов фононами в полупроводниках с невырожденной статистикой носителей тока, учитывающая особенности релаксации импульса фононов в нормальных процессах фонон-фононного рассеяния. Проанализировано влияние дрейфового движения фононов на термоэдс увлечения кристаллов германия с различным изотопным составом для двух вариантов релаксации импульса фононов в нормальных процессах рассеяния фононов. При расчете термоэдс использованы времена релаксации фононов, определенные из данных по теплопроводности германия. Проанализирована роль неупругости электрон-фононного рассеяния в термоэдс увлечения в полупроводниках. Дано качественное объяснение изотопического эффекта в термоэдс увлечения. Показано, что физическая основа этого эффекта достаточно проста: основной вклад в дрейфовое движение, как и в теплопроводность, вносят тепловые фононы, рассеяние которых на изотопическом беспорядке играет важную роль. Поэтому скорость дрейфа фононов существенно зависит от изотопического беспорядка в кристаллах германия. Вследствие этого термоэдс, рассчитаная в нашем подходе, в отличие от теории Херринга, оказывается зависящей от степени изотопического беспорядка.
Основное внимание в третьей главе уделено расчету частот релаксаций в ангармонических процессах фононов для кристаллов, имеющих кубическую симметрию. Получено выражение для ангармонической энергии кристаллов кубической симметрии, через волновые вектора, вектора поляризаций фононов и упругие модули второго и третьего порядка. Установлены соотношения между модулями упругости второго и третьего порядка кубических кристаллов, необходимые для перехода к модели изотропной среды. В модели анизотропного континуума проанализированы особенности релаксации продольных и поперечных тепловых и высокочастотных фононов. Анизотропия ангармонического рассеяния фононов в кубических кристаллах учитывалась через упругие модули второго и третьего порядков. Показано, что зависимости частот релаксации от волнового вектора для поперечных тепловых и высокочастотных фононов резко отличаются от линейной зависимости Ландау-Румера как в изотропных средах, так и в кубических кристаллах. Характерно, что для кристаллов германия, кремния, алмаза, InSb и GaSb в кристаллографическом направлении [100], в отличие от изотропных сред, они имеют немонотонный характер с двумя максимумами; один из них находится в высокочастотной области. Установлено, что обнаруженные особенности частот релаксации обусловлены угловой зависимостью вероятности ангармонического рассеяния и анизотропией упругих свойств кубических кристаллов. Определены зависимости частот релаксации от температуры и волнового вектора фононов в трехфоионных процессах
13
рассеяния с участием трех продольных фононов (L<=>L+L), двух продольных и поперечного фонона (L<=>T+L). Проанализирован предельный переход к модели изотропной среды. Предложен метод экспериментального определения зависимости частот релаксации высокочастотных фононов от волнового вектора из температурных измерений коэффициента поглощения высокочастотного ультразвука.
В заключение диссертации приведены основные результаты и выводы работы.
Научную новизну диссертационной работы составляют следующие положения:
1. Дано обобщение теории Каллавея решеточной теплопроводности, последовательно учитывающее перераспределение импульса фононов в нормальных процессах рассеяния как внутри каждой колебательной ветви, так и между различными колебательными ветвями фононов. Предложенная модель перераспределения импульса фононов в механизме Херринга позволила адекватно описать экспериментальные данные теплопроводности кристаллов германия и кремния с различным изотопическим составом.
2. Показано, что нормальные процессы фонон-фононного рассеяния Херринга являются эффективным механизмом, ограничивающим максимальные значения теплопроводности в изотопически чистых кристаллах германия и кремния. Установлено, что оптимальным пределом для получения максимальных значений теплопроводности кристаллов германия и кремния является изотопическое обогащение до 99.99% по одному из изотопов.
3. Развита теория увлечения электронов фононами для невырожденных полупроводников, учитывающая особенности релаксации импульса фононов в нормальных процессах фонон-фононного рассеяния. Показано, что изотопический эффект в термоэде обусловлен дрейфовым движением фононной системы, которое сильно зависит от изотопического беспорядка в кристаллах.
4. Получено выражение для ангармонической энергии кристаллов кубической симметрии через вектора поляризаций, волновые вектора фононов и упругие модули второго и третьего порядка. Установлены соотношения между модулями упругости второго и третьего порядка кубических кристаллов, необходимые для перехода к модели изотропной среды.
5. Рассчитаны частоты релаксации фононов различных поляризаций в ангармонических процессах рассеяния в широкой области изменения волновых векторов как для
14
изотропной среды, так и для кристаллов кубической симметрии германия, кремния и алмаза Из известных значений упругих модулей второго и третьего порядка найдены параметры, определяющие величины частот релаксации фононов различных поляризаций для рассмотренных кристаллов. Показано, что их зависимости от волнового вектора для поперечных тепловых и высокочастотных фононов резко отличаются от линейной зависимости Ландау-Румера как в изотропных средах, так и в кубических кристаллах. Характерно, что для кристаллов германия, кремния, алмаза, InSb и GaSb в кристаллографическом направлении [100], в отличие от изотропных сред, они имеют немонотонный характер с двумя максимумами; один из них находится в высокочастотной области. Установлено, что обнаруженные особенности частот релаксации в кубических кристаллах обусловлены угловой зависимостью вероятности ангармонического рассеяния и анизотропией упругих свойств.
Работа выполнена в лаборатории кинетических явлений Института физики металлов УрО РАН, при частичной поддержке РФФИ (гранты № 00-02-16299, № 01-02-06238), УрО РАН (молодежный грант УрО РАН N15-02-04), Фонда «Династия» и МЦФФМ, гранта Президента РФ № НШ 1380.2003.2, а также «Фонда содействия отечественной науки».
Изложенные результаты опубликованы в работах [38-43], докладывались и обсуждались на П-ом молодежном семинаре "Проблемы физики конденсированного состояния вещества" (г. Среднеуральск 2001); на XIV Уральской международной зимней школе по физике полупроводников "Электронные свойства низкоразмерных полу- и сверхпроводниковых структур" (г. Екатеринбург 2002г.); на IX международном семинаре "Дислокационная структура и механические свойства металлов и сплавов» (г. Екатеринбург 2002г.); на XXXIII совещании по физики низких температур. Екатеринбург, 2003, стр.251-252; на VI Российской конференции по физике полупроводников. Санкт-Петербург, 2003, стр. 64-64; на международной конференции «Phonons-2004» (Санкт-Петербург, 2004); на семинарах и научных сессиях Института Физики Металлов УрО РАН Екатеринбург.
15
Постановка задачи
Исходя из сказанного выше, следует, что для достижения намеченной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Решить систему кинетических уравнений для функций распределения фононов различных поляризаций. Рассмотреть два возможных варианта нормальных процессов фонон-фоионного рассеяния (механизмы Херринга и Саймонса) и исследовать влияние дрейфового движения фононов на теплопроводность кристаллов германия и кремния с различным изотопическим составом.
2. Определить механизмы релаксации фононов, эффективно ограничивающие максимальные значения теплопроводности изотопически чистых кристаллов германия и кремния. Оценить максимальные значения теплопроводности в изотопически чистых кристаллах Ge и Si. Определить оптимальный предел изотопического обогащения кристаллов германия и кремния для получения максимальных значений теплопроводности.
3. Исследовать влияние изотопического беспорядка на термоэдс увлечения в кристаллах германия. Учесть особенности релаксации импульса фононов в нормальных процессах фонон-фононного рассеяния для двухмодовой дебаевской модели. Проанализировать влияние дрейфового движения фононов на термоэдс увлечения кристаллов германия с различным изотопным составом для двух вариантов релаксации импульса фононов в нормальных процессах рассеяния.
4. Рассчитать частоты релаксации фононов различных поляризаций, в модели анизотропного континуума, для кубических кристаллов германия, кремния, алмаза, InSb и GaSb, исходя из экспериментально определенных упругих модулей второго и третьего порядка. Проанализировать их зависимости от волнового вектора и температуры.
16
ГЛАВА 1. Теплопроводность полупроводниковых кристаллов с различным изотопным составом.
При интерпретации экспериментальных данных по теплопроводности кристаллов германия с различным изотопическим составом [18] возникла следующая проблема: обобщенная модель Каллавея хорошо описывала экспериментальные данные по теплопроводности кристаллов германия с природным составом изотопов и со сравнительно небольшим изотопическим обогащением до 96% по изотопу 70Ge. Однако, при тех же значениях частот релаксации в ангармонических процессах рассеяния, она давала существенно завышенные значения для Ge с обогащением 99.99% в области максимума теплопровод- иости, чем наблюдалось в эксперименте. Для согласования результатов расчета теплопроводности с экспериментальными данными для высокообогащенных кристаллов германия авторы [18] ввели дополнительный механизм релаксации фононов на дислокациях. Однако дальнейшие исследования показали [19], что концентрация дислокаций на четыре порядка меньше, чем требовалось для этого согласования. В обобщенной модели Каллавея, которая широко использовалась при расчете теплопроводности изотопически обогащенных кристаллов германия, кремния и алмаза [14-15,17-18,20-23], предполагалось, что релаксация импульса фононов происходит только внутри каждой из ветвей фонониого спектра, и фононы различных поляризаций вносят аддитивный вклад в теплопроводность. В этом подходе [18] система кинетических уравнений для фононов различных поляризаций не решалась, а выражение для теплопроводности получалось непосредственным обобщением одномодовой модели Каллавея [10].
Поэтому в данной главе в рамках кинетического подхода рассматривается влияние нормальных процессов фонон-фононного рассеяния на теплопроводность кристаллов германия и кремния с различным изотопическим обогащением. В отличие от работ [18,20-23], мы исходим из системы кинетических уравнений для фононов различных поляризаций. Рассмотрено два варианта релаксации импульса фононов в /^-процессах рассеяния. Проанализировано влияние перераспределения импульса фононов различных поляризаций в //-процессах рассеяния, как внутри каждой колебательной ветви (механизм Саймон-са), так и между различными колебательными ветвями фононов (механизм Херринга) на эффективную частоту релаксации фононов и решеточную теплопроводность. Анализ теплопроводности кристаллов германия с различной степенью изотопического беспорядка показал, что обобщенная модель Каллавея (ОМК) соответствует механизму релаксации Саймонса [27] и не является корректной, поскольку основным механизмом релаксации импульса фононов в /^-процессах рассеяния для кристаллов германии и кремнии является
17

 Часть из работы     Получить работу