МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В АНИЗОТРОПНЫХ, НЕОДНОРОДНЫХ И МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕДАХ 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Тема: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В АНИЗОТРОПНЫХ, НЕОДНОРОДНЫХ И МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕДАХ 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Содержание

ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................................11 ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ И АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ....................................................................................29 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ....................................................................................62 ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ РАСЧЁТОВ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ АНИЗОТРОПНОГО ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЯ.....................................................................................92 ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ПРИЗАБОЙНЫХ ЗОНАХ СКВАЖИН (ПЗС)...................................................131 ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ К ОДИНОЧНЫМ И ГРУППОВЫМ СКВАЖИНАМ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ ПРИ ЛИНЕЙНОМ И НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМАХ ФИЛЬТРАЦИИ............................................................................................................193 ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ РАСЧЕТОВ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В МНОГОСЛОЙНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ..............................................................................233 ЗАКЛЮЧЕНИЕ...........................................................................................................267 ЛИТЕРАТУРА.............................................................................................................268 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЗАКОНЫ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ, КООРДИНАТ ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ..........................................................................................................294 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. КАТАЛОГ ТЕНЗОРОВ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В СРЕДАХ С КОНКРЕТНЫМИ ЗАКОНАМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГНА..................................................................304 РИСУНКИ....................................................................................................................317 2 2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................11 ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ И АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ...............................................................................29 1.1. Математическое моделирование линейной фильтрации в периодических средах методом анизотропного эквивалентирования............29 1.2. Определения полей главных направлений анизотропии (ГНА) и главных проницаемостей в линейных анизотропных моделях периодических сред..............................................................................................38 1.3. Расчёт эффективных тензоров проницаемостей по заданным полям ГНА и главных проницаемостей при линейном режиме фильтрации............40 1.4. Математическое моделирование нелинейной фильтрации в анизотропных средах методами кристаллофизики...........................................43 1.4.1. Векторно-матричная форма обобщённого закона Дарси (ОЗД) нелинейной фильтрации в анизотропных средах.......................45 1.4.2. Задача построения тензоров заданной симметрии...................46 1.4.3. Математические модели нелинейной фильтрации для конкретных примеров анизотропных сред............................................48 1.5. Математическое моделирование нелинейной фильтрации в анизотропных средах обобщённым методом С.Н.Нумерова...........................52 1.6. Пример построения математической модели нелинейной фильтрации в анизотропной среде обобщённым методом С.Н. Нумерова .... 56 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ...............................................................................62 2.1. Уравнения неразрывности для пространственных, двумерных и плоскопараллельных и фильтрационных потоков жидкости...........................62 2.1.1 Уравнение неразрывности для трёхмерного пространственного фильтрационного течения.....................................62 3 3 2.1.2 Уравнение неразрывности для двумерных фильтрационных течений сжимаемой и несжимаемой жидкости в искривлённых слоях переменной толщины.......................................................................63 2.1.3 Уравнение неразрывности для двумерных течений несжимаемой жидкости в теории О.В. Голубевой................................65 2.1.4 Уравнение неразрывности для плоскопараллельного фильтрационного течения. Функция тока плоскопараллельного течения........................................................................................................66 2.2. Уравнения линейной двумерной фильтрации несжимаемой жидкости в анизотропных искривлённых слоях переменной толщины.........67 2.2.1. Вывод уравнений двумерной фильтрации в ортогональных криволинейных системах координат общего вида.................................68 2.2.2. Расчёт коэффициентов проводимости для двумерной фильтрации в анизотропных искривлённых слоях постоянной конечной толщины......................................................................................74 Пример 1. Слои вращения................................................................75 Пример 2. Цилиндрические слои постоянной толщины...............76 2.3. Уравнения плоскопараллельных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в анизотропно-неоднородных средах и их связь с обобщёнными аналитическими функциями комплексного переменного.... 78 2.4. Уравнения плоскопараллельных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в анизотропно-однородных средах и их связь с аналитическими функциями комплексного переменного................................80 2.5. Комплексные потенциалы плоскопараллельных фильтрационных течений в анизотропно-однородных средах со специальными законами распределения ГНА...............................................................................................82 2.5.1. Теорема о комплексном потенциале для специальной серии законов распределения ГНА.......................................................................82 2.5.2. Следствие 1. Конгруэнтные законы распределения ГНА............83 4 4 2.5.3. Следствие 2. Центрально-симметричные законы распределения ГНА.....................................................................................84 2.5.4. Следствие 3. Изотермические законы распределения ГНА........85 2.5.5 Типичные граничные условия для комплексных потенциалов плоскопараллельных течений в анизотропных средах...........................87 2.6. Комплексные потенциалы плоскопараллельных течений в однородных средах с прямолинейной анизотропией при произвольной ориентации ГНА....................................................................................................87 ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ РАСЧЁТОВ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ АНИЗОТРОПНОГО ЭКВИВАЛЕНТИРОВАНИЯ................................................................................92 3.1. Исследования точности расчётов дебита центральной скважины в слоистой круговой области методом анизотропного эквивалентирования.... 92 3.1.1. Обобщение формулы Дюпюи для сред с центрально-симметричными законами распределения ГНА........................................93 3.1.2. Постановка задачи и численные расчёты дебита центральной скважины в круговых анизотропных пластах...................94 3.1.3. Исследования точности методов интегрального и локального однородно-анизотропного эквивалентирования в расчётах дебита центральной скважины в слоистой среде.................................................101 3.2. Обобщение фильтрационных теорем об окружности и прямой для анизотропных сред................................................................................................104 3.2.1. Теорема об окружности....................................................................105 3.2.2. Теорема о прямой................................................................................107 3.2.3. Примеры применения теорем............................................................108 3.3. Искажение поступательного фильтрационного потока в изотропной среде круглым включением с прямолинейной анизотропией..........................111 3.4. Исследования точности аппроксимации включений из слоистых сред их анизотропными моделями .....................................................................114 5 5 3.4.1. Искажение плоскопараллельных течений круглым слоистым включением.....................................................................................................115 3.4.2. Сравнение фильтрационных потоков в слоистой среде и в её радиально-анизотропной модели................................................................117 3.4.3. Расчёт коэффициентов разложения для комплексных потенциалов изотропных колец..................................................................120 3.5. Исследование точности фильтрационных расчётов в слоистых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования....................122 3.5.1. Расчёт полного фильтрационного потока в прямоугольной анизотропной области.................................................................................123 3.5.2. Расчёт фильтрационного потока в слоистой области.................126 ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ПРИЗАБОЙНЫХ ЗОНАХ СКВАЖИН (ПЗС)........................131 4.1. Причины выделения исследования течений в призабойных зонах скважин в самостоятельный раздел теории фильтрации..................................131 4.2. Влияние неопределённости в критериях существования линейного режима фильтрации на погрешность в расчётах дебитов скважин.................133 4.3. Исследование фильтрации в призабойной зоне и в стволе нефтедобывающей скважины с гравийным фильтром.....................................139 4.3.1. Постановка задачи.............................................................................139 4.3.2. Вывод основных уравнений................................................................139 4.3.3. Анализ работы гравийного фильтра при при линейном режиме фильтрации.....................................................................................145 4.3.4. Выводы:................................................................................................149 4.4. Точное решение задачи фильтрации к скважине с гравийным фильтром при линейном законе Дарси...............................................................150 4.4.1. Постановка задачи.............................................................................150 4.4.2. Уравнения и граничные условия.........................................................151 4.4.3. Расчет потенциала 4.4.4. Расчет потенциала q>2(r,z).................................................................155 6 6 4.4.5. Алгебраизация граничных условий сопряжения...............................156 4.4.6. Вычисление дебита скважины..........................................................158 4.5. Математическая модель работы фильтра каркасно-стержневой конструкции...........................................................................................................162 4.6. Математическая модель работы фильтра кольчатой конструкции..........165 4.7. Математическая модель работы фильтра перфорационной конструкции...........................................................................................................167 4.8. Выводы из вычислительных экспериментов по исследованию работы фильтров нефтедобывающих скважин..................................................169 4.9. Теорема о подобии фильтрационных полей в грунтах со специальными законами изменения проницаемости и её применения...........170 4.9.1 Теорема о подобии фильтрационных полей....................................170 4.9.2. Фильтрация под плоским флютбетом в кусочно-однородном грунте...........................................................................................................172 4.9.3 Фильтрация к скважинам с кусочно - однородной призабойной зоной (1-ый способ расчета).............................................173 4.9.4 Фильтрация к скважинам с кусочно - однородной призабойной зоной. (2-ой способ расчета).............................................176 4.10. Математическое моделирование фильтрации к скважине с вертикальными трещинами гидроразрыва.........................................................181 4.11. Математическое моделирование фильтрации к скважине с горизонтальными трещинами гидроразрыва..................................................... 186 ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ К ОДИНОЧНЫМ И ГРУППОВЫМ СКВАЖИНАМ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ ПРИ ЛИНЕЙНОМ И НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМАХ ФИЛЬТРАЦИИ......................................................................................................193 5.1. Расчёт дебита и поля давления для одиночной скважины........................193 5.1.1. Методом функций Грина................................................................193 7 5.1.2. Построение серий точных решений полуобратных граничных задач о дебите круговой скважины в однородных изотропных средах в постановке для двухсвязных областей................196 5.2 Применение вариационных методов для расчёта двусторонних оценок дебитов одиночных скважин в анизотропных средах при линейном режиме фильтрации............................................................................202 5.2.1. Метод пробных эквипотенциалей..................................................203 5.2.2. Метод пробных линий тока.............................................................205 5.3. Расчёт двусторонних оценок дебитов скважин при нелинейных режимах фильтрации ...........................................................................................208 5.3.1. Уравнения движения и граничные условия....................................208 5.3.2. Вариационная формулировка краевых задач.................................210 5.3.3. Верхняя оценка дебита скважины..................................................213 5.3.4. Нижняя оценка дебита скважины.................................................214 5.3.5. Дебит скважины в пласте овальной формы.................................216 5.4. Расчёт дебитов и поля давления для группы скважин (многоскважинная система без учёта ПЗС)........................................................218 5.4.1 Постановка задачи и общий метод решения.................................219 5.4.2 Интерференция скважин, эксплуатирующих однородный круговой пласт............................................................................................221 5.4.3 Вычислительные эксперименты по интерференции скважин, произвольно расположенных в изотропном однородном пласте круговой формы...........................................................................................222 5.5. Расчёт дебитов и поля давления для группы скважин обладающих индивидуальными фильтрационными свойствами в призабойных зонах (многоскважинная система с учётом индивидуальных свойств ПЗС)............225 5.5.1 Постановка задачи учёта особых фильтрационных свойств ПЗС и общий метод её решения..................................................................225 5.5.2 Пример. Влияние скачков проницаемости ПЗС на интерференцию скважин, произвольно расположенных в 8 однородном пласте круговой формы. Обобщение формулы Щелкачева В.Н. .............................................................................................227 5.6. Интерференция скважин с нелинейным режимом фильтрации в призабойных зонах................................................................................................230 ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ РАСЧЕТОВ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ В МНОГОСЛОЙНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ.........................................................................233 6.1. Постановка задачи и принятые обозначения..............................................233 6.2. Граничные условия 1-го типа (Дирихле по одной паре противоположных сторон прямоугольника и смешанные — по другой паре)........................................................................................................................235 6.3. Передаточные функции. Переход к модельной задаче..............................236 6.4. Формулировка граничных условий в модельной задаче...........................238 6.5. Представление решений wi(x,y) рядами Фурье.........................................239 6.6. Алгебраизация граничных условий в модельной задаче...........................241 6.7. Вычисление коэффициентов в рядах Фурье методом прогонки...............243 6.8. Применения развитой теории.......................................................................245 6.8.1 Метод интегрального эквивалентирования кусочно-неоднородных сред. Однородно-анизотропное эквивалентирование... 246 6.8.2 Расчёт полей в изотропных неоднородных средах методом многослойного эквивалентирования ........................................................251 6.9 Граничные условия 2 - го типа (Неймана по одной паре противоположных сторон прямоугольника и смешанные по другой паре)... 257 ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................................................................................................267 ЛИТЕРАТУРА.......................................................................................................268 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЗАКОНЫ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ, КООРДИНАТ ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ............................................................................................................294 П1.1 Закон преобразования базисов...................................................................294 П1.2 Закон преобразования координат векторов...............................................297 9 9 П1.3 Закон ортогонального преобразования координат тензора 2-го ранга........................................................................................................................298 П1.4 Законы ортогонального преобразования координат тензоров третьего и четвёртого рангов...............................................................................300 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. КАТАЛОГ ТЕНЗОРОВ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В СРЕДАХ С КОНКРЕТНЫМИ ЗАКОНАМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГНА..............................................................304 П2.1. Тензор проницаемости для среды с прямолинейным законом распределения ГНА...............................................................................................304 П2.2. Тензор проницаемости для среды с круговым цилиндрическим законом распределения ГНА................................................................................305 П2.3. Тензор проницаемости для среды со сферическим законом распределения ГНА...............................................................................................307 П2.4. Тензор проницаемости для сред с цилиндрическими законами распределения ГНА...............................................................................................309 П2.4.1 Общий случай задания цилиндрических законов распределения ГНА.....................................................................................309 П2.4.2 Случай совпадения одного из ГНА цилиндрических законов с координатной осью (осью Оz)...................................................................313 РИСУНКИ..............................................................................................................317


Введение
Целый ряд актуальных проблем государственного значения связан с движением жидкости и газа в пористых средах. К таким проблемам относятся: водоснабжение; добыча энергетического сырья (нефти и газа); проектирование, строительство и эксплуатация гидротехнических и гидромелиоративных сооружений; борьба с загрязнением и засолением грунтовыми водами сельскохозяйственных площадей и т.д. Решение таких проблем требует разработки теории фильтрационных процессов в моделях пористых сред, наиболее адекватных к естественным условиям. Процессы фильтрации нефти, газа, воды происходят в пористых средах, которые в зависимости от своих физико-механических свойств относятся к группе изотропных или анизотропных грунтов. Изотропными называются грунты, фильтрационные свойства которых в каждой точке одинаковы по всем направлениям. Анизотропными же называются грунты, фильтрационные свойства которых в каждой точке различны в разных направлениях. Кроме того, продуктивные природные пласты, содержащие нефть и газ, проявляют не только изотропные или анизотропные и однородные или неоднородные фильтрационные свойства, но они почти всегда искривлены и имеют переменную толщину. Именно поэтому теоретические исследования математических моделей двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах являются актуальными. Поскольку аналитические методы исследования фильтрации существенно зависят от типа пористой среды, то литературный обзор уместно провести по типам пористых сред: изотропным, анизотропным, кусочно-непрерывным, в частности, кусочно-постоянным и др. Теория фильтрации в неоднородных изотропных средах представлена обширной литературой. Общим математическим аппаратом для исследования стационарной линейной двумерной фильтрации жидкости в таких средах слу- 11 жит теория р-аналитических функций, которая была развита в работах Л. Берса, А. Гельбарта, М.А. Лаврентьева, И.Н. Векуа, Г.Н. Положего и др. в [28, 234, 235]. Двумерными моделями описывают плоскопараллельную фильтрацию, осе-симметричную и плановую фильтрацию в неоднородных средах, и фильтрацию в весьма тонких криволинейных слоях переменной толщины и проницаемости [41, 118]. С помощью методов теории p-аналитических функций описывается Ф(v) также нелинейная фильтрация с законом вида Ф (v = Уф, которая в плоскости v годографа вектора vr приводится к системе линейных уравнений Г.Н. Положего [108]. Другой путь изучения двумерной фильтрации в неоднородных средах связан с выбором специальных классов дифференцируемых функций, характеризующих проницаемость k, для которых можно построить течения от всех типов (источник, диполь, мультиполи) особых точек с помощью метода перехода [32, 34, 127, 143, 155, 193]. В работах [23, 32, 34, 100, 101, 104, 155, 254] построены потенциалы течений от всех типов особых точек для проницаемостей k(у) вида еау, уа, tgaby, thaby, lgaby и др. В [35, 224,225] построены потенциалы течений от источника в средах с проницаемостью k, задаваемой некоторыми цилиндрическими функциями или удовлетворяющей определенным уравнениям. В целом теория р-аналитических функций из-за громоздкости своего аппарата не получила такого же широкого, как аналитические функции, применения. К тому же функции изменения проницаемости k, для которых известны решения соответствующих уравнений двумерной фильтрации, как правило, неограниченно возрастают до бесконечности (или убывают до нуля), что затрудняет их применение для аппроксимации проницаемости естественных грунтов. Для расширения возможностей аппроксимации проницаемости реальных грунтов в теории фильтрации стали разрабатываться методы построения особых точек течений в средах с кусочно-непрерывными, в частности, с кусочно-постоянными функциями проницаемости. Это привело к необходимости решения задач сопряжения для эллиптических уравнений. Сложность решения задач 12 сопряжения существенно зависит от числа неоднородных зон (слоёв), формы их границ, вида функции проницаемости в этих зонах и от характера особых точек течений в зонах. На практическую важность задач сопряжения для теории фильтрации обратили внимание давно. Ещё в 1942 г. П.Я. Полубаринова-Кочина рассматривала задачу о притоке к скважине в кусочно-неоднородном грунте. Заслуживает внимания и работа М.А. Лукомской [83], в которой по существу впервые была представлена модель работы скважины, учитывающая индивидуальные фильтрационные свойства призабойной зоны, отличающиеся от свойств пласта. Для двух однородных изотропных зон, разделенных или окружностью или прямой, О.В. Голубевой в [41, 42] задача сопряжения решена в общем виде методом изображений (теоремы об окружности и прямой). Применение методов изображений, преобразования Лапласа, последовательного применения теоремы об окружности и разложения в ряды Тейлора в [69, 71, 75] привело к общему решению задачи сопряжения в кусочно-однородных зонах с двумя и тремя параллельными прямыми или концентрическими окружностями. Затем полученное решение в [116, 231] В.М. Радыгиным и А.Г. Ярмицким с помощью дробно-линейных отображений и биполярных координат обобщено на две неконцентрические окружности. Общие решения задач сопряжения для двух однородных зон, разделенных кривыми второго порядка, указаны О.В. Голубевой и А.Я. Шпилевым в [46] на основе разработанного ими для этого класса задач метода конформных отображений с применением вспомогательных течений на римановых поверхностях. М.Ф. Бариновой в [9] методом изображений построено решение для восьми однородных зон, разделенных прямыми и окружностью, с двумя чередующимися значениями проницаемости в зонах. Особые точки течения должны при этом располагаться осесимметрично, а их мощности должны удовлетворять определённым уравнениям связи. В [74] была сделана попытка решить методом изображений задачу сопряжения для произвольного числа однородных зон, разделённых параллельными прямыми, что привело к много- 13 кратным рядам (с кратностью равной числу зон) и к сложной системе уравнений, оставленной без исследования. Диссертантом в [208] построено общее решение задачи сопряжения для n концентрических окружностей, когда произвольные особые точки потенциала поля располагаются во внешней зоне, а проницаемости в слоистой среде чередуются. Кроме того, автор этой работы в [165] показывает, как с помощью доказанной им теоремы о подобии фильтрационных полей можно строить серии точных решений задач фильтрации в n-слойных средах с кусочно-постоянной проницаемостью. Ещё один метод решения задач сопряжения в кусочно-однородных зонах основан на представлении потенциалов в виде интегралов по линиям сопряжения с сингулярными ядрами и неизвестной плотностью. Это приводит к системе интегральных уравнений или к задаче Римана [102, 110]. В [37, 38] задачи сопряжения для течения от источника решены для произвольного числа однородных зон, разделенных концентрическими окружностями, софокусными эллипсами или лучами. Конкретные краевые задачи сопряжения для двух, трех и четырех однородных зон, разделенных прямыми, приведены в [243]. Подчеркнём, что перечисленные методы становятся непригодными в случае неоднородных слоев с различными функциями проницаемости в них, так как полученные выше решения строились исходя из того, что потенциалы во всех слоях удовлетворяли одному уравнению (уравнению Лапласа). Для слоистой кусочно-неоднородной прямоугольной области, границы раздела n слоёв в которой параллельны одной из сторон прямоугольника, автором этой работы в [151, 162, 164, 167] развит метод точного решения задач сопряжения. Задачи фильтрации в кусочно-неоднородных средах с двумя зонами и с криволинейной границей их раздела решались в [110], где с помощью известной функции Грина для каждой зоны задача сопряжения сводилась к обобщённой задаче Римана. Для осесимметричных течений в кусочно-однородных пористых средах с одной или двумя концентрическими сферами раздела сред в [33, 70] дано обоб- 14 щение сферической теоремы Вейса [86]. Для течения типа поступательного потока через систему n круговых или сферических слоёв дано решение в [58]. Трудности аналитического решения многих практических задач в кусочно-неоднородных (например, в слоистых) средах способствовали появлению большого количества приближенных методов. В частности, Л.В. Старшинова для расчёта функции давления в макронеоднородном пласте предложила применять метод коллокации [132]. Для случая произвольной общей границы двух однородных сред М.И. Хмельником в работах [214, 215] развит приближенный метод, основанный на усреднении условий сопряжения на границах зон. (При этом потенциалы выражаются через решения двух вспомогательных задач обтекания, соответствующих непроницаемым и проницаемым границам, которые, в свою очередь, можно построить приближенно методом особых точек). Диссертант для приближённого решения задач сопряжения для расчёта течений под гидротехническими сооружениями в [146] предложил применять модифицированный им метод фрагментов акад. Н.Н. Павловского. Подводя итог, отметим, что аналитические решения задач сопряжения потенциалов течений с произвольными особыми точками построены в основном только для двух и трех однородных зон. Применяемые же методы решения этих задач с увеличением числа зон, изменением формы их границ и замене постоянной проницаемости на переменную становятся малопригодными. Более сложными по строению являются неоднородные анизотропные среды. Типичными представителями анизотропных пород являются трещиновато-пористые грунты и слоистые среды. Впервые исследования линейной плоскопараллельной фильтрации жидкости в анизотропных средах были, по-видимому, проведены Р. Дахлером [236] и Ф. Шаффернаком [256] в 1933 г. В результате проведенных исследований Р. Дахлер в Ф. Шаффернак приходят к выводу, что плоскопараллельные течения жидкости в слоистых средах (составленных из изотропных слоев весьма малой мощности) эквивалентны однотипным течениям жидкости в некоторой фиктивной пористой среде, проницаемость к^ которой вдоль напластования изотропных слоев отлична от 15 проницаемости к\|\| вдоль их простирания. Причем для определения kj_ и k \| авторы указали расчётные формулы. В России плоскопараллельная фильтрация жидкости в прямолинейных слоистых средах изучалась в 1937 г. В.И. Аравиным [2-6]. В.И. Аравин показывает, что путем аффинного преобразования плоскости течения жидкости в рассматриваемой среде, которое сводится к увеличению или уменьшению масштаба одной из осей декартовой системы координат в n=const раз, изучение фильтрации в анизотропном грунте можно свести к изучению плоскопараллельного движения жидкости в некотором фиктивном однородном изотропном грунте. В 1940 г. В.И. Аравиным в работе [4] исследована плоскопараллельная фильтрация жидкости в однородных грунтах с радиальной анизотропией, то есть в таких мелкослоистых грунтах, чередующиеся изотропные слои которых располагались или по концентрическим окружностям, или вдоль лучей, выходящих из одной точки. И в этом случае, как показывает В.И. Аравин, расчёт фильтрации в анизотропном грунте с помощью подходящего преобразования области течения сводится к расчёту течения в изотропном однородном грунте. Заметим, что впервые указанный в работах В.И. Аравина метод сведения расчёта плоскопараллельной фильтрации в анизотропном однородном грунте к расчёту течения жидкости в изотропном однородном грунте был затем использован для решения различных фильтрационных задач и другими авторами. Так, В.С. Козлов [67] исследовал этим методом движения жидкости под гидротехническими сооружениями в однородных грунтах с прямолинейной анизотропией. П.Я. Полубаринова-Кочина [106] изучала в этих же грунтах приток жидкости к дрене на водоупоре. В первых трудах В.И. Аравина и в последовавших за ними работах других авторов закон Дарси для случая фильтрации жидкости в анизотропных средах выписывался путем формального обобщения закона Дарси для изотропных грунтов так, как это было в 1938 г. сделано [119] Б.К. Ризенкампфом. Впервые физическое и математическое обоснование обобщенному на случай анизотропных грунтов закону Дарси дал в 1948 г. в работе [237] Ж. Феррандон. Экспери- 16 ментальное подтверждение тензорной природы проницаемости анизотропных грунтов сделал в 1954 г., анализируя экспериментальные данные К. Джонсона и Р. Хагеса [240], А. Шейдеггер [257, 258]. Открытие в России в конце 50-х - начале 60-х годов крупных месторождений нефти и газа в трещиноватых коллекторах поставило перед исследователями новые задачи по теории фильтрации жидкости в анизотропных средах. В частности, стали предприниматься попытки дать объяснение анизотропии грунтов в отношении их фильтрационных свойств на основе менее грубых, чем
Тип работы: Диссертация
Год: 2004
Страниц: 317
Получить работу

Каталог работ

Подобные работы: