Введение
Теория равномерных алгебр, как специальная ветвь теории банаховых алгебр, стала интенсивно развиваться в середине прошлого века зарубежными и советскими математиками. В рамках этой теории исследовались, в частности, свойства алгебр функций, заданных на тех или иных конкретных множествах.
Теория равномерных алгебр создана на базе алгебры, функционального анализа, теории функций, она обогатила математику не только новыми задачами, но и позволила объединить ряд теорий, которые, на первый взгляд, не имеют ничего общего. Например, теорию непрерывных функций на единичной окружности комплексной плоскости, имеющих аналитическое продолжение в единичный круг (диск -алгебра) ф и теорию инвариантных алгебр функций на компактных абелевых
группах. Отметим, что последняя теория, фактически, берет начало с основополагающей работы Р. Аренса и И. Зингера "Generalized analytic function"(cM.[30]). В этой работе был предложен функционально — алгебраический подход к изучению почти - периодических аналитических функций.
Теория обобщенных аналитических функций, начатая Р. Аренсом и И. Зингером, получила свое развитие в работах Р. Аренса [27], Г. Хельсона * и Д. Лауденслагера [35, 36], К. Гофмана [12, 39], Ф. Форелли [31], К. де
Лю и И. Гликсберга [40], В. Рудина [44], Т. Гамелина [3]. В этих работах доказывались утверждения, аналогичные классическим теоремам теории аналитических функций в единичном круге, выявлялись новые свойства почти периодических аналитических функций.
На протяжении нескольких последних десятилетий развитие этой теории вышло за рамки обычного обобщения классических результатов. Стали исследоваться инвариантные алгебры функций на
группах Ли, на однородных областях, устанавливаться связи между свойствами, представлениями групп и алгебрами, порожденными этими представлениями. Эти исследования представлены в работах М. Л. Аграновского [1], Е. А. Горина и В. М. Золотаревского [6, 7, 10], В. М. Гичева [4, 5], С. А. Григоряна [13, 14, 15], Т. В. Тонева [46, 48, 50], А. Л. Розенберга [22], А. Н. Шерстнева [45].
Данная работа выявляет новые свойства инвариантных алгебр функций. Основным объектом исследования является равномерная алгебра As, которая строится следующим образом.
Пусть G - компактная абелева группа, группа характеров которой изоморфна аддитивной группе Г, наделенной дискретной топологией. Пусть для каждого а € Г, ха — соответствующий характер группы G. Обозначим через а нормированную меру Хаара группы G и через LY{G, da) - пространство измеримых и интегрируемых функций по мере а. Каждая функция / € LX(G, da) представляется в виде формального ряда Фурье
аеГ где
f
G - a - тый коэффициент Фурье функции /.
Множество
называется спектром функции /. Пусть S такая подполугруппа группы Г, что 0 €¦ S и S 4- (—S) = Г. Основным объектом исследования является алгебра As, состоящая из всех тех непрерывных функций / € C(G), спектр которых содержится в S. Естественно, что между свойствами полугруппы S и свойствами алгебры As существует тесная связь.
Например, пространство максимальных идеалов алгебры As совпадает с множеством Ms - полухарактеров полугруппы S, т. е. таких отображений га из полугруппы S в единичный диск D комплексной плоскости С, что
ш(о + Ь) = т{а)' т{Ь) и га(0) = 1.
*
Пусть S - коммутативная аддитивная полугруппа с сокращением, то есть
из условия а + b = а + с следует Ь = с. Предположим, что полугруппа S содержит единичный элемент О € S. Отметим, что существует тесная связь между полухарактерами полугруппы S и весами на S, т.е. такими отображениями
что
для всех а,Ь ? S. Вес называется конечным, если i/(a) < оо для всех а ? S и двузначным, если
v:S-> {0, со}.
Множество всех весов W(S) - полугруппа с единичным и нулевым элементом. Определим на полугруппе S псевдопорядок: а -< 6, если существует такой элемент с € S, что а + с = 6. Его можно расширить до псевдопорядка на группе Г#, порожденной полугруппой S: а -< Ь, если b — а ? S. Если для любых Ь ? Г5 и а ? 5, найдется такое положительное число п € Z+, зависящее от 6 и а, что 6 -< па, то говорят, что S задает архимедов порядок на Г$- Пусть Н - некоторая подполугруппа полугруппы S, предположим 0 € Я.
Данная работа состоит из трёх глав и списка литературы.
Глава 1, состоит из шести параграфов. В ней особое внимание уделяется следующим трем задачам.
а) При каких условиях данный вес v ? W(H) можно продолжить до веса
b) Каким условиям должна удовлетворять полугруппа Н, чтобы каждый вес из W(H) продолжался бы до веса на S, в частности, каким свойствам должна удовлетворять полугруппа Н, чтобы любое продолжение конечного веса было конечным на S?
c) Пусть WV(S) - подмножество в W{S), состоящее из всех продолжений веса v € W(H). Для каждого Ь € S описать множество
*„(Ъ) = ЫЬ) : /i € WV(S)} - относительный спектр элемента Ь.
Первые два параграфа первой главы носят вспомогательный характер. В них собраны необходимые определения и утверждения, которые используются в дальнейшем. В § 3, для полноты изложения приводится новое доказательство критерия продолжения заданного веса с подполугруппы на всю полутруппу (задача а), предложенный А. Н. Шерстневым (см.[45]), а также сформулировано условие на подполугруппу Н, при котором каждый вес из W(H) расширяется до веса на S (см.[16] ).
Основываясь на указанных выше работах в § 4 главы 1 доказывается следующая теорема.
Теорема 1. Для того,чтобы каоюдое продолжение любого конечного веса (если продолжение существует) с подполугруппы Н до веса на полугруппе S было конечным, необходимо и достаточно выполнение следующего условия: для любого а € S существует b G Н такое, что а -<Ь.
Отметим, что теорема 1 вместе с одним из результатов С. А. Григоряна дает ответ на задачу Ь). В этом же параграфе дается описание относительного спектра элементов полугруппы S.
Результаты предыдущих параграфов используется в § 5 для нахождения условий, при которых полухарактеры с подполугруппы могут быть продолжены до полухарактеров на всей полугруппе.
В последнем параграфе этой главы доказывается следующая теорема
Теорема 2. Пусть Ts -группа, порожденная полугруппой S. Предположим, что полугруппа S задает архимедов порядок на Vs. Тогда
a) полугруппа двузначных весов W^S) на S состоит из одного элемента;
b) полугруппа конечных весов Wq(S) на S изоморфна R+;
= Woo(S)UW0(S).
Глава 2 состоит из четырех параграфов. В § 1 собран материал, который используется в дальнейшем. В § 2 устанавливается связь между подполугруппами полугруппы S и р - множествами алгебры А$. Напомним, что множество F С G называется множеством пика для алгебры As, если существует такая функция / 6 As, что f(a) = 1 для любого а 6 F и |/(<*)| < 1 для а € G\F. Множество называется р -множеством, если оно является пересечением множеств пика. Подполугруппа Н полугруппы S называется полной в 5, если
где Гя = Н + (—Н) - подгруппа группы Г. Для подполугруппы Н полугруппы S пусть
Н1 - {а € G : х°(«) = 1 Для всех а € Я}. Аналогично для замкнутой подгруппы Go С G пусть
Gq - {а е S : х°(а) = 1 для всех a G Go}.
Очевидно, Н С (Н1) и Н = (Н1-) - тогда и только тогда, когда Н -полная в S полугруппа. Подобным образом Go = (G^) тогда и только
тогда , когда Gq - р - множество для алгебры As, т. е. Go - пересечение множеств пика для алгебры As. Следующая теорема устанавливает связь между полугруппами группы G и р - множествами для алгебры As.
Теорема 3. Существует взаимно однозначное соответствие между полными подполугруппами полугруппы S и теми подгруппами группы G, которые являются р-множествами для алгебры As.
Множество полухарактеров
Ms = {m: S ~> D: т(0) = 1, т(а + Ь)= т{а) • rn(b)} полугруппы 5, является полутруппой относительно операции умножения:
Элемент т € Ms называется идемпотептом, если т2 = т. Множество идемпотентов Ids ~ подполугруппа полугруппы Ms. Пусть Ps — множество всех тех подгрупп Go группы G, которые являются р -множеством для алгебры As, и сужение As\g0 алгебры As на Go является антисимметричной алгеброй, т .е. не содержит вещественной функции, отличной от константы. Отметим, что на Ps можно определить структуру полутруппы,
если Gi, G2 E Ps, то Gi П G2 e Ps.
Теорема 4. Существует полугрупповой изоморфизм между полугруппами Ids «
В §3 главы 2 приводится достаточное условие, при котором алгебра As является полиномиально замкнутой. Напомним: алгебра В называется полиномиальным расширением алгебры Л, если В = A[bi,...,bn] -
алгебра полиномов от bi,...,bn с коэффициентами из А. Пусть K{G) -категория равномерных алгебр на компактной группе G. Алгебра А называется полиномиально замкнутой , если у А нет нетривиальных полиномиальных расширений в категории K{G). Существует связь между полиномиально замкнутыми As алгебрами и алгебраически замкнутыми подполугруппами S. Подгруппа S называется алгебраически замкнутой в Г, если из условия
па € S, а € Г, п G N следует о€5. Основной результат §3 - следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть S алгебраически замкнутая подполугруппа в Г и caid Ids < 00. Тогда As - полиномиально замкнута.
В последнем параграфе данной главы изучаются автоморфизмы алгебры As. Вообще говоря, группа автоморфизмов алгебры As достаточно широка. Хорошо известно, что группа автоморфизмов диск -алгебры совпадает с группой Мёбиуса,т .е. группой всех преобразований Мёбиуса.
В группе автоморфизмов алгебры As есть подгруппа , которая определяется парой (<т,а), где а : S —*¦ S - полугрупповой изоморфизм, а а € G. Автоморфизмы такого вида называются внутренними. Как показали Р. Арене и И. Зингер, если полугруппа S задает полный архимедов порядок на Г, то все автоморфизмы алгебры As внутренние (см.[30]).
Следующая теорема является обобщением приведенной теоремы Аренса - Зингера.
Теорема 6. Пусть S такая полугруппа, что существует полухарактер т G Ms удовлетворяющий неравенству
0< \т(а)\ < 1, aeS,a^0.
10
Предположим, caidlds = 2. Тогда либо полугруппа S изоморфна полугруппе неотрицательных целых чисел Ж+, либо все автоморфизмы алгебры As внутренние.
Последняя глава посвящена изучению аналитических свойств множества Ms.
Многие классические результаты комплексного анализа допускают естественное продолжение на случай инвариантных алгебр функций. В указанной выше работе Арене - Зингер распространили некоторые свойства диск -алгебры на алгебру As. В работе де Лью и Гликсберга (см. [40]) были обобщены классические теоремы Фату и Рудина ([12] стр 116, 118). В третьей главе устанавливается связь между алгебраическими свойствами полутруппы S и классическими теоремами Радо о продолжении аналитической функции и Римана об устранимой особенности.
Гл. 3 состоит из трех параграфов. В § 1 вводится понятие дефекта полугруппы.
Рассмотрим три вида расширения полугруппы S
= {р, 6 Г : па 6 S для всех п > Na G Z здесь число 7VO зависит от элемента а ? Г;
= {а € Г : па G S для некоторого п € Z+},
Sx - семейство тех элементов а € Г, для которых найдется такое 6 G S, что а + 6е S и
\т(а-\-Ь)/т(Ь)\ < 1,
если т е Ms\{77i e Ms : m(b) = 0}. Очевидно,
С Sx.
11
Определим четыре алгебры функции на группе G: (
и Э?(5Х), каждая из которых порождается линейными комбинациями характеров, соответствующих полугруппам S, S\y, Ss и Sx.
Слабым дефектом полугруппы S называется число wdefS -размерность алгебры ЩБцг) как модуля над Э?(?).
Дефектом полугруппы S называется число defS - модульная размерность &{Ss) над U(Sw)-
Сильным дефектом полугруппы S называется число s def S - модульная размерность алгебры Э?(?х) над m(Ss)-
Напомним ряд определений, используемых в этой главе. Для равномерной алгебры А обозначим через Ма пространство её максимальных идеалов и дА границу Шилова этой алгебры. Пусть U ~ открытое множество в М^, и Аи - равномерное замыкание сужения гельфандовского представления А на U. Непрерывная функция / на U С Мл называется А - голоморфной, если для любой точки х Е U найдется такая окрестность V{x e V С V С С/), что сужение / на V принадлежит Ау. Множество всех А - голоморфных функций на U — образуют алгебру Oa(U). Равномерная алгебра называется аналитической на пространстве максимальных идеалов Ма, если каждая функция / € Л, равная нулю, на некотором открытом подмножестве множества Ма тождественно обращается в нуль на Ма-
Приведем основную теорему § 1.
Теорема 7. Пусть Sa = S + Z+a - полугруппа, порожденная полугруппой S и элементом а €Г. Msa = Ms тогда и только тогда, когда а € SV-
Известная теорема Радо для диск алгебры утверждает следующее: если непрерывная функция на единичном диске D аналитична на множестве mtD\N(f), где N(f) - множество нулей функции /, то / принадлежит алгебре А%+. Эта теорема имеет различные обобщения. Среди них особое
12
место занимает следующая теорема Гликсберга (см. [33])
Теорема 8 (Гликсберг). Пусть А — равномерная алгебра и f — непрерывная функция на МА, являющаяся А - аналитической на множестве МДГ^О). Тогда M[AJ] = МА и d[A,f] = дА, где [AJ] -равномерная алгебра, порожденная функциями f и функциями из А, и дА — граница Шилова алгебры А.
Говорят, что равномерная алгебра А обладает свойством Радо, если каждая функция / непрерывная на МА и А - аналитическая на MA\N(f) принадлежит алгебре А.
Основной результат § 2 следующий.
Теорема 9. Алгебра As обладает свойством Радо тогда и только тогда, когда w def 5 = 0.
Равномерная алгебра называется целозамкнутой на МА, если каждая непрерывная на МА функция удовлетворяющая полиномиальному уравнению вида
принадлежит алгебре А. В этом параграфе показано, что условие wdefS = 0 является критерием целозамкнутости алгебры As (теорема 3.2.3).
Третий, последний параграф главы 3, посвящен обобщению теоремы Римана об устранимой особенности. Говорят, что равномерная алгебра А обладает свойством Римана, если для любой функции g G Д N(g)f)dA = 0, каждая непрерывная А - голоморфная и ограниченная на MA\N(g) функция продолжается до функции из А.
Очевидно, что если А обладает свойством Римана, то она обладает и свойством Радо. Обратное не верно. В § 3 доказывается следующая теорема
13
Теорема 10. Аналитическая алгебра As обладает свойством Римана тогда и только тогда, когда Ss = S,m e.
wdef S + def S + sdeiS = 0.
Глава 1. Веса на коммутативных
полугруппах
Введение Пусть S — коммутативная аддитивная полугруппа с сокращением, т. е. из условия о + Ь — а + с следует, что b = с.
Предположим, что S — полутруппа с единичным элементом 0 6 5. Отображение и : S —* [0, оо] такое, что i/(0) = 0, v{a + b) = v(a) + v(b) для всех a,b € S называется весом. Если и(а) < оо для всех а 6 5, то вес v называется конечным. Если вес принимает два значения 0 и оо, то вес называется двузначным. Множество всех весов будем обозначать через W(S), конечных весов через Wq(S) и двузначных через W^S).
Очевидно, W(S), W0(S), и W^S) — аддитивные полугруппы относительно естественно введенной операции сложения весов:
{у + fj){a) = и{а) +
а € S.
Данная глава посвящена, в основном, проблеме продолжения весов с подполугруппы на всю полугруппу. Вопрос о продолжении весов возникает при изучении свойств инвариантных алгебр функций на компактных абелевых группах, при исследовании короны у алгебр почти периодических функций и в ряде других задач теории инвариантных алгебр.
15
1.1 Веса на полугруппах
Пусть S — аддитивная полугруппа с сокращением, содержащая единичный элемент 0 € S и Н — некоторая подполугруппа полугруппы S, имеющая с ней общую единицу. Обозначим через N(H) множество тех аб5, для которых существует такое положительное целое число п € Z+, что па G Н. Очевидно, что N(H) — подполугруппа группы 5, содержащая полугруппу Н.
Полугруппу Н назовем алгебраически замкнутой* в S, если N(H) = Н.
Лемма 1.1.1. Каждый вес из W{H) однозначно продолжается до веса на N(H).
Доказательство. Пусть v : Н —* [0, со] — вес на Н. Если a G N(H) и п,т € Z+ такие, что па, та € Н, тогда
v{na) _ mv{na) v(mna) nv(ma) i/(
n mn mn nm m
Поэтому отображение
v{na)
i/*:N(H)-+[0,oo), u°(a) =
n '
если па € H определено корректно. Покажем, что это отображение есть вес:
п Пусть
где la, kb ? Н. Тогда
*В теории полугрупп алгебраически замкнутая полугруппа называется изолированной см. [20]
16
Следовательно,
Ла) + ЛЬ) = *Ш + ЫЬ) = №±Ш = и\а + Ь).
LK Kl
П Пусть
Gh = {а е Н : существует ЬбЯ такое, что а + Ь = 0}. Полагая 6 = —а, можно задать на Gh структуру группы.
Лемма 1.1.2. Пусть Jh = H\Gh — идеал в S. Тогда каждый вес на Н расширяется до веса на S.
Доказательство. С помощью веса v : Н —¦> [0, со] определим две непересекающиеся подполугруппы полугруппы Н:
Н^ = {аеН : v{a) = оо}
и
Щ = {аеН : j/(o) < со}.
Очевидно, что #?, является идеалом в Н. Возможны два случая: Jh ф Н^ vi Jh = Д^о- В первом случае существует «о € Jh такой, что via®) < со. С помощью этого элемента определим функцию ? : S —* R, полагая для любого Ь € S
С,(Ь) - 1/(6 + оо) - i/(oo).
Покажем, что ? — аддитивная функция на S. Действительно,
((с + d) = i/(c + с? + оо) - I/(ао) =
2оо) - i/(2ao) = а0) - v{oq) + г/(d
17
Теперь покажем, что С(6) > 0 для всех Ъ € S. Для любого целого положительного числа п:
п((Ь) = ((пЬ) = v(nb + а0) - v(a0) > —и(а0)
Следовательно, ?(&) >---------. Переходя в последнем неравенстве к
п
пределу при п —> со, получим С(Ь) > 0,т. е. С — вес.
Во втором случае, когда Jh = Д?> вес и на G# равен 0, а на Jh равен оо. Поэтому на Н = (7# U Jh вес г/ принимает два значения - 0 и оо, т. е. является двузначным. Пусть
= {a G S : существует b G S такое, что а + Ь = 0}.
Очевидно Gh С
Поскольку, Jh — идеал в S, то полугруппа Jh содержится в Js = S\G$. Отсюда, вес С : S —> [0, оо]
{О, если а е Gs оо, если a G Js есть продолжение веса v.
Лемма 1.1.3. Пусть Jh ф Д?э- Тогда вес v однозначно продолжается до веса на S.
Доказательство вытекает из доказательства предыдущей леммы. Пусть Г — аддитивная подгруппа группы вещественных чисел R. Обозначим через Н+ - некоторую подполугруппу полугруппы
Г+ = {аеГ:о>0},
содержащую 0 € Г и порождающую группу Г, т. е. для любого элемента а 6 Г найдутся 6, с G Н+ такие, что а = Ь — с. Полугруппу Н+ можно

 Часть из работы     Получить работу