1. Введение
Теория инвариантов за 150 лет своего развития прошла множество этапов. Ее становление было связано с именами Гаусса, Вейерштрасса, Сильвестра, Клебша, Гордона, Кэли и др. Гильберт завершил эту эпоху и одновременно дал толчок к развитию современного понимания того, что является предметом (алгебраической) теории инвариантов в наиболее общей постановке этого вопроса. Следующий этап, связанный с развитием абстрактной алгебры, позволил обобщить многие классические результаты для достаточное широких классов алгебраических групп, действующих рационально на аффинных многообразиях. Естественным следствием этого процесса был и отказ от ограничений на основное поле, над которым определены перечисленные вытие объекты. Теперь это не только R или С, но и произвольное поле любой характеристики. Решение 14-й проблемы Гильберта позволило выделить такой естественный класс алгебраических групп, как редуктивные группы. Оказалось, что редуктивные группы, и только они, обладают тем свойством, что для любого их рационального действия на любом аффинном многообразии, соответствующая алгебра инвариантов конечно порождена. В одну сторону это было известно благодаря работам Гильберта и Нагаты, обратное утверждение было доказано Поповым. Однако, несмотря на столь значительный прогресс в абстрактной теории инвариантов, до сих пор нет достаточно эффективных методов нахождения порождающих инвариантов даже в некоторых классических случаях, считавшихся важными еще 100 лет назад. Кроме того, эта проблема значительно осложняется, если мы включаем сюда и поля конечной характеристики. С развитием компьютерной алгебры, символьных вычислений, и, более конкретно, таких методов, как алгоритм Бухбергера нахождения базисов Гребнера-Ширшова, задача явного вычисления минимальной системы порождающих, а также всех определяющих соотношений между ними, снова приобрела тот смысл, который в нее вкладывал Гордон и его ученики (среди которых, кстати, была и Эмма Нетер, по праву считающаяся одним из основоположников современной абстрактной алгебры). Один из способов решения этой задачи — найти общие свойства колец инвариантов редуктивных групп, которые позволили бы упростить вычисления, еще лучше, свести их, в том или ином смысле, к линейной алгебре. Одним из таких свойств является свойство Коэна-Маколея. Большинство алгебр инвариантов обладает естественной градуировкой, такой, что компонента нулевой степени совпадает с основным полем. В этом классе алгебр свойство Коэна-Маколея эквивалентно свойству быть свободным модулем над подалгеброй параметров (Предложение 2.10). Если мы знаем систему параметров
и систему свободных порождающих нашей алгебры как модуля над подалгеброй параметров, то есть то, что обычно называют разложением Хиронаки, тогда мы получаем массу полезной информации о самой алгебре инвариантов. Мы можем вычислить ряд Гильберта, определяющие соотношения, сизигии, все типы размерности и т.д.
Замечательная теорема Хохстера-Робертса говорит, что алгебры инвариантов линейно редуктивных групп всегда Коэн-Маколеевы. К сожалению, эта теорема почти бесполезна в модулярном случае, так как здесь линейно редуктивными являются только конечные расширения торов. Более того, как показал недавно Кемпер ([24]), Коэн-Маколеевость всех алгебр инвариантов данной группы эквивалентна ее линейной редук-тивности. Таким образом, даже группа SL? может иметь рациональное представление, алгебра инвариантов которого не Коэн-Маколеева, если основное поле имеет ненулевую характеристику.
В данной работе все вышеперечисленные задачи решаются для алгебры инвариантов нескольких матриц второго порядка над бесконечным полем произвольной характеристики. Мы покажем, что алгебра инвариантов 2x2 матриц всегда Коэн-Маколеева (Теорема 3.1.1), что обобщает результат Мета и Рамадаса ([33]), доказавших это утверждение для полей нечетной характеристики. Кроме того, наше доказательство относительно элементарно, так как сводит проблему к хорошо известному случаю векторных инвариантов. Далее, мы находим минималную систему порождающих для любого числа 2x2 матриц (Следствие 3.2.2), разложение Хиронаки для не более чем пяти матриц (Теорема 4.1.1, Теорема 4.2.1) и отмечаем, что случай четной характеристики существенно отличается от случая нечетной характеристики. Это замечание обобщается на матрицы произвольного размера (Следствие 3.2.1). Именно мы показываем, что максимальная степень порождающих любой минимальной системы порождающих алгебры инвариантов т пхп матриц не может быть меньше чем т, если характеристика поля не превосходит п. Последний результат имеет особое значение, так как знание максимальной степени порождающих позволяет оценить вычислительную сложность нахождения хотя бы одной минимальной системы порождающих.
Несмотря на то, что многие из перечисленных выше результатов, даже в случае матриц второго порядка, носят отрицательный характер, многое сохраняется и при переходе к полям конечной характеристики. Одним из таких результатов является теорема Ле Брюна-Тераниши, которая описывает все случаи, когда алгебра матричных инвариантов является полным пересечением (Теорема 3.3.1). Доказательство использует описание локальной структуры соответствующего фактормногообразия, обобщенное недавно
4
и для полей конечной характеристики в [10].
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
1. Доказано, что алгебра инвариантов, относительно диагонального присоединенного действия общей линейной группы над бесконечным полем произвольной характеристики любого числа 2x2 матриц #2,т» всегда Коэн-МакоЛеева.
2. Доказано, что если 0 < char fc-p2, то Rn,m не порождается элементами степени < т. В частности, указана минимальная система порождающих для /?2,т-
3. Доказано, что Rn4. Найдено разложение Хиронаки для i?2,5 над полем четной и нечетной характеристики.
Личный вклад соискателя. Результаты диссертации опубликованы с научным руководителем и М.Домокосом, получены совместно при равном участии.
Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались на IV Международной алгебраической конференции, посвященной 60-летию профессора Ю.П.Мерзлякова в Новосибирске и алгебраических семинарах ОмГУ и ОмГПУ.
Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории инвариантов и теории представлений алгебраических групп и ассоциативных алгебр. По теме диссертации опубликовано четыре работы. Одна из них — тезисы доклада на IV Международной алгебраической конференции в Новосибирске.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 43 наименования. Общий объем диссертации составляет 55 страниц. В работе принята сквозная двойная (первая цифра — номер главы, вторая — порядковый номер утверждения в главе) и тройная (первая цифра — номер главы, вторая — номер параграфа, третья — порядковый номер утверждения в параграфе) нумерация.
Благодарность. Автор выражает глубокую благодарность профессору Зубкову А.Н. за научное руководство и всестороннюю поддержку.
т
2. Необходимые определения и теоремы
Пусть к — алгебраически замкнутое поле, V — векторное пространство над к.
Определение 2,1. Векторное пространство V называется градуированным, если оно является прямой суммой V — ф<*>о Vd векторных подпространств Vd,d > 0.
Определение 2.2. k-алгебра А называется градуированной, если она является градуированным векторным пространством с градуировкой А = ф^>о Ad такой, что
AdAe с
Элементы алгебры Л, лежащие в Ad, называются однородными элементами степени d. Определение 2.3. Идеал I градуированной k-алгсбры А называется однородным, если
Другими словами: если элемент а = J2d>o ad (a>d G Ad) лежит в /, то и все элементы ad лежат в /.
Пусть / — градуированный идеал; тогда факторалгебра А/1 превращается в градуированную алгебру, если положить (A/I)d — (Ad + /)//•
Пусть В — кольцо (коммутативное и с единицей), а Л — его подкольцо. Напомним, что В называется целым над Л, если любой элемент 6 € В удовлетворяет соотношению вида
Ьп + а1Ьп-1 + ... + ап = 0 ,
где а,- € Л.
Напомним также, что Л-алгебра В называется конечно порожденной (над А), если существуют элементы bi,...,b3 G В, для которых В = А[Ь\,..., bs); эти элементы &i,..., Ь3 называются образующими алгебры В.
Предложение 2.1. ([5]) Пусть В — конечно порождения k-алгебра и А — ее подалгебра. Предположим, что В является целой над А. Тогда А также конечно порожденная к-алгебра.
Предложение 2.2. ([5]) Пусть А = ф^о А* — градуированная к-алгебра. Если ее однородный идеал А+ =¦ ф(*>о Ad порожден конечным числом элементов, то А конечно порождена над Aq.
Предложение 2.3. ([5]) Пусть А — градуированная конечно порожденная k-алгсбра с Ао = к. Если А — область целостности, то в ней существуют такие алгебраически независимые однородные элементы ai,...,am, что А цела над подалгеброй k[ai,.. .,ат].
Определение 2.4. Пусть М — модуль над градуированной конечно порожденной к-алгеброй А = ф,?>о Ad с Ао = к; он называется градуированным, если является прямой суммой, М = @d>o^dt таких векторных k-пространств Mj, что AjMe С Mj+e. Элементы из Mj, называются однородными элементами степени d.
Пусть теперь V = ф^>о V& — градуированное пространство, причем все Vd являются конечномерными векторными пространствами.
Определение 2.5. Формальный степенной ряд Ну(Т) € 2Г[[Т]], где Z — кольцо целых чисел
#v(T) = ?>m VdTd
d>0
называется рядом Гильберта пространства V'.
Ясно, что если
0->V, -»V-»V2->0
— точная последовательность градуированных пространств (так что гомоморфизмы из этой точной последовательности сохраняют степени), то
HV(T) = HVl(T) + HV2{T).
В частности, это верно и для градуированных модулей. Кроме того, градуированную конечно порожденную алгебру А можно рассматривать как модуль над собой и вычислять ряд Гильберта самой алгебры. Приведем некоторые утверждения о рядах Гильберта([5])
Предложение 2.4. Пусть а,\,... ,ап — система однородных образующих алгебры А и di
— степень элемента а;. Тогда существует такой полином F(T) E Z[T], что
t=i Предложение 2.5. Если элементы а,- из предыдущего предложения алгебраически не-
1=1
Предположим теперь, что А — область целостности, целая над подалгеброй А = Ar[aj, —, am], где а,- — однородные алгебраически независимые над к элементы. Такие элементы называются однородными параметрами Пусть по прежнему Предложение 2.6. Пусть М — конечно порожденный градуированный А- модуль. Тогда существует такой полином F(T) 6 Z[T], что
Пусть А = (&d>oAd — градуированная к- алгебра и ai,...,am — ее однородная система параметров. Нетрудно проверить, что если градуированный Л-модуль М является свободным модулем над подалгеброй параметров, т.е.
М = A;[ab...,am]61 ф...0 k[au...,am]bs для некоторых однородных элементов &i,..., bs модуля М, то
НМ(Т) = -pf-
Пусть М — Я-модуль. Мы говорим, что х G R регулярный элемент в М, если из xz = О для некоторого z (= М следует, что z — 0; другими словами, если х не является делителем нуля в М.
Определение 2.6. Последовательность х = х\,. ..,хп элементов из R называется М-регулярной последовательностью или просто регулярной, если выполнены следующие условия: (а) х,- регулярный элемент в M/(#i,... ,Xi_i)M, дляУг = 1,...,п; (б) М/хМ ф 0
Пусть R — нетерово кольцо и М — R- модуль. Если х = х\,__,хп,__регулярная последовательность, тогда последовательность идеалов
(xj) С (xi,x2) С ... С (х!,...,хп)...
очевидно строго возрастающая, а поэтому в силу нетеровости кольца R конечна. Другими словами, любая регулярная последовательность не может быть бесконечной.
Определение 2.7. Регулярная последовательность х = Xi,... ,хп (содержащаяся в идеале I) называется максимальной (в I), если Vxn+J 6 R (xn+i ? /) последовательность Xi,__, xn+i не является регулярной.
8
Предложение 2.7. ([7]) Пусть R — нетерово кольцо, М — конечно порожденный R-модуль и I — идеал такой, что IM ф М. Тогда все максимальные регулярные последовательности в I имееют одну и ту же длину.
Определение 2.8. Пусть (Я, р) — локальное нетерово кольцо с максимальным идеалом р, а М — конечно порожденный R- модуль. Длина максимальной регулярной последовательности в р называется глубиной М и обозначается depth M.
Для каждого R- модуля М имеем проективную резольвенту
Л :---Y Р„ ** Pn-i ->---»¦ А ^ Ро ^ М -* 0.
Положим Мо — М и М,- = Кег<^,-_) для г > 0.
Определение 2.9. Проективной размерностью модуля М, сокращенно projdim M, называется наименьшее целое положительное п, для которого Мп — проективный модуль. В противном случае, projdim М = оо.
Предложение 2.8. ([7], формула Ауслендера-Буксбаума) Пусть (R,p) — локальное нетерово кольцо, а М ф 0 — конечно порожденный R- модуль. Если projdim M < оо, тогда
projdim М + depth М = depth R.
Определение 2.10. Размерностью R- модуля М, сокращенно dimM, называется размерность Крулля кольца Я/Ann М .
Определение 2.11. Пусть (R,p) —локальное нетерово кольцо. Конечнопорожденный R- модуль М ф 0 называется модулем Коэна-Маколея, если
depth M = dim M .
Если R модуль Коэна-Маколея над собой, то оно называется кольцом Коэна-Маколея. Если R — произвольное нетерово кольцо, тогда М — модуль Коэна-Маколея, если Мр — йр- модуль Коэна-Маколея для всех максимальных идеалов р таких, что Мр ф 0.
Пусть Я — кольцо и S — его подкольцо. 5*-линейное отображение р : R —» S с условием p\s = ids называется оператором Рейнольдса (для пары (Я, S)).
Предложение 2.9. (Теорема Хохстера-Игана [7], Теорема 6.4.5)
** Предположим, что R — кольцо Коэна-Маколея и S — его подкольцо такое, что суще-
ствует оператор Рейнолдса, и пусть R целое над S. Тогда S также Коэн-Маколеево.
Пусть М — конечно порожденный градуированный модуль над конечно порожденной градуированной к- алгеброй R, /?о = к. Кроме того, предположим, что Ann М — 0.
Предложение 2.10. (характеризация градуированных модулей Коэна-Маколея) Следующие условия эквивалентны:
1)М — модуль Коэна-Маколея;
2) Существует система однородных параметров в R, скажем х\,__,х„, п = dim R,
таких что, М — свободный модуль над подалгеброй S, порожденной Xi,... ,хп;
3) Утверждение 2) верно для любой системы однородных параметров. ё
Доказательство. 1) => 3). М — модуль Коэна-Маколея. Тогда, если р — максимальный
идеал, то Мр — Rp- модуль Коэна-Маколея, то есть
depthfi Л/р = dim Мр = dim (Rp /Ann Mp ) .
Но
Ann Mp = (Ann M)p = 0,
следовательно,
dim Мр = dim Rp.
Пусть S — произвольная подалгебра параметров в R. Поскольку S С R целое расширение, то 5^ С Яр также целое расширение, где р = р П S. Кроме того, поскольку depthflp Мр = depth5.. Мр ([7], ех.1.2.26) и dim Rp = dimSp, то dimSp = depth^ Mp. По формуле Ауслендера-Буксбаума получаем, что
projdinig- Mp = 0.
По ([7], Предложение 1.5.15), depth5. Мр = depth5 М. Следовательно, М — проективный S- модуль, тогда по теореме Квиллена-Суслина [6] М — свободный S- модуль.
2) =$¦ 1). Пусть М — свободный как S- модуль. Предположим, что S порождена элементами #1,..., хп. Тогда Х\,...,хп — регулярная последовательность в М. Действительно, пусть N = Х\М + ... + Х{М и x,+im = 0(mod N) ,m G M, т.е x,+im G N. Любой элемент m ? M имеет однозначное разложение
т = /i&x + ... + fibi , 10
где &i,...,&{ — свободные порождающие модуля М, a /j,__// — многочлены от Zi,...,хп.
Получаем, что
xi+lm - xi+ifibi + ... + Xi+ifibi ? N.
Заметим, что подмодуль N состоит в точности из тех элементов, которые имеют однозначное разложение
где gt,...gi — элементы из простого идеала / = (zi,...,art-). Следовательно, все ar,+i/y € I , 1 < j < I. Поскольку х,+1 ^ /, то fj ? / , 1 < j < I.
Отметим, что алгебра R имеет единственный максимальный однородный идеал р = ®d>o Rd- Поэтому по ([7], ех.2.1.27(с)) достаточно доказать, что depth (Мр) = dim Мр = п. В самом деле,
depth Мр > dim/2 = dim#p = dimMp.
С другой стороны, всегда depth Mp < dimAfp ([7], Proposition 1.2.12). Поэтому получаем, что
depth Mp = dimMp.
Предложение доказано.
Замечание 2.1. ([7], Упражнение 2.1.28)
Для любой регулярной последовательности И = {г\,...,гт} С Д+ = (Bi>oRi, R — алгебра Коэна-Маколея тогда и только тогда, когда R/1 — алгебра Коэна-Маколея, где
Пример 2.1.
Пусть к — бесконечное поле, ай = k[Yi, Yi,Z\,Z2^. Предположим, что GL\{k) = к \ {0} действует на Н подстановками:
Y{ ь» aYi , Zi н-> a~lZi , Va E GLt{k).
Пусть Я? — {/ € R |/° = /, Va G GLi(k)}. Нетрудно видеть, что RP1 — это к- подалгебра, порожденная элементами #,-_,• = YJ-Z,- ,1 < i,j < 2, т.е ПР = A;[xn,xi2,X2i,X22]- Кроме того, если R = k[Xu,Xi2,X2i,X22] — алгебра полиномов, а / — идеал, порожденный многочленом Хц-^22 — -^12-^2ь то гомоморфизм алгебр ф : R —> R°, определенный по правилу: X,j t-t Xij индуцирует R° = R/I. Действительно, очевидно, что / С Кетф.
11
Поэтому сюръективное отображение R/I -> RP правильно определено. Покажем, что оно инъективно. Заметим, что мономы вида
/ Ykt Yk? v^3 v'i yh yh \
\Л11Л12Л2НЛ22Л12Л21/ >
где ki1k2,h3,li,l2th > О, образуют базис векторного пространства R/I. Достаточно показать, что различные базисные элементы отображаются в различные элементы. Рассмотрим образы элементов
V"'» V'2 V'3 i_i v'iv 7 22 12 21 ^"^ 1 2 1 2
Предположим, что они совпадают. Тогда получим систему равенств на степени при соответствующих переменных
h + к2 = /2
А?з = /l + ^з Atj Ч- Лтз = /з
fc2 = /l + ^2
из которой следует, что ki = 1\ = 0, Агг = /гДз = ^з>
Пусть ri = ям -1-^22,^12 = г2,аг21 = г3. Обозначим через S = k[ri,r2,r3]. Покажем, что S С RG — целое расширение. Действительно, поскольку хц + х2а = п € 5 и ХцХ22 = Х12Х21 = Г2Г3 ? 5, то по теореме Виста Хц,х22 — корни квадратного уравнения с коэффициентами в S. Заметим, что R° как S-модуль порожден элементами 1,хц. Имеем точную последовательность градуированных пространств
О -+ / = Кетф -> Я -+ RG -> 0. Поэтому Hrg(T) = ЯА(Г) - Я/(Т). По Предложению 2.5
а поскольку / свободный модуль, порожденный элементом степени 2, то
Следовательно,
12
Следующее рассуждение будет использоваться неоднократно в дальнейшем. Пусть F = А;[а1,<22,аз]&» ® &[а1>я27аз]Ь2 — свободный градуированный модуль, причем а,- алгебраически независимы и deg а,- = 1 , 1 < i < 3, a deg 6i = 0 ,deg Ьч = 1. Имеем сюръективный гомоморфизм модулей Л : F —> RP, определенный по правилу:
Тогда HRa(T) = HF{T)-HKerX(T). Поскольку HRa(T) = HF{T), то HKerX(T) = 0. Отсюда следует, что г,- алгебраически независимы, т.е. S — подалгебра параметров и Д° — свободный ^-модуль, а значит — модуль Коэна-Маколея.
Приведем необходимые определения из теории инвариантов и алгебраической геоме-•* трии. Пусть V — конечномерное векторное пространство и (e,)i<,ства V; обозначим через /,- линейную функцию на V, определенную равенством
fi{xiex + •.. + хпеп) = ж,-.
Функции /,• порождают подалгебру S(V), или просто S, алгебры всех функций на V со значениями в к. Элементы этой подалгебры называются полиномиальными функциями на V. Заметим, что существует изоморфизм ф алгебры S на алгебру полиномов к[Т\,..., Тп], для которого ф(/{) = Т{.
Элемент / G S называется однородной функцией степени d, если Vt> G V ,Vx 6 k
4 f{xv) = xdf(v),
или, что то же самое, если ф(/) — однородный полином степени d. Множество Sd всех однородных полиномиальных функций степени d является конечномерным векторным пространством в S, причем So = k. Кроме того, SdSe = Sd+e и S является прямой суммой подпространств Sj. Эти свойства означают, что подпространства Sd определяют на S структуру градуированной алгебры.
Пусть GL(V) — группа всех обратимых линейных преобразований пространства V. Если g ? GL(V), f & S, то определим функцию g • f G S с помощью равенства
Легко проверить, что g • (h • f) = (gh) • / и g • Sd =
13
Пусть G — подгруппа группы GL(V). Функция / 6 S называется G-инвариантом, если д- f = f для всех д (Е G. Все G-инварианты образуют подалгебру SG алгебры S; она является градуированной подалгеброй, т.е
d>0
Свойства таких алгебр и изучаются в теории инвариантов.
Пусть / — идеал алгебры S. Вектор и € V называется нулем идеала /, если f(v) — О для всех / ? /. Для любого идеала / алгебры S обозначим через V(I) множество его нулей. Тогда ([3])
2) / С J, то V(J) D V(J);
3) V(/nJ) = V(/)nV(J);
4) Если (Ia)aeA — некоторое множество идеалов и YlatA Л» — идеал, образованный всевозможными конечными суммами вида J2aeA fa, где fa G /Q, то
a€A
Отсюда следует, что на V имеется топология с системой замкнутых множеств V(/), где / пробегает идеалы алгебры S. Она называется топологией Зарисского. Для любого подмножества X пространства V определим идеал J{X) алгебры S с помощью формулы
= {fes \f{X) = о}.
Если / — идеал алгебры S, то обозначим через л/7 идеал, состоящий из всех функций / G S, некоторая степень которых лежит в /.
Предложение 2.11. ([5])
1) Замыкание множества X совпадает с
Заметим, что отображение / н-> V(/) является биекцией семейства всех идеалов / алгебры 5, обладающих свойством / = v/, на семейство всех замкнутых подмножеств пространства V. Напомним, что X называется неприводимым, если любые два его непустых открытых подмножества имеют непустое пересечение.
14
Предложение 2.12. ([5]) Замкнутое подмножество X С V неприводимо тогда и только тогда, когда J(X) — простой идеал.
Пусть X С V — замкнутое подмножество. Такое множество ( с топологией, индуцированной топологией Зарисского) называется аффинным алгебраическим многообразием. Ограничения на X функций из S образуют алгебру функций на X со значениями в к, которую обозначим через Sx- Она изоморфна факторалгебре S/S(X).
Пусть V — другое конечномерное векторное пространство над к и X' С V — замкнутое подмножество. Положим S' = S{V). Пусть <р : X —> X' — отображение. Если /' — функция на X', то следующее равенство определяет функцию Отображение (р называется морфизмом аффинных алгебраических многообразий, если Sx и более того любой А:-гомоморфизм S'Xi —> Sx имеет вид ip*. Пусть E(V) = Е — векторное пространство всех к- линейных отображений пространства V в себя. Тогда группа GL( V) является открытым в топологии Зарисского подмножеством пространства Е, а именно дополнением к замкнутому подмножеству, определенному условием det(gr) = 0. Мы определим на GL(V) структуру аффинного алгебраического многообразия отождествив GL{V) с замкнутым подмножеством п2 + 1- мерного векторного пространства Е х А:, состоящим из тех пар (д, х), для которых xdet(g) = 1. В дальнейшем GL(V) всегда считается наделенной структурой аффинного алгебраического многобразия с помощью указанного отождествления.
Определение 2.12. Линейной алгебраической группой называется любая замкнутая подгруппа какой-либо GL(V).
Если G С GL(V) — линейная алгебраическая группа, то полиномиальным, или рациональным представлением группы G в конечномерном векторном пространстве W называется гомоморфизм р : G -> GL(W), являющийся одновременно морфизмом аффинных алгебраических многообразий. Это означает, что в фиксированных базисах пространств V и W матричные координаты преобразования р(д) являются полиномами от п2 + 1 матричных координат преобразования д (если dimV = n). В общем случае, V называется рациональным модулем над G, если любая конечная система векторов из V может быть включена в конечномерный рациональный подмодуль.
15
Определение 2.13. Линейная алгебраическая группа G называется редуктивной, если для любого рационального представления р : G —? GL{W) и любого ненулевого вектора w 6 W \ {0}, такого, что p(G)w = w, существует функция f G S{W)G, обладающая свойствами /(0) = 0 и f{w) ф 0- Группа G называется линейно редуктивной, если существует линейная функция /, обладающая указанными свойствами.
Предложение 2.13. ([5]) Предположим, что поле к имеет нулевую характеристику. Тогда редуктивность группы G эквивалентна ее линейной редуктивности.
Рассмотрим подгруппу Тп = Т группы GLn(k), состоящую из всех невырожденных диагональных матриц.
Определение 2.14. Всякая линейная алгебраическая группа, изоморфная группе Тп для некоторого п, называется алгебраическим тором.
Предложение 2.14. ([5])
Группа Т линейно редуктивна.
Предложение 2.15. ([5]) Если G — редуктивная линейная алгебраическая группа и р : G -* GL{W) — ее рациональное представление, то k-алгебра S(W)G конечно порождена.
Пусть G — любая подгруппа группы GLn{k) (не обязательно алгебраическая), а р : G -? GL(V) — ее представление. В этом случае мы будем говорить также, что V является (7-модулем. Для дальнейшего изложения нам потребуются некоторые факты из теории модулей с хорошей фильтрацией. Начнем с определений. Пусть G — редуктивная алгебраическая группа над полем к. Обозначим через Т максимальный тор в G и через Х(Т) группу характеров тора Т. Пусть R — корневая система соответствующая паре (G, Т) и R+ множество положительных корней в R. Обозначим через Х+ множество доминантных весов, т.е.
Х+ = {i/\{u,a*) > 0 для всех а ? R} , где а* обозначает корень ассоциированный с а. Пример 2.2.
16
Пусть
Произвольный характер и € Х{Тп) отождествляется с вектором что v{i) = fJf1 • • • ^п, где t = diag(tt,...,fn). Кроме того,
Пусть В — борелевская подгруппа G, соответствующая множеству отрицательных корней — R+.
Для любого А € Х{Т) обозначим через V(A) индуцированный модуль
fodgh = {fe k[G\\vge G,Vbe в,/(5Ь) = А(Ь)-1 f(g)}.
Определение 2.15. G- модуль V будем называть модулем с хорошей фильтрацией, если в V имеется возрастающая цепь подмодулей
o = vbcvi с...
такая, что Vi > 1, Vi/Vi-i — V(A,) для некоторого А,- 6 Х+ и \J —V.
Пример. Пусть V = кп ¦— стандартный GLn(k)- модуль. Для любого 0 < s < n внешняя степень Ля(^) изоморфна V(l,..., 1,0,. ..,0) как GLn{k)- модули. В частности, это
модуль с хорошей фильтрацией.
Перечислим некоторые факты из теории модулей с хоротей фильтрацией.
Предложение 2.16. ([23],[13], [Ц],[31])
1) Если
0 >-> V н-> W и> S •-> 0
точная последовательность G- модулей и V — модуль с хорошей фильтрацией, тогда последовательность инвариантных подпространств
0 .-> Vе ь4 WG h4 SG i-4 0 также точна.
2) Если W — G-модуль с хорошей фильтрацией uV — его подмодуль с хорошей фильтрацией, тогда W/V также G- модуль с хорошей фильтрацией.
17

Получить работу