3 ВВЕДЕНИЕ
Существует обширный класс задач, в которых необходимо математическое моделирование и расчет стационарных и квазистационарных магнитных полей в присутствии идеально проводящих тел. В настоящее время устройства на основе сверхпроводящих элементов находят все более широкое применение в технике, особенно в связи со значительными успехами в проблеме получения высокотемпературных сверхпроводников. Более того, имеется значительный круг задач моделирования технических устройств, в которых некоторые элементы хотя и не являются сверхпроводниками, но, тем не менее, могут считаться таковыми в технических приближениях.
Задачи, связанные с численными расчетами магнитных полей в присутствии массивных идеальных проводников достаточно хорошо изучены. Для их численного моделирования применимы известные интегральные уравнения типа Фредгольма второго рода (исследование таких уравнений на ляпуновских поверхностях в классах Гельдера и в классах квадратично-суммируемых функций сделано в [1, 2], на кусочно-гладких липшицевых поверхностях и контурах в классах функций с энергетической метрикой - в [3]). Возможно и применение обычного метода конечных элементов (МКЭ). Хотя применение МКЭ для внешних краевых задач (к которым, как правило, сводится моделирование рассматриваемого класса устройств) и затруднено, тем не менее эти трудности являются преодолимыми.
Значительно большие трудности вызывает моделирование магнитного поля в присутствии тонкослойных идеальных проводников (пленок) с краем (случай тонких замкнутых оболочек также охватывается работой [3]). Их толщина обычно столь мала по сравнению с остальными геометрическими размерами, что естественно считать их бесконечно тонкими, то есть сверхпроводящими поверхностями. Более того, попытка учитывать при моделировании их толщину приводит к численно неустойчивым задачам. К указанной задаче сводится обширный класс технических проблем, например, моделирование устройств на основе сверхпроводящих пленок, моделирование крейсерского ре-
4
жима движения высокоскоростного наземного транспорта, проектирование экранов для защиты персонала и высокочувствительного оборудования и т.д. Имеется достаточно много работ, в которых предприняты попытки построить модель описываемой задачи, хотя бы и в частных случаях. Укажем лишь некоторые из них. Для простых цилиндрических оболочек в работе [4] предложен метод аналитического решения. В работе [5] рассмотрен вариант, когда формулировка задачи допускает плоскопараллельное приближение. Трехмерная модель для источников поля и тонкослойного проводника специальных геометрических форм получена в [6]. Более общие результаты, полученные для задачи экранирования персонала, имеются в [7], однако, применимость использованной математической модели достаточно спорна. Более того, сами авторы работы [7] отмечают значительную численную погрешность получаемого решения (порядка 40% по невязке свободного члена).
Основной трудностью численного моделирования магнитного поля в присутствии идеально-проводящих поверхностей произвольной формы с краем является то, что известные интегральные уравнения второго рода теряют смысл на разомкнутых поверхностях. Попытки же использования МКЭ для таких задач приводят к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) колоссальной размерности, являющимся к тому же плохо обусловленными.
В данной диссертационной работе предлагается математическая модель на основе векторного интегрального уравнения типа Фредгольма первого рода для поверхностных токов. Классическая теория указывает на численную неустойчивость таких уравнений [8]. Однако имеются многочисленные примеры применения интегральных уравнений первого рода к задаче расчета электростатических емкостей систем проводников [9]. Отмечено, что ожидаемая численная неустойчивость не наблюдается, что было принято истолковывать проявлением так называемой саморегуляризации. До появления работы [30], удовлетворительной теории, объясняющей обнаруженную экспериментально численную устойчивость скалярных интегральных уравнений электростатики первого рода не было. Напротив, попыток применения векторных интегральных урав-
5
нений первого рода к расчетам магнитных полей в литературе почти не имеется. В упоминавшейся работе [6] для расчета магнитного поля в присутствии идеального проводника специальной формы применяется скалярное интегральное уравнение первого рода с весьма сложным ядром. К сожалению, в статье [6] отсутствует какое-либо обоснование применимости используемой математической модели и лишь отмечается численная устойчивость уравнения, выявленная в процессе численных экспериментов. Такое отсутствие интереса в литературе связано, видимо, с тем, что от векторной постановки задачи ожидается высокая вычислительная размерность. Однако, в настоящей работе показано, что при применении базисных полей специального вида вычислительная размерность модели не возрастает по сравнению со скалярными постановками (например в виде интегро-дифференциального уравнения первого рода для функции потока), и при этом имеет по сравнению со скалярными постановками ряд преимуществ. Теоретические вопросы существования и единственности решений интегральных уравнений первого рода различных специальных типов можно найти, например, в [10-18]. Однако вопрос корректности таких уравнений ни в одной из указанных работ практически не затрагивается.
В главе первой настоящей работы рассматриваются теоретические аспекты математической модели в виде интегрального уравнения для поверхностных токов. Для указанного уравнения строится вариационное обобщение и показывается, что при подходящем выборе пары гильбертовых пространств, в которых действует оператор уравнения, интегральное уравнение первого рода разрешимо единственным образом и притом устойчиво. Здесь же отмечается, что теория остается справедливой и для замкнутых поверхностей, причем простой вид ядра уравнения первого рода делает его привлекательной альтернативой для численной реализации по сравнению с интегральными уравнениями первого рода.
Во второй главе предлагается и обосновывается численный метод решения уравнения и различные методы его эффективизации.
6
В третьей главе описывается созданный на основе построенной теории программный пакет, приводятся результаты многочисленных контрольных расчетов. Также в этой главе рассмотрены примеры моделирования реальных технических задач с использованием созданного программного пакета.
В приложении приводится краткое описание использовавшихся в первой главе гильбертовых пространств.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [19-30]. Она была апробирована на следующих конференциях:
1. Конференция студентов и аспирантов ЮРГТУ(НПИ) 2002,2003, 2004 и 2005 годов.
2. «48. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium», сентябрь 2003 г., г. Ильменау, Германия.
3. «4th European Congress of Mathematics» («4-й Европейский математический конгресс»), 27.06-2.07.2004, г. Стокгольм, Швеция.
4. Всероссийская научно-практическая конференция «Транспорт-2004», г. Ростов-на-Дону, 25-27 мая 2004 г.
5. Выездная сессия секции энергетики отделения энергетики, машиностроения и процессов управления РАН. Альтернативные естественновозобно-вяющиеся источники энергии и энергосберегающие технологии, экологическая безопасность регионов, г. Ессентуки, 12-15 апреля 2005 г.
6. Первая ежегодная научная конференция базовых кафедр Южного научного центра РАН, г. Ростов-на-Дону, 1-21 апреля 2005 г.
По основным результатам диссертационной работы был сделан доклад на семинаре по математической физике Вычислительного центра РАН (г. Москва), который заслужил похвальную оценку.
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Рассмотрим стационарное или квазистационарное магнитное поле индукции В в присутствии конечной идеально проводящей поверхности S (см.
рис.1). Как известно, магнитное поле в идеальный проводник не проникает, поэтому условие идеальной проводимости можно записать в виде:
Вп = 0ш8, (1.1)
где п - единичный вектор нормали к S.
В терминах классического векторного потенциала A: rotА-В, divA = 0, условие (1.1) выглядит как rotnA = О на 5", то есть л-и на о, \\-?)
где С - некоторое поле, такое что rotnC = 0.
Оператор Ps обнуляет компоненту поля, определенного на S, ортогональную поверхности S и, очевидно, является ортопроектором. Отметим, что в случае
плоской S потенциал А без ограничения общности можно считать имеющим лишь касательную к S компоненту, т.е. в плоском случае отсутствует необходимость введение оператора Р5.
Если исходить из интегрального представления потенциала в линейной однородной среде [31]
"ТГ I
Рис.1
S rNM
где А°(м) - потенциал невозмущенного магнитного поля внешних (заданных) источников; /л - магнитная проницаемость; а - плотность поверхностных токов; гш - расстояние между точками N, М, то (1.2) будет означать е? (1.3)
S гш
8 и, таким образом, расчет результирующего поля сведется к решению уравнения
(1.3) для а.
Неизвестное поле С подчиним требованию разрешимости уравнения (1.3) в классе соленоидальных полей, замыкающихся в пределах S, то есть
diva = О на S, и v = О на /, (1.4)
/ - край поверхности S, v - единичный вектор внешней нормали к /, лежащий в касательной к S плоскости. В случае, когда S является многосвязной, необходимо добавить условие
ji 0ti = umt (1.5)
h
где /,- - граница отверстия i\ m - число отверстий. Это условие означает отсутствие магнитного потока через отверстия.
Исследование уравнения (1.3), нагруженного условиями (1.4), (1.5), выполним вариационным методом [32].
1.1 Обобщенная постановка
Будем полагать, что / удовлетворяет условиям Липшица [33], S - условиям Липшица и Римана, а магнитное поле реакции обладает конечной энергией и поэтому
Jlll^dSN a(M}iSM < а), (1.6)
S S rNM
где «v» - знак комплексного сопряжения, которое потребуется, например, если поле квазистационарно и характеризуется комплекснозначным потенциалом.
Для дальнейшего существенно, чтобы энергия невозмущенного магнитного поля была конечной. В некоторых практически важных случаях технической идеализации (например, в случае однородного невозмущенного магнитного поля) данное условие не выполняется. Поэтому в общем случае потребуем, чтобы энергия невозмущенного поля была конечна на некотором множестве G, т.е.
(1.7)
при том, что G cz Q - некоторое ограниченное множество с липшицевыми границами, такое что SaG; Q - трехмерное пространство. Таким образом, на основании теоремы о продолжении пространств Соболева [34,35], потенциал невозмущенного А0 может быть продолжен из G в Q линейным образом как член векторного пространства W\ (Q). Ясно, что в пределах множества G невозмущенное поле будет совпадать с исходным, а следовательно и магнитное поле реакции останется неизменным. При необходимости результирующее поле может быть восстановлено на основании исходного невозмущенного поля. В дальнейшем всюду предполагается, что энергия невозмущенного поля конечна во всем пространстве.
Рассмотрим I^iS) - пространство всевозможных комплекснозначных
функций \аЛ на -— ,_ 11-11 /- -\'/2
f\Щ = (я,я) . (1.8)
Согласно результатам, полученным Вейлем для плоских множеств [37] и развитых Фридрихсом для римановых поверхностей [38], векторное пространство L2(S) допускает на S разложение в прямую сумму трех ортогональных подпространств: L2(S) = l!2n)(S)®I<2n(S)®l}2c\S), где Lf\S) состоит из обобщенных по Вейлю потенциальных, ll2C)(S) - соленоидальных, a D2 - гармо-
нических полей. При этом, пространство L\ является конечномерным, размерность которого на единицу меньше связности поверхности S. В частности, в случае, когда S односвязная, имеем L2n = 0. Введем обозначение
1 Интегралы здесь и ниже понимаются в смысле Лебега [38].
10
= llf\S)®l}2c\S). Принадлежность поля be?(S) можно понимать в смысле выполнения равенства
ffbgradS
для любой непрерывной и непрерывно-дифференцируемой на S однозначной функции <р. А если b непрерывна в^и/, условие (1.9) означает: divb = Q на S, bv = 0 на /, поэтому элементы ?(S) еще называют полностью соленои-дальными. В соответствии с (1.4) роль исходного пространства следует отвести ?(5).
Для использования основного вариационного принципа [32] преобразуем уравнение (1.3) так, чтобы обеспечить принадлежность свободного члена выбранному исходному пространству. А именно, обозначим через Р? оператор ортогонального проектирования L2(S) на ?(?). Существование такого опера-
тора следует из его определения [40]. Далее подействуем им на обе части равенства в (1.3) и результат запишем в виде
Т* = /, (1.10)
где
Т = Р?Р5Г, Га(М) = — \[^0-dSNi / = --Р?Р5^\ (1.11)
а также учтено, что согласно условию (1.5) С ±l!f\s) и что Р? всякое потенциальное поле аннулирует, то есть Р? g = 0 для Vg e /^(S).
Ясно, что любое решение уравнения (1.3) удовлетворит (1.10). Нетрудно проверить, что и решение последнего из ?3 удовлетворит задачу (1.3-1.5), то
есть для эквивалентности (1.3-1.5) и (1.10) в ? достаточно принадлежности А0 к L2(S). Действительно, пусть а - решение уравнения (1.10) из ? и, таким об-
представление этого оператора далее не потребуется. Здесь и далее для сокращения записи будем вместо ?(?) писать просто ?.
11
разом, условия (1.4-1.5) в обобщенном смысле (1.9) выполняются. Воспользовавшись определением оператора Т из (1.11) и свойством
?са + ?(Л)а = а для VaeL2(S),
где Р(П) - оператор ортогонального проектирования L2(S) на L2n\S), перепишем (1.10) в виде
гш
откуда видно, что при данном а и поле С = V{/7)Ps(a° + Гоч уравнение (1.3) удовлетворяется.
1.2 Исследование уравнения
Рассмотрим свойства оператора Т.
Очевидно, Т - линейный оператор, а ? может служить областью его определения. Убедимся, что он также самосопряжен и положителен в ?. Имеем
Теперь рассмотрим
(Ч -
^ft
S rNM S ^Л S rNM
(1.12)
\/Ье2, ЩфО.
Здесь /S - дополнение кусочно-гладким образом поверхности S до замкнутой
/я
(5 = на контур /,.), функция Ъ доопределена нулем на S, через bx,by,bz обозначены декартовы координаты Ъ, через <рх,<ру,<рг - поверхностные потенциалы простого
12 слоя с плотностями, соответственно, bx,by,bz, распределенными на S, а также
учтено, что всякое соленоидальное на S векторное поле имеет нулевое среднее значение, и множество суммируемых на 5 с квадратом функций с нулевыми средними значениями содержится в //° (Sj - гильбертовом пространстве плотностей потенциалов простого слоя с конечным интегралом Дирихле в Q. Гильбертовы пространства упомянутых потенциалов и их плотностей подробно рассмотрены в [3] (см. также приложение).
Важно, что для элементов H^ls) последний знак равенства в (1.12) вы-
полняется, а знак неравенства - правильный, поэтому все перечисленные выше свойства оператора Т в ? подтверждены. Согласно [32], этих свойств достаточно, чтобы уравнение (1.10) и вариационная задача
-2Re(f,a)h ->min (1.13)
были эквивалентны в энергетическом пространстве оператора Т в ?. Обозначим это пространство через ?г, тогда
\т -(TS^)t, рЦ "Я?. (1.14)
а поскольку ?т в рамках вариационного метода получается у нас замыканием
по норме (1.14) пространства ?, то эквивалентность уравнения (1.10) и задачи (1.3-1.5) сохраняется в ?г, где выполнение неравенства (1.6) подразумевается,
так как в терминах ?г оно имеет вид \\сг\\ < оо, Отметим еще, что входящий в
II ll?r
Т ортопроектор Р? при вычислении скалярных произведений в (1.13,1.14) можно опустить, то есть использовать представления
/у
G^O^in, cre?r; (1.15)
(СГ1'а"2)?г =
)^' О"1'С7'2 более удобные для численной реализации.
13 Убедимся, что в рассматриваемой постановке функционал тЦ<т] = (/,<т)^
ограничен в -С^ Это будет означать [32], что вариационная задача имеет и притом единственное решение, а норма последнего равна норме функционала . Выполним
4-V / С _ 1 р5- _ 1 /pS-pp?-\ _ 1
[° )\\к 1 М ,*) ~» 1 ' ^^
_ 1 и р S adS — 1 s V (У xdSl -\\А S 0 У V s
(1.17)
где <т доопределена на S вне S нулем и, напомним, имеет нулевое среднее значение на S. Важно еще, что для элементов Slj., продолженных на S (доопределенных нулем вне S), скалярное произведение (1.16), а следовательно, и норма совпадают со скалярным произведением и нормой, соответственно, в
Яд5]. То есть crx,(Ty,crz eHlyS) и могут рассматриваться как плотности потенциалов простого слоя с конечным интегралом Дирихле в Q.
Как уже упоминалось выше, на основании неравенства (1.7) потенциал
А0 можно рассматривать, в частности, как элемент векторного пространства ^г(^л)' где ^л " шаР РадиУса ^> такого, что GaQ.R. С помощью шаровых функций потенциал А0 может быть продолжен за пределы Q.R как гармоническое поле. Тогда можно полагать
Несложно убедиться, что
(1.19)
В силу свойств векторных потенциалов соленоидальных полей, суммируемых с квадратом в Q, потенциал А0, продолженный таким образом в Q, является членом пространства W\ (Q). Это означает, что декартовы координаты
14
А*},А°,А; являются элементами гильбертова пространства Н(О), рассматриваемого в [3].
Используем определение плотности потенциала простого слоя из H^yS), введенное в [3] на основе первого тождества Грина как функционала в H(Q), и перепишем (1.17) в виде4
M
a
1
n
grad(p>
grad1/2
grad1/2
?
где использовались неравенство Коши-Буняковского [41], упоминавшаяся выше связь между нормами в i/° (Sj и^.а также тождество
справедливое для всякого дважды непрерывно-дифференцируемого в Q векторного поля ?, достаточно быстро убывающего на бесконечности5.
Как видим, норма функционала #(оч оценивается через энергию, заключенную в магнитном поле стационарных источников. Поэтому решение вариационной задачи (1.15), а значит, и уравнения (1.10) не только существует и
1 ,
ГB°
единственно в <С^, но также щр\ й— ГwB
II ll? iii\
dQ. Последнее означает, в част-
ности, что погрешность в энергии магнитного поля реакции не превысит аналогичной погрешности поля сторонних источников вызвавшей нарушение сво-
4 Производные здесь и далее понимаются в смысле Соболева [50].
3 Такие поля образуют плотное множество в пространстве, которому принадлежит А .
15
бодного члена уравнения (1.10). В этом смысле решение уравнения (1.10) устойчиво.
Отметим, что все результаты двух последних параграфов остаются в силе, когда S является замкнутой поверхностью. Это имеет место, например, когда сверхпроводник является массивным односвязным телом. В отличие от ситуации, когда S разомкнутая, для этого случая применимы хорошо известные и изученные уравнения второго рода (см., например [3]). Однако относительно простая форма ядра интегрального уравнения первого рода является привлекательной альтернативой уравнениям второго рода при численной реализации.
1.3 Случай «вмороженных потоков»
Рассмотрим подробнее условие (1.5). С физической точки зрения оно означает, что сверхпроводник попал в магнитное поле после своего перехода в сверхпроводящее состояние. Существует интересный с практической точки зрения случай, когда это, вообще говоря, неверно. Условие (1.5) нарушается, если многосвязная сверхпроводящая поверхность S находится в режиме сверхпроводящего соленоида, т.е. сама используется в качестве источника магнитного поля. Такой режим описывается уравнением
с дополнительными условиями
= 0на/, (1.21)
(1.22)
где Ф,- - заданный магнитный поток через отверстие / в поверхности S.
Для того, чтобы свести уравнение (1.20) с условиями (1.21,1.22) к уже ис-
следованному обобщенному уравнению (1.10), рассмотрим Af - векторный потенциал трубки с магнитным полем, такого диаметра, что она полностью помещается в отверстие i и, следовательно, не пересекает S, и при этом поток в
16
трубке Ф4 = —Ф,. Замыкаться она может в том числе и на бесконечности. Пример такой трубки изображен на рис. 2, здесь
В® = rot A* . Возьмем систему контуров Z,,Z2..XW, проходящих через соответствующие отверстия в поверхности S и замыкающиеся вне ее (см. рис 1). Тогда одним из возможных аналитических представлений Af окажется следующее:
Рис.2
ц rNM
Если в качестве Lt взять прямую (контур, замыкающийся на бесконечности), совпадающую с осью OZ, тогда
где го(М)ех =
ф
; ex,ey,ez - орты соответст-
вующих координатных осей.
Используя введенные потенциалы Дф, мы получим вместо уравнения (1.20) с условиями (1.21,1.22) эквивалентное ему уравнение
4Я" 5" rNM H- i=l И
с дополнительными условиями
diva = 0 на «S, av = 0 на /,
(1.24) (1.25)
Уравнение (1.23) с условиями (1.24,1.25), является частным случаем уравнения (1.3) с условиями (1.4,1.5), и, следовательно, обладает в энергетиче-
17
ском пространстве теми же свойствами: разрешимостью, единственностью и устойчивостью.
Объединив результаты настоящего параграфа с результатами предыдущих параграфов, получим, что в энергетическом пространстве интегрального оператора доказана разрешимость, единственность и устойчивость уравнения:
Т^ = /, (1.26)
где
Т = Р?Р5Г, Гв(М) = — \jN f
4я" S ГЫМ М V '=1
являющегося обобщением уравнения:
(
при условиях
diva = 0 на S, a v = 0 на /, (1.29)
O,-,/ = Uw, (1.30)
h
Уравнение (1.28) с условиями (1.29,1.30) является наиболее общим, описывающим случай, когда сверхпроводящий (или, быть может, могущий приближенно считаться таковым) соленоид находится в некотором дополнительном внешнем магнитном поле. |
